Tema 6. Métodos de decisión

Transcripción

1 Lógica I (curso ) Prof. Paloma Pérez-Ilzarbe Tema 6. Métodos de decisión Objetivos: - Comprender las nociones de "decidibilidad" y "método de decisión", y comprender el interés de que la lógica proposicional sea decidible. - Saber qué es una tabla de verdad y cómo se construye (para una única fórmula, para un conjunto o para un argumento dado). - Saber usar el método de las tablas de verdad para decidir cuestiones acerca de propiedades y relaciones semánticas. - Comprender la estructura argumentativa de una reducción al absurdo, y conocer las estrategias para moverse por el árbol de valuación hasta encontrar una contradicción. - Saber usar el método de la reducción al absurdo para decidir cuestiones acerca de propiedades y relaciones semánticas. - Saber construir una tabla analítica de un conjunto dado de fórmulas, saber reconocer sus ramas y saber si están abiertas o cerradas. - Saber aplicar el método de las tablas analíticas para decidir cuestiones acerca de propiedades y relaciones semánticas. ibliografía Para los métodos semánticos, sección 3 del capítulo 7 en el manual de adesa. Para las tablas analíticas, capítulo "Tablas semánticas" en el manual de Manuel Garrido, Lógica simbólica, Tecnos, Madrid, ibliografía complementaria: Raymond Smullyan, First Order Logic, Springer, erlin, Trabajo fuera de clase: No obligatorio: cuestionario de autoevaluación en el Examinador de Adi. Prácticas extra en Adi. Apuntes del tema Las propiedades y relaciones semánticas para las fórmulas de LP son decidibles: esto quiere decir que existe un procedimiento mecánico (un algoritmo) que nos da, en un número finito de pasos, una respuesta "sí o no" a la pregunta acerca de si una fórmula tiene una propiedad o acerca de si se da una relación entre ciertas fórmulas.

2 6.1. Métodos semánticos: tablas de verdad y reducción al absurdo Llamamos "semánticos" a estos métodos porque utilizan explícitamente las nociones semánticas de asignación y valor de verdad. TALAS E VERA Las tablas de verdad demuestran propiedades o relaciones mostrando el conjunto de todas las posibles asignaciones para una fórmula o conjunto de fórmulas, y calculando el valor de verdad de las fórmulas en todas esas asignaciones. Para responder a una pregunta sobre propiedades semánticas de fórmulas mediante las tablas de verdad: 1º Se calculan todas las asignaciones para la fórmula en cuestión (el número de asignaciones para A es, como sabemos, 2 n, donde n es el número de variables proposicionales distintas que aparecen en A). 2º Se calculan los valores de verdad de las fórmulas compuestas que se han ido generando al aplicar las reglas de formación, hasta llegar a la fórmula que estudiamos. 3º Mirando la lista de valores de verdad que toma la fórmula en cada interpretación, podemos decir si es una tautología (todos V), una contradicción (todos F) o una fórmula contingente (valores V y valores F). Para responder a una pregunta sobre relaciones semánticas con tablas de verdad: 1º Se calculan todas las asignaciones para el conjunto de fórmulas que estudiamos (por ejemplo, si estudiamos la relación de consecuencia {A,, C} =, deberemos tener en cuenta a la vez todas las variables proposicionales que intervienen en A,, C y ). 2º Se calculan los valores de verdad de cada una de las fórmulas que estudiamos en cada asignación. 3º Mirando las listas de valores de verdad podremos decir si A y son equivalentes (en todas las asignaciones A y toman el mismo valor), si A, y C forman un conjunto insatisfacible (en ninguna asignación A, y C son todas verdaderas), o si {A, } implica C (en ninguna asignación A y son las dos verdaderas pero C es falsa). Ejemplo: demostrar mediante las tablas de verdad que el argumento (p q), p q es válido. Calculamos todas las asignaciones para las variables proposicionales del argumento (son cuatro, porque hay dos variables), y aplicamos las definiciones de las conectvas para calcular el valor de verdad de cada fórmula en esas asignaciones. p q (p q), p q V V V F V V F V F F F V V V V F F F V F Como en ninguna asignación ocurre que todas las premisas son verdaderas y la conclusión es falsa, quiere decir que hay relación de consecuencia y por tanto el argumento es válido.

