Fundamentos de Matemática

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1 Fundamentos de Matemática 1 CAPÍTULO LÓGICA PROPOICIONAL I PROPOICIÓN-CONECTIVO-TABLA DE VERDAD CAPACIDADE: - Identifica roosiciones lógicas simles y comuestas. - Relaciona roosiciones con conectivos lógicos y reresenta esuemas moleculares. - Organiza y elabora tablas de verdad. 1. PROPOICIÓN Es el significado de una exresión aseverativa ue se caracteriza or tener valor veritativo; es decir el significado tiene la osibilidad de ser verdadero o falso, ero no los dos a la vez. Las roosiciones lógicas se denotan con letras minúsculas como or ejemlo:,, r, s, t, u,. etc. Ejemlo: : : r:. CLAE DE PROPOICIÓN Existen dos tios:.1. Proosición simle o atómica. Es auella ue tiene un sujeto y un redicado. Ejemlo: : 6 es dos veces más ue. : 4 es dos veces menos ue 8. r : Juan come manzana... Proosición comuesta o molecular. Es la combinación de dos o más roosiciones simles, enlazadas or medio de conectivos lógicos, o en todo caso ue contienen el adverbio de negación no. Ejemlo: - 8 es menor o igual ue el doble de 5 : Ú - Juan come manzana y era : Ù 3. CONECTIVO LÓGICO (Oeradores roosicionales) on símbolos ue enlazan roosiciones simles, sin formar arte de ellas. ean las roosiciones y, luego: ÍMBOLO (CONECTOR LÓGICO) ~ Ù Ú D «OPERACIÓN LÓGICA Negación Conjunción Disyunción inclusiva Disyunción exclusiva Condicional Bicondicional 3.1. NEGACIÓN: (~) Es una roosición ue cambia el valor de la roosición y se lee: Es falso ue, No es cierto ue, No. 3.. CONJUNCIÓN: (Ù) Las alabras ero, también, sin embargo, además, tal como, aunue, no obstante, a la vez, etc. euivalen al conectivo y DIYUNCIÓN INCLUIVA: (Ú) o Ejemlo: 17 es un número imar o rimo Lógica Proosicional EQUEMA ~ Ù Ú D «No y o IGNIFICADO o o i, entonces, si sólo si 3.4. DIYUNCIÓN EXCLUIVA: (D) Ejemlo: O bien 17 es un número entero o bien 17 es un número irracional CONDICIONAL: ( ) i, entonces Las alabras: orue, uesto ue, cuando, si, cada vez, etc. Euivalen al conectivo condicional.( ) 3.6. BICONDICIONAL («) i y solo si Las alabras: cuando y solo cuando, entonces y solamente entonces, etc. Euivalen al conectivo bicondicional. («) 4. TABLA DE VERDAD on interretaciones semánticas de las osibilidades de verdad (V) o falsedad (F). El valor de verdad de una roosición comuesta se determina or medio de valores de verdad de sus comonentes. n Número de arreglos = donde: n es la cantidad de roosiciones Negación de una roosición: cambia el valor de verdad de una roosición. ~ V F F V ~ se lee: Es falso ue ; no 4.. Conjunción: Es la unión de dos o más roosiciones mediante la artícula y y se denota or Ù. Ù V V V V F F F V F F F F Ù es verdadera (V), solamente cuando y son ambas verdaderas 4.3. Disyunción (débil o inclusiva): Es la unión de dos o más roosiciones mediante la artícula o y se denota or v. Ú V V V V F V F V V F F F Ú es falsa (F), solamente cuando y son ambas falsas 4.4. Condicional.- Una roosición condicional es la combinación de dos roosiciones con si entonces., la roosición ue aarece entre si y entonces se llama antecedente y la roosición ue le sigue a la alabra entonces se llama consecuente. e denota or. V V V V F F F V V F F V es falsa (F), solamente cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. 1

