x X y Y. El conjunto X es dominio de la relación y el conjunto Y es el recorrido (rango).

Transcripción

1 Guía de estudio Funciones y sus gráicas. Unidad B: Clase 4 Camilo Ernesto Restrepo Estrada, Lina María Grajales Vanegas y Sergio Iván Restrepo Ochoa Funciones y sus gráicas. Prácticamente en todos los enómenos económicos observamos que una cantidad depende de otra. Por ejemplo, el costo de enviar un paquete por correo depende de su peso, la demanda de un bien depende de su precio. Todos estos son ejemplos de unciones. El concepto más importante en todas las matemáticas es el de unción. Sean X e Y dos subconjuntos de R, una relación entre estos dos, y con subconjuntos es un conjunto de pares ordenados de la orma ( ) X y Y. El conjunto X es dominio de la relación y el conjunto Y es el recorrido (rango). Ejemplo 1 =, 4,6,8,10 Sean { } y = { 1,,3, 4,5} Una relación entre y y puede ser La relación está ormada por los pares ordenados {(,1 );( 4, );( 6,3 );( 8,4 );( 10,5 )} 1 Camilo Ernesto Restrepo Estrada. Facultad de Ciencias Económicas Universidad de Antioquia. Dirección electrónica: milosos@gmail.com. Lina María Grajales Vanegas. Facultad de Ciencias Económicas Universidad de Antioquia. Dirección electrónica: linamaria54@gmail.com. Sergio Iván Restrepo Ochoa. Facultad de Ciencias Económicas Universidad de Antioquia. Dirección electrónica: siro@economicas.udea.edu.co. 19

2 En este ejemplo la relación se puede deinir como: y = ( ) =, con =, 4, 6,8,10 Y se observa que a cada X le corresponde un único y Y, en este caso se dice que la relación es una unción y escribimos y = ( ). La variable se denomina variable independiente y la variable y se conoce como la variable dependiente. En términos sencillos, una unción es un tipo especial de relación que epresa como una cantidad la salida ( y ) depende de otra cantidad la entrada ( ). Esquemáticamente una unción la entendemos de la siguiente orma. La unción es una máquina que a cualquier R le hace el proceso. procesador y = ( ) R Para epresar la dependencia de y con respecto a, se especiica una órmula que muestra lo que debe hacerse con la entrada para obtener la salida y lo denotamos así, y = ( ) Ejemplo Si una cantidad de dinero A = 1000 se deposita al 5% de interés anual durante t años, entonces la cantidad después de los t años completos será t 5 K = ; así, para cada valor de t hay uno de K, por lo que decimos que K es una unción de t y escribimos K = ( t). Deinición: Función real de variable real Sean X e Y dos conjuntos de números reales. Una unción real de una variable real es una regla o correspondencia que asigna a cada número de X un único número real y de Y, que denotamos como y = ( ). En orma esquemática se tiene 130

3 En la ecuación que deine una unción, el papel de la variable es simplemente un hueco a llenar. Por ejemplo, la unción deinida por la órmula 3 ( ) = puede describirse como 3 ( ) = Para evaluar (3), basta colocar 3 en y operar. Entonces, 3 (3) = = 8 En general las letras, g, h, w, etc., se utilizan para representar reglas de unciones. Por ejemplo, la ecuación y = + 1 deine a y como una unción de En este caso, la regla es multiplicar cada por y luego sumar uno. Lo anterior se suele indicar como: y = ( ) = + 1 Observación: Cuando hagamos reerencia a la unción también nos estamos reiriendo a la ecuación que describe la unción o a la gráica de ella; por lo tanto, nos reeriremos indistintamente a la unción, la ecuación y = ( ) o a la gráica de ella. Ejemplo 3 4 Sea g( y) = y y. Obtener g (), g ( ), g ( 1) 131

