Lección 10: Operaciones con números decimales

Transcripción

1 GUÍA DE MATEMÁTICAS I LECCIÓN 10 Lección 10: Operaciones con números decimales Las operaciones con números decimales son casi idénticas a las operaciones con números naturales. En esta lección veremos cómo se hacen. Suma y resta con decimales Para sumar o restar números decimales debemos fijarnos e n sumar o restar las cifras con el mismo valor posicional, es decir los números del mismo orden. Para hacer esto, alineamos los números por el punto decimal, sumamos o restamos como si fueran enteros y ponemos el punto en el mismo lugar que está en los sumandos o en el mismo lugar que está en el sustraendo y en el minuendo Por ejemplo, si queremos sumar y 87.76, los alineamos por el punto decimal y los sumamos como si fueran enteros. El punto decimal queda abajo de los puntos decimales de los sumandos en el resultado. Restemos ahora estos mismos números, es decir, restemos menos Alineamos los números por el punto decimal, los restamos como si fueran enteros y ponemos el punto decimal en el resultado abajo del punto decimal del minuendo y del sustraendo. 106

2 LECCIÓN Haga las siguientes operaciones con números decimales. a) b).5 c) d) 63.4 e) f) Multiplicación con decimales Para multiplicar números decimales multiplicamos como si fueran números naturales pero, para colocar el punto decimal en el resultado, contamos las cifras decimales de cada factor y en el producto ponemos tantos decimales como la suma de los que tienen los factores. Por ejemplo, si multiplicamos 32.5 por 2.14 vamos a multiplicar como si tuviéramos 325 por 214 y al resultado le ponemos el punto para que queden tres cifras decimales porque en el primer factor tenemos una cifra decimal y en el segundo factor tenemos dos cifras decimales: 32.5 una cifra decimal 2.14 dos cifras decimales tres cifras decimales 107

3 GUÍA DE MATEMÁTICAS I LECCIÓN 10 En realidad lo que estamos haciendo en esta multiplicación, cuando la hacemos como si fueran enteros, es multiplicar por múltiplos de 10. Para considerar a 32.5 como 325 estamos multiplicando por 10, para considerar a 2.14 como 214 estamos multiplicando por 100, en total hemos multiplicado por Para que el resultado no nos quede multiplicado por 1000, tenemos que dividirlo entre Ésa es la razón por la que pusimos las 3 cifras decimales en el producto. Haga las siguientes operaciones con números decimales. a) b) c) d).487 e) 2134 f) División con decimales En esta operación sí vamos a encontrar una diferencia con lo que hemos hecho hasta ahora porque aquí sí veremos las situaciones en las que tenemos que partir la unidad. Veremos sucesivamente diferentes casos. Para dividir un número decimal entre un número natural, trabajamos como si los dos fueran enteros y en la casita de la división ponemos el punto decimal arriba del punto del dividendo.

4 LECCIÓN Por ejemplo, si queremos dividir entre 3, empezamos, como siempre, por el mayor orden, que aquí son las decenas, seguimos con las unidades, colocamos el punto decimal en el cociente y seguimos con los décimos y los centésimos: Observe que al hacer esta división repartimos las 5 decenas que tenemos en el dividendo entre 3 y nos sobraron 2 decenas. Éstas las agregamos a las cuatro unidades que ya teníamos. Dividimos las 24 unidades entre 3 y no nos sobró nada. Re p a r t i m o s los 7 décimos que tenemos en el dividendo entre 3 y nos sobró un décimo. Éste se lo agregamos a los 2 centésimos que teníamos. Dividimos los 12 centésimos entre 3 y no nos sobró nada. Veamos otro ejemplo un poco distinto. Si queremos dividir 13.5 entre 4, repartimos 13 entre 4 y nos sobra una unidad que le agregamos a los décimos que tenemos. Dividimos los 15 décimos entre 4 y nos sobran 3 décimos. Como queremos seguir con el reparto, partimos los 3 décimos que sobraron en centésimos (frecuentemente decimos que bajamos el cero) y dividimos esos 30 centésimos entre 4; nos sobran 2 centésimos que partimos en milésimos. Quedan 20 milésimos que repartimos entre 4 y ya no sobra nada. No siempre podemos llegar a tener un residuo cero. Por ejemplo, si dividimos 4 entre 3 toca a uno y sobra una unidad. Para seguir dividiendo tenemos que partir la unidad que queda en 10 décimos. Si ahora dividimos estos 10 décimos entre 3, toca a 3 y sobra un décimo que tenemos que partir 109

5 GUÍA DE MATEMÁTICAS I LECCIÓN 10 en 10 centésimos. Volvemos a dividir entre 3, toca a 3 y sobra un centésimo que tenemos que dividir en milésimos. Observe que este proceso no se va a acabar nunca, siempre vamos a tener 10 entre 3 y siempre va a sobrar uno que vamos a partir en Como este proceso no termina nunca, tenemos que d e c i d i r hasta dónde vamos a continuar la división. Si decidimos llegar hasta una cifra decimal en el cociente, decimos que aproximamos la división hasta décimos. Si decidimos llegar hasta dos cifras decimales, decimos que aproximamos la división h a s t a c e n t é s i m o s, etc. Hasta cuántas cifras decimales se aproxima una operación se decide en general por el uso que se va a hacer del resultado. Por ejemplo, si el resultado es dinero casi siempre se usará una aproximación cuando mucho hasta centésimos (es decir, hasta centavos). Al dividir 4 entre 3 obtuvimos un número en el que se repite una cifra decimal hasta el infinito; en ese caso se repite el tres. En , tenemos 3 décimos, 3 centésimos, 3 milésimos, etc. Este número que se repite se llama período y para indicar su repetición hasta el infinito podemos escribirlo tres veces y poner puntos suspensivos o bien poner una pequeña curva sobre él que indica lo mismo: =