2 Fundamentos de Matemática 4.5. Bicondicional: Es la unión de dos roosiciones or si y sólo sí y se denota or «. «V V V V F F F V F F F V «es verdadera (V), cuando y son ambas verdaderas o ambas son falsas Disyunción Exclusiva: e denota or D y se lee o ero no ambos o también o bien o bien D V V F V F V F V V F F F D es verdadera (V), solamente cuando y tienen valores ouestos 5. EQUEMA MOLECULARE on fórmulas lógicas ue resultan de la combinación de variables roosicionales, constantes lógicas y signos de agruación, siemre en cuando sea una fórmula bien formada 5.1. Tautología.. Ejemlo [ (~Ú )Ù~ ] ~ V V V F F V F F 5.. Contradicción. Ejemlo [(Ù)Ú]Ù~ V V V F F V F F 5.3. Contingencia. Ejemlo ( Ú ) ~ V V V F F V F F 6. IMPLICACIÓN LÓGICA Y EQUIVALENCIA LÓGICA 6.1. IMPLICACIÓN Toda condicional ue sea una tautología Þ Por ejemlo, tenemos: ë $ a Ú ) Ù! ù û! Cuya tabla de verdad ya se ha dado. 9.. EQUIVALENCIA Toda bicondicional «ue sea una tautología Û Por ejemlo: [Ù(Ú)]Û Ú Ù(Ú) [Ù(Ú)]Û V V V V V V F V V V F V V F V F F F F V 7. PROPOICIONE LÓGICAMENTE EQUIVALENTE Dos roosiciones m y n son euivalentes si sus tablas de verdad son idénticas. e denota mºn Por ejemlo: ( ) y (~ ~) son euivalentes 8. FUNCIÓN PROPOICIONAL Es auel enunciado ue contiene una variable y ue tiene la roiedad de convertirse en verdadero o falso ara cierto valor de la variable. Las funciones roosicionales se ueden reresentar or (x), (x), r (x), etc., donde x sería la variable. Ejemlos: (x) : x > 18 : x (x) + 4 = 16 r (x) : x es un número rimo i en la rimera función roosicional a x le damos diferentes valores tendremos: Para x = 10 (10) : 10 > 18 8 > 18 (falso) Para x = 3 (3) : 3 > 18 1 > 18 (verdadero) Como uede verse, deendiendo del valor de la variable odemos obtener resultados diferentes. 9. CUANTIFICADORE UNIVERAL Y EXITENCIAL Cuantificador Universal. i a una función roosicional, le anteonemos la exresión ara todo x, estaremos indicando el sentido universal de dicha función roosicional, obteniéndose ahora una roosición lógica. Notación: e lee: ara todo x, tal ue, se verifiue (x) Ejemlo i tenemos una función roosicional: P : x + 5 > [no es roosición] (x) y ahora le agregamos el cuantificador universal "x: (x) "x: x + 5 > [roosición] Tendremos una roosición lógica, cuyo valor es falso, orue no todos los valores de x cumlirán la roosición, or ejemlo ara x = -4, no se cumle. Entonces es falso ue ara todo x, se cumla: x + 5 > 9.. Cuantificador existencial i a una función roosicional, le anteonemos la exresión existe un x tal ue, estaremos indicando el sentido existencial (ue exista) de dicha función. Notación: ( ) (~ ~) V V V F V F V F F V F F F V V F V V F F V V V V Iguales " x : ó " x / ó (" x)[ ] ( x ) ( x ) ( x ) $ x : ó $ x / ó ( $ x)( ) ( x ) ( x ) ( x ) e lee: existe un x tal ue, se verifiue (x) al menos un x, verifica (x) existe or lo menos un x, tal ue, se verifiue (x) Lógica Proosicional