4 g 4 4 () = = 4 = g( ) = = = = ( ) ( ) g( 1) = = = ( 1) ( 1) 1+ 1 Ejemplo 4 Sea ( ) 4/3 =. Obtener ( 0) 4/3 (0) = 0 = 0, ( 64), ( 1 8) ( ) ( ) = = = = = (64) 64 4/ /3 3 4 ( ) ( ) (1/ 8) = (1/ 8) = 1/ 8 = 1/ = 1/16 Ejemplo 5 Sea ( ) =, determine ( + h) ( ) h y simpliique. Dada ( ) = se tiene que 13 + = h + h + h h + = h h + h h h( + h ) = = = + h h h ( ) ( ) ( + h) ( + h) h h Ejemplo 6 Un negocio con un capital original de $0000 tiene ingresos y gastos semanales de $4000 y $300 respectivamente. Si todas las utilidades se conservan en el negocio, eprese el valor V del negocio al inal de t semanas como una unción de t. El valor V del negocio se puede epresar como la suma del valor inicial más las utilidades semanales. Como los ingresos semanales son $4000 y los gastos son $300, entonces las utilidades semanales son = 800. Por lo tanto, el valor del negocio después de t semanas es

5 Esto es, V = Valor inicial + Utilidad semanal Número de semanas V ( t) = t Dominio y rango de una unción El conjunto X se llama dominio de. El número y de Y se denomina imagen de bajo y se denota como y = ( ). El recorrido de se deine como el subconjunto de Y ormado por todas las imágenes de los números de X. Observación: El dominio de una unción lo entendemos como el conjunto de valores que puede tomar para que la epresión y = ( ) tenga sentido. El dominio de denotado como D es el conjunto de los R que hacen que y = ( ) sea un número real. Esto es, { R / ( ) R} D = y = La epresión y = ( ) se conoce como la imagen de bajo. El conjunto de todas las imágenes en el recorrido de lo denotamos como R. Esto es, { / ( )} R = y Y y = Ejemplo 7 1 Sea ( ) = 5 Para que ( ). Encuentre el dominio de ( ). tenga sentido en el conjunto de los números reales se requiere 1 que la cantidad subradical sea no negativa. Esto es, se requiere que 0 5 Por lo tanto, D 1 = R / 0 5 Entonces, para encontrar el dominio de la unción hay que resolver la 1 1 desigualdad = 0 ; para ello procedemos así; 5 ( + 5)( 5) 133

6 Signos de 1 1 > 0 < 1 1 < 0 > 1 Signos de > 0 > < 0 < 5 Signos de 5 5 > 0 > 5 5 < 0 < 5 El diagrama de signos es el siguiente: Como el dominio es el conjunto de valores de para los que el producto es no negativo, entonces [ ) D = (, 5) 1,5 En la determinación del dominio de una unción también es necesario tener en cuenta las restricciones sobre la variable independiente. Ejemplo 8 Hay que construir una caja abierta con un trozo rectangular de cartulina con 16 pulgadas de largo y 10 de ancho, cortando cuadrados idénticos de pulgadas de lado en cada esquina y doblando las solapas resultantes. Encuentre el volumen de la caja en unción de. Cuál es el dominio de la unción? 134

