Introducción a la Lógica I

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1 Metodología de la Asignatura Índice Introducción a la Lógica I Félix Bou bou@ub.edu 1 Metodología de la Asignatura 2 El objeto de la Lógica 3 16 de diciembre de Argumentación Silogística F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica I 16 de diciembre de / 185 F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica I 16 de diciembre de / 185 Metodología de la Asignatura Metodología de la asignatura Metodología de la Asignatura Metodología de la asignatura Datos Profesor Félix Bou. Departament de Lògica, Història i Filosofia de la Ciència. Despacho (4a planta). bou@ub.edu (fbou@iiia.csic.es) Teléfono: Horario Grupo B1 (A. 403) Teoría Consultas Prácticas* Martes 17:00-18:00h Miércoles 17:00-18:00h 18:00-19:00h Jueves 17:00-18:00h 18:00-19:00h * Las prácticas son el aula 406. Examen Final 1a Convocatoria 2a Convocatoria Grupo B1 (A. 403) 20 Enero, 16:00-18:00h 8 Sept, 16:00-18:00h F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica I 16 de diciembre de / 185 F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica I 16 de diciembre de / 185

2 Metodología de la Asignatura Sistema de Evaluación Evaluación Continua Tres exámenes parciales durante el curso. Las fechas son Jueves 15 de octubre de Jueves 19 de noviembre de Jueves 17 de diciembre de Hace falta aprobar los tres exámenes con una nota mínima de 3, y en tal caso la nota final será la media de los tres exámenes parciales. Sólo se obtendrá la calificación de No Presentado en caso de no realizar los tres exámenes parciales. Evaluación Única Todo el mundo puede realizar el examen final, incluso aquellas personas que antes han hecho uno o más de los exámenes parciales. La asistencia al examen final supone automáticamente la renuncia a la nota de la evaluación continua, i.e., la nota final será la obtenida en el examen final. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica I 16 de diciembre de / 185 El objeto de la Lógica Explicado por Neus Castells F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica I 16 de diciembre de / 185 Expresiones veritativo-funcionales Expresiones veritativo-funcionales En los lenguajes naturales hay expresiones que nos permiten formar enunciados compuestos a partir de otros más simples. Por ejemplo, los enunciados Messi juega en el Barça Messi es un filósofo de reconocido prestigio se pueden combinar con la ayuda de diversas partículas, como por ejemplo y, o, si... entonces.... La gracia de estas partículas (y otras más del lenguaje natural) es que la verdad o falsedad de los enunciados compuestos depende exclusivamente de la verdad o falsedad de los enunciados más simples que lo componen. A las partículas del lenguaje natural con esa característica las llamamos expresiones veritativo-funcionales. La lógica de proposiciones (o enunciados) nos será útil para analizar la estructura de los enunciados compuestos formados a partir de expresiones veritativo-funcionales. En otras palabras, la lógica proposicional nos va a permitir estudiar la corrección de argumentos donde los enunciados se han obtenido a partir de expresiones veritativo-funcionales. Por tanto, no podremos aplicar la lógica proposicional al estudio de argumentos cuyos enunciados no hayan sido construidos a partir de expresiones veritativo-funcionales. Así pues, a lo largo de todo este curso hemos de consider la hipótesis implicíta de que la verdad de cualquier enunciado que consideremos depende exclusivamente de sus enunciados más simples. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica I 16 de diciembre de / 185 F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica I 16 de diciembre de / 185

3 El Lenguaje de la En la lógica proposicional distinguimos dos níveles: el sintáctico y el semántico. El nivel sintáctico estudia el lenguaje como una pura manipulación de signos. Por contra, el nivel semántico se encarga de atribuir significado a esos símbolos. Es claro que esta misma distinción sucede en los lenguajes naturales (así como en los otros lenguajes artificiales que conocemos). El lenguaje de la lógica proposicional es un lenguaje artificial especificamente diseñado para analizar enunciados formados con expresiones veritativo-funcionales. Por tanto, es razonable tener en este lenguaje símbolos para hablar de las partículas veritativo-funcionales (también llamadas conectivas). No hay un único lenguaje de la lógica proposicional sino toda una familia de lenguajes de la lógica proposicional. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica I 16 de diciembre de / 185 Los Lenguajes de la Todos los lenguajes de la lógica proposicional tienen en común los símbolos siguientes: 1 Conectivas:,,, y. 2 Paréntesis: ) y (. Las conectivas son los símbolos lógicos del lenguaje. Y los paréntesis son los símbolos auxiliares del lenguaje. Todo lenguaje de la lógica proposicional está caracterizado por los símbolos que tiene además de los comunes. Estos símbolos característicos del lenguaje son llamados las letras proposicionales (o variables). El número de letras proposicionales varia de un lenguaje proposicional a otro, pero es común usar como letras proposicionales del lenguaje las letras p, q, r, s y t (con o sin subíndices). Un ejemplo de lenguaje de la lógica proposicional es el dado por las letras proposicionales p y q. Otro ejemplo (diferente) de lenguaje de la lógica proposicional es el dado por las letras proposicionales p 1, p 2 y p 3. Observamos que para identificar un lenguaje de la lógica proposicional basta con decir cuáles son sus letras proposicionales. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica I 16 de diciembre de / 185 Los Lenguajes de la Fórmulas de un lenguaje de la El nombre de las conectivas y la forma de leerlas es el dado en la siguiente tabla Conectiva Nombre Lectura negación no conjunción y disyunción o condicional si..., entonces bicondicional si y sólo si Sea L un lenguaje de la lógica proposicional. Una expresión del lenguaje L es una sucesión finita de símbolos del lenguaje L. Una fórmula atómica del lenguaje L es una letra proposicional del lenguaje L. Una fórmula del lenguaje L es una expresión que se obtiene a partir de un número finito de aplicaciones de las siguientes reglas: 1 Toda fórmula atómica de L es una fórmula de L (i.e., toda letra proposicional de L es una fórmula de L). 2 Si α es una fórmula entonces α es una fórmula. 3 Si α y β son fórmulas entonces (α β), (α β), (α β) y (α β) también son fórmulas. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica I 16 de diciembre de / 185 F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica I 16 de diciembre de / 185

