Lógica y Programación

Transcripción

1 Lógica y Programación Formas Normales Antonia M. Chávez, Agustín Riscos, Carmen Graciani Dpto. Ciencias de la Computacion e Inteligencia Artificial Universidad de Sevilla

2 Introducción Simplificar las fórmulas preservando su significado Reducir el número de conectivas Cambiar la estructura de la fórmula Objetivo: Resolver fácilmente los problemas de satisfacibilidad, validez, consecuencia lógica Inconvenientes: Aumento del tamaño de la fórmula Complejidad del proceso de normalización

3 Marco Teórico: Literales Definiciones: Si F es un símbolo proposicional, entonces F es un literal positivo Si F es un símbolo proposicional, entonces F es un literal negativo F es un literal si y sólo si F es literal positivo o negativo Literales: L,L 1,L 2,... Complementario de un literal: L = Literales de una fórmula: lit(f) Ejemplos: lit(p (( q) r)) = {p, q,r} Implementación { p si L = p p si L = p

4 Equivalencia lógica F y G son equivalentes si se verifica = F G Representación: F G F G si y sólo si para toda interpretación I de {F,G} se tiene sig(f,i) = sig(g,i) Prueba: D-I: Si para toda interpretación I ocurre sig(f, I) = sig(g, I), entonces es cierto que para toda I tenemos: I = F G. Y si esto es para toda I, entonces podemos afirmar que = F G. Que es lo mismo que decir F G.

5 Equivalencia lógica F y G son equivalentes si se verifica = F G Representación: F G F G si y sólo si para toda interpretación I de {F,G} se tiene sig(f,i) = sig(g,i) Prueba: I-D: F G implica = F G. Esto significa que para cualquier interpretación I, se tiene cierta F G. De esto, para cualquier interpretación I, se tiene que I = F G y, a la vez, I = G F. Razonemos por reducción al absurdo, si no ocurriena que sig(f, I) = sig(g, I), se tendría uno de los siguientes casos: sig(f, I) = True y sig(g, I) = False, lo cual lleva a I = F G sig(f, I) = False y sig(g, I) = True, lo cual lleva a I = G F.

6 Equivalencia lógica F y G son equivalentes si se verifica = F G Representación: F G F G si y sólo si para toda interpretación I de {F,G} se tiene sig(f,i) = sig(g,i) Ejemplos: p q (p q) (q p) p q ( p) q p q (( p) ( q)) p q (( p) ( q))

7 Propiedades de la equivalencia lógica Las conectivas preservan la equivalencia: Si F F, entonces F F Si F F, G G y {,,, }, entonces F G F G Propiedad de las subfórmulas equivalentes: Sea G una subfórmula de F y F la obtenida sustituyendo una ocurrencia de G en F por G. Si G G, entonces F F

8 Leyes de equivalencia lógica Idempotencia: F F F, F F F Conmutatividad: F G G F, F G G F Asociatividad: F (G H) (F G) H, F (G H) (F G) H Distributividad: F (G H) (F G) (F H), F (G H) (F G) (F H) Doble negación: F F Leyes de De Morgan: (F G) F G, (F G) F G

9 Forma normal negativa Definición de forma normal negativa: Si F es atómica, entonces F y F son formas normales negativas Si F y G son formas normales negativas, entonces (F G) y (F G) también lo son. Ejemplos ( p q) ( q p) es una forma normal negativa (p q) (q p) no es una forma normal negativa (p q) no es una forma normal negativa

10 Transformación a forma normal negativa Objetivo: Dada una fórmula F, obtener una fórmula en forma normal negativa G tal que F G. Procedimiento fnn(f) (Seguir el orden) Primero: Eliminación de equivalencias p q (p q) (q p) Segundo: Eliminación de implicaciones p q p q Tercero: Interiorización de negaciones (p q) p q (p q) p q p p ( (p q)) p q (( p) q) p q

11 Transformación a forma normal negativa Ejemplos: fnn(p q) = ( p q) ( q p) fnn((p ( q)) r) = ( p q) r fnn((p (q r)) s) = (( p (q r)) s) Propiedades: fnn(f) es una forma normal negativa fnn(f) F

12 Forma normal conjuntiva Disyunciones extendidas: Si F es un literal, entonces F es una disyunción extendida Si F y G son disyunciones extendidas, entonces (F G) también lo es Ejemplos: p (q r) es una disyunción extendida p (q r) no es una disyunción extendida Fórmulas en forma normal conjuntiva: Si F es una disyunción extendida, entonces F es una forma normal conjuntiva Si F y G son formas normales conjuntivas, entonces (F G) también lo es Ejemplos: Ambas son equivalentes, pero una es FNC y otra no ( p q) ( q p) es una forma normal conjuntiva ( p q) (q p) no es una forma normal conjuntiva