7 Si el largo de la pieza rectangular es de 16 pulgadas y cortamos pulgadas a cada lado, entonces el largo de la base de la caja es l = 16 ; así mismo, como el ancho es 10 pulgadas, entonces al cortar pulgadas a cada lado se obtiene que el ancho de la base de la caja es a = 10. Además, al doblar las solapas, el alto de la caja es de pulgadas. Por lo tanto, el volumen de la caja es 135 V = V ( ) = largo ancho alto = (16 )(10 ) Como la longitud de cada lado de la caja debe ser mayor que cero, entonces se requiere que > 0 16 > 0 10 > 0 > 0 < 8 < 5 Las tres condiciones anteriores se satisacen de manera simultánea siempre que 0 < < 5. Por lo tanto, el dominio de la unción es el intervalo (0,5). Ejemplo 9 Sea y = 1 i. Encontrar a ii. Encontrar D y R iii. : Trazar la gráica de i) (1) = ( 1) 1 = 1 = 1 = 1 ( ) (1), (0), (3), ( ), (5), ( ), ( ) (0) = 0 1 = 1 Valor que no pertenece a los números reales 1 R ( ) (3) = 3 1 = 6 1 = 5 ( ) ( ) = 1 = 4 1 = 5 R ( ) (5) = 5 1 = 10 1 = 9 = 3 ( ) ( a) = a 1 = 4a 1 = ( ) 1 ii) Para encontrar el dominio de la unción debemos saber que solo podemos sacar una raíz para números positivos y al cero, por tanto: Por tanto 1 0 resolviendo esta desigualdad lineal tenemos ; +

8 D 1 = ; + Para el rango de la unción debemos considerar que el resultado de la raíz será positivo o cero por lo que su recorrido será: R [ 0; ) = y + iii) y ½ Ejemplo10 Sea y = ( ) = i. Encontrar (0), (1), ( 1), (), ( ), ( a), ( ) ii. Encontrar D y R iii. Trazar la gráica de i) (0) = ( 0) 1 = 1 (1) = ( 1) 1 = 1= 1 ( 1) = ( 1) 1 = 1= 1 () = ( ) 1 = 8 1= 7 ( ) = ( ) 1= 8 1= 7 ( ) ( ) ( a) = a 1 = 4a 1 = 8a 1 ( ) ( ) = 1 = 1

9 ii) Por ser una unción polinómica cuadrática el domino son todos los reales D : R. Para encontrar el recorrido (rango) hay que considerar dos cosas, la b primera es su vértice que ocurre en entonces a 0 = ( 0) = ( 0) 1 = ( 0) = 1; la segunda es que como a = > 0 la ( ) R : y 1, + parábola abre hacia arriba y por tanto el recorrido es [ ) iii) y Interceptos eje y = 0: 1= 0 ( )( ) = 0 1 = 0 ó 1 = = ó = Racionalizando = = ;,0,0 Eje y 0 y 1 0, 1 = =, ( ) Se observa que para el ejemplo 10 () = ( ) R. De otra orma, la gráica de ( ) es simétrica con respecto al eje y. Las unciones que son simétricas con respecto al eje y se conocen como unciones pares. Deinición: La unción ( ) es par si y sólo si ( ) = ( ) D, en este caso la gráica de es simétrica con el eje y.

10 La unción es impar si y sólo si ( ) = ( ) D, en este caso la gráica de es simétrica con el origen. Ejemplo11 Sea ( ) = i. Epresar sin valor absoluto ii. Obtener ( 1), ( ), (), ( ) iii. Obtener D y R y determinar si es par o impar iv. Trazar la gráica de = i) ( ) Necesitamos determinar donde 1 0, con el objetivo de reormular ( ) Factorizando tenemos que ( 1 )( 1+ ) 0.. Con = + i = = 0 + i + = + = i + = Y por deinición del valor absoluto se sigue que 1 si = ( 1 ) si > 1 < 1 Usando esta inormación tenemos ( ) ( ) si 1 1 = ( 1 ) + 3 si > 1 < si 1 1 = + si > 1 < 1 ( 1) = ( 1) = 3 ii) ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) = 3 + 3= 3+ 3= 6 = 6 () = + = 6 138

11 ( ) ( ) = ( ) = iii) El dominio de la unción son todos los reales: : R : y 3; + D R, [ ) ( ) ( ) = = Es par ( ) ( ) = 1 ( ) + 3 = = Es par y Ejemplo1 Sea ( ) = i. Evaluar ( 3), ( ), (0), (3), (4) ii. Epresar sin valor absoluto iii. Obtener D y R y determinar si es par o impar iv. Trazar la gráica de i) ( ) = ( ) 3 5 ( 3) = = =

