x 1,9 1,99 1,999 1, ,0001 2,001 2,01 2,1

Transcripción

1 Guía de estudio Límites infinitos. Asíntotas verticales Unidad B: Clase 35 Camilo Ernesto Restrepo Estrada, Lina María Grajales Vanegas Sergio Iván Restrepo Ochoa. 5. Límites infinitos. Asíntotas verticales f x así f es discontinua en x =. Estudiemos lim x x x,9,99,999,9999,000,00,0, Sea =. D = R { } x ? Se observa que lim no existe a que cuando x, f ( x ) decrece sin x x límite cuando x, f ( x ) crece sin límite escribimos lim = < < x ( x )( x x 0) lim = > > x ( x )( x x 0) Gráficamente tenemos Camilo Ernesto Restrepo Estrada. Facultad de Ciencias Económicas Universidad de Antioquia. Dirección electrónica: milosos@gmail.com. Lina María Grajales Vanegas. Facultad de Ciencias Económicas Universidad de Antioquia. Dirección electrónica: linamaria54@gmail.com. Sergio Iván Restrepo Ochoa. Facultad de Ciencias Económicas Universidad de Antioquia. Dirección electrónica: siro@economicas.udea.edu.co. 09

2 Definición Sea f una función definida en un intervalo I, excepto posiblemente en el punto a I. Entonces lim f ( x ) = ± x a Significa que los valores de f ( x ) pueden hacerse tan grandes o tan grandes negativos como deseemos tomando a x lo suficientemente cerca de a (pero no igual a a ). Es decir los límites infinitos de una función es cuando el valor de la función crece o decrece sin límite a medida que la variable x se aproxima al valor dado. Se pueden dar definiciones similares para lim f ( x ) = ± lim f ( x ) = ± lim f ( x ) = ± lim f ( x ) = ± x a x a x x Algunos límites infinitos: k, si k 0 i) lim x c x c = >, si k < 0 En este caso, el denominador tiende a cero a través de valores positivos 0

3 k, si k 0 ii) lim x c x c = >, si k < 0 En este caso el denominador tiende a cero a través de valores negativos. Lo anterior lo indicamos así: k k, si k > 0 lim = = x c 0, si k < 0 Y lim k k, si k 0 x c = 0 = >, si k < 0 Ejemplo x Determine lim ( x 4) x lim ( x 4) Solución Cuando x 4 x 4 entonces el numerador x 5 el denominador ( x 4) es un número que se aproxima a cero, pero positivo por tanto x ( x 4) x es un número positivo grande, así lim = ( x 4) x lim ( x 4) =. Asíntota vertical La recta x = c se llama asíntota vertical de la curva = f ( x ) si se cumple una de las siguientes condiciones lim f ( x ) = ± lim = ± lim = ± Las asíntotas verticales ocurren en las funciones racionales, en los ceros del denominador que no son ceros del numerador. Si lim = ± cuando x tiende a c por la izquierda o por la derecha decimos que la recta x discontinuidad infinita en x = c es una asíntota vertical para la gráfica de f ( x ) tiene una = c. Para determinar si una función tenemos en cuenta lo siguiente: h( x) = tiene una asíntota vertical en x = c, g( x)

4 Si f g son funciones continuas en un intervalo abierto que contiene al punto x = c si f ( c) 0 g( c ) = 0 entonces la gráfica de h( x) = tiene en g( x) x = c una asíntota vertical, es decir, las asíntotas verticales ocurren en los ceros del denominador que no son ceros del numerador. Ejemplo senx La función = tan x = tiene asíntotas verticales en cos x su gráfica tiene la forma π 3π 5π x = ±, ±, ±,... Propiedades de los límites infinitos: Sean c, L R f g funciones tales que lim = lim g( x) = L. Entonces, a) lim [ g( x) ] b) [ f x g x ] ± = lim ( ). ( ) =, L 0 g( x) c) lim = 0

5 Las propiedades anteriores también son válidas sí lim = para límites por izquierda por derecha. Ejemplo 3 Sea = completa la siguiente tabla para determinar x 9 lim lim x 3 x 9 x 3 x 9 x -3,5-3, -3,0-3,00-3 -,999 -,99 -,9 f ( x ) 0,307,639 6,63 66,63? -66,694-6,694 -,694 Se observa que lim = lim = x 3 x 9 x 3 x 9 Analíticamente tenemos lim = lim x 3 x 9 x 3 ( x 3)( x 3) x 3 3 = lim. lim x 3 ( x 3) x 3 ( x 3) = = 0 6 lim = lim x 9 x ( x 3)( x 3) = lim. lim x 3 ( x 3) x 3 ( x 3) = = 0 6 Y se puede concluir que en x = 3 ha una asíntota vertical para la gráfica de =. Análogamente se demuestra que x = 3 también es una asíntota x 9 vertical para esta gráfica. Ejemplo 4 Hallar las asíntotas verticales para las siguientes funciones si éstas existen x a) = x 3

6 x b) = x Solución x a) Para = el D f = R { }, en x = el numerador es 3 el x denominador es cero por tanto x 3 lim = = x 0 x x< x> 0 x 3 lim = = x 0 x x> x< 0 entonces en x = ha una asíntota vertical. x b) Para = x el D {, } f = R Para x = el numerador es el denominador es cero, por consiguiente en x = ha una asíntota vertical se cumple que x lim = lim = x x x x x lim = lim =. x x x x En x = tanto el numerador como el denominador son cero por lo tanto en x = no ha asíntota vertical, a que en x = se tiene que x x lim = lim ( x ) ( x )( x ) x x = lim = x x Referencia Haeussler, Ernest F, Jr. Richard, S. Paul. Matemáticas para administración economía. Pearson Prentice Hall. Décima segunda edición, 008 Larson, R., Edwards, B.H., Hostetler, R.P. Cálculo Esencial. Editorial CEGANGE Learning. Primera edición, 00. Purcell, Edwin. Dale, Varberg Steven E. Rigdon. Cálculo. Pearson - Prentice-Hall. Novena edición, 007. Simons, Geroge, F. Cálculo Geometría Analítica. Mc Graw - Hill. Segunda Edición, 00. Del valle sierra, Jesús. Elementos básicos de cálculo diferencial. Editores Ude@. Primera edición. 4