3 Fundamentos de Matemática Ejemlo: P (x) : x 3 > 10 [función roosicional] $x : (x) $x : x 3 > 10 [roosición lógica] Para verificar ue es una roosición lógica, odemos darnos cuenta ue si x = 15, se cumle la desigualdad, ya hemos encontrado or lo menos un x, ue verifiue (x), or lo tanto es una roosición lógica cuyo valor es verdadero. 10. NEGACIÓN DE PROPOICIONE QUE TIENEN CUANTIFICADORE. * ea la roosición "x: (x) su negación será: ~["x: (x)] = $x: ~(x) * iendo la roosición $x: (x) su negación será: ~[$x: (x)] = "x: ~(x) Ejemlos: 1. $x: x = 7 ~[$x: x = 7] = "x: x¹7. $x: x es un número ar ~[$x: x es un número ar] = "x: x no es un número ar 3. "x: x > 1 ~[ "x: x > 1] = $x: x 1 PROBLEMA DE APLICACIÓN 1. Formalizar: i estudias ara ingresar, entonces ingresarás, sin embargo no estudias ara ingresar : estudias ara ingresar : ingresarás \u simbolización será: ( )Ù~. Determine la tabla de verdad de: (~Ú )«( Ù~ ) (~ Ú ) «( Ù ~ ) V V F V V F V F F V F F F F F V V V F V V V V F F F F F F V V F F F F V \Rta: FFFF (contradicción) 3. i la roosición ( Ù~ ) r es falsa, determine el valor de verdad de, y r. ( Ù~ ) r V V V F F (dato) Lógica Proosicional Del esuema se nota ue: º V ~ º V Þ º F r º F 4. Dado el conjunto: A = {3, 4, 5, 6} Determine el valor de verdad de cada roosición: I. "x Î A: x + 3 > 4 II. $x Î A/ x 5 > 1 III. "x Î A/ x 15 > 0 I. i todo elemento de A se reemlaza en x + 3 siemre resulta mayor de 4. II. En A no existe un elemento ue al reemlazarlo en x 5 sea mayor de 1. III. Cuando x = 3 reemlazamos en x 15 y resulta ue no es mayor de cero. \ El valor de verdad es VFF PRACTICANDO 1. imbolizar: La matemática es una ciencia exacta si hay rigor en la matemática, solamente si la matemática es alicada correctamente. a) É ( «r ) b) Ù ( «r ) c) ( r ) d) ( ) «r e) ( r ) «r. Dada la roosición: i llueve, el suelo se moja. Comare los valores de la matriz rincial de su tabla de verdad. Columna A Cantidad de verdades (V) Columna B Cantidad de falsedades (F) a) A es mayor ue B b) A e s m e n o r u e B c) A es igual a B d) No se uede comarar e) No utilice esta oción! ~ [( ~ ) r ] Ù r 3. i:, comare: Columna A Cuántos V tiene la matriz rincial? Columna B Cuántos F tiene la matriz rincial? a) A es mayor ue B b) A es menor ue B c) A es igual a B d) Falta información e) No se uede determinar 4. Los valores de verdad de las roosiciones : ; r y s son resectivamente V; F; F; V Obtener ( ) [( los ) valores Ú r ] Ù s de verdad de: ( ) r (s Ù ) ( ) ( Ú r ) «(r Ù ~ s) a) VFF b) VVV c) FFF d) FVV e) VVF 5. Determine si las siguientes roosiciones son tautología(t), contradicción(c) o contingencia(co): I. (r s) Ù (r ~ s) II. [( ~ Ú ) ] «~ III. ~ ( ) «[( «~ ) Ù ( Ú ) Ù ] a) C;T;Co b) T;Co;T c) T;T;T d) C;C,Co e) Co; C;T 3

