Continuidad. Matemática

Transcripción

1 Xº Año Cód B e t i n a C a t t a n e o Dpto. de Mat emáti ca

2 I) INTRODUCCIÓN: En nuestra vida diaria aparecen numerosos fenómenos que tienen un comportamiento continuo como, por ejemplo, el desplazamiento de un vehículo que varía en forma continua con el tiempo, pero así también otros que presentan discontinuidades como las corrientes eléctricas. Al referirnos a un proceso continuo intuitivamente se puede pensar en un acontecimiento n interrupciones ni cambios abruptos. Cuando deseamos representar algunos valores que se van recopilando de determinadas eperiencias, por aplicación de una función, es frecuente que los puntos que se van obteniendo, es poble, se unan mediante una curva continua, en lugar de saltar de un punto a otro, n tomar en cuenta los valores intermedios. Geométricamente, cualquier función, cuya gráfica, se puede trazar en su dominio, n levantar el lápiz de la hoja de papel, es un ejemplo de función continua. En el desarrollo de este tema nos proponemos precisar qué gnifica que una función sea continua. II) DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD Continuidad en un punto Definición: f Una función f es continua en c, se cumplen las guientes condiciones: f() f(c) c º) eista f(c), es decir, c pertenece al dominio de la función º) eista f() ; es decir, c f() f() c c c 3º) f() f(c) c Continuidades laterales Definiciones: f() f(c) c c f Una función f es continua por derecha en c, con c a; b, se cumplen las guientes condiciones: º) eista f(c), es decir, c pertenece al dominio de la función º) eista 3º) c f() c f() f(c) P O L I T E C N I C O

3 f() f(c) c c f Una función f es continua por izquierda en c, con c a; b, se cumplen las guientes condiciones: º) eista f(c), es decir, c pertenece al dominio de la función º) eista 3º) c f() c f() f(c) Continuidad de una función en un intervalo abierto (a; b) Definición: Una función f es continua en un intervalo abierto (a; b), y solo la función es continua en todos los puntos del mismo. Continuidad de una función en un intervalo cerrado [a; b] Definición: Una función f es continua en un intervalo cerrado [a; b] es continua en el intervalo abierto (a; b) y es continua por la derecha de a y continua por la izquierda de b. Si una función f no es continua en un punto c, diremos que f es discontinua en c o que c es un punto de discontinuidad de f. Ejemplos: ) Observando la gráfica podemos concluir que la función f() es: f continua en = - ya que f() f() f( ) 0 continua por derecha en = ya que f() f() discontinua en = ya que f() f() 3 ) Observando la gráfica podemos concluir que la función f() es: y discontinua en pues no eiste discontinua en 6 pues f() 6 f() f(6) continua por derecha en = pues f() f() P O L I T E C N I C O 3

4 3) La función 0 f () es: 0 y continua por la derecha en = 0 pues f() f(0) 0 discontinua en = 0 pues no eiste f() En los casos anteriores analizamos la continuidad de las funciones observando su gráfica. En lo que gue, lo haremos utilizando como recurso analítico, el concepto de continuidad y las propiedades de los límites, n recurrir a la gráfica. Ejemplos a. La función Para probar que la función demostrar que: 4 4 g () 4 es continua en c 4? g () 4 es continua en c 4 4, hay que º) Eista g( 4) : g( 4) 8 º) Eista g() : g() g() Por lo tanto g () no es continua en c = -4 no eiste g() 4 b. La función 5 g() es continua en c 5? Siguiendo el ejemplo anterior: º) g(5) 0 P O L I T E C N I C O 4

5 g() º) g() º) g() g(5) g() 5 0 Por lo tanto g () es continua en 5 sen c. La función g() 4 º) g() 4 Ejercicios: es continua en c? sen sen º) g() g() g() : Por lo tanto g () no es continua en sen - Analiza, justificando la respuesta, que la función g () es continua en c en cada caso. a. g () ; c b. g() ; c - Determina el valor de M, eiste, para que la función f() sea continua en = c sen 4 a. f() ; c = b. f() ; c = M 5 M III) CLASIFICACIÓN DE DISCONTINUIDADES Teniendo en cuenta la definición de continuidad en un punto, podemos concluir que las discontinuidades se pueden dar por las guientes causas: No pertenecer el punto al dominio de la función, es decir, no eiste la imagen en dicho punto La no eistencia del límite en el punto En el caso de eistir la imagen y el límite en el punto, ambos no coincidan P O L I T E C N I C O 5

6 Ejemplos: a) b) c) d) e) y En todos los casos vistos anteriormente, la función f presenta una discontinuidad en. La misma se presenta debido a: Ejemplo a: Ejemplo b: No eiste la imagen en = Eiste la imagen en = pero no coincide con el límite en dicho puntos Ejemplos c; d y e: Definiciones: Diremos que: No eiste el límite en dicho punto f presenta en c una discontinuidad evitable o einable cuando eista el f() (en c nuestros ejemplos, se presenta una discontinuidad evitable en c = para los casos a y b) P O L I T E C N I C O 6