4 Ejemplos en lenguajes de la Ejemplo en los lenguajes L 1 y L 2, donde L 1 es el lenguaje con las letras p y q, y L 2 el de las letras p, q y r Expresión Fórmula Atómica Fórmula p), No No No r)( No - Sí No No q Sí Sí Sí r No - Sí No - Sí No - Sí (p q) Sí No Sí p q Sí No No ( p) Sí No No p Sí No Sí (p q) Sí No Sí p (p q) Sí No No (p (p q)) Sí No Sí F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica I 16 de diciembre de / 185 Más Ejemplos en lenguajes de la En muchas ocasiones es común hablar de expresiones, fórmulas atómicas y fórmulas sin especificar concretamente el lenguaje que estamos considerado. En estos casos, simplemente se asume que el lenguaje contiene todos los símbolos que aparecen en la expresión en cuestión. Veamos algunos ejemplos donde procedemos así (es decir, se sobreentiende el lenguaje). Ejemplos de fórmulas atómicas p, s, r, p 1, etc. Ejemplos de expresiones que no son fórmulas p), (q), p q, p q, p (q q), p (q r), etc. Ejemplos de fórmulas no atómicas p, (p q), (p q), (p (q q)), (p (q r)), etc. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica I 16 de diciembre de / 185 Los Diversos Tipos de Fórmulas Una negación es una fórmula de la forma α. Una conjunción es una fórmula de la forma (α β). Una disyunción es una fórmula de la forma (α β). Un condicional es una fórmula de la forma (α β). Un bicondicional es una fórmula de la forma (α β). Toda fórmula de la lógica proposicional es o bien una negación, o una conjunción, o una disyunción, o un condicional, o un bicondicional, o una fórmula atómica. Y sólo puede ser de uno de estos tipos. Justificación de porqué una expresión es una fórmula I Podemos asociar a cada fórmula de un lenguaje de la lógica proposicional su árbol genealógico, que describe la construcción o generación de la fórmula de acuerdo a las reglas anteriores. Por ejemplo, El árbol genealógico de ((p q) r) es p q r (p q) r ((p q) r) y permite justificar que se trata de una fórmula. El árbol genealógico de ( (p q) r) es p q (p q) (p q) r (p q) r ( (p q) r) y permite justificar que se trata de una fórmula. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica I 16 de diciembre de / 185 F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica I 16 de diciembre de / 185

5 Justificación de porqué una expresión es una fórmula II El árbol genealógico de ( p q) es p p q ( p q) y permite justificar que se trata de una fórmula. El árbol genealógico de (p q) es p q (p q) (p q) y permite justificar que se trata de una fórmula. El árbol genealógico de ( (p p) p) es p p (p p) (p p) p ( (p p) p) y permite justificar que se trata de una fórmula. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica I 16 de diciembre de / 185 Justificación de porqué una expresión es una fórmula III El árbol genealógico de ( (p r) ( r q)) es r q r q r p r (p r) (p r) ( r q) ( r q) ( (p r) ( r q)) y permite justificar que se trata de una fórmula. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica I 16 de diciembre de / 185 Justificación de porqué una expresión es una fórmula IV Justificación de porqué una expresión no es una fórmula Ideas Fundamentales extraídas de los ejemplos anteriores Los árboles genealógicos nos permiten justificar que una expresión es una fórmula. En otras palabras, si podemos construir el árbol genealógico entonces dicha expresión es una fórmula, mientras que si no podemos construir el árbol genealógico entonces dicha expresión no es una fórmula. Es importante destacar que el árbol genealógico de una fórmula es único, es decir, no es posible dar dos formas diferentes de construir una misma fórmula, es decir, sólo hay una forma posible de construir una fórmula. Cómo justificar que la expresión (p q ) no es una fórmula? Basta comprobar que si intentamos hacer el árbol genealógico no lo conseguimos.??????? q p q (p q ) (p q ) Cómo justificar que la expresión (p q r) no es una fórmula? Basta comprobar que si intentamos hacer el árbol genealógico no lo conseguimos (en esta ocasión nos salen varios casos).??????? p q r (p q r)??????? p q r (p q r) F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica I 16 de diciembre de / 185 F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica I 16 de diciembre de / 185

6 Subfórmulas Las subfórmulas de una fórmula son las fórmulas que aparecen en su árbol genealógico, incluida la propia fórmula. Por ejemplo, ( p q) tiene 4 subfórmulas, y ( (p p) p) tiene también 4 subfórmulas (según lo que hemos visto en las diapositivas anteriores). Es evidente que si la fórmula γ es una subfórmula de β y β es una subfórmula de α entonces γ también es una subfórmula de α. Cuáles son la subfórmulas de la fórmula ((r q) q)? Para responder a esta pregunta comenzamos construyendo el árbol genealógico de esta fórmula, el cual es q r q (r q) q ((r q) q) Por tanto, hay cinco subfórmulas que son: r, q, q, (r q) y ((r q) q). F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica I 16 de diciembre de / 185 Más Ejemplos de Subfórmulas Cuántas subfórmulas tiene la fórmula ( q p) y cuáles son? Para responder a esta pregunta comenzamos construyendo el árbol genealógico de esta fórmula, el cual es q p q p ( q p) Por tanto, hay cinco subfórmulas que son: p, q, p, q y ( q p). Cuántas subfórmulas tiene la fórmula (p q) y cuáles son? Para responder a esta pregunta comenzamos construyendo el árbol genealógico de esta fórmula, el cual es q p q (p q) (p q) Por tanto, hay cinco subfórmulas que son: p, q, q, (p q) y (p q). F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica I 16 de diciembre de / 185 Nota Avanzada sobre (los parénteresis en) las Fórmulas I Nota Avanzada sobre (los parénteresis en) las Fórmulas II Pregunta 1 Consideramos la condición Si α y β son fórmulas entonces α β, α β, α β y α β también son fórmulas. Qué ocurriria si en la definición de fórmula cambiáramos la tercera condición por la condición anterior? Esta no sería una buena definición porque en tal caso habría ambigüedad debido al que hecho de que por ejemplo podríamos construir la fórmula p q r de dos formas diferentes. Pregunta 2 Consideramos la condición Si α es una fórmula entonces ( α) también es una fórmula. Qué ocurriria si en la definición de fórmula cambiáramos la segunda condición por la condición anterior? Con esta definición no habría ambigüedad pero usaríamos una notación innecesariamente larga. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica I 16 de diciembre de / 185 F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica I 16 de diciembre de / 185