4 Fundamentos de Matemática CAPÍTULO LÓGICA PROPOICIONAL II LEYE Y CIRCUITO LÓGICO CAPACIDADE: - Reresenta en circuitos lógicos esuemas moleculares. - Alica leyes del álgebra roosicional ara reducir esuemas moleculares. - Evalúa esuemas moleculares. K. Bicondicional: («)º( )Ù( ) («)º(Ù) Ú (~Ù~)º ~(D) L. De Transosición: º ~ ~ M. Disyunción fuerte: D º ~(«) 1. LEYE DEL ÁLGEBRA PROPOICIONAL on euivalencias lógicas ue nos ermiten simlificar un roblema y exresarlo en forma más sencilla. Las leyes más imortantes son: - Leyes L gicas Clasicas. Leyes Lógicas í î - Euivalencias Notables Los tres rinciios Lógicos Clásicos A. Ley de identidad (reflexividad) Una roosición solo es idéntica así misma. «B. Ley de no contradicción: Una roosición no uede ser verdadera y falsa a la vez. ~(Ù~) C. Ley del tercio excluido: Una roosición o es verdadera o es falsa, no hay una tercera osibilidad. Ú ~ 1.. Euivalencias notables A. Idemotencia: Ù Ú B. Conmutativa: Ú Ú Ù Ù C. Asociativa: (Ú)Úr Ú(Úr) (Ù)Ùr Ù(Ùr) D. Distributiva: Ú( Ùr ) (Ú)Ù(Úr) Ù( Úr ) (Ù)Ú(Ùr) E. De doble negación: ~ ( ~ ) F. De identidad: ÚV V ÙV ÚF ÙF F G. Comlemento: Ú~ V Ù~ F H. Condicional ~Ú I. De Morgan: ~( Ú ) ~ Ù~ ~( Ù ) ~ Ú ~ J. De absorción: Ù( Ú ) Ú( Ù ) Ù( ~Ú ) Ù Ú( ~Ú ) Ú. CIRCUITO LÓGICO El valor de verdad de una roosición uede asociarse con interrutores ue controlan el aso de la corriente. Así si una roosición es verdadera, el interrutor estará cerrado y la corriente asará; y si la roosición es falsa, el interrutor estará abierto y la corriente no asará. = V = F.1. Un esuema molecular conjuntivo es transformado y graficado en circuito en serie Ù.. Disyuntivo débil: Un esuema molecular disyuntivo débil se transforma en un circuito en aralelo Ú EJERCICIO DE APLICACIÓN 1. imlifiue: [~( ) ~( )]Ù (Ú) : [~ ( ) ~ ( ) ] Ù ( Ú ) I [( ) ( Ù ~ )] Ù (Ú) ~ ( Ù~ ) Ú ( Ù~) Ù ( Ú ) ( Ú ~ ) Ù( Ú ) Ú (~ Ù ) º 1443 F. Escribir el esuema molecular del siguiente circuito: : Esuematizando se tiene: Ù[~Ú(~Úr)] 3. i voy entonces no vengo, euivale a: : Voy : Vengo : imbolizando: ~ Por la ley condicional ~Ú~ u euivalente sería: no voy o no vengo. r 4 Lógica Proosicional

5 Fundamentos de Matemática PRACTICANDO 1. imlificar las siguientes roosiciones: I. ~ (~ ~ ) II. ~ ( Ú ) Ú (~ Ù ) a) ( ); b) ( Ù ); c) ( ) ; (~ Ú ) d) ( Ú ); (~ Ú ) e) ( Ù ): ~. La roosición: ~ ( É ) Ù ( ~ r ) Es euivalente a: A. ( ~ ) Ù [ ~ ( Ù r )] B. ( Ù ~ ) Ú [ Ù ~ (r Ú )] C. ( Ù ~ ) Ù [ ~ ( Ú r )] a) ólo A b) ólo B c) ólo C d) A y B e) A y C 3. i Ù: Ú: imlifiue y dé el euivalente de: ~r r ~ ~ r ~ ~r a) Ú b) ~Ú~ c) Ù~ d) Ù e) ~Ú 4. Halle el valor veritativo del siguiente circuito lógico: ~ i se tiene los siguientes datos: I. ~ es verdadero II. ( ) Ú ~ r es falso Para resolver el roblema es suficiente: a) ólo I b) ólo II c) I y II d) I ó II e) Ningún dato 5. Al simlificar el siguiente circuito lógico marue verdadero (V) o falso (F) según corresonda: ~ ~ I. En el esuema más simle interviene la roosición r. II. Al simlificar a su mínima exresión se obtiene sólo la roosición ~ III. El circuito simlificado es ~ a) VFF b) FVF c) FFV d) VVF e) FFF ~r t r ~s 3 CAPÍTULO INDUCCIÓN MATEMÁTICA CAPACIDADE: - Analiza, identifica