Guía de estudio Continuidad Unidad B: Clase 37. Camilo Ernesto Restrepo Estrada, Lina María Grajales Vanegas y Sergio Iván Restrepo Ochoa 1.

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1 Guía de estudio Continuidad Unidad B: Clase 37 Camilo Ernesto Restrepo Estrada, Lina María Grajales Vanegas y Sergio Iván Restrepo Ochoa Función continúa Idea intuitiva de continuidad Intuitivamente se puede decir que una función es continua cuando en su gráfica no aparecen saltos o cuando el trazo de la gráfica no tiene huecos. En las siguientes figuras aparece la gráfica de tres funciones: dos de ellas no continuas (discontinuas) en el punto x = a de su dominio (figura a y b) y la otra continua en todo su dominio (figura c). a) 1 Camilo Ernesto Restrepo Estrada. Facultad de Ciencias Económicas Universidad de Antioquia. Dirección electrónica: milosos@gmail.com. Lina María Grajales Vanegas. Facultad de Ciencias Económicas Universidad de Antioquia. Dirección electrónica: linamaria54@gmail.com. Sergio Iván Restrepo Ochoa. Facultad de Ciencias Económicas Universidad de Antioquia. Dirección electrónica: siro@economicas.udea.edu.co. 19

2 b) c) Al mirar con cuidado las gráficas anteriores se puede deducir intuitivamente resultados que permitirán comprender con mayor claridad la definición precisa de lo que significa ser una función continua en un punto dado de su dominio. En la gráfica de la figura a) se tiene que: i. lim ( ) lim ( ) lim ( ) f x = f x = L f x = L(existe). x a x a + ii. f ( a )(existe). Pero lim ( ) = ( ) x a f x L f a (por esta razón f es discontinua). Para la gráfica de la figura b) se tiene que: 0

3 i. lim f ( x) L lim f ( x) L lim f ( x) = = (no existe). 1 x a x a + (por esta razón f es discontinua). ii. f ( a ) (existe). Finalmente, para la gráfica de la figura c) se tiene que: i. lim ( ) lim ( ) lim ( ) f x = f x = L f x = L (existe). x a + x a ii. f ( a ) (existe). iii. lim ( ) = ( ) f x f a Estas tres condiciones son las que en última instancia permiten deducir intuitivamente que la función cuya gráfica aparece en la figura c) es continua en el punto a. Lo anterior nos permite establecer la siguiente definición: Definición: función continúa en un punto Una función f es continua en x condiciones: i. f ( a ) existe. ii. lim ( ) f x Existe. iii. lim ( ) = ( ) f x f a = a si y sólo si se satisfacen las siguientes Continuidad en un intervalo abierto: Una función es continua en un intervalo abierto ( a, b ) si es continua en cada uno de los puntos del intervalo. Una función que es continua en toda la recta real (, ) es continua en todas partes. Observaciones i. Si en la definición anterior sustituimos lim ( ) por lim f ( x) o por lim f ( x) ii. f x se dice entonces que f es continua a la derecha o a la izquierda, respectivamente, del punto x = a. Algunos autores adoptan como definición de continuidad en un punto la condición iii de la definición anterior, esto es, f es continua en x = a si y sólo si lim ( ) ( ) f x = f a. + xa xa, 1

4 iii. Si en la definición de continuidad se hace x a h = +, con a y ( a h) + en el domino de f, se dice entonces que f es continua en a si y sólo si lim ( ) ( ) + =. f a h f a h 0 Discontinuidad y clasificación de las discontinuidades Si al menos una de las tres condiciones establecidas para la función continua deja de cumplirse, se dice que f es discontinua (no continua) en x = a. Si f es discontinua en = x a y lim f xa ( x ) existe pero es diferente de f ( ) a, se dice que la discontinuidad es removible o evitable. En caso contrario, se dice que la discontinuidad es esencial. Así por ejemplo, la gráfica de la figura a) corresponde a la gráfica de una función con discontinuidad removible o evitable en x = a, mientras que la gráfica de la figura b) corresponde a una discontinuidad esencial en x = a. Cuando una función tiene discontinuidad removible en un punto se usa la frase remover la discontinuidad para indicar que se puede redefinir la función haciendo que ( ) ( ) continua en x = a. Ejemplo 1 f a = lim f x, y de esta manera obtener una nueva función xa Considere la función f definida por ( ) x + x < 1 si 0 f x = 3 si x = 0 x + 1 si x > 0 Donde su gráfica es

