Lógica y Programación

Transcripción

1 Lógica y Programación Cláusulas y formas clausales Antonia M. Chávez, Agustín Riscos, Carmen Graciani Dpto. Ciencias de la Computación e Inteligencia Artificial Universidad de Sevilla

2 Cláusulas y formas clausales Cláusulas Una cláusula es un conjunto de literales Una cláusula se interpreta como la disyunción de todos sus literales {p, q, r, s} p q r s {p, q, r} p q r Formas clausales Una forma clausal es un conjunto de cláusulas Una forma clausal se interpreta como la conjunción de todas sus cláusulas Ejemplo: {{p, q}, {r, s}} (p q) (r s)

3 Transformación a cláusulas (I) Cláusula de una disyunción extendida F: {F }, si F es un literal; clausula(f) = clausula(f 1 ) clausula(f 2 ), si F = (F 1 F 2 ) clausula(p) = {p} clausula( p) = { p} clausula((( p) r) (( p) q)) = {q,r, p}

4 Transformación a cláusulas Cláusulas de una fórmula F en forma normal conjuntiva: clausulasfnc(f) = clausulasfnc(f 1 ) clausulasfnc(f 2 ), si F = (F 1 F 2 ); {clausula(f)}, en caso contrario clausulasfnc(p (( q) r)) = {{p}, { q,r}} clausulasfnc((( p) q) (( p) ( r))) = {{ p,q}, { p, r}}

5 Transformación a cláusulas Forma clausal de una fórmula F: clausulas(f) = clausulasfnc(fnc(f)) clausulas(p (q r)) = {{p}, { q,r}} clausulas( (p (q r))) = {{ p,q}, { p, r}}

6 Transformación a cláusulas Cláusulas de un conjunto de fórmulas S: clausulas(s) = {clausulas(f) : F S} clausulas({p q,q r}) = {{ p,q}, { q,r}} clausulas({p q,q p}) = {{ p,q}, { q,p}}

7 Símbolos de una fórmula Recordemos: Símbolos proposicionales de una fórmula: sp(p) = {p} sp( F) = sp(f) sp(f G) = sp(f) sp(g) sp(f G) = sp(f) sp(g) sp(f G) = sp(f) sp(g) sp(f G) = sp(f) sp(g) En particular: { Símbolo proposicional de un literal: p si L = p spl(l) = p si L = p

8 Símbolos proposicionales de cláusulas Símbolos proposicionales de una cláusula: Definición: sp(c) = {spl(l) : L C} Ejemplo: sp({p, q, p}) = {p, q} Símbolos proposicionales de una forma clausal: Definición: sp(s) = {sp(c) : C S} Ejemplo sp({{p, q}, { q, r}}) = {p, q, r}

9 Interpretaciones Interpretaciones de una cláusula: interpretaciones(c) = {I : I sp(c)} interpretaciones({p, q, p}) = {{p, q}, {p}, {q}, {}} interpretaciones({}) = {{}} Interpretaciones de un conjunto de cláusulas: interpretaciones(s) = {I : I sp(s)} interpretaciones({{p, q}, { p, q}} = {{p, q}, {p}, {q}, {}} interpretaciones({}) = {{}}

10 Modelos de cláusulas Modelo de un literal: I = p p I I = p p I Ejemplos {p,r} = p {p,r} = q {p,r} = ( p) {p,r} = ( q)

11 Modelos de cláusulas Modelo de una cláusula: I = C L C,I = L {p,r} = {p,q} {q,r} = {p, q} {q,r} = {} Sea F una disyunción extendida, entonces I = F I = clausula(f)

12 Modelos de cláusulas Modelos de una cláusula: modelos(c) = {I interpretaciones(c) : I = C} modelos({ p,q}) = {{p,q}, {q}, {}} modelos({ p,p}) = {{p}, {}} modelos({}) = {} Sea F una disyunción extendida, entonces modelos(f) = modelos(clausula(f))

13 Modelos de cláusulas Modelo de un conjunto de cláusulas: I = S C S,I = C {p,r} = {{p, q}, {r}} {p} = {{p, q}, {r}} {p} = {} I = S I = clausulas(s)