7 Nota Avanzada sobre (los parénteresis en) las Fórmulas III Pregunta 3 Es posible una definición de fórmula en la que no haya ambigüedad y no se utilicen paréntesis? Basta cambiar la tercera condición por la condición Si α y β son fórmulas entonces αβ, αβ, αβ y αβ también son fórmulas. Esta notación es conocida con el nombre de notación polaca. Otra notación que no tiene problemas es la que se obtiene utilizando la condición (conocida como notación polaca inversa) Si α y β son fórmulas entonces αβ, αβ, αβ y αβ también son fórmulas. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica I 16 de diciembre de / 185 Convenio: Omisión de los Paréntesis Exteriores A partir de ahora los paréntesis exteriores (y sólo los exteriores) no será necesario escribirlos expĺıcitamente. Aunque no escribamos los paréntesis exteriores, todas las fórmulas que los necesiten (es decir, las obtenidas a través de conectivas binarias) supondremos que en realidad los llevan. Es decir, a partir de ahora consideraremos que p q se refiere a la fórmula (p q). p q se refiere a la fórmula (p q). p (q r) se refiere a la fórmula (p (q r)). (p q) r se refiere a la fórmula ((p q) r). etc. Siguiendo este convenio uno de los árboles genealógicos anteriores lo podríamos reescribir ahora de la forma siguiente q r q r q q (r q) q F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica I 16 de diciembre de / 185 Ejemplos sobre el uso de los Paréntesis I Ejemplos sobre el uso de los Paréntesis II Añadir paréntesis a la expresión p q p para que sea una negación de una disyunción: ((p q) p). una negación de una conjunción: (p (q p)). una disyunción: ( p q) p o (p q) p. una conjunción: p (q p). Añadir paréntesis a la expresión p q r q para que sea una negación de una disyunción: (((p q) r) q), ((p (q r)) q) o ((p ( q r)) q). una negación de un condicional: ((p q) ( r q)) ((p q) ( r q)) o ((p q) (r q)). una negación de una conjunción: (p ((q r) q)), (p (q ( r q))), (p ( q ( r q))), (p ( q ( r q))), (p ( q (r q))), etc. una disyunción: (p ( q r)) q, (p (q r)) q, ((p q) r) q, ( p ( q r)) q, ( p (q r)) q, etc. una conjunción: p ((q r) q), p (q ( r q)), p (q ( r q)), p (q (r q)), etc. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica I 16 de diciembre de / 185 F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica I 16 de diciembre de / 185

8 Lenguaje Objeto y Metalenguaje I Siempre que hablamos (o estudiamos) un lenguaje (indistintamente de si es un lenguaje formal o un lenguaje natural) es importante tener clara la distinción entre el lenguaje del que se habla (llamado lenguaje objeto), el lenguaje en el que se habla (llamado metalenguaje). Los conceptos de lenguaje objeto y metalenguaje son relativos a una situación concreta. Es decir, un lenguaje puede ser lenguaje objeto en una situación y metalenguaje en otra situación. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica I 16 de diciembre de / 185 Lenguaje Objeto y Metalenguaje II En el estudio de la lógica es evidente que el lenguaje objeto es precisamente el lenguaje formal introducido anteriormente cuyo alfabeto es el formado por los símbolos,,,,, (, ), p, q,... y cuyas expresiones sintácticamente correctas son las fórmulas. Por contra, en este curso el metalenguaje que utilizamos para estudiar la lógica es el idioma castellano. Algunos ejemplos de enunciados en este metalenguaje son los enunciados si α es una fórmula entonces α es una fórmula, es una conectiva, si p es una letra proposicional entonces p es una fórmula atómica. si p es una letra proposicional entonces p no es una fórmula atómica. Es evidente que ninguno de los cuatro enunciados anteriores es un enunciado del lenguaje objeto. En el primero de los enunciados anteriores el rol de α es el de una variable metalinguística en el sentido que es una variable que tenemos en el metalenguaje para referirnos a una fórmula cualquiera. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica I 16 de diciembre de / 185 Lenguaje Objeto y Metalenguaje III En el lenguaje natural se suele adoptar el convenio de que para referirnos a una expresión del lenguaje natural utilizamos la misma expresión entrecomillada (es decir, el nombre de una expresión del lenguaje natural se forma entrecomillando la expresión misma). Algunos ejemplos que ilustran este hecho son Amílcar Barca fundó la actual Barcelona, Amílcar Barca acaba con la letra a, Es verdad que el Barça ganó al Dinamo de Kiev, El Barça ganó al Dinamo de Kiev es un enunciado verdadero. Como consecuencia del comentario anterior, nos damos cuenta que estrictamente hablando los tres últimos enunciados de la diapositiva anterior deberían escribirse de la forma es una conectiva, si p es una letra proposicional entonces p es una fórmula atómica, si p es una letra proposicional entonces p no es una fórmula atómica, pero por no recargar nuestra forma de usar el metalenguaje no lo hacemos y simplemente escribimos lo de la diapositiva anterior. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica I 16 de diciembre de / 185 Semántica de los Lenguajes Proposicionales Hasta ahora nos hemos ocupado de los lenguajes de la lógica proposicional desde un punto de vista sintáctico, es decir, como mera manipulación de símbolos. A continuación empezamos el estudio semántico de estos lenguajes. El objetivo de un estudio semántico es asignar significado a las expresiones sintácticamente correctas (es decir, a las fórmulas). Por atribuir significado nos referimos a asignar un valor de verdad. Consideramos dos valores de verdad: verdadero (abrev. V ) y falso (abrev. F ). Así pues, el objetivo es asignar valores de verdad a las fórmulas. Aquí está impĺıcito que toda fórmula tendrá asociado un valor de verdad, es decir, no sucede que haya fórmulas sin ningún valor de verdad asociado. La semántica que consideramos sigue el principio de que el valor de verdad asociado a una fórmula compuesta depende exclusivamente del valor de verdad asociado a las fórmulas más simples que la componen. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica I 16 de diciembre de / 185

