1. Desigualdades lineales

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Manuel Rodríguez Sandoval
hace 6 años
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1 Guía de estudio Desigualdades lineales y no lineales Unidad A: Clase 21 Camilo Ernesto Restrepo Estrada, Lina María Grajales Vanegas y Sergio Iván Restrepo Ochoa Desigualdades lineales Desigualdades orden en R Definición: Los símbolos < ( es menor que ) y >( es mayor que ) se definen como sigue: i. a b si y sólo si a b es positivo está a la derecha del Ejemplo < 5 pues 5 3 = 2 que es positivo 2. 7 > 6 pues 7 = 1 que es positivo Así, R { R / 0} + = x x > = números a la derecha del cero Definición: Los símbolos ( es menor que o igual a ) y ( es mayor que o igual a ) se definen a b como sigue i. a b si y sólo si a b ó a = b Las expresiones a < b, a > b, a b y a b se llaman desigualdades, las dos primeras se llaman desigualdades estrictas y las otras dos desigualdades condicionales Observación: Geométricamente puede demostrarse que a < b está a la izquierda de b en la recta real. si y sólo si a 1 Camilo Ernesto Restrepo Estrada. Facultad de Ciencias Económicas Universidad de Antioquia. Dirección electrónica: milosos@gmail.com. Lina María Grajales Vanegas. Facultad de Ciencias Económicas Universidad de Antioquia. Dirección electrónica: linamaria54@gmail.com. Sergio Iván Restrepo Ochoa. Facultad de Ciencias Económicas Universidad de Antioquia. Dirección electrónica: siro@economicas.udea.edu.co. 113

2 Teorema: Propiedades de las desigualdades En las siguientes propiedades a, b, c, d y k representan números reales cualesquiera 1. Transitiva: Si a < b y b < c, entonces a < c Ejemplo 1 2 < 5 y 5 < 7 2 < 7 2. Aditiva: Si a 0, ( k negativo) entonces ak < bk al multiplicar una desigualdad por un número positivo la desigualdad se mantiene. Ejemplo4 1 1 < 3 y 2 R 2 < 3 2 1< Si a bk al multiplicar una desigualdad por un número negativo, el sentido de la desigualdad se invierte. Observación: Se obtiene propiedades válidas análogas a las anteriores si sustituimos < por y > por. Ejemplo 5 Probar la propiedad ( 1 ) del teorema anterior. Esto es, probar Si a < b y b < c, entonces a < c Q P 114

3 Si P es cierta entonces Q también lo es. Prueba: ( ) ( ) ( b a) R y ( c b) a 0 y c b > 0 R ( b a) ( c b) 0( suma de es ) + > R R ( c a) 0 > c > a Observación: el número c está entre a y b cuándo a < c y c < b y escribimos a < c < b. Muchos problemas involucran subconjuntos de los números reales. Los subconjuntos más frecuentes utilizados son los intervalos de la recta real. Los intervalos de la recta real se resumen en el siguiente cuadro Clases de Intervalo Intervalo abierto Intervalo cerrado Notación de conjunto Notación de intervalo { x R a < x < b} { x R a x b} ( a, b ) [ a, b ] { x R a < x b} ( a, b ] { x R a x < b} [ a, b ) { x R x < b} (,b) { x R a < x} ( a, ) { x R x b} (,b] { x R a x} [ a, ) Recta real { x R } (, + ) Intervalo semiabierto Intervalos no acotados abiertos Intervalos no acotados cerrados Solución de desigualdades Resolver una desigualdad consiste en encontrar el conjunto de todos los números reales que la satisfacen; dicho conjunto se llama conjunto solución de la desigualdad y la denotamos como CS 115

4 Diremos que el número real a es solución de una desigualdad si al reemplazar x por a en la desigualdad esta se cumple. Ejemplo 6 x x a. Para la desigualdad 2 < Se tiene que x = 0 el número real es solución de la desigualdad puesto que = 2 < + 10 = 10, mientras que x = 240 no es solución pues = 78 > + 10 = Para resolver la desigualdad procedemos así: x x 2 < x x < inverso aditivo suma a ambos lados 3 4 x < 12 x < Entonces, el conjunto solución de la desigualdad es { R } ( ) C. S = x / x < 144 =,144 Resolver las siguientes desigualdades lineales b.3x 9 < 7 3x 9 < 7 3x < x < x < 3 Entonces, el conjunto solución de la desigualdad es: CS = x / x < =, 3 3 c. + 7 < 3x + 9 < x < 3x + 9 < x < 3x + 9 3x + 9 < x