3 REUCCIÓN AL ASURO La reducción al absurdo es un método de demostración indirecto: se supone la negación de lo que se quiere demostrar, se sacan consecuencias, se llega a una contradicción y se rechaza la hipótesis que lleva al absurdo. No hay que calcular todas las asignaciones y los valores de la fórmula en cada una de ellas, sino que se va buscando una asignación concreta: la que sería "culpable" de que la fórmula no tuviera la propiedad o relación que queremos demostrar que tiene. Cuando se llega a una contradicción, queda demostrado que esa asignación no existe. Nótese que, si lo que nos piden no se puede demostrar, la reducción al absurdo nos lleva a la interpretación "culpable" de que la fórmula no tenga esa propiedad o de que no haya esa relación. Por ejemplo, si la fórmula no es una tautología, no llegaremos a ninguna contradicción, sino que encontraremos una asignación que la hace falsa. Ejemplo. Para demostrar que una fórmula es una tautología: 1º Se supone que la fórmula no es una tautología. 2º Se sacan consecuencias: si no fuera tautología, sería porque existe una asignación que la hace falsa: hay que buscar cuál sería esa asignación. Para ello hay que moverse a través de un árbol de valuación, deduciendo qué valores de verdad deberán tener las subfórmulas de cada fórmula para que tenga el valor que necesitamos. 3º Se llega a una contradicción: una misma fórmula debería tomar dos valores distintos en una asignación. 4º Se niega la hipótesis que lleva al absurdo: la fórmula sí es una tautología. Para demostrar que una fórmula es una contradicción se supone que la fórmula no es una contradicción (es decir, que es verdadera en alguna asignación) y se busca la asignación que supuestamente haría verdadera a la fórmula (cuando se encuentra contradicción, se concluye que tal asignación no puede existir). Para demostrar que una fórmula A es consecuencia de un conjunto Γ, se supone que no hay relación de consecuencia (es decir, que en alguna asignación todas las fórmulas de Γ son verdaderas pero A es falsa) y se busca la asignación culpable de eso (cuando se encuentra contradicción, se concluye que tal asignación no puede existir). Para simplificar el método de la reducción al absurdo, trabajaremos del siguiente modo: Iremos calculando los valores de verdad de las subfórmulas siempre que haya una única manera para que la fórmula tenga el valor que necesitamos: por ejemplo, para que un condicional sea falso, sabemos que su antecedente debe ser verdadero y su consecuente falso; para que una conjunción sea verdadera, sabemos que sus dos partes deben ser verdaderas; para que una negación sea falsa, sabemos que su subfórmula inmediata debe ser verdadera, etc. Interrumpiremos el descenso cuando haya varias posibilidades para que la fórmula tome el valor que necesitamos: por ejemplo, para que sea verdadera una disyunción podrían ser verdaderas sus dos partes, o podría ser verdadera la primera y falsa la segunda, o podría ser falsa la primera y verdadera la segunda: no vamos a elegir una de esas posibilidades (ni tampoco examinarlas todas). Indicamos que interrumpimos el descenso colocando una raya horizontal. Para poder continuar sin elegir al azar una de las posibilidades (ese sería un error

4 grave en la reducción al absurdo), utilizaremos la información ya obtenida en otra parte de la reducción al absurdo. Es decir: sustituiremos algún valor de las variables proposicionales de esa fórmula que ya haya quedado establecido en otro lugar de la reducción al absurdo, y a partir de aquí seguiremos bajando a las subfórmulas como antes. Por ejemplo, para que la fórmula (p q) sea verdadera no puedo determinar seguro qué valores deben tomar p y q (hay tres combinaciones posibles), pero por otro lado sé que en la asignación que busco p debe ser verdadera. Entonces sustituyo este valor (y lo indico, colocando bajo la raya horizontal un "sust p=v") y obtengo la casifórmula (V q), y ahora sí sé seguro qué valor debe tener q para que esta fórmula sea verdadera (q debe ser también verdadera). Continuaremos con este procedimiento (bajar a las subfórmulas cuando haya una posibilidad, o parar y sustituir valores cuando haya varias) hasta llegar a los valores de verdad que deberían tener en la asignación que buscamos todas las variables proposicionales de la fórmula, y veremos si esa supuesta asignación es contradictoria o no Ejemplo: demostrar que {(p q), ( q r), (r s)} implica (s p). Suponemos que no existe relación de implicación: entonces habrá una asignación en la que todas las fórmulas del conjunto serán verdaderas y la otra fórmula falsa. Intentamos determinar cuál sería esa asignación. Importante: no sirve para nada una lista de Vs y Fs, quien corrige debe poder saber de dónde han salido esos valores. Para eso usamos a) las rayas horizontales, que indican cuándo no sabemos los valores (porque hay varias posibilidades y no podemos elegir sin más una de ellas) y tenemos que esperar a que salga algún valor por otro lado para sustituirlo, y b) las indicaciones de qué estamos sustituyendo en cada caso. (Para mayor claridad, en este ejemplo indico con las flechas azules el orden en el que he hecho las cosas.) (p q) ( q r) (r s) (s p) sust p=v (V q)=v q=v V V V F sust q=v (F r)=v r=v (r s)=f sust r=v (V s)=f s=f s=v s=f p=v Supuestamente, la asignación que satisface al conjunto pero hace falsa a la fórmula (s p) es la asignación p=v, q= V, r=v, s=v/f. Como no es posible que en una asignación una misma variable proposicional (s) tenga el valor V y F, la hipótesis que nos ha llevado a este absurdo es falsa, no existe ninguna asignación que hace satisface al conjunto pero hace falsa a la fórmula, y por tanto sí existe relación de implicación.

