Guía de estudio Operaciones con fracciones algebraicas Unidad A: Clase 10

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1 Guía de estudio Operaciones con fracciones algebraicas Unidad A: Clase 10 Camilo Ernesto Restrepo Estrada, Lina María Grajales Vanegas y Sergio Iván Restrepo Ochoa Repaso del álgebra. 1.1 Introducción Para comprender que es el álgebra empecemos con el siguiente acertijo: Piense en un número Súmele 10 Multiplique el resultado por Réstele 6 al resultado anterior Divida entre dos el resultado anterior. Reste el número que pensó inicialmente La respuesta que obtiene siempre es siete (7) Si ensayamos con muchos ejemplos concretos podremos observa que el resultado siempre será 7. Por ejemplo, Si el número en el que pensamos fue 9 Al sumar 10 obtenemos 9 Al multiplicar por obtenemos 78 Al restar 6 obtenemos 7 Al dividir por obtenemos 6 Al restarle 9 que es el número inicial obtenemos que el resultado es 7 El problema que observamos es que el cálculo en muchos ejemplos específicos no nos da ninguna idea de por qué la respuesta es siempre siete (7), independiente del número que elijamos. Si los ejemplos concretos no nos ayudan a entender el problema, entonces Qué podemos hacer? 1 Camilo Ernesto Restrepo Estrada. Facultad de Ciencias Económicas Universidad de Antioquia. Dirección electrónica: milosos@gmail.com. Lina María Grajales Vanegas. Facultad de Ciencias Económicas Universidad de Antioquia. Dirección electrónica: linamaria54@gmail.com. Sergio Iván Restrepo Ochoa. Facultad de Ciencias Económicas Universidad de Antioquia. Dirección electrónica: siro@economicas.udea.edu.co. 69

2 Podemos tratar de pensar con cierto nivel de generalidad. Tan simple como sea posible, pero no demasiado simple. Los matemáticos maestros del antiguo Egipto tenían una forma simple y general de pensar sobre estas cuestiones. Llamaban al número desconocido montón, que significa cierto número fijo aunque es desconocido (la incógnita) y los números los representaban con asteriscos. Veamos el cálculo de la situación anterior con montones, así: Piense en un número como un montón: Súmele diez: * * * * * * * * * * Multiplicar el resultado por : * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Al restar seis (6) se obtiene: * * * * * * * * * * * * * * Al dividir por dos obtenemos: * * * * * * * Al restar el montón que pensamos uncialmente obtenemos * * * * * * * = 7 Entonces, la respuesta es 7. Fácil, no! Creámoslo o no, acabamos de hacer dos cosas que por lo general consideramos que son difíciles: la primera es álgebra y la otra es una demostración. El álgebra es una clase de razonamiento simbólico que trata con números sin conocer sus valores reales. Las demostraciones proporcionan una garantía de una vez por todas de que las líneas de razonamiento funcionan siempre. En lugar de comprobar con muchos ejemplos concretos, utilizamos un argumento para demostrar que el método siempre funciona, lo que en este caso significa que la respuesta siempre es siete (7), independiente del valor del montón inicial. 70

3 De todas formas, es necesario observar que nuestra demostración, con los dibujos de montones y asterisco, no se parece mucho al álgebra, pero es ton sólo una cuestión de notación. Para que se parezca al algebra vamos a reemplazar montón por una letra del alfabeto (usualmente utilizamos la x para nuestra incógnita) y los asteriscos por números. De esta forma, la demostración es ahora la siguiente: Piense en un número y llámelo x Súmele diez (10) y obtiene x + 10 Multiplique el resultado por dos y obtiene x + 0 Reste seis al resultado anterior y se obtiene x + 14 Divida entre dos el resultado anterior y se obtiene x + 7 Reste el número que pensó y se obtiene 7 Entonces, independientemente del número que pensó inicialmente, el resultado es 7. Operaciones con expresiones algebraicas Si se combinan números, representados por símbolos, mediante una o más operaciones de suma, resta, multiplicación, división, exponenciación o extracción de raíces, entonces la expresión resultante de llama expresión algebraica. Ejemplo 1 Expresiones algebraicas a. x 5 x 10 x es una expresión algebraica b y + es una expresión algebraica en la variable y 7 + y ( x + y c. ) xy + es una expresión algebraica en las variables x y y y La expresión algebraica 5ax bx Algunos de los factores del primer término, + consta de tres términos: 5 ax, son + 5 ax, - bx, + 5, a, x, x, x, 5 ax, ax. También 5a es el coeficiente de x y 5 es el coeficiente numérico de ax. Si a lo largo del análisis de un problema a y b representan números fijos, entonces a y b se denominan constantes. Las expresiones algebraicas que tienen exactamente un término se denominan monomios. Aquellas que tienen exactamente dos términos son binomios y las 71

