Tema 7: Formas normales: Formas prenex y de Skolem

Transcripción

1 Tema 7: Formas normales: Formas prenex y de Skolem Dpto. Ciencias de la Computación Inteligencia Artificial Universidad de Sevilla Lógica Informática (Ingeniería del Software) Curso LI(IS), Formas de Skolem 7.1

2 Contenido Formas prenexas Formas de Skolem Forma clausal LI(IS), Formas de Skolem 7.2

3 Introducción En este tema veremos como reducir, hasta cierto punto, el razonamiento en lógica de primer orden al razonamiento proposicional. Nuestro objetivo es introducir la forma clausal de un conjunto de fórmulas de la lógica de primer orden y presentar la base del método de resolución para esta lógica. Para la lógica de primer orden la reducción obtenida mediante forma clausal no es tan fuerte como en el caso de la lógica proposicional: una fórmula no es equivalente a su forma clausal, sólo se tiene equiconsistencia. LI(IS), Formas de Skolem 7.3

4 Equivalencia entre fórmulas Recordemos que si F y G son fórmulas de un lenguaje de primer orden, entonces F y G son equivalentes, F G, si y sólo si F G es lógicamente válida. Para fórmulas cerradas, F G si y sólo si F y G tienen los mismos modelos. La equivalencia entre fórmulas no cerradas: F ( x) G( x) sii = x(f ( x) G( x)) Ejemplos: Las equivalencias proposicionales son válidas en lógica de primer orden. Otras equivalencias importantes expresan propiedades de los cuantificadores: x(f G) xf xg. Utilizaremos las equivalencias para reescribir las fórmulas. LI(IS), Formas de Skolem 7.4

5 Forma normal prenexa Una fórmula F de un lenguaje de primer orden está en forma normal prenexa (o forma prenex) si es de la forma Q 1 x 1 Q 2 x 2 Q n x n G(x 1,..., x n ) donde Q i {, } y G(x 1,..., x n ) es abierta. Es decir, una fórmula en forma prenex está formada por un bloque inicial de cuantificadores seguido por una fórmula abierta. Decimos que una fórmula H es una forma normal prenexa de F si F y H son equivalentes y H está en forma prenex. LI(IS), Formas de Skolem 7.5

6 Operaciones prenex Objetivo: Trasladar todos los cuantificadores a la parte inicial de la fórmula para obtener una forma normal prenexa. Para obtener esta forma normal utilizamos operaciones prenex: Operación Subfórmula Cambiar por Restricción (P1) xg yg{x/y} y / VL(G) xg yg{x/y} y / VL(G) (P2) xf x F xg x G (P3) xg H x(g H) x / VL(H) G xh x(g H) x / VL(G) xg H x(g H) x / VL(H) G xh x(g H) x / VL(G) siendo VL(F ) el conjunto de las variables libres de F. LI(IS), Formas de Skolem 7.6

7 Operaciones prenex (II) Para las demás conectivas tenemos las operaciones prenex: Operación Subfórmula Cambiar por Restricción (P4) xg H x(g H) x / VL(H) xg H x(g H) x / VL(H) (P5) G xh x(g H) x / VL(G) G xh x(g H) x / VL(G) (P6) xg H x(g H) x / VL(H) G xh x(g H) x / VL(G) xg H x(g H) x / VL(H) G xh x(g H) x / VL(G) Observación: Si F se obtiene de F por aplicación de una operación prenex, entonces F F. LI(IS), Formas de Skolem 7.7

8 Transformación a forma prenexa Para cada fórmula F existe otra fórmula G en forma prenexa que es equivalente a F. Para obtener G aplicamos la siguiente transformación a F : 1. Si aparece la conectiva la expresamos de forma equivalente usando y. 2. Renombramos las variables de cada subfórmula elemental (es decir, de la forma v H, o bien, v H), para que no interfieran las cuantificaciones. Para ello utilizamos la operación (P1). 3. Trasladamos negaciones usando (P2). 4. Aplicamos las reglas (P3) (P6). LI(IS), Formas de Skolem 7.8