y formula a través de situaciones articulares casos generales (razonamiento inductivo). - Relaciona los dos razonamientos más imortantes: deductivo e inductivo ara la generalización de un roblema. - Demuestra y verifica or inducción fórmulas ya establecidas. INDUCCIÓN MATEMÁTICA Consiste en analizar casos articulares ara ue a artir de los resultados ue se obtengan de ellos, nos ermita establecer una conclusión general, ue luego será alicado al roblema rouesto. e recomienda analizar los tres casos articulares más simles osibles, y en caso fuese necesario un cuarto o hasta un uinto caso articular ara obtener nuestra conclusión general. EQUEMA: Ejemlo 1. sumar E= sumandos : La suma deende de la cantidad de sumandos, entonces analizando sumas eueñas: 1 = 1 = 1 = 1 = = 4 = 3 = = 9 = 3 casos articulares De lo observado se concluye ue la suma es igual al cuadrado del número de sumandos n = = n caso general Luego: = 50 = Ejemlo Calcule la suma de cifras del resultado, luego de efectuar C A O I C A O II C A O III Casos Particulares INDUCCIÓN C A O G E N E R A L (666666) cifras : La otencia deende del número de cifras seis, entonces or inducción: Inducción Matemática 5

6 Fundamentos de Matemática UMA DE CIFRA ( 6 ) = 36 9 = 9 (1) El grado de veracidad ue encierra la inducción es generalmente robable. En el tio de hiótesis a descubrir influyen decisivamente las circunstancias sicológicas, individuales y sociales; or muchas manzanas ue hubieran caído sobre la cabeza de un hombre de Cromagnon, difícilmente habría éste imaginado la ley de la gravedad y, la mayor arte de los mortales, uestos en la situación de Fleming habrían otado or tirar a la basura los cultivos enmohecidos. Las hiótesis científicas no se roonen en el vacío, ero la imaginación no uede sujetarse a reglas ni a métodos. 1. Efectuar: 13 : 1 cifra EJERCICIO DE APLICACIÓN. Calcule la suma de cifras del resultado, luego de efectuar: x 8 13 : El roducto está en función a la cantidad de cifras seis ue se tiene, es decir Por inducción: UMA DE CIFRA M 1 = 6 x 8 = 48 1 = 3 x 4 M = 66 x 8 = = 3 x 5 M 3 =666 x 8 = = 3 x 6 De lo observado:: ( 66 ) = = 9 () 13 cifras ( 666 ) = = 9 (3) 13 3 cifras ( ) = 9(40) = cifras 997!998!999! !!3!4 + 1= 5 = 5 = 1!4 + 1!3!4!5 + 1= 11 = 11 =! !4!5!6 + 1= 361 = 19 = 3! !998!999! = 997! = cifras M M M M 1111 =. 3 x 1114 = = Calcule el resultado de: : Como efectuar las oeraciones directamente es demasiado oerativo, analizamos casos simles, sin ue se ierda la forma original del roblema. De lo observado se concluye ue: 4. Demostrar ue la suma de los n rimeros enteros ositivos imares es n. Es decir: (n 1) = n : Para n = 1 se cumle ue 1 = 1 uongamos ue ara n = h se verifica: (h 1) = h (hiótesis inductiva). Entonces, ara n = h + 1 resulta: (h-1) +[(h+1)-1] = [ (h-1)] + (h+1) = h + (h + 1) = (h + 1) Es decir, la formula es válida ara n = h + 1 siemre ue lo es ara n = h. Esto comleta la inducción. En consecuencia, or el Princiio de Inducción, se uede afirmar ue ara todo entero ositivo n se cumle: (n 