5 Si se analiza la continuidad de f en el punto x = 0, se tiene que: i. ( ) ( ) lim f x = lim x + 1 = 1 = ( x) x0 x0 lim f 1 (existe) x0 lim f ( x) = lim ( x + 1) = x0 x0 ii. f ( 0) = 3 (existe) lim = 1 0 = 3, lo que indica que f es discontinua en x = 0. Ahora, Pero f ( x) f ( ) x0 como lim f ( x) f ( 0) x0, la discontinuidad es evitable. Se puede entonces remover o evitar la discontinuidad redefiniendo la función de tal forma que lim f ( x) f ( 0) x + x < x0 1 si 0 f ( x) = 1 si x = 0 x + 1 si x > 0 Esta nueva función es continua en x = 0. Teorema 1: Álgebra de funciones continuas =. Esto es, redefiniendo f así: Sean f y g dos funciones continuas en el punto x = a y k una constante. Entonces: 3

6 i. kf es continua en x = a. (Una constante por una función continua es continua.) + es continua en x = a. (La suma de funciones continuas es una ii. ( f g ) función continua.) f g es continua en x = a. (La diferencia de funciones continuas es iii. ( ) una función continua.) f g es continua en x = a. (El producto de funciones continuas es una iv. ( ) v. función continua.) f es continua en = g g a continuas es una función continua.) Consecuencias x a, si ( ) 0. (El cociente de dos funciones a. La función polinómica es continua en todo punto del eje real. b. Una función racional es continua en los puntos que no anulen el denominador de la función. Ejemplo Si ( f + g )( x) es continua en x = a, entonces f ( x ) y ( ) x = a? Solución La implicación formulada es falsa. En efecto, sean x + 1 si x < 0 f ( x) = 0 si x = 0 x 1 si x > 0 ( ) g x 1 si x < 0 = 0 si x = 0 1 si x > 0 Cuyas gráficas aparecen a continuación g x son continuas en 4

7 Puede demostrar fácilmente que f ( x ) y g ( x ) son discontinuas en x = 0 (verifíquelo). Sin embargo, Esto es, ( )( ) ( x ) si x < 0 f + g x = 0 si x = 0 ( x 1) + 1 si x > 0 x si x < 0 f + g x = 0 si x = 0 x si x > 0 ( )( ) o simplemente ( f + g )( x) = x es la función identidad, cuya gráfica es la siguiente y es continua en x = 0. 5

8 Teorema : Límite de la función compuesta Sean f y g dos funciones tales que f es continua en b y lim ( ) entonces, ( ) ( ) ( )( ) ( ( )) ( ) lim f g x = lim f g x = f lim g x = f b xa xa xa g x = b, Como consecuencia se sigue que: si g es continua en a, y f es continua en ( ) g ( a ), entonces ( f g )( x) = f g ( x) es continua en a. Teorema 3: Continuidad de la función valor absoluto y raíz n-ésima La función valor absoluto es continua para todo número real a. Si n es par, la función raíz n -ésima es continua para todo número real positivo y es continua para todo número real a, si n es impar. Teorema 4: Continuidad de las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas Las funciones seno, coseno y exponencial son continuas en todo número real, y las funciones tangente, cotangente, secante, cosecante y logarítmicas son continuas en todo número real en sus dominios. 6

9 Ejemplo 3 Determine en qué puntos la función f x 5 3 x 6x + 1 = x x ( ) cos es continua. Solución x Sea g( x) = 6x x + 5x 3 una función racional continua en todos los reales excepto 1 en x = y x = 3 y por el teorema 4 la función coseno es continua para todos los reales, luego por el teorema f ( x) = h( g( x )) con h( x) = cos x es continua para todos los reales excepto en 1 x = y x = 3. Definición: continuidad en un intervalo cerrado Una función f es continua en un intervalo cerrado [ a, b ] si y sólo si f es continua en el intervalo abierto ( a, b ) y lim f ( x) = f ( a ) y lim f ( x) = f ( b ) + xa xb Es decir, f es continua por la derecha de a y continua por la izquierda de b. Ejemplo 4 Analice la continuidad de. f ( x) = 9 x en el intervalo [ 3,3] Solución La función f ( x) = 9 x es continua en ( 3,3) por el teorema 3, por otro lado, x f continua por la derecha lim 9 = 0 = ( 3) + x3 x = = f continua por la izquierda lim 9 0 (3) x3 Por tanto se puede concluir que f es continua en el intervalo cerrado [ 3,3], como se muestra en la siguiente gráfica. 7

10 Referencia Haeussler, Ernest F, Jr. y Richard, S. Paul. Matemáticas para administración y economía. Pearson Prentice Hall. Décima segunda edición, 008 Larson, R., Edwards, B.H., Hostetler, R.P. Cálculo Esencial. Editorial CEGANGE Learning. Primera edición, 010. Purcell, Edwin. Dale, Varberg y Steven E. Rigdon. Cálculo. Pearson - Prentice-Hall. Novena edición, 007. Simons, Geroge, F. Cálculo y Geometría Analítica. Mc Graw - Hill. Segunda Edición, 00. Del valle sierra, Jesús. Elementos básicos de cálculo diferencial. Editores Ude@. Primera edición. 8