14 Modelos de cláusulas Modelos de un conjunto de cláusulas: modelos(s) = {I interpretaciones(s) : I = S} modelos({{ p,q}, { q,p}}) = {{p,q}, {}} modelos({{ p,q}, {p}, { q}}) = {} modelos({{p, p,q}}) = {{p,q}, {p}, {q}, {}} modelos(s) = modelos(clausulas(s))

15 Cláusulas válidas y satisfacibles Cláusulas válidas: Dos definiciones equivalentes = C I interpretaciones(c),i = C = C si y sólo si L,L C = {p,q, p} = {p,q, r} = {} La cláusula vacía no es válida = F = clausulas(f)

16 Cláusulas válidas y satisfacibles Cláusulas satisfacibles: C es satisfacible I interpretaciones(c),i = C C es satisfacible si y sólo si C {p, q, p} es satisfacible. {p, q, r} es satisfacible. {} no es satisfacible.

17 Cláusulas válidas y satisfacibles Cláusulas insatisfacibles: Dos definiciones equivalentes C es insatisfacible I interpretaciones(c), I = C C es insatisfacible si y sólo si C = {p, q, p} no es insatisfacible. {p, q, r} no es insatisfacible. {} es insatisfacible.

18 Formas clausales válidas y consistentes Forma clausal válida: = S I interpretaciones(s),i = S = S C S, = C = {{ p,q}, { q,p}} = {{ p,p}, { q,q}} = {}

19 Conjuntos de cláusulas válidos y consistentes Conjunto consistente de cláusulas: S es consistente I interpretaciones(s), I = S {{ p, q}, { q, p}} es consistente. {{ p,q}, {p}, { q}} no es consistente. Sea S un conjunto de fórmulas, entonces S es consistente si y sólo si clausulas(s) es consistente.

20 Conjuntos de cláusulas válidos y consistentes Conjunto inconsistente de cláusulas: S es inconsistente I interpretaciones(s), I = S {{ p, q}, { q, p}} no es inconsistente. {{ p,q}, {p}, { q}} es inconsistente. Sea S un conjunto de fórmulas, entonces S es inconsistente si y sólo si clausulas(s) es inconsistente

21 Validez de fórmulas mediante cláusulas = F = clausulas(f) = p p = p q = (p q) (q p)

22 Consecuencia lógica mediante cláusulas Sean S 1 y S 2 dos conjuntos de cláusulas, entonces S 1 = S 2 los modelos de S 1 son modelos de S 2 {{ p,q}, { q,r}} = {{ p,r}} {{p}} = {{p}, { q}}

23 Consecuencia lógica mediante cláusulas Sea S un conjunto de fórmulas, entonces: S = F clausulas(s) = clausulas(f) clausulas(s { F }) es inconsistente {(p q),(q r)} = p r {p} = p q

24 Ejercicios Sea F = (p q) {(q r) ( p s)}. Se pide determinar un conjunto de cláusulas equivalente a F. Sol.: {{p,q,r, s}} Sea F = (p q) {(q r) ( p s)}. Se pide determinar un conjunto de cláusulas equivalente a F. Sol.: {{p,q,r}, {p,q, s}, {p,q, p}, {p,q,r, p}, { p, q}, { p, q, s}} Sea F = {(p r) (q r)} ( p q). Se pide determinar un conjunto de cláusulas equivalente a F. Sol.: {{q, p}, {q, p, r}, {p,r}, {r, q}, {p, q,r}}

25 Ejercicios Sea F = (p q) {(q r) ( p s)}. Se pide determinar un conjunto de cláusulas equivalente a F. Sol.: {{p,q,r, s}} Conjunto de cláusulas obtenido: {{p, q, r, s}}

26 Bibliografía Alonso Jiménez, J.A. Lógica computacional (Univ. de Sevilla, 1997) Cap. 6: Cláusulas proposicionales Chang, C.L. y Lee, R.C.T. Symbolic Logic and Mechanical Theorem Proving. (Academic Press, 1973) Cap. 2: The propositional logic Fitting, M. First Order Logic and Automated Theorem Proving (2nd, ed.) (Springer, 1996) Cap. 2: Propositional Logic Genesereth, M.R. y Nilsson, N.J. Logical Foundations of Artificial Intelligence. (Morgan Kaufmann, 1987) Cap. 2: Propositional Logic Paulson, L. Logic and Proof (University of Cambridge, 2003) Cap. 2: Propositional logic