12 ( ) 4 ( ) = = = (0) = = = (3) = = = (4) = = = 1 4 ( ) = 0 si < ( ) = ( ) si > Nota: Para ( ) esté deinida para evitar división por cero. ( ) ( ) = ( ( ) ) 1 si < ( ) = 1 si > iii) D : R { } R : y { 1,1} ( ) ( ) si < si > + = = No es ni par, ni impar 140

13 Una unción ( ) es uno a uno o inyectiva cuando a cada y Y le corresponde un único en X. Es decir, ( ) es uno a uno o inyectiva si dado ( 1 ) = ( ) entonces 1 =.. Por ejemplo, y = ( ) = no es uno a uno ya que 4 es la imagen de y de -. Para determinar si una unción es uno a uno podemos usar el criterio de la recta horizontal. Este criterio nos dice que una unción es uno a uno si toda recta horizontal corta a la gráica de en un punto a lo sumo. ( ) es uno a uno ( ) no es uno a uno Una unción que es uno a uno o sobreyectiva se dice biyectiva. 141

14 Algunas unciones especiales 1) Función constante Una unción de la orma ( ) = k, donde k es una constante (número real). ) Función identidad Es una unción de la orma ( ) 3) Funciones algebraicas Una unción algebraica es aquella que se puede epresar como un número inito de sumas, productos, cocientes y raíces de potencias de. Por ejemplo, = ( ) = + 1 h( ) = r( ) = Función racional 4 g( ) = Función polinómica El tipo más común de unción algebraica es la unción polinómica. 3.a) Una unción polinómica de grado n es una unción de la orma ( ) = a + a a + a con a, a... a, a R y a 0 y R n n 1 n n n n n El dominio de una unción polinómica son todos los números reales. ( ) = g( ) = 7 + g( ) = 3.b) Funciones racionales Sean P( ) y Q( ) dos unciones polinómicas de grados n y m, respectivamente. Una unción racional es una unción de la orma P( ) ( ) = con Q( ) 0 Q( ) 14

15 El D = { R / Q( ) 0} Ejemplo 13 Encuentre el dominio de la unción ( 1)( + 3) ( ) = = ( ) = 4 ( 1)( + 3) D { 0; 1 ; 3 } = R Aplicaciones en economía: Notación en economía. Algunos términos básicos en economía son los siguientes: Términos básicos Fórmulas básicas. : Es el número de unidades producidas (o vendidas) p : Precio por unidad R : Ingresos totales por la venta de unidades. R = p C : Coste total de producción de unidades. π : Es el beneicio total de vender unidades π = R C El punto de equilibrio es el valor de para el que R = C. Además, el precio unitario p también se conoce como unción de demanda. Ejemplo 14 Un restaurante de comidas rápidas calcula que la demanda mensual de hamburguesas es p = 0000 También sabe que el costo total de producción es C = Obtener una epresión para los ingresos totales y para el beneicio total; obtenga además el punto de equilibrio. 143

16 : ( ) I = Precio Cantidad I ( ) = = B = I C ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ,56) B B( ) = ( ,56) = B( ) = Para obtener el punto de equilibrio se hace B( ) = 0 Al resolver ésta ecuación cuadrática se tiene que y Ejemplo 15 Una compañía reembolsa a su representante de ventas con $US 150 diarios por alojamiento y comidas más 30 centavos por milla recorrida. Escribir una unción lineal que eprese el costo diario c para la compañía en términos de, el número de millas recorridas. Sea c = Costo de la compañía y =millas recorridas, como la compañía remunera con 150 diarios independientemente de las millas recorridas, entonces el intercepto del modelo es b = 150y como da 0,3 por milla recorrida, entonces la pendiente es m = 0.3; por lo tanto, el modelo lineal para el costo es: c = ( ) = m + b = Ejemplo 16 Un empleado dispone de dos opciones a puesto en una gran corporación. En un puesto le pagan $US 1.5 por hora más un suplemento de $US 0.75 por unidad producida. En el otro, le pagan %US 9. por hora más un suplemento de $US 1.3 por unidad producida. a) Encontrar unciones lineales que epresen los salarios por hora W en términos de, el número de unidades producidas por hora, para cada una de las opciones. b) Representar gráicamente las unciones de los salarios y encuentre el punto de intersección de las dos unciones de salarios. 144