1) = n 5. Demostrar, or inducción matemática, la Ley de los exonentes de los números reales: (ab) n = anb n Para todo entero ositivo n. : x 006 x xx3 + = 3 x3x = 3 3 3x 4x5 + 4 = x006x = 006 Para n = 1 se cumle (ab) 1 = ab = a1b1 uongamos ue ara n = h se cumle: (ab) h = ahb h (Hiótesis inductiva) Entonces, ara n = h + 1 resulta: (ab) h+1 = (ab) h(ab) = (ahb h)(ab); (Hiótesis inductiva, aso 1) = (aha) (bhb) (Ley asociativa) = ah+1b h+1 (Definición) Queda así comleta la inducción y, or consiguiente, ara todo entero ositivo n se uede. (ab) n = anbn PRACTICANDO 1. Halla la suma de cifras del resultado de efectuar: 13 C = ( ) cifras a) 1000 b) c) d) e) Inducción Matemática

7 Fundamentos de Matemática. Halla la suma de cifras del resultado de: 9 cifras 9 cifras E = (555 55) (444 44) a) 64 b) 49 c) 36 d) 11 e) Calcula el valor de la siguiente exresión a) 8n b) 8/3 c) 16 d) 4n e) 1 4. Resecto al número de cuadriláteros cóncavos ue hay en la siguiente figura, son ciertos: 9 n sumandos M = (1x7 + 5x11 + 9x x 19 + ) + 9n n Un obrero acomoda cierto número de esferas metálicas de acuerdo a la siguiente secuencia: F 1 F F 3 Determine el número de esferas ue ubicará en la osición 0 a) 100 b) 960 c) 800 d) 1160 e) En la figura, comara: I. Es múltilo de 4 II. La suma de sus cifras es 1 III. Es mayor de 8000 a) I y III b) I y II c) II y III d) ólo I e) todos 50 Columna A Número de esferas sin sombrear. a) A es mayor ue B. b) A es menor ue B. c) A es igual a B. d) No se uede determinar. e) No use esta oción! Columna B Nueve veces el número de esferas sombreadas. 4 CAPÍTULO LÓGICA RECREATIVA TEMA COMPLEMENTARIO CAPACIDADE: - Determina la relación de arentesco entre dos o más ersonas. - Resuelve roblemas sobre relación de tiemos, cerillos, certezas, etc. RELACIÓN DE TIEMPO Es la relación ue se establece entre los días de la semana, teniendo en cuenta el asado, resente y futuro. - El día ue recede al asado mañana de hoy, será mañana. - Mañana del jueves es viernes. - Anteayer del sábado fue jueves. - i mañana será jueves, anteayer fue lunes. - El osterior día del subsiguiente día del martes será Viernes. EQUIVALENCIA: Ejemlo 01 Qué día será el mañana del anteayer del mañana del asado mañana del viernes? Mañana - anteayer - mañana - asado mañana - VIERNE Rta. DOMINGO Ejemlo 0 i el ayer de asado mañana fue sábado. Qué día será el mañana de anteayer? VIERNE DOMINGO Ayer - Pdo. mañana = ÁBADO Þ + 1 = ÁBADO 13 mañana HOY = VIERNE Anteayer Ayer Hoy Mañana Pasado mañana < > - < > - 1 < > 0 < > + 1 < > + Ayer - Pdo. mañana = ÁBADO Manaña - anteayer - VIERNE Þ VIERNE JUEVE Rta. JUEVE Lógica Recreativa 7