7 f presenta en c una discontinuidad inevitable o no einable cuando no eista el f() (en nuestros ejemplos, se presenta una discontinuidad inevitable en c = para c los casos c; d y e) IV) PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS Si la funciones f() y g() son continuas en = c, entonces las guientes funciones son continuas en = c. f g k.f ) 4) ) f g 5) f / g 3) f.g g c 0 Las demostraciones de estas propiedades no se realizará en el presente curso Consecuencias de las propiedades anteriores Puede demostrarse, aplicando las propiedades anteriores y la definición de continuidad, que los guientes tipos de funciones son continuas para todo c de su dominio: Constante: f() k, k R Potencia: n f(), n N n n Polinómicas: f() an an... a a0, n N0 Racionales: Raíz: P() f(), endo P() y Q() funciones polinómicas Q() f() n, n N- Eponenciales: Logarítmicas: f() a, a R - f() log a, a R - Trigonométricas y sus inversas (seno, coseno, tangente, cosecante, secante, cotangente y sus respectivas inversas) Teorema Si f es una función continua en c y g es continua en f(c), entonces la función compuesta gof es continua en c, con c perteneciente al dominio de la compoción. En símbolos: H) f es una función continua en c y g es continua en f(c) T) gof es continua en = c P O L I T E C N I C O 7

8 La demostración de este teorema no se realizará en el presente curso Ejemplos: - Dada la función f() 5 4, analizaremos su continuidad en, para ello deberemos probar que f() f(). Entonces: () 4 es continua en = por ser función polinómica () 4 3 (3) () 5 es continua en = 3 por ser función raíz 5 4 f() () (3) Teorema Dada la función f() 5 Solución: a) a) Realiza la gráfica b) Analiza la continuidad de f() en los reales especificando los tipos de discontinuidad y justificando la respuesta. c) Determina A ( eiste) para que g() sea continua en = 3 f() 3 g () A 3 d) Determina B ( eiste) para que h () sea continua en = 0 f() 0 h () B 0 y b) 3 la función es continua por ser una función constante 0 3 la función es continua por ser una función constante 0 la función es continua por ser una función constante P O L I T E C N I C O 8

9 Para = 3 la función presenta una discontinuidad evitable ya que eiste el límite en dicho punto y vale Para = 0 la función presenta una discontinuidad inevitable ya que no eiste el límite en dicho punto pues los límites laterales son distintos c) A = d) no eiste B tal que la función sea continua en 0 Ejercicios: 3- Indica los puntos en los cuales la función dada en cada caso es discontinua y luego clafícalas a. f() b. f() c. f() 4- Demuestra que cada una de las guientes funciones es continua en el intervalo indicado a) f() ; ; 0 c) f 5 () sen ; 0 ; b) e 0 f 4 6 () ; ; 0 Teorema Teorema del valor intermedio (TVI) Si f es una función continua en a ;b, entonces f toma todos los valores entre f(a) y f(b). Es decir, una función f es continua en a ;b, entonces eiste al menos un c perteneciente al a ; b tal que f(c) = k con k entre f(a) y f(b). En símbolos: H) f es una función continua en ;b número entre f(a) y f(b) T) c a;b tal que f(c) k a y k un La demostración de este teorema queda fuera del alcance de este curso, solo haremos su interpretación geométrica. y f(b) k f(a) a c c c 3 b P O L I T E C N I C O 9

10 Una consecuencia del teorema del valor intermedio Un problema matemático frecuente es saber una ecuación tiene raíces reales. El teorema anterior se puede particularizar de la guiente manera: Teorema 3 Teorema de Bolzano Si f es una función continua en a ;b y el gno de f(a) es distinto al gno de f(b), entonces f presenta alguna raíz en a ; b. Gráficamente, este teorema asegura que la gráfica de una función continua y con imágenes de distinto gno en los etremos del dominio, corta al eje en al menos un punto. En símbolos: H) f es una función continua en ;b gno de f(a) distinto al gno de f(b) c a;b tal que f(c) 0 T) a y La demostración de este teorema queda fuera del alcance de este curso, solo haremos su interpretación geométrica. y f(a) o a c b f(b) Ejemplo: La función f() 3 5 tiene al menos una raíz en el intervalo 4; 4. Según el teorema anterior la función es continua en ese intervalo y los gnos en los etremos son distintos, asegura que eiste por lo menos un cero en el intervalo abierto. Entonces: f() es continua en - 4; 4por ser función polinómica () Ejercicio: f(-4) 3 0 f(4) Demuestra que la ecuación c 4; 4/ f(c) tiene una solución real entre 0 y. BIBLIOGRAFÍA: P O L I T E C N I C O 0

11 * MATEMÁTICA II N. Buschiazzo, E. Fongi, M. Inés González, L. Lagreca Editorial Santillana (Edición 000) * PRECÁLCULO. MATEMÁTICAS PARA EL CÁLCULO James Stewart, Lothar Redlin, Saleen Watson Editorial Cengage Learning / Thomson Internacional. (Edición 007) * CÁLCULO. TRASCENDENTES TEMPRANAS. Cuarta Edición - James Stewart - Editorial Cengage Learning / Thomson Internacional. (Edición 00) * CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL - Novena Edición - Edwin Joseph Purcell, Edwin Joseph Purcell Dale Varberg Editorial Pearson Educación (Edición 007) P O L I T E C N I C O