13 Transformación en forma normal conjuntiva Objetivo: Dada una fórmula F, obtener una fórmula en forma normal conjuntiva G tal que F G Procedimiento fnc(f) Transformación a forma normal negativa Interiorización de las disyunciones p (q r) (p q) (p r) (p q) r (p r) (q r)

14 Transformación en forma normal conjuntiva Ejemplos: fnc(p (q r)) = p ( q r) fnc( (p (q r))) = ( p q) ( p r) fnc( (p r)) = (((p r) (p p)) (( r r) ( r p))) Propiedades: fnc(f) es una forma normal conjuntiva fnc(f) F

15 Forma normal disyuntiva Conjunciones extendidas: Si F es un literal, entonces F es una conjunción extendida Si F y G son conjunciones extendidas, entonces (F G) también lo es Ejemplos: p (q r) es una conjunción extendida p (q r) no es una conjunción extendida Fórmulas en forma normal disyuntiva: Si F es una conjunción extendida, entonces F está en forma normal disyuntiva Si F y G están en forma normal disyuntiva, entonces (F G) también lo está Ejemplos: ( p q) ( q p) está una forma normal disyuntiva ( p q) (q p) no está una forma normal disyuntiva

16 Transformación en forma normal disyuntiva Objetivo: Dada una fórmula F, obtener una fórmula en forma normal disyuntiva G tal que F G. Procedimiento fnd(f) Transformación a forma normal negativa Interiorización de las conjunciones p (q r) (p q) (p r) (p q) r (p r) (q r)

17 Transformación en forma normal disyuntiva Ejemplos: fnd(p (q r)) = (p q) (p r) fnd( (p (q r))) = ( p (q r)) Propiedades: fnd(f) es una forma normal disyuntiva fnd(f) F

18 Ejercicios Sea F = (p q) [(q r) ( p s)]. Se pide determinar fórmulas equivalentes a F en Forma Normal Negativa, Forma Normal Disyuntiva y Forma Normal Conjuntiva. Sea F = [(p r) (q r)] ( p q). Se pide determinar fórmulas equivalentes a F en Forma Normal Negativa, Forma Normal Disyuntiva y Forma Normal Conjuntiva.

19 Ejercicios Sea F = (p q) [(q r) ( p s)]. Se pide determinar fórmulas equivalentes a F en Forma Normal Negativa, Forma Normal Disyuntiva y Forma Normal Conjuntiva. F (p q) [(q r) ( p s)] [(p q) (q p)] [(q r) ( p s)] [( p q) ( q p)] [(q r) ( p s)] [( p q) ( q p)] [(q r) ( p s)] ( p q) ( q p) [(q r) ( p s)] (p q) (q p) [(q r) ( p s)]

20 Ejercicios Sea F = (p q) [(q r) ( p s)]. Se pide determinar fórmulas equivalentes a F en Forma Normal Negativa, Forma Normal Disyuntiva y Forma Normal Conjuntiva. fnn(f) = (p q) (q p) [(q r) ( p s)] (p q) (q p) [(q ( p s)) (r ( p s))] (p q) (q p) (q p) (q s) (r p) (r s) (p q) (q p) (q s) (r p) (r s)

21 Ejercicios Sea F = (p q) [(q r) ( p s)]. Se pide determinar fórmulas equivalentes a F en Forma Normal Negativa, Forma Normal Disyuntiva y Forma Normal Conjuntiva. fnn(f) = (p q) (q p) [(q r) ( p s)] [(p (q p)) ( q (q p))] [(q r) ( p s)] [(p q) (p p) ( q q) ( q p)] [(q r) ( p s)] [(p q) ( q p)] [(q r) ( p s)]

22 Ejercicios Sea F = (p q) [(q r) ( p s)]. Se pide determinar fórmulas equivalentes a F en Forma Normal Negativa, Forma Normal Disyuntiva y Forma Normal Conjuntiva. fnn(f) = (p q) (q p) [(q r) ( p s)] [(p q) ( q p)] [(q r) ( p s)] [(p q) ((q r) ( p s))] [( q p) ((q r) ( p s))] [(p q) (q r)] [(p q) ( p s)] [( q p) ((q r) ( p s))] (p q r) [( q p) ((q r) ( p s))] (p q r) [( q p) (q r)] [( q p) ( p s)] (p q r) ( q p s)

23 Bibliografía Alonso Jiménez, J.A. Lógica computacional (Univ. de Sevilla, 1997) Cap. 5: Equivalencias y formas normales Chang, C.L. y Lee, R.C.T. Symbolic Logic and Mechanical Theorem Proving. (Academic Press, 1973) Cap. 2: The propositional logic Fitting, M. First Order Logic and Automated Theorem Proving (2nd, ed.) (Springer, 1996) Cap. 2: Propositional Logic Genesereth, M.R. y Nilsson, N.J. Logical Foundations of Artificial Intelligence. (Morgan Kaufmann, 1987) Cap. 2: Propositional Logic Paulson, L. Logic and Proof (University of Cambridge, 2003) Cap. 2: Propositional logic