Guía de estudio División de polinomios y división sintética Unidad A: Clase 16

Transcripción

1 Guía de estudio División de polinomios y división sintética Unidad A: Clase 16 Camilo Ernesto Restrepo Estrada, Lina María Grajales Vanegas y Sergio Iván Restrepo Ochoa División de polinomios y división sintética A continuación vamos a estudiar los métodos que nos permitan encontrar las raíces racionales de un polinomio de grado mayor que dos y por lo tanto podamos factorizar dichos polinomios. Para ello es necesario analizar la división de polinomios. División larga de polinomios. El siguiente proceso de cuatro pasos, que ilustraremos con un ejemplo, se llama división larga de polinomios. Comencemos con la división 5x + x x + 1 El proceso de división larga es similar a la división de números y se realiza de la siguiente forma: 1) Primero dividimos del cociente. 5x entre x: ) Multiplicamos el divisor x +1 por 5x x = 5x esta cantidad es el primer término 5x y se obtiene ( x 1)5 x 5x 5x cantidad se resta del dividendo, como se muestra a continuación: + = +, esta 5x + x x + 1 ( ) 5x + 5 x 5x x 1 Camilo Ernesto Restrepo Estrada. Facultad de Ciencias Económicas Universidad de Antioquia. Dirección electrónica: milosos@gmail.com. Lina María Grajales Vanegas. Facultad de Ciencias Económicas Universidad de Antioquia. Dirección electrónica: linamaria54@gmail.com. Sergio Iván Restrepo Ochoa. Facultad de Ciencias Económicas Universidad de Antioquia. Dirección electrónica: siro@economicas.udea.edu.co. 91

2 El residuo de esta primera etapa es x ) Continuamos repitiendo los pasos 1) a ) usando como dividiendo el residuo del paso anterior hasta que el residuo sea cero o de grado menor que el grado del divisor. En el paso anterior el proceso continúa dividiendo x por x + 1, para ello dividimos x entre x y obtenemos x que es el segundo término del cociente; a continuación multiplicamos x +1 por x y el resultado se resta del nuevo dividiendo y continuamos de esta forma, como se observa a continuación: 5x + x x + 1 ( ) + 5x 5 x 5x x 6 x ( x x) 6x ( 6x 6) De esta forma, al dividir 5x x + por x +1 el cociente es 5x x 6 y el residuo es. Entonces, podemos escribir el resultado de la división de dos formas alternativas, ya sea como 5x x + = 5x x 6 + x + 1 x + 1 Lo anterior significa que el resultado de la división es igual al cociente más el residuo sobre el divisor. La otra forma consiste en multiplicar la ecuación anterior por le divisor x + 1 y se obtiene 5 x + x = (5x x 6) ( x + 1) + Dividiendo = Cociente Divisor Residuo A continuación ilustramos de nuevo el proceso en el siguiente ejemplo. 9

3 Ejemplo 1 Dividir x 4x + x 6 x Solución Usando el algoritmo anterior se obtiene que le primer término del cociente es x x = x y continuando el proceso se llega a x 4x + x 6 x + (x 4 x ) x x 6 (x 6) 6x ( 6x 6) 0 El hecho de que el residuo sea nulo significa que la división es exacta y que x es un factor de x 4x + x 6. Por lo tanto, tenemos que ( )( ) x 4x + x 6 = x x + El resultado del proceso de división de polinomios puede resumirse en el siguiente teorema, llamado algoritmo de la división. Teorema: El algoritmo de la división. Sean p( x ) y d( x ) dos polinomios, con d( x) 0 y con grado menor o igual que el grado de p( x ). Entonces existen polinomios q( x) y r( x ) tales que p( x) = d ( x) q( x) + r ( x ) Dividiendo Divisor Cociente Residuo Donde r( x ) = 0 o tiene grado menor al grado de d ( x ). Observación: Cuando r( x ) = 0 se obtiene que d ( x ) es un factor de p( x ) con cociente q( x ). 9

4 División sintética. La división sintética es un procedimiento abreviado para dividir un polinomio p( x ) entre un divisor de la forma x b, donde b se llama el divisor sintético. Veamos el proceso de división sintética en la división 5x + x x + 1 1) Como el divisor es x + 1, el cual se puede escribir como x ( 1), representamos el divisor sintético como b = 1, este valor lo escribimos a la derecha de los coeficientes del polinomio p( x) = 5x + x y cuando no aparezca alguna potencia de x incluimos un coeficiente cero. Lo anterior lo ilustramos a continuación: Observación: Los coeficientes del dividendo p( x ) se escriben en orden decreciente de potencias de x. ) Bajar el 5 a la tercera línea; esto es, ) Multiplique 5 por b = 1; escribir -5 en la segunda fila y segunda columna y súmelo a para obtener -; a continuación multiplique - por -1, escriba en la tercera columna y segunda fila y súmelo a -9 para obtener -6 y continué de esta forma como se muestra a continuación ) El último número de la tercera fila es el residuo de la división y los tres primeros números son los coeficientes del polinomio cociente, este polinomio es un grado menor que el dividendo; por lo tanto, para este ejemplo el polinomio cociente es q( x) = 5x x 6 y el resultado es. 94

5 Ejemplo Dividir Solución x + 5x + 8 x 1 Observe que en el dividendo p( x) = x + 5x + 8 falta la potencia x ; por lo tanto, al escribir los coeficientes de este polinomio para el proceso de división sintética escribimos cero como coeficiente de esta potencia y además, para este ejemplo se tiene que b = 1. Entonces, mediante el proceso de división sintética se obtiene el siguiente resultado para la división: Como el residuo es cero, entonces la división es exacta y el cociente de la división es el polinomio q x x x ( ) = Por lo tanto, 5 8 x + x = = + + x 1 x 8x 8 x 5x 8 ( x 1)( x 8x 8) Referencias Stewart, James. Cálculo Conceptos y contextos. Editorial Thomson. Tercera edición, 006. Díez M, Luis H. Matemáticas Operativas. Primer año de universidad, preuniversitarios y semilleros, Lina Díez editora,