9 El Concepto de Asignación Una asignación (de un lenguaje proposicional) es una función (o regla) que asigna a cada una de las letras proposicionales del lenguaje considerado un valor de verdad. Es decir, a cada letra proposicional le asignamos o bien el valor V o bien el valor F. Es habitual utilizar el símbolo v (con subíndices o superíndices si es necesario) para referirnos a una asignación. Sea L el lenguaje proposicional que (sólo) tiene las letras proposicionales p y q. Un ejemplo de asignación en este lenguaje proposicional (es decir, en L) es la asignación v que cumple v(p) = V y v(q) = F. Otro ejemplo es la asignación v dada por las condiciones v (p) = V y v (q) = V. Otra notación para referirnos a v y a v que podríamos utilizar sería p q p q y V F V V A partir de ahora vamos a utilizar casi siempre esta última notación. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica I 16 de diciembre de / 185 Cuántas asignaciones tiene un Lenguaje Proposicional? I Consideramos el lenguaje proposicional con sólo la letra proposicional p. Cuántas asignaciones tiene este lenguaje? En este caso las únicas asignaciones que hay son las siguientes p V F Por tanto, hay (exactamente) 2 asignaciones. Consideramos el lenguaje proposicional con sólo las letras proposicionales p y q. Cuántas asignaciones tiene este lenguaje? En este caso las únicas asignaciones que hay son las siguientes p q V V V F F V F F Por tanto, hay (exactamente) 4 asignaciones. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica I 16 de diciembre de / 185 Cuántas asignaciones tiene un Lenguaje Proposicional? II Consideramos el lenguaje proposicional con sólo la letras proposicionales p, q y r. Cuántas asignaciones tiene este lenguaje? En este caso las únicas asignaciones que hay son las siguientes p q r V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F Por tanto, hay (exactamente) 8 asignaciones. Conclusión Si un lenguaje tiene n letras proposicionales, entonces en ese lenguaje hay 2 n asignaciones. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica I 16 de diciembre de / 185 Asignaciones en un Lenguaje Proposicional El orden en que escribimos las asignaciones no es importante. Pero es interesante escribirlas siguiendo el orden natural porque así difícilmente nos olvidaremos una asignación. Es decir, el escribirlas siguiendo el orden anterior sólo obedece a razones nemotécnicas. Si v es una asignación, entonces diremos que p es verdadera con la asignación v cuando ocurra que v(p) = V. Y diremos que p es falsa con la asignación v cuando ocurra que v(p) = F. Hasta ahora sabemos cuál es el valor de verdad asignado a una letra proposicional (es decir, fórmula atómica) con una asignación. Nuestro siguiente objetivo es decir cuál es el valor de verdad asignado a una fórmula cualquiera (no sólo atómica) con una asignación. El valor de verdad de una fórmula compuesta depende, además del valor de verdad de las letras proposicionales que aparecen en ella, del significado de las conectivas. El significado de una conectiva puede entenderse como una regla que determina el valor de verdad en función de otros valores de verdad. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica I 16 de diciembre de / 185

10 El Significado de la Negación El Significado de la Conjunción Recordemos que la negación es una conectiva unaria. El significado de la negación es el determinado por la función (o regla) veritativa siguiente α α V F F V Dicho en palabras, la negación de una fórmula es verdadera cuando la fórmula es falsa. falsa cuando la fórmula es verdadera. Dicho de otra forma, la negación de una fórmula es verdadera cuando no ocurre que la fórmula es verdadera. falsa cuando no ocurre que la fórmula es falsa. Recordemos que la conjunción es una conectiva binaria. El significado de la conjunción es el determinado por la función (o regla) veritativa siguiente α β (α β) V V V V F F F V F F F F Dicho en palabras, la conjunción de dos fórmulas es verdadera cuando ambas fórmulas son verdaderas. falsa cuando al menos una de las fórmulas es falsa. Dicho de otra forma, la conjunción de dos fórmulas es verdadera cuando no ocurre que al menos una de las fórmulas es falsa. falsa cuando no ocurre que ambas fórmulas son verdaderas. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica I 16 de diciembre de / 185 F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica I 16 de diciembre de / 185 El Significado de la Disyunción Recordemos que la disyunción es una conectiva binaria. El significado de la disyunción es el determinado por la función (o regla) veritativa siguiente α β (α β) V V V V F V F V V F F F Dicho en palabras, la disyunción de dos fórmulas es verdadera cuando al menos una de las fórmulas es verdadera. falsa cuando ambas fórmulas son falsas. Dicho de otra forma, la disyunción de dos fórmulas es verdadera cuando no ocurre que ambas fórmulas son falsas. falsa cuando no ocurre que al menos una de las fórmulas es verdadera. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica I 16 de diciembre de / 185 El Significado del Condicional Recordemos que el condicional es una conectiva binaria. El significado del condicional es el determinado por la función (o regla) veritativa siguiente α β (α β) V V V V F F F V V F F V Dicho en palabras, el condicional de dos fórmulas es verdadero cuando o bien el antecedente es falso o bien el consecuente es verdadero. falso cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. Dicho de otra forma, el condicional de dos fórmulas es verdadero cuando no ocurre que el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. falso cuando no ocurre que o bien el antecedente es falso o bien el consecuente es verdadero. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica I 16 de diciembre de / 185

11 El Significado del Bicondicional Recordemos que el bicondicional es una conectiva binaria. El significado del bicondicional es el determinado por la función (o regla) veritativa siguiente α β (α β) V V V V F F F V F F F V Dicho en palabras, el bicondicional de dos fórmulas es verdadero cuando ambas fórmulas tienen el mismo valor de verdad. falso cuando las fórmulas que lo componen no tienen el mismo valor de verdad. Dicho de otra forma, el bicondicional de dos fórmulas es verdadero cuando no ocurre que las fórmulas que lo componen no tienen el mismo valor de verdad. falso cuando no ocurre que ambas fórmulas tienen el mismo valor de verdad. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica I 16 de diciembre de / 185 Resumen del Significado de las Conectivas α α V F F V α β (α β) (α β) (α β) (α β) V V V V V V V F F V F F F V F V V F F F F F V V F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica I 16 de diciembre de / 185 Valor de verdad asoc. a una Fórmula con una Asignación I Por definición una asignación nos da una función que asocia un valor de verdad a cada letra proposicional. A partir de una asignación, si utilizamos las condiciones de verdad de las conectivas (es decir, las reglas escritas en la diapositiva anterior) entonces podemos asociar un valor de verdad a toda fórmula (no sólo a las atómicas). Es decir, si tenemos una fórmula (con su correspondiente árbol genealógico) y tenemos una regla para asociar un valor de verdad a cada letra proposicional que aparece en la fórmula, entonces a partir de las condiciones de verdad de las conectivas podemos determinar cuál es el valor de verdad asociado con esa fórmula. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica I 16 de diciembre de / 185 Valor de verdad asoc. a una Fórmula con una Asignación II Esencialmente decimos que podemos asociar valores de verdad a las subfórmulas de una fórmula siguiendo el orden de aparición (de arriba a abajo) de estas subfórmulas en el árbol genealógico. Por ejemplo, consideremos el árbol genealógico de ((p q) r). p q (p q) ((p q) r) Para calcular el valor de verdad asociado a esa fórmula en la asignación que asigna V a p, F a q y V a r recorremos el árbol de arriba a abajo p V q F (p q) F r r r V r F ((p q) r) V El razonamiento anterior lo podemos resumir en la siguiente tabla p q r p q r (p q) r V F V F F V F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica I 16 de diciembre de / 185