5 6.2. Métodos sintácticos: tablas analíticas ecimos que las tablas analíticas son un método sintáctico porque no aparecen en ellas explícitamente las nociones semánticas de asignación o de valor de verdad. Una tabla analítica es simplemente un conjunto (o varios posibles conjuntos alternativos) de fórmulas. Construcción de una tabla analítica para un conjunto de fórmulas Γ 1º Se escriben una debajo de otra, como cabeza de la tabla, todas las fórmulas del conjunto Γ (Γ es siempre un conjunto finito y no vacío, aunque podría tener una única fórmula: entonces se pone esa fórmula). 2º Se analiza cada fórmula presente en la tabla (siempre que no sea una fórmula atómica ni la negación de una fórmula atómica, que son inanalizables desde el punto de vista de las tablas analíticas), escribiendo debajo sus fórmulas sucesoras según la regla analítica correspondiente. Reglas analíticas que indican la sucesora o sucesoras de una fórmula según su estructura: FÓRMULAS E TIPO α (A ) (A ) (A ) A A A A A FÓRMULAS E TIPO β (A ) (A ) (A ) (A ) (A ) A A A A A A A Las fórmulas α simplemente hacen crecer la tabla hacia abajo: construyen un único conjunto de fórmulas. Las fórmulas β ramifican la tabla analítica: no construyen un único conjunto, sino que abren distintas posibilidades (son como posibles caminos distintos, que darían lugar a un conjunto distinto si eligiéramos uno u otro). 3º Cada vez que se añade a la tabla una fórmula que sea analizable, deberá aplicársele la regla analítica correspondiente, hasta que todas las fórmulas presentes en la tabla estén ya analizadas o sean literales (atómica o negación de atómica). Entonces decimos que la tabla está terminada. Una tabla analítica tiene siempre una fórmula inicial (la que lleva el número 1) y una o varias fórmulas terminales (cada una de las fórmulas que no tiene nada debajo). Recorriendo los posibles caminos que van desde la fórmula inicial hasta cada una de las fórmulas terminales, las fórmulas que están situadas en la misma trayectoria vertical constituyen un conjunto de fórmulas que llamamos rama de esa tabla analítica. Por ejemplo:

6 C A E F Esta tabla analítica tiene tres puntos terminales: C, E y F, que delimitan tres ramas: R1={A,, C} R2={A,,, E} R3={A,,, F} Cuando analizamos una fórmula, añadimos a la tabla analítica las fórmulas que indica la regla correspondiente, bajo la última fórmula de la rama a la que pertenece la fórmula que analizamos (no importa que la fórmula analizada esté muy lejos de su análisis, que haya otras fórmulas en medio). Por ejemplo: (p q) A H E F Para continuar esta tabla, si tenemos que analizar la fórmula (p q), deberemos escribir debajo de H las dos fórmulas que nos indica la regla correspondiente. A veces ocurre que la fórmula que debemos analizar pertenece a varias ramas. (Por ejemplo, en la tabla anterior A y pertenecen a las tres ramas, y pertenece a R2 y a R3.) Cuando ocurre esto, la fórmula debe analizarse en todas las ramas a las que pertenece: es decir, debe repetirse el análisis debajo de cada final de rama que tenga a esa fórmula por encima. (Pero no debe repetirse debajo de finales de rama que no tengan a esa fórmula por encima.) Por ejemplo, en la tabla anterior, si fuera (p q), deberían escribirse p y q dos veces, debajo de E y debajo de F (pero no debajo de H, porque no pertenece a esa rama). Es muy importante recordar esto (que cuando una fórmula pertenece a varias ramas, debe repetirse su análisis completo en cada una de las ramas a las que pertenece) cuando la fórmula que analizamos es de tipo β, para no cometer el error de analizar un trozo de la fórmula en una rama y otro trozo en otra rama. Por ejemplo, sería incorrecto analizar así (p q) en una tabla que tiene ya dos ramas, poniendo un trozo debajo de C y otro trozo debajo de : (p q) C Incorrecto! p q