9 Ejemplos Sea F (z, y) x y(x + z = y) z x(x y = 0 + z) 1. x 1 y 1 (x 1 + z = y 1 ) z 2 x 2 (x 2 y = 0 + z 2 ) 2. x 1 ( y 1 (x 1 + z = y 1 ) z 2 x 2 (x 2 y = 0 + z 2 )) 3. x 1 y 1 ((x 1 + z = y 1 ) z 2 x 2 (x 2 y = 0 + z 2 )) 4. x 1 y 1 z 2 ((x 1 + z = y 1 ) x 2 (x 2 y = 0 + z 2 )) 5. x 1 y 1 z 2 x 2 ((x 1 + z = y 1 ) (x 2 y = 0 + z 2 )) Otro ejemplo x P(x, a) ( z P(x, z) x P(x, a)) x 1 (P(x 1, a) ( z 2 P(x, z 2 ) x 3 P(x 3, a))) x 1 (P(x 1, a) z 2 (P(x, z 2 ) x 3 P(x 3, a))) x 1 (P(x 1, a) z 2 x 3 (P(x, z 2 ) P(x 3, a))) x 1 z 2 x 3 (P(x 1, a) P(x, z 2 ) P(x 3, a)) LI(IS), Formas de Skolem 7.9

10 Formas de Skolem Objetivo: Restringir la complejidad sintáctica de las fórmulas de primer orden, sin perder expresividad. Trabajaremos con fórmulas cerradas. Primer paso: Trasladar los cuantificadores a la izquierda obteniendo un forma normal prenexa. El siguiente paso es eliminar los cuantificadores existenciales hasta obtener una fórmula universal (es decir, una fórmula en forma prenex que sólo contiene cuantificadores universales). La fórmula universal obtenida al final de estas transformaciones es una forma de Skolem de la fórmula inicial. El proceso de eliminación aumenta el lenguaje con nuevos símbolos de función y nuevas constantes. En general, NO existe equivalencia entre la fórmula obtenida y la fórmula inicial, aunque se conserva la consistencia de la fórmula original. LI(IS), Formas de Skolem 7.10

11 Funciones y constantes de Skolem Para eliminar los cuantificadores existenciales de una fórmula en forma prenexa aplicamos las siguientes reglas: Por cada bloque x 1 x n yf (x 1,..., x n, y) introducir un nuevo símbolo de función g (aridad n), y reescribir como x 1... x n F (x 1,..., x n, g(x 1,..., x n )) (decimos que x 1... x n F (x 1,..., x n, g(x 1,..., x n )) se obtiene a partir de x 1 x n yf (x 1,..., x n, y) introduciendo una función de Skolem). Por cada bloque del tipo xf (x) añadir una nueva constante c y reescribir como F (c). (Se dice que F (c) se obtiene a partir de x F (x) introduciendo una constante de Skolem). LI(IS), Formas de Skolem 7.11

12 Funciones y constantes de Skolem: Propiedades g se denomina una función de Skolem y c una constante de Skolem. La introducción de funciones y constantes de Skolem conserva la consistencia. Es decir, dada una fórmula F, si F se obtiene a partir de F introduciendo una función o una constante de Skolem, entonces, F tiene un modelo F tiene un modelo. Además, la introducción de funciones y constantes de Skolem, no aumenta el conocimiento deducible en el lenguaje original. Es decir, Si F es una fórmula cerrada de un lenguaje de primer orden L y F se obtiene a partir de F introduciendo una función o una constante de Skolem, entonces para toda fórmula H del lenguaje L se tiene: F = H F = H LI(IS), Formas de Skolem 7.12

13 Formas de Skolem Sea L un LPO y F una fórmula cerrada de L. Una forma de Skolem de F es una fórmula universal G que se obtiene a partir de una forma prenexa de F mediante introducciones sucesivas de funciones o constantes de Skolem. Dado un conjunto Σ = {F 1,..., F n } de fórmulas cerradas de L, sea Σ el conjunto formado por las fórmulas de Skolem de lo elementos de Σ. Entonces, Σ tiene un modelo si y sólo si Σ tiene un modelo. Para toda fórmula H del lenguaje L, Σ = H Σ = H LI(IS), Formas de Skolem 7.13