12 Tabla de Verdad de un Fórmula I Llamamos tabla de verdad de una fórmula a la tabla que se obtiene al calcular el valor de verdad asociado a una fórmula con todas (absolutamente todas) las asignaciones posibles de las letras proposicionales que aparecen en la fórmula. En la primera ĺınea horizontal de la tabla escribimos las letras proposicionales así como todas las subfórmulas de la fórmula original. Y en cada una de las otras ĺıneas horizontales escribimos los valores correspondientes a una asignación. Por tanto, hay tantas ĺıneas horizontales de este tipo como asignaciones. Las principales columnas de la tabla que nos interesan son las de las letras proposicionales (que son las primeras columnas) y la de la fórmula misma (que es la última columna). El resto de columnas que hay (y que corresponden a subfórmulas) son meramente auxiliares y pueden olvidarse una vez construida la tabla. La tabla de verdad de una fórmula nos informa del valor que toma la fórmula con cualquier posible asignación (no sólo con una asignación). F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica I 16 de diciembre de / 185 Tabla de Verdad de un Fórmula II Por ejemplo, la tabla de verdad de la fórmula (p q) (q r) es p q r p q q r (q r) (p q) (q r) V V V V V F F V V F V F V V V F V F V F V V F F F V F V F V V F V F V F V F F F V V F F V F V F V F F F F V F V Por ejemplo, la tabla de verdad de la fórmula ((p q) p) p es p q p q (p q) p ((p q) p) p V V V V V V F F V V F V V F V F F V F V F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica I 16 de diciembre de / 185 Tabla de Verdad de un Fórmula III La tabla de verdad de α = ((( p q) s) (q (r s))) es p q r s p p q ( p q) s r s q (r s) α V V V V F V V V V V V V V F F V F F F V V V F V F V V V V V V V F F F V F V V V V F V V F F F V F V V F V F F F F F F V V F F V F F F V F V V F F F F F F V F V F V V V V V V V V V F V V F V V F F F V F V F V V V V V V V F V F F V V F V V V F F V V V V V V F F F F V F V V F F F V F F F V V V V V F F F F F F V V F V F V F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica I 16 de diciembre de / 185 Algunos comentarios sobre las Tablas de Verdad Las tablas de verdad conviene leerlas horizontalmente porque cada ĺınea hortizontal nos da información sobre una asignación diferente. Así pues, ĺıneas diferentes nos aportan información sobre asignaciones diferentes. Por contra, para construir las tablas de verdad es más aconsejable proceder columna a columna. Este proceder es más aconsejable porque hay menos posibilidades de equivocarse al construir la tabla. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica I 16 de diciembre de / 185

13 Tautologías y Contradicciones Una fórmula α es una tautología si y sólo si se cumple que para toda asignación v, se tiene que v(α) = V. Es decir, si y sólo si se cumple que el valor de verdad asociado a α con toda asignación es V. Es decir, si y sólo si se cumple que la última columna de la tabla de verdad sólo toma el valor V. Una fórmula α es una contradicción si y sólo si se cumple que para toda asignación v, se tiene que v(α) = F. Es decir, si y sólo si se cumple que el valor de verdad asociado a α con toda asignación es F. Es decir, si y sólo si se cumple que la última columna de la tabla de verdad sólo toma el valor F. Una fórmula α es una fórmula contingente si y sólo si se cumple que no es ni tautología ni contradicción. Es decir, si y sólo si se cumple que hay alguna asignación v tal que v(α) = V y también hay alguna asignación v tal que v(α) = F. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica I 16 de diciembre de / 185 Ejemplos sobre Tautologías y Contradicciones La fórmula p p es una tautología. La fórmula p p es una tautología. La fórmula (p q) p es una tautología. La fórmula p (p q) es una tautología. La fórmula p p es una tautología. La fórmula p p es una contradicción. La fórmula p p es una contradicción. La fórmula p es contingente. La fórmula p es contingente. La fórmula p q es contingente. La fórmula (p q) p es contingente. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica I 16 de diciembre de / 185 Justificaciones sin usar toda la Tabla de Verdad I La fórmula p (p q) es una tautología Hemos de comprobar que el valor de esta fórmula asociado con cualquier asignación v es V. Sea v una asignación cualquiera. Ahora podemos distinguis los dos casos siguientes ya que al menos uno de ellos debe cumplirse: Caso v(p) = V : En tal caso es evidente que v(p q) = V. Así pues, v(α (p q)) = V indistintamente de quién sea la fórmula α. Por tanto, v(p (p q)) = V. Caso v(p) = F : En tal caso es evidente que v(p α) = V indistintamente de quién sea la fórmula α. Por tanto, v(p (p q)) = V. Nota: Este razonamiento se resume en la tabla p q p q p (p q) V V /F V V F V /F V F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica I 16 de diciembre de / 185 Justificaciones sin usar toda la Tabla de Verdad II La fórmula (p q) ( q p) es una tautología Hemos de comprobar que el valor de esta fórmula asociado con cualquier asignación v es V. Sea v una asignación cualquiera. Observamos los dos hechos siguientes: v(p q) es F sólo en el caso que v(p) = V y v(q) = F. v( q p) es F sólo en el caso que v( q) = V como v( p) = F. Así pues, v( q p) es F sólo en el caso que v(q) = F y v(p) = V. Por tanto, es evidente que v(p q) = v( q p). Y en consecuencia v((p q) ( q p)) = V. Nota: Este razonamiento se resume en la tabla p q p q q p (p q) ( q p) V F F F V resto casos V V V F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica I 16 de diciembre de / 185