8 Fundamentos de Matemática RELACIÓN DE PARENTECO Es la relación ue se establece entre dos o más ersonas. - El hermano de mi adre, es mi tío. - El hijo de mi hermana, es mi sobrino. - La suegra de mi adre, es mi abuela. un vecino en la uerta del edificio y al llegar a su habitación le dice a su hermana, el vecino me dijo ue vive en el segundo iso. En ué iso vive Tania? POR DATO Los del rimer iso dicen siemre la VERDAD. Los del segundo iso dicen siemre la MENTIRA. Ejemlo Quién es el hijo del hermano de la esosa de mi adre? Hijo - hermano - esosa - mi adre mi madre LUEGO i el vecino viviría en el rimer iso, como siemre dice la VERDAD, diría VIVO EN EL PRIMER PIO. i el vecino viviría en el segundo iso, como siemre MIENTE, diría VIVO EN EL PRIMER PIO. FINALMENTE En ambos casos, el vecino diría VIVO EN EL PRIMER PIO, jamás diría; VIVO EN EL EGUNDO PIO. Hijo - hermano - mi madre mi tío Hijo - mi tío mi rimo Rta: MI PRIMO CONCLUIÓN Entonces, Tania miente al decir a su hermana, ue el vecino dijo ue VIVE EN EL EGUNDO PIO, or lo tanto ella vive en el segundo iso. Rta. EGUNDO PIO EJERCICIO CON CERILLO CERTEZA Ejemlo 01 Cuántos alitos hay ue mover, como mínimo ara obtener una igualdad verdadera? Ejemlo En una urna se tienen 3 bolas blancas, 7 rojas y 6 negras. Cuántas bolas tendrán ue extraerse como mínimo, al azar ara tener la certeza o seguridad de ue sean bolas rojas? Moviendo el alito ue indica la flecha, tenemos: Ejemlo MENTIRA Y VERDADE Rta: UN PALITO Tania vive en un edificio de dos isos, cuyos inuilinos tienen una característica muy esecial, los ue viven en el rimer iso dicen siemre la verdad; y los ue viven en el segundo iso, mienten siemre. Tania se encuentra con - Al sacar dos bolas, no necesariamente tienen ue ser rojas, ueden ser dos negras, dos blancas, una roja y una negra, etc. Por lo tanto no es tan confiable. - En el eor de los casos rimero se extraen lo ue no nos iden (3 blancas y 6 negras) entonces en la urna uedan las bolas rojas y el sacar ahora dos bolas, necesariamente tienen ue ser rojas = 11 blancas negras rojas bolas Rta: 11 BOLA 8 Lógica Recreativa

9 Fundamentos de Matemática 5 CAPÍTULO ORDEN DE INFORMACIÓN TEMA COMPLEMENTARIO CAPACIDADE: - Ordena secuencias desordenadas. - Resuelve roblemas, alicando las estrategias del orden lineal, circular y tablas de doble entrada. Ejemlo ORDENAMIENTO HORIZONTAL Resecto a la edad de cuatro amigos, se sabe ue: - Daniel es mayor ue Alberto. - Blanco es menor ue Emilio. - Alberto es mayor ue Emilio. Quién es el mayor de todos? vecinos. Entonces los Flores viven en el PRIMER PIO. - Los Quise viven lo más alejado, de los Flores. Como los Flores viven en el PRIMER PIO, entonces los Quise viven en el CUARTO PIO. - Como los oriano no viven en el tercer iso, entonces viven en el EGUNDO PIO. - Finalmente ueda libre el TERCER PIO, este es ara la familia Morales. 4to iso : Familia Quise 3er iso : Familia Morales do iso : Familia oriano 1er iso : Familia Flores Rta: EGUNDO PIO i A es mayor ue B entonces B es menor ue A A > B A < B Recordando ORDENAMIENTO CIRCULAR En el ordenamiento circular los lugares tiene ue ser euidistantes, con una distribución simétrica. Hay ue tener en cuenta la osición derecha (diestra) e izuierda (siniestra) - Daniel es mayor ue Alberto entonces: Alberto < Daniel (1) - Blanco es menor ue Emilio: Blanco < Emilio () - Alberto es mayor ue Emilio entonces: Emilio < Alberto (3) - Relacionando (), (3) y (1) en