4 que tiene exactamente tres términos son trinomios. Las expresiones algebraicas con más de un término se denominan multinomios. Así, el multinomio x 5es un binomio; el multinomio y y 4y Un polinomio en x es una expresión algebraica de la forma n c x + c x c x + c n n 1 n es un trinomio. Donde n es un entero no negativo y los coeficientes c 0, c 1,..., c n son constantes con cn 0 se llama a n el grado del polinomio. Por lo tanto un polinomio en x de grado, y 4x 5x x + es 5 y es un polinomio en y de grado 5. Una constante distinta de cero es un polinomio de grado cero. La constante 0 se considera un polinomio, sin embargo, no se le asigna ningún grado. En los ejemplos siguientes se ilustra operaciones con expresiones algebraicas Ejemplo Suma de expresiones algebraicas Simplifique ( x y x + 1) + ( 4x y + 6x ) Solución: Primero deben eliminarse los paréntesis. Después, con el uso de la propiedad conmutativa de la suma, se reúnen todos los términos semejantes. Los términos semejantes son aquellos que solo difieren por sus coeficientes numéricos. En este ejemplo, xy y 6 x, y 1 y. por lo tanto. ( ) ( ) x y x x y + 6x = x y x x y + 6x Por la propiedad distributiva ( ) ( ) x y + x y = + x y = x y x + 6x = + 6 x = 4x Por ende ( ) ( ) x y y 4x y son semejantes, así como los pares = x y 4x y x 6x 1 x y x x y + 6x = 7x y + 4x Ejemplo Resta de expresiones algebraicas Simplifique: ( x y x + 1) ( 4x y + 6x ) Solución: Aquí aplicamos la definición de la resta y la propiedad distributiva ( x y x + 1) ( 4x y + 6x ) = ( x y x + 1) + ( 1)( 4x y + 6x ) = ( x y x + 1) + ( 4x y 6x + ) 7 = + + x y x 1 4x y 6x = + + x y 4x y x 6x 1

5 ( ) x y ( ) = x + 1+ = x y x Ejemplo4 Eliminación de símbolos de agrupación { } Simplifique: x[ x + ] + 5 4x ( 4x) Solución: Primero deben eliminarse los símbolos de agrupación más internos (los paréntesis). Después repite el proceso hasta eliminar todos los símbolos de agrupación y se combinan los términos semejantes siempre que sea posible. Se tiene. { [ ] ( ) } [ ] { } x x x x x x x x = { x x x x} { x x } = = = + 7x 78x 45 La propiedad distributiva es la herramienta clave al multiplicar expresiones. Por ejemplo, para multiplicar ax + c por bx + d puede considerarse ax + c como un solo número y después utilizar la propiedad distributiva: ( ax + c)( bx + d ) = ( ax + c) bx + ( ax + c) d Nuevamente se usa la propiedad distributiva, tenemos, ( ) ( ) ax + c bx + ax + c d = abx + cbx + adx + cd ( ) = abx cb ad x cd ax + c bx + d = abx + cb + ad x + cd. En particular, si a =, b = 1, c = Por lo que ( )( ) ( ) y d =, entonces ( x + )( x ) = ( 1) x + ( ) + ( 1) x + ( ) x x 6 = Ejemplo 5 Multiplicación de multinomios Encuentre el producto ( t )( 5t + t 1) Solución: Se trata a como un solo número y se aplica la propiedad distributiva dos veces ( t )( t + t ) = ( t ) t + ( t ) t ( t )

6 10t 15t 6t 9t t = t 9t 11t = + Como a + b a b a b a b = +. De manera similar = Con el uso de estos c c c c c c resultados, es posible dividir un multinomio entre un monomio, si de divide cada termino del multinomio entre el monomio. Ejemplo 6 División de un multinomio entre un monomio a. b. x + x x x = + = x + x x x 4z 8z z 6 4z 8z z 6 + = + z z z z z = z 4z + z Referencias Stewart, James. Cálculo Conceptos y contextos. Editorial Thomson. Tercera edición, 006. Díez M, Luis H. Matemáticas Operativas. Primer año de universidad, preuniversitarios y semilleros, Lina Díez editora,