14 Justificaciones sin usar toda la Tabla de Verdad III La fórmula ( p q) (p q) es una contradicción Hemos de comprobar que el valor de esta fórmula asociado con cualquier asignación v es F. Sea v una asignación cualquiera. Observamos los dos hechos siguientes: v(p q) es V sólo en el caso que tanto v(p) como v(q) son V. v( p q) es F sólo en el caso que tanto v( p) como v( q) son F. Así pues, v( p q) es F sólo en el caso que v(p) como v(q) son V. Por tanto, es evidente que v( p q) v(p q). Y en consecuencia v(( p q) (p q)) = F. Nota: Este razonamiento se resume en la tabla p q p q p q ( p q) (p q) V V V F F resto casos F V F Justificaciones sin usar toda la Tabla de Verdad IV La fórmula p (p q) es contingente Hemos de comprobar que hay una asignación que le asocia el valor V y que también hay una que le asocia el valor F. Comprobemos ambas cosas: v(p (p q)) = V si consideramos una asignación v tal que v(p) = F (da igual quien sea v(q)). v(p (p q)) = F si consideramos la asignación v tal que v(p) = V y v(q) = F. Nota: Este razonamiento se resume en la tabla p q p q p (p q) F V /F V V F F F F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica I 16 de diciembre de / 185 F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica I 16 de diciembre de / 185 Justificaciones sin usar toda la Tabla de Verdad V La fórmula (p q) ( p q) es contingente Hemos de comprobar que hay una asignación que le asocia el valor V y que también hay una que le asocia el valor F. Comprobemos ambas cosas: v((p q) ( p q)) = V si consideramos la asignación v tal que v(p) = F y v(q) = F. v((p q) ( p q)) = F si consideramos la asignación v tal que v(p) = F y v(q) = V. Nota: Este razonamiento se resume en la tabla p q p q p q (p q) ( p q) F F V V V F V V F F Propiedades Fundamentales de las Tautologías y Contradicciones Toda fórmula es o bien una tautología, o bien una contradicción, o bien una fórmula contingente. Y sólo puede ser una de estas tres cosas. La negación de una tautología es una contradicción. La negación de una contradicción es una tautología. La negación de una fórmula contingente es contingente. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica I 16 de diciembre de / 185 F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica I 16 de diciembre de / 185

15 Algunas Tautologías con Nombre Propio A continuación listamos algunas tautologías especialmente interesantes. α α (ley de identidad). [En particular, p p, p p y (p q) (p q) son ejemplos de tautologías obtenidas por la ley de identidad]. α α (ley del tercio excluso). (α α) (principio de no contradicción). ( α α) α (ley de Clavius). α (α β) (ley de Duns Scoto). ((α β) α) α (ley de Peirce). ((α β) α) β. ((α β) β) α. ((α β) (β γ)) (α γ). (α β) (β α). Ejemplo de argumentación por Reducción al Absurdo La fórmula (α β) (β α) es una tautología Vamos a argumentar por reducción al absurdo. En este tipo de argumentación suponemos que la fórmula no es una tautología y de aquí obtenemos una contradicción; concluyendo por tanto que la suposición es falsa, es decir, que la fórmula sí es una tautología. Supongamos, pues, que existe una asignación v tal que hace falsa a la fórmula (α β) (β α). En tal caso se tiene que v(α β) = F y que v(β α) = F. Por tanto, usando el primer hecho se tiene que v(α) = V y v(β) = F ; y usando el segundo hecho se tiene que v(β) = V y v(α) = F. Y como es evidente que estas cosas no pueden suceder simultánemente (no puede ser que a la vez ocurra que v(α) = V y v(α) = F ), llegamos a la contradicción que buscábamos y concluimos que la suposición hecha al principio (es decir, que la fórmula no es una tautología) es falsa. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica I 16 de diciembre de / 185 F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica I 16 de diciembre de / 185 Cómo son las justificaciones para clasificar una fórmula en tautología, contradicción o contingente? Conviene enfatizar que una justificación que una fórmula es una tautología tiene que ser un argumento de cáracter universal (en el sentido de justificar que algo sucede para todas las asignaciones). es una contradicción tiene que ser un argumento de cáracter universal (en el sentido de justificar que algo sucede para todas las asignaciones). es contingente tiene que ser un argumento de cáracter particular (en el sentido de justificar que algo sucede en unas asignaciones concretas, nos da igual lo que pase en las otras asignaciones). Conviene enfatizar que una justificación que una fórmula no es una tautología tiene que ser un argumento de cáracter particular (en el sentido de justificar que algo sucede en una asignación concreta). no es una contradicción tiene que ser un argumento de cáracter particular (en el sentido de justificar que algo sucede en una asignación concreta). no es contingente tiene que ser un argumento de cáracter universal (en el sentido de justificar que algo sucede para todas las asignaciones). F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica I 16 de diciembre de / 185 Equivalencia Lógica Decimos que dos fórmulas son lógicamente equivalentes si son verdaderas en exactamente las mismas asignaciones. Y por tanto, también son falsas en exactamente las mismas asignaciones. Así pues, dos fórmulas son lógicamente equivalentes si y sólo si toman el mismo valor en toda asignación. Escribiremos α β para indicar que dichas dos fórmulas son lógicamente equivalentes. Y escribiremos α β para indicar que dichas dos fórmulas no son lógicamente equivalentes. Es evidente que: α α, si α β entonces β α, si α β y β γ entonces α γ. Es decir, la relación de equivalencia lógica es reflexiva, simétrica y transitiva. α β (es decir, α y β son equivalentes) si y sólo si ocurre que α β es una tautología. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica I 16 de diciembre de / 185

16 Ejemplo de Equivalencia Lógica La fórmulas p q y (p q) (q p) son equivalentes Hemos de comprobar que hay para toda asignación v se cumple que tanto p q como (p q) (q p) tienen asociado el mismo valor de verdad. A continuación razonamos construyendo las tablas de verdad de estas dos fórmulas. p q p q p q q p (p q) (q p) V V V V V V V F F F V F F V F V F F F F V V V V Examinado esta tabla es obvio que ambas fórmulas son equivalentes (porque las correspondientes columnas son iguales). F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica I 16 de diciembre de / 185 Principio de Sustitución de Fórmulas Equivalentes Principio de Sustitución de Fórmulas Equivalentes Si α y β son dos fórmulas lógicamente equivalentes (es decir, si α β), entonces toda fórmula es equivalente a la que resulta de sustituir (en dicha fórmula) la subfórmula α con β. Algunas Aplicaciones del Principio de Sustitución Si α β entonces α β. Si α β entonces α γ β γ. Si α β entonces γ α γ β. Si α β entonces α γ β γ. Si α β entonces α γ β γ. Si α 1 β 1 y α 2 β 2 entonces α 1 α 2 β 1 β 2. Si α 1 β 1 y α 2 β 2 entonces α 1 α 2 β 1 β 2. etc. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica I 16 de diciembre de / 185 Algunas Equivalencias Lógicas Importantes I A propósito de la conjunción α α α (idempotencia) [Ej: p p p, (p q) (p q) (p q).] α β β α (commutatividad) α (β γ) (α β) γ (asociatividad) A propósito de la disyunción α α α (idempotencia) α β β α (commutatividad) α (β γ) (α β) γ (asociatividad) Combinación de conjunciones y disyunciones α (β γ) (α β) (α γ) (distributiva de la conjunción respecto a la disyunción) α (β γ) (α β) (α γ) (distributiva de la disyunción respecto a la conjunción) F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica I 16 de diciembre de / 185 Omisión de Paréntesis Las leyes asociativas de la conjunción y de la disyunción justifican el hecho de omitir los paréntesis cuya única finalidad es agrupar o bien una sucesión de conjunciones o bien una sucesión de disyunciones. Así pues, a partir de ahora este tipo de paréntesis se pueden omitir si uno quiere. Por ejemplo, gracias a la omisión de paréntesis en virtud de lo dicho antes podemos reescribir (p q) r como p q r. p (q r) como p q r. p (q r) como p q r. (p q) (r s) como p q r s. (p q) (q r) como p q (q r). r ( t (p q)) como r ( t p q). (p t) (q (r p)) como (p t) q (r p). etc. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica I 16 de diciembre de / 185