17 c) Interpretar el signiicado de del punto de intersección de las gráicas. Cómo usaría esta inormación para seleccionar la opción correcta si su objetivo uera obtener el mayor sueldo por hora? Sea W = salario por hora y = unidades producidas por hora a) Para encontrar unciones lineales que epresen el salario por hora en cada puesto procedemos así: Puesto 1: Como la remuneración ija por hora es 1.5 y por unidad adicional el salario se incrementa en 0.75 dólares, entonces el intercepto esb = 1.5 y la pendientes es m = 0.75; por lo tanto, el salario en este puesto viene dado como w1 = ( ) = m + b = Puesto : Como en este puesto, la remuneración ija por hora es 9. y se incrementa en 1.3 dólares por unidad adicional, entonces el intercepto es b = 9. y la pendientes es m = 1.3; por lo tanto, el salario en este puesto viene dado como w = ( ) = m + b = b) Para encontrar el punto de intersección de los salarios igualamos el salario en los dos puestos y esto se hace así: w1 = w = = = = = Este valor quiere decir que si se producen = 6 entonces el salario es el mismo en las dos opciones de trabajo y es w = (6) = 1.3* = 0.75* = 17 Para la representación gráica de estas rectas tenemos en cuenta que las dos pasan por el punto( 6,17 ), la primera ( 0,1.5) y la segunda para por el punto( 0,9. ). La gráica de estas dos unciones está en la siguiente igura: 145

18 c) Interpretación: El punto de intersección de los salarios es = 6 y w = 17, esto signiica que si se producen 6 unidades la hora, entonces es indierente el puesto que se elija; ahora, la igura anterior nos muestra que si se producen menos de 0 6 unidades por hora, entonces es más alto el salario de la primera opción y si se producen más de = 6 unidades por hora, entonces es más conveniente la opción de trabajo. Ejemplo 17 Un abricante puede producir grabadoras a un costo de $US 40 la unidad. Se estima que si las grabadores se venden a un precio de dólares cada una, los consumidores comprarán 10 de éstas al mes. Epresar la utilidad de la compañía como una unción del precio unitario, dibujar la gráica de esta unción y utilícela para estimar el precio óptimo de venta, el beneicio optimo y determine el dominio y recorrido de esta unción. Utilidad = y = Ingresos costos totales Sea = precio de venta, a este precio la demanda es 10. Por lo tanto los ingresos de la compañía son: Ingresos = (10 ) 146

19 Además, como el costo unitario es de 40 dólares y las unidades abricadas son 10, entonces el costo total de producción es: Costos = 40(10 ) Por lo tanto, la utilidad es (10 ) 40(10 ) ( 40)(10 ) y = = = La ecuación anterior corresponde a una parábola vertical que se abre hacia abajo a partir de su vértice. Para encontrar el vértice procedemos así: ( 160 ) y = y + = A continuación completamos el cuadrado del lado derecho, para ello tenemos en cuenta que 160 es el doble producto y por tanto al interior del paréntesis se suma y resta 160 = 80 al cuadrado como se observa a continuación: y = ( ) y = ( ) + 80 y = ( 80) y 1600 = ( 80) Entonces, el vértice es (80, 1600). Como la parábola se abre hacia abajo a partir del vértice, entonces podemos airmar que en el precio = 80s e produce la máima demanda y es 1600 unidades. Para la representación gráica buscamos las intersecciones con el eje, para ello hacemos y = 0en la ecuación y se obtiene 0 = ( 40)(10 ) = 40 = 10 Por lo tanto las intersecciones con el eje son: (40, 0) y (10, 0). La gráica de esta ecuación es la siguiente: 147