6 LECCIÓN No siempre tenemos períodos con una sola cifra decimal. Por ejemplo, si dividimos dos entre siete, tenemos que partir los dos enteros en décimos; nos quedan 20 décimos. Al repartir van a tocar dos décimos a cada uno de los 7 y sobran 6 décimos. En el cociente tenemos que poner un punto decimal para indicar que el resultado empieza en décimos y, si queremos podemos poner cero enteros. Para repartir los 6 décimos que sobran, los tenemos que partir en centésimos, tenemos así 60 centésimos entre 7, toca a 8 y sobran 4 centésimos, que son 40 milésimos. Seguimos el proceso como se ve enseguida. Observe que a partir de un cierto lugar empiezan a repetirse los residuos y también empiezan a repetirse las cifras del cociente se repiten las cifras del 1 0 cociente se repiten 5 0 los residuos Por más que sigamos haciendo la división, se seguirán repitiendo los residuos y en el cociente se repetirán las cifras , este es ahora el período. Podemos escribir 111

7 GUÍA DE MATEMÁTICAS I LECCIÓN 10 el resultado de esta división repitiendo 3 veces el período y poniendo puntos suspensivos o podemos poner sobre el período una curvita para indicar esta repetición hasta el infinito: 2 7 = = Si queremos dividir por un número con más de una cifra se procede como con los números naturales. Por ejemplo, si queremos dividir por 12 tomamos las dos cifras del mayor orden del dividendo, que aquí forman 43 decenas, y vemos que sí se puede dividir ese número entre 12. Como 12 3 = 36, nos toca a 3 y sobran = 7 decenas. Escribimos el 3 sobre el 3 de 43 y el residuo abajo de este mismo número. Las 7 decenas que sobran se las agregamos a las 5 unidades del dividendo y dividimos las 75 unidades entre 12. Nos toca a 6 unidades y sobran 3 porque 12 6 = 72 y = 3. Ponemos en el resultado las 6 unidades y el punto decimal y el residuo bajo el 5 del 75. Las 3 unidades que sobraron, convertidas a 30 décimos, se las agregamos a los 9 décimos del dividendo y dividimos los 39 décimos entre 12, nos toca a 3 y sobran 3 décimos. Agregamos los 3 décimos sobrantes a los 8 centésimos que tenemos y dividimos los 38 centésimos entre 12. Nos toca a 3 centésimos y sobran 2 centésimos. Si queremos seguir la división partimos esos 2 centésimos sobrantes en 20 milésimos y los dividimos entre 12. Nos toca a 1 y sobran 8 milésimos. Se puede seguir la división hasta donde queramos; aquí vamos a parar en los milésimos

8 LECCIÓN El mismo procedimiento se sigue si queremos dividir un número decimal entre cualquier número natural. Para dividir un número decimal entre otro número decimal el procedimiento es un poco distinto y lo presentaremos después de hacer una pequeña observación. Observe que si dividimos un número entre otro obtenemos lo mismo que si dividimos el primer número multiplicado por una potencia de diez entre el segundo número multiplicado por la misma potencia de diez. Por ejemplo, obtenemos el mismo resultado si dividimos 2.5 entre 3 que si dividimos 25 = entre 30, o que si dividimos 250 entre 300, etc Veamos ahora cómo se divide un número decimal entre o t r o, por ejemplo entre 2.3. Antes que nada observamos que el divisor tiene una cifra decimal. Multiplicamos tanto el divisor como el dividendo por diez para tener un número natural como divisor y dividimos como antes. En este ejemplo tenemos que = 23 y que = 674.6, así que la división será entre 23:

9 GUÍA DE MATEMÁTICAS I LECCIÓN 10 El cociente de estas dos divisiones es el mismo porque en la segunda división el divisor y el dividendo son los de la primera división multiplicados por diez. Si queremos dividir entre un número con más cifras decimales, multiplicamos el divisor y el dividendo por un uno y tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor para obtener en el divisor un número natural. Por ejemplo, para dividir entre multiplicamos p o r 1000 los dos números, = 5517 y = 46750, y dividimos entre Podemos hacer la división con la cantidad de cifras decimales que queramos; aquí la hacemos hasta décimos Haga las siguientes operaciones con números decimales. a) b) c) d) e) f)

10 LECCIÓN a) En un comercio se venden sólo cinco productos y tienen que llenar lo formatos de la declaración de impuestos del último trimestre. Para ello se necesita sumar por separado el precio de los productos vendidos y el IVA cobrado. Calcule el total de cada uno con los siguientes datos: Producto A B C D E TOTALES Cantidad vendida Precio unitario ($) IVA ($) Por un error, el trimestre anterior se pagaron a Hacienda $870 de más de IVA. Cuánto hay que pagar este trimestre para recuperar ese pago extra? b) El señor Vicente repartió un bote de 45 litros de aceite en botellas de 1.5 litros. Cuántas botellas llenó? c) Un equipo de trabajadores que pintan franjas de señalamiento en una carretera tardan 1.3 horas en pintar 5 Kms. Cuántos Kms. pintarán en 4.5 horas? d) Una varilla de 7 m. se corta en 6 partes iguales y en cada corte se pierden 8 milésimos de metro. De qué tamaño queda cada parte? En una oferta de pague uno y medio y lleve dos, Esteban compró dos pantalones y dos camisas. El precio en etiqueta de cada pantalón era de $ y el de cada camisa $ a) Cuánto pagó por cada pantalón? b) Cuánto pagó por cada camisa? c) Cuánto pagó en total? d) Cuánto dinero ahorró en la compra? 115