17 Algunas Equivalencias Lógicas Importantes II A propósito de la negación α α (ley de la doble negación) (α β) α β (ley de De Morgan) (α β) α β (ley de De Morgan) (α β) α β (α β) (α β) ( α β) [Esta última equivalencia se puede deducir fácilmente utilizando el principio de sustitución así como el hecho que sabemos que α β (α β) (β α)] Es suficiente que la negación sólo afecte a letras proposicionales Como consecuencia de la diapositiva anterior se obtiene lo siguiente. Proposición Toda fórmula es equivalente a una fórmula en que la negación sólo afecta a letras proposicionales (es decir, no afecta a fórmulas compuestas) y que como mucho utiliza las conectivas, y. Ejemplos ( p q) p q p q ( p q) p q p q (q r) p q r p ((p r) ( q r)) (p r) ( q r) (p r) ( q r) (p r) (q r) p q (p q) (p q) p q p q F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica I 16 de diciembre de / 185 F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica I 16 de diciembre de / 185 Algunas Equivalencias Lógicas Importantes III Usando y para obtener el resto de conectivas binarias α β ( α β) α β (α β) α β ( (α β) ( α β)) Usando y para obtener el resto de conectivas binarias α β ( α β) α β α β α β ( ( α β) (α β)) Usando y para obtener el resto de conectivas binarias α β (α β) α β α β α β ((α β) (β α)) F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica I 16 de diciembre de / 185 No todas las conectivas son necesarias Como consecuencia de la diapositiva anterior se obtiene lo siguiente. Proposición Toda fórmula es equivalente a una con las mismas letras y cuyas únicas conectivas son la negación y la conjunción. Toda fórmula es equivalente a una con las mismas letras y cuyas únicas conectivas son la negación y la disyunción. Toda fórmula es equivalente a una con las mismas letras y cuyas únicas conectivas son la negación y el condicional. Así pues, observamos que a pesar de como hemos introducido el lenguaje de la lógica proposicional de hecho es suficiente utilizar sólo dos conectivas. Hemos obtado por utilizar cinco conectivas simplemente porque desde el punto de vista de la comprensión del lenguaje formal y de su aplicación al análisis de argumentos es preferible tener a nuestra disposición las cinco conectivas consideradas. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica I 16 de diciembre de / 185

18 Ejemplos de Cadenas de Equivalencias Lógicas I Ejemplo (encontrar fórmulas equivalentes que sólo usen y ) (p q) r ((p q) r) ( (p q) r) (r q) (p q) ((r q) p q) ( (r q) p q) ( p q) r ( ( p q) r) ( p q r) (p q) r ((p q) r) ((p q) (q p) r) ( (p q) (q p) r) Ejemplo (encontrar fórmulas equivalentes que sólo usen y ) ( p q) r p q r p q r ( p q) r ( ( p q) r) ( (p q) r) (p q) (q p) (p q) (q p) (p q) q p ( p q) q p [De hecho es equivalente a cualquier tautología, por ejemplo, p p] Ejemplos de Cadenas de Equivalencias Lógicas II Ejemplo (encontrar fórmulas equivalentes que sólo usen y ) (p q) r (p q) r (p q) r (p q) r ((p q) r) (r (p q)) (((p q) r) (r (p q))) ((( p q) r) (r ( p q))) ( p q) r ( p q) r (p q) r (p q) r (p q) r ((p q) (q p)) r ((p q) (q p)) r Observación Avanzada Hay fórmulas que no son equivalentes a ninguna fórmula que sólo utilice las conectivas y. Entre las fórmulas con esa propiedad se encuentran las fórmulas siguientes: p q, p q y p q. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica I 16 de diciembre de / 185 F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica I 16 de diciembre de / 185 Ejemplos de Cadenas de Equivalencias Lógicas III Comprobar que (p q) r (p r) (q r) (p q) r (p q) r ( p q) r (p r) (q r) ( p r) ( q r) ( p q) r Comprobar que (p q) r (p r) (q r) (p q) r (p q) r p q r (p r) (q r) p r q r p q r Comprobar que p (q r) (p q) (p r) p (q r) p (q r) (p q) (p r) ( p q) ( p r) p (q r) Comprobar que p (q r) (p q) (p r) p (q r) p q r (p q) (p r) p q p r p q r F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica I 16 de diciembre de / 185 Satisfacibilidad I Decimos que un conjunto Γ de fórmulas es satisfacible si existe una asignación v que hace verdadera a todas las fórmulas de Γ. En tal caso también diremos que v satisface Γ. Y decimos que un conjunto Γ de fórmulas es insatisfacible si no es satisfacible (es decir, si no existe una asignación que hace verdadera a todas las fórmulas de Γ). Es obvio que {α 1,..., α n } es satisfacible sii {α 1... α n } es satisfacible. {α1,..., α n } es insatisfacible sii {α 1... α n } es insatisfacible. Y también es obvio que {α 1,..., α n } es insatisfacible sii α 1... α n es una contradicción. {α 1,..., α n } es satisfacible sii α 1... α n no es una contradicción. Por tanto, entender el concepto de satisfacibilidad en el fondo es (igual de difícil y fácil) que entender el concepto de contradicción. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica I 16 de diciembre de / 185