14 Ejemplo x y z(padre de(y, x) Padre de(z, y)) Dependencia de y con respecto a x: Elegimos mediante una función f 1 : x z(padre de(f 1 (x), x) Padre de(z, f 1 (x))) Dependencia de z con respecto a x: Elegimos mediante una función f 2 : x(padre de(f 1 (x), x) Padre de(f 2 (x), f 1 (x))) La fórmula universal x (Padre de(f 1 (x), x) Padre de(f 2 (x), f 1 (x))) es una Forma de Skolem de la fórmula inicial. LI(IS), Formas de Skolem 7.14

15 Otros ejemplos x 1 y 1 z 2 x 2 y 2 ((x 1 + b = y 1 ) (x 2 y 2 = 0 + z 2 )) 1. y 1 z 2 x 2 y 2 ((c 1 + b = y 1 ) (x 2 y 2 = 0 + z 2 )) [c nueva constante] 2. y 1 x 2 y 2 ((c 1 + b = y 1 ) (x 2 y 2 = 0 + f (y 1 ))) [f nuevo símbolo de función de aridad 1] 3. y 1 x 2 ((c 1 + b = y 1 ) (x 2 g(y 1, x 2 ) = 0 + f (y 1 ))) [g nuevo símbolo de función de aridad 2] 4. Forma de Skolem: y 1 x 2 ((c 1 + b = y 1 ) (x 2 g(y 1, x 2 ) = 0 + f (y 1 )))) En el lenguaje LO = {<, =} Sea F x y(x < y x = y) Forma de Skolem: y (c < y c = y) F x z (x < z y(x < y y < z). Forma de Skolem: x z (x < z x < f (x, z) f (x, z) < z). LI(IS), Formas de Skolem 7.15

16 Cláusulas Sea L un LPO. Una fórmula F es un literal si es una fórmula atómica o la negación de una fórmula atómica. Una cláusula es una disyunción de literales. Por tanto, es una fórmula abierta. Como en el caso de la lógica proposicional, identificaremos una cláusula con el conjunto de los literales que aparecen en ella. Denotaremos por a la cláusula vacía. Dada una fórmula F de L una forma clausal de F es un conjunto de cláusulas S (no necesariamente del lenguaje L) tal que F tiene un modelo S tiene un modelo LI(IS), Formas de Skolem 7.16

17 Forma clausal Para obtener una forma clausal de una fórmula F (x 1,..., x n ) seguimos los siguientes pasos: 1. Obtener el cierre universal de F (x 1,..., x n ). Es decir, la fórmula G dada por x 1... x n F (x 1,..., x n ). 2. Obtener una forma de Skolem de G. Dicha forma de Skolem es una fórmula universal G S. 3. Eliminar los cuantificadores universales de G S. Así obtenemos una fórmula abierta H. 4. Obtener una forma normal conjuntiva de H (siguiendo el mismo procedimiento que en el caso proposicional). Dicha forma será n j=1 siendo cada C j una cláusula. 5. La forma clausal de F es el conjunto de cláusulas S = {C 1,..., C n }. LI(IS), Formas de Skolem 7.17 C j

18 Ejemplos x[ y H(x, y) z u(u z P(z, u))] x y [H(x, y) z u(u z P(z, u))] x y z u[h(x, y) (u z P(z, u))] x z u [H(x, F 1 (x)) (u z P(z, u))] x u[h(x, F 1 (x)) (u F 2 (x) P(F 2 (x), u))] Forma clausal: {{ Hermano(x, F 1 (x)), u = F 2 (x), Padre de(f 2 (x), u)}} x z(x < z y(x < y y < z)) Forma clausal (( (x < z) x < f (x, z)) ( (x < z) f (x, z) < z)) O también {{ (x < z), x < f (x, z)}, { (x < z), f (x, z) < z)}} LI(IS), Formas de Skolem 7.18

19 Forma clausal de un conjunto de fórmulas Una forma clausal de un conjunto Γ es un conjunto de cláusulas S tal que Γ tiene un modelo S tiene un modelo Si Γ = {F 1,..., F n } es un conjunto de fórmulas podemos obtener una forma clausal de Γ calculando, por el método anterior, una forma clausal S j para cada elemento F j de Γ. La forma clausal de Γ es entonces el conjunto de cláusulas: S = S 1 S n LI(IS), Formas de Skolem 7.19