5 7 9 < 3x 2 x 3x x < < x < 11 2 < x x < 11/ 2 Por lo tanto, el conjunto solución de la desigualdad es: { / 2 11/ 2} ( 2,11/ 2) CS = x < x x < = Las desigualdades anteriores son lineales, esto es, solo involucran polinomios de primer grado que tiene la forma ( ax + b) b El cero o raíz de esta clase de polinomios es x = se puede mostrar que el a b signo de este tipo de polinomio solo cambia en x = a 2. Desigualdades no lineales Para resolver desigualdades que involucran polinomios de grado superior usaremos el hecho de que un polinomio solo cambia de signo en sus ceros o raíces y también utilizaremos la ley de signos. Definición: Un polinomio de grado n en la variable xes una expresión de la P x a x a x a x a = n + n donde an, an 1... a1, a0 n n 1 forma ( ) numéricos y an 0 son coeficientes Diremos que x = b es un cero o raíz de P( x ) n n 1 ( ) P b = a b + a b a b + a = 0 n n si Para resolver desigualdades en las que intervienen polinomios de grado n se procede de la siguiente forma i. Transforma la desigualdad hasta comparar con cero ii. Obtenemos los ceros o raíces reales del polinomio y lo factorizamos iii. Ordenamos los ceros del polinomio en la recta real iv. Buscamos los signos del polinomio en cada uno de los intervalos determinados por los ceros v. Usamos la ley de signos para obtener el conjunto solución de la desigualdad 117

6 Ley de signos Sean a y b expresiones algebraicas entonces i. a b > 0 si y solo si ( a > 0 y b > 0 ) o ( a < 0 y b < 0) es decir " + " " + " = " + " " " " " = " + " a b < 0 si y solo si a < 0 y b > 0 o a > 0 y b < 0 ii. ( ) ( ) es decir " " " + " = " " " + " " " = " " Estas leyes también se cumplen para cocientes Nota: También hay que tener en cuenta que a b = 0 si y sólo si a = 0 o b = 0 Ejemplo 7 Resolver para xlas siguientes desigualdades. Exprese la solución en forma de intervalo y represéntela sobre la recta real: x 1 a). x + 5 x 3 Solución Para resolver la desigualdad procedemos de la siguiente forma x 1 x + 5 x 3 x 1 0 x + 5 x 3 2 x( x 3) ( x + 5) x 4x 5 0 0, ( x + 5)( x 3) ( x + 5)( x 3) factorizando el numerador obtenemos ( x 5)( x + 1) 0 ( x + 5)( x 3) Esta fracción será menor o igual a cero cuando el numerador y denominador tengan signos contrarios. Para encontrar la solución buscamos los signos de cada uno de los factores que aparecen en la última expresión. Todos los factores son lineales; por lo tanto, sólo tienen un cero. El cambio de signo de cada uno de los factores se produce en el cero del factor. 118

7 Signos de x 5: 5 < 0 Signos de x +1: +1< 0 Signos de x +5: + 5 < 0 Signos de x 3: 3 < 0 x x < 5 x x < 1 x x < 5 x x < 3, en otro caso el signo será positivo., en otro caso el signo será positivo, en otro caso el signo será positivo, en otro caso el signo será positivo Los ceros de esos factores se producen en 5, -1, -5 y 3. A continuación ubicamos los ceros en la recta real y realizamos el producto de signos, los signos de la fracción están en la parte superior del diagrama: Como la desigualdad es de menor o igual entonces, la solución se obtiene de la figura anterior cuando el producto de signos sea negativo. Además, en el conjunto solución se incluyen los ceros del numerador, pues la desigualdad es menor o igual a cero y no se incluyen los ceros del denominador. Entonces, el conjunto solución es { } ( ] ( ] C. S = x / 5 < x 1 3 < x 5 = 5, 1 3,5 b) 1 x + 4 Solución Para resolver esta desigualdad procedemos de la siguiente forma: x + 4 x Al efectuar la suma indicada, la desigualdad 3x 2 anterior se transforma en: 0. Para encontrar la solución de esta última desigualdad utilizamos el método de los signos, así: Signos de 3x 2 : 3 x 2 > 0 x > 2 3, en otro caso el signo es negativo. Signos de : 2 x > 0 x > 3, en otro caso el signo será negativo. Los ceros de esos factores se producen en 3 2 y 3. A continuación ubicamos los ceros en la recta real y realizamos el producto de signos. Debido a que la 119

8 desigualdad es condicional, los ceros del numerador harán parte del conjunto solución. Como la desigualdad es mayor o igual entonces, la solución se obtiene de la figura anterior cuando el producto de signos sea positivo incluyendo los ceros del numerador en la solución; así, el conjunto solución es: x + 4 c) { 3 } ( 3] ( ) C. S = x R / < x 3 < x < =, 3, + Solución Para resolver esta desigualdad procedemos de la siguiente forma: x + 4 x + 4 ( ) 10 x Los ceros de los factores de la expresión anterior son x = 10 y x = 3. Estos ceros o raíces dividen la recta real en tres intervalos, y se realiza la ley de signos como se muestra en la siguiente figura. Como la desigualdad es menor o igual entonces, la solución se obtiene de la figura anterior cuando el producto de signos sea negativo incluyendo los ceros del numerador en la solución; así, el conjunto solución es: CS = (,3) [ 10, ) 120

9 Referencias Purcell, Edwin. Dale, Varberg y Steven E. Rigdon. Cálculo. Pearson - Prentice-Hall. Novena edición, Stewart, James. Cálculo Conceptos y contextos. Editorial Thomson. Tercera edición,2006. Díez M, Luis H. Matemáticas Operativas. Primer año de universidad, preuniversitarios y semiileros, Lina Díez editora,

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