19 Satisfacibilidad II Ejemplos sobre Satisfacibilidad I Por lo anterior podemos utilizar las tablas de verdad para averiguar si un conjunto de fórmulas es satisfacible o insatisfacible, pero en general este es un método muy poco eficiente. Para averiguar si un conjunto Γ de fórmulas es satisfacible o insatisfacible en general es más eficiente comenzar suponiendo que existe una asignación que hace verdaderas todas las fórmulas del conjunto, e intentar ver que esto es contradictorio. Si somos capaces de derivar una contradicción, entonces podemos concluir (sin ninguna duda) que el conjunto Γ es insatisfacible. Si no somos capaces de derivar una contradicción, entonces es bastante posible que hayamos obtenido pistas de cómo ha de ser una asignación que haga verdaderas a todas las fórmulas del conjunto Γ. Para poder concluir que Γ es satisfacible sólo falta verificar que realmente hay una asignación que hace verdaderas todas las fórmulas de Γ. Es satisfacible el conjunto {p q, p r, r q}? Comenzamos suponiendo que existe una asignación v tal que hace verdaderas a todas las fórmulas del conjunto. Es decir, se cumple que v(p q) = V, v(p r) = V y v(r q) = V. Por la condición v(r q) = V sabemos tanto que v(r) = V como que v(q) = V. Por la condiciones v(p q) = V y v(q) = V sabemos que v(p) = F. Por la condiciones v(p r) = V y v(r) = V sabemos que v(p) = V. Es evidente que no es posible que suceda a la vez que v(p) = F y v(p) = V. Así pues, la existencia de una asignación que hace verdadera las tres fórmulas es contradictoria, y podemos concluir que dicho conjunto de fórmulas es insatisfacible. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica I 16 de diciembre de / 185 F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica I 16 de diciembre de / 185 Ejemplos sobre Satisfacibilidad II Es satisfacible el conjunto {q (p r), q (p r)}? Comenzamos suponiendo que existe una asignación v tal que hace verdaderas a todas las fórmulas del conjunto. Es decir, se cumple que v(q (p r)) = V y v(q (p r)) = V. Usando v(q (p r)) = V resulta que v(q) = V y v(p r) = V. Usando v(q (p r)) = V y v(q) = V resulta que v(p r) = V. A partir de aquí no parece que seamos capaces de derivar ninguna contradicción (parece perfectamente posible que v(p r) = V y v(p r) = V ), pero el hecho de que no seamos nosotros capaces de encontrar una contradicción no significa que no la haya. Para concluir que es satisfacible falta mostrar una asignación que haga todas las fórmulas del conjunto verdaderas, por ejemplo, p q r q (p r) q (p r) V /F V F V V F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica I 16 de diciembre de / 185 Consecuencia Lógica I Decimos que una fórmula α es consecuencia (lógica) de un conjunto de fórmulas Γ si α es verdadera en todas las asignaciones que satisfacen Γ. En tal caso, también diremos que el argumento formado por las premisas (o hipótesis) Γ y la conclusión α es (lógicamente) correcto. Y también diremos que Γ implica (lógicamente) α. Notación: escribiremos Γ = α para indicar que α es consecuencia de Γ, y escribiremos Γ = α para indicar que no lo es. Es obvio que Γ = α sii todas las asignaciones que hacen verdaderas a las fórmulas del conjunto Γ también hacen verdadera a la fórmula α. Γ = α sii hay una asignación que hace verdadera a todas las fórmulas del conjunto Γ y hace falsa a la fórmula α. Y también es obvio que Γ = α sii no ocurre que hay una asignación que hace verdadera a todas las fórmulas del conjunto Γ y hace falsa a la fórmula α. Γ = α sii no ocurre que todas las asignaciones que hacen verdaderas a las fórmulas del conjunto Γ también hacen verdadera a la fórmula α. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica I 16 de diciembre de / 185

20 Consecuencia Lógica II Al referirnos a un argumento con premisas Γ = {γ 1,..., γ n } y conclusión α es más habitual utilizar la notación vertical γ 1. γ n α Conviene enfatizar que con esta notación simplemente nos referimos al argumento en cuestión, en ningún momento se afirma ni se niega que el argumento sea (lógicamente) correcto (a diferencia de lo que ocurre con las notaciones Γ = α y Γ = α). Si cambiamos de orden las premisas seguimos teniendo el mismo argumento. Notación: escribiremos γ1,..., γ n = α para indicar que {γ 1,..., γ n } = α. γ 1,..., γ n = α para indicar que {γ 1,..., γ n } = α. = α para indicar que = α. [ es el conjunto vacío que por definición no contiene ninguna fórmula] = α para indicar que = α. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica I 16 de diciembre de / 185 Consecuencia Lógica usando la Tabla de Verdad Para decidir si un argumento es correcto o no (es decir, si Γ = α o Γ = α) primero construimos la tabla de verdad de todas las fórmulas de Γ así como de α, y a continuación comprobamos en la tabla de verdad si hay una asignación que hace verdad todas las fórmulas de Γ y falsa a α. En este caso se tiene que Γ = α (i.e., el argumento no es correcto). no hay una asignación que hace verdad todas las fórmulas de Γ y falsa a α. En este caso se tiene que Γ = α (i.e., el argumento sí es correcto). Es importante destacar que la corrección o no de un argumento depende sólo de qué ocurre en aquellas asignaciones que hacen verdaderas todas las premisas del argumento; hemos de asegurarnos que estas asignaciones también hacen verdadera la conclusión del argumento. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica I 16 de diciembre de / 185 Ejemplos usando la Tabla de Verdad I Ejemplo: El argumento p q r (p q) p r es correcto o no? Comenzamos construyendo la tabla de verdad (recordemos que la corrección o no de un argumento sólo depende de las asignaciones que hacen verdaderas todas las premisas). p q r p q r (p q) p r V V V V V V V V F V F V F V F V F F F F V V F F V F F F F V V F F F F V V V Así pues, el argumento es correcto (porque no hay ninguna asignación que hace verdadera a todas las premisas y falsa a la conclusión). F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica I 16 de diciembre de / 185 Ejemplos usando la Tabla de Verdad II p Ejemplo: El argumento p q q p q p p q q V V V V V V F V F F V F F F F q Ejemplo: El argumento p q p p q q p q p V V V V V V F F F V V V F F F F es correcto o no? Así pues, el argumento es correcto. es correcto o no? Así pues, el argumento no es correcto (porque la tercera asignación hace verdaderas todas las premisas y falsa la conclusión). F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica I 16 de diciembre de / 185