20 4) Función compuesta o por tramos: En muchas situaciones es necesaria más de una epresión paraa deinir una unción; este tipo de unciones se conocen como unciones por tramos. Ejemplo 18 Graicar las siguientes unciones < 1 si 1 y = + 3 si si > 3 si 1 y = + 1 si 1< < 10 si si < 1 1. y = + 3 si si > 3 148

21 . si 1 y = + 1 si 1< < 10 si 10 Ejemplo 19 Una compañía de maquinaria tiene un plan de incentivos para sus agentes de ventas. Por cada máquina que un agente venda la comisión es $40 y ésta se incrementa en $0.04 por cada máquina vendida por arriba de 600 unidades. Eprese la comisión como una unción del número de unidades vendidas. 149

22 Sea el número de unidades vendidas por un agente de ventas. Entonces, Si vende de 600 unidades o menos, la comisión será 40 Si vende más de 600 unidades, la comisión se incrementa en 0.04 por cada máquina vendida por encima de 600; entonces, en este caso la comisión será ( 600) Por lo tanto, la unción ( ) para determinar la comisión de un trabajador en término del número de unidades vendidas es: 40 si 600 ( ) = ( - 600) si > 600 Transormaciones de unciones (c > 0 ) y = Gráica original: ( ) Traslación horizontal c unidades a la derecha: y = ( c) Traslación horizontal c unidades a la izquierda: y = ( + c) Traslación vertical c unidades hacia abajo: y = ( ) c Traslación vertical c unidades hacia arriba: y = ( ) + c Releión (respecto al eje ): y = ( ) Releión (respecto al eje y ): y = ( ) Releión (respecto al origen): y = ( ) Ejemplo 0 Use la gráica de la unción unciones g( ) = + 1, La gráica de la unción h( ) = ( + 1) y y = ( ) = para obtener la gráica de las l( ) = y = ( ) = es una parábola abierta hacia arriba, cuyo vértice es el punto (0,0) y la gráica de g( ) es la gráica de ( ) con un desplazamiento vertical de una unidad hacia arriba, como se muestra en la siguiente gráica. 150

23 Y la gráica de h( ) es la gráica de ( ) con un desplazamiento horizontal a la izquierda de una unidad, como se muestra en la siguiente gráica. 151

24 Y la gráica de y = ( ) = l( ) = es la releión con respecto al eje de la gráica de Reerencia Haeussler, Ernest F, Jr. y Richard, S. Paul. Matemáticas para administración y economía. Pearson Prentice Hall. Décima segunda edición, 008 Larson, R., Edwards, B.H., Hostetler, R.P. Cálculo Esencial. Editorial CEGANGE Learning. Primeraedición, 010. Arya, Jagdish y Robin, W. Lardner. Matemáticas Aplicadas a la administración y a la economía. Pearson - Prentice-Hall. Cuarta edición, 00. Demana, Franklin D., Waits Bert K., Foley Gregory D., Kennedy Daniel. Precálculo. Gráico, numérico y algebraico. Peason Addison Wesley. Séptima Edición, 007. Purcell, Edwin. Dale, Varberg y Steven E. Rigdon. Cálculo. Pearson - Prentice-Hall. Novena edición, 007. Simons, Geroge, F. Cálculo y Geometría Analítica. Mc Graw - Hill. Segunda Edición, 00. Stewart, James. Cálculo Conceptos y contetos. Editorial Thomson. Tercera edición, 006. Sydsaeter, Knut. Hammond, Peter. J. Matemáticas para el análisis económico. Pearson Prentice-Hall. Primeraedición,