7 Lo correcto, en cambio, sería poner el análisis completo debajo de C y el análisis completo debajo de : C (p q) p q p q Recordemos que ninguna fórmula debe analizarse en una rama a la que no pertenece: Por ejemplo, en la tabla: A (p q) la fórmula (p q) no debe analizarse debajo de, sino que debe analizarse completa debajo de ella misma: A (p q) p q Es importante, una vez que se tiene la tabla terminada, saber determinar qué fórmulas pertenecen a cada rama. Lo que es significativo en una tabla analítica es cada una de sus ramas por separado. Cuando una misma rama contiene una fórmula y su negación decimos que esa rama está cerrada. En caso contrario, decimos que está abierta. Ejemplo: Construir la tabla analítica del conjunto Γ={(((p p) q) (r q)), (r p)} Empezamos colocando cada una de las fórmulas del conjunto, una debajo de otra, como cabeza de la tabla: Analizamos la fórmula 1:

8 Analizamos la fórmula 2: 5. r (de 2) 6. p α (de 2) Analizamos la fórmula 3: 5. r (de 2) 6. p α (de 2) 7. (p p) q (de 3) Analizamos 4 (que pertenece a las dos ramas, por eso repetimos el análisis): 5. r (de 2) 6. p α (de 2) 7. (p p) q (de 3) 8. r q r q (de 4) La fórmula 5 es literal, no tiene análisis. Pasamos a analizar 6, que pertenece a las cuatro ramas (por eso repetimos cuatro veces el análisis): 5. r (de 2)

9 6. p α (de 2) 7. (p p) q (de 3) 8. r q r q (de 4) 9 p p p p (de 6) La única fórmula no literal que queda sin analizar es 7(izq.), que pertenece sólo a las dos ramas de la izquierda (por eso sólo repetimos el análisis en esas dos ramas): 5. r (de 2) 6. p α (de 2) 7. (p p) q (de 3) 8. r q r q (de 4) 9 p p p p (de 6) 10 p p (de7) 11 p p (de7) Ahora que la tabla está terminada, pasamos a estudiar sus ramas: Rama 1={(((p p) q) (r q)), (r p), ((p p) q), (r q), r, p, (p p), r, p, p, p} (rama cerrada) Rama 2={(((p p) q) (r q)), (r p), ((p p) q), (r q), r, p, (p p), q, p, p, p} (rama cerrada) Rama 3={(((p p) q) (r q)), (r p), ((p p) q), (r q), r, p, q, r, p} (rama abierta) Rama 4={(((p p) q) (r q)), (r p), ((p p) q), (r q), r, p, q, q, p} cerrada) (rama Puesto que las ramas son conjuntos de fómulas, no importa el orden en que se presenten sus elementos. Por eso es irrelevante el orden que se elija para analizar las fórmulas. Como estrategia general para simplificar la construcción de una tabla, es preferible analizar las fórmulas α antes que las β, para evitar (mientras sea posible) que la tabla se ramifique y tengamos que repetir el análisis de una misma fórmula en varias ramas. En el ejemplo que acabamos de hacer, si se hubiera seguido esta estrategia, el aspecto de la tabla hubiera sido distinto, pero los conjuntos de fórmulas que constituirían cada rama serían los mismos.

10 Aplicación de las tablas analíticas para decidir propiedades y relaciones semánticas: Lo que es significativo en una tabla analítica es que todas sus ramas queden cerradas. Cuando ocurre esto, quiere decir que el conjunto de fórmulas para el que hemos hecho la tabla es un conjunto insatisfacible. Si no ocurre esto (cuando al menos una rama queda abierta: no importa si son una o varias, o incluso si quedan todas abiertas), el conjunto de fórmulas es satisfacible. ebido a la relación que existe entre las distintas propiedades semánticas, aunque el método de las tablas analíticas sólo nos da información directa acerca de la satisfacibilidad o insatisfacibilidad de conjuntos, podemos usar esta información para responder a cualquier otra pregunta sobre propiedades o relaciones semánticas: Para decidir si una fórmula es una contradicción, haremos la tabla analítica del conjunto formado por esa única fórmula. Si todas las ramas se cierran, el conjunto será insatisfacible y por tanto la fórmula será una contradicción. Para decidir si una fórmula es una tautología, haremos la tabla analítica de la negación de la fórmula. Si todas las ramas se cierran, la negación será una contradicción y por tanto la fórmula original será una tautología. Para decidir si una fórmula implica a otra y, en general, si un conjunto {A,, C} implica a una fórmula, haremos una tabla analítica del conjunto formado por las fórmulas implicadoras más la negación de la fórmula implicada {A,, C, }. Si todas las ramas se cierran, quedará demostrado que existe relación de consecuencia. Para demostrar que dos fórmulas A y son equivalentes, será necesario hacer dos tablas analíticas: una que demuestre la implicación de A a, y otra que demuestre la implicación de a A, es decir, una para el conjunto {A, } y otra para el conjunto {, A}. Será necesario que en las dos tablas se cierren todas las ramas para demostrar la equivalencia. Para demostrar que un argumento es válido deberá hacerse una tabla analítica para el conjunto formado por las premisas y la negación de la conclusión. Si todas las ramas se cierran, quedará demostrado que el argumento es válido.