ese orden tenemos: Blanco <() Emilio <(3) Alberto <(1) Daniel - El mayor de todos es Daniel Rta: DANIEL Ejemlo IZQUIERDA (siniestra) DERECHA (diestra) Ejemlo ORDENAMIENTO VERTICAL En un edificio de cuatro isos, viven cuatro familias: Quise, Morales, Flores y oriano; no necesariamente en ese orden. - En cada iso vive una familia. - Los Flores usan las escaleras, solo cuando visitan a sus vecinos. - Los oriano no viven en el tercer iso. - Los Quise viven lo más alejado, de los Flores. En ué iso viven los oriano? Cuatro amigas Fiorella, Elizabeth, Marcela y ofía se sientan alrededor de una mesa con cuatro sillas. - Marcela está frente a Fiorella. - A la derecha de Fiorella, está Elizabeth. Quién está a la izuierda de ofía? - Marcela está frente a Fiorella. Marcela Fiorella 4to. iso 3er. iso Familia Quise Familia Morales - A la derecha de Fiorella está Elizabeth. Luego ofía Marcela estará a la izuierda de Fiorella ofía Elizabeth do. iso 1er. iso Familia Flores Familia oriano I Z Q U I E R D A Fiorella D E R EC H A - Los Flores usan las escaleras, solo cuando visitan a sus Orden de Información - Luego, a la izuierda de ofía, está Marcela. Rta. Marcela 9

10 Fundamentos de Matemática ORDENAMIENTO EN TABLA Los datos se van ordenando en una tabla de doble entrada, de referencia en la rimera columna, se ubican el nombre de las ersonas. - El abogado es casado, como Alejandro es soltero, entonces no uede ser abogado. PERONA PROFEIÓN VLADIMIR ABOGADO ECOMITA OCIÓLOGO Ejemlo MARCO I Vladimir, Marcos y Alejandro tienen rofesiones diferentes, abogado, economista y sociólogo, no necesariamente en ese orden. Además se sabe ue: - Vladimir es el cuñado del abogado. - Alejandro es soltero. - El abogado está casado con la hermana del sociólogo. Quién es el economista? - Vladimir es el cuñado del abogado, or lo tanto él no es abogado. PROFEIÓN ABOGADO ECOMITA OCIÓLOGO PERONA VLADIMIR MARCO ALEJANDRO ALEJANDRO Por lo tanto Marcos es abogado Entonces Marcos no uede ser economista ni sociólogo - Vladimir es el cuñado del abogado es decir de Marcos - El abogado Marcos está casado con la hermana del sociólogo, or lo tanto éste es Vladimir. PERONA PROFEIÓN VLADIMIR MARCO ALEJANDRO ABOGADO I ECOMITA Necesariamente Alejandro es el economista OCIÓLOGO I Rta. Alejandro PRACTICANDO 1. i el ayer de asado mañana fue domingo. Relacione: 1. Entonces mañana será: A. Lunes. Hace dos días fue: B. Domingo C. Jueves 3. Distribuir los números del uno al nueve, de tal manera ue la suma de los números en cada fila, columna y diagonal sea la misma. X Y a) 1A y C b) 1C y A c) 1B y C d) 1B y A e) 1C y B. Diana es mayor ue Teresa y ésta es mayor ue Paola, ero tiene más estatura ue Diana. Cuál es la relación lógica? I. Teresa es menor ue Paola II. Diana es mayor ue Paola III. Teresa es mayor ue Diana a) sólo III b) I y II c) II y III d) sólo I e) ólo II Comare: Columna A y a) A es mayor ue B. b) A es menor ue B. c) A es igual a B. d) No se uede determinar. e) No use esta oción! Z Columna B x + z 10 Lógica Proosicional