Lógica proposicional. Semántica Lógica 2018

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1 Lógica proposicional. Semántica Lógica 2018 Instituto de Computación 20 de marzo Instituto de Computación (InCo) Lógica proposicional. Semántica Curso / 1

2 Significado de una fórmula proposicional El significado de una palabra de PROP está dado por su valor de verdad (o sea, si es Verdadera o Falsa) que se obtiene de la siguiente forma: las variables (letras) proposicionales pueden tomar cualquier valor de verdad es falsa los valores de verdad de las fórmulas atómicas se extienden a las fórmulas no atómicas de acuerdo al significado de los conectivos que contienen. Instituto de Computación (InCo) Lógica proposicional. Semántica Curso / 76

3 Las palabras de PROP Las proposiciones atomicas tienen un valor de verdad conocido. Se abstraen las proposiciones simples a letras. La frase Los perros comen salchichas con tuco colapsa a, por ejemplo, p 0. Y si esa frase es verdad en una situación v, diremos que v(p 0 ) = 1. Y si es falsa, diremos que v(p 0 ) = 0. Instituto de Computación (InCo) Lógica proposicional. Semántica Curso / 76

4 Construyendo PROP Instituto de Computación (InCo) Lógica proposicional. Semántica Curso / 76

5 Calculando valores de verdad Instituto de Computación (InCo) Lógica proposicional. Semántica Curso / 76

6 Semántica de PROP PROP está definido inductivamente. La semántica está dada por los valores de verdad de las proposiciones, ya sean simples o complejas. Se buscará la forma de construir esa semántica teniendo en cuenta que: Las letras proposicionales pueden tomar cualquier valor. El valor de las letras proposicionales se transmite, lo que permite calcular el valor de las proposiciones complejas en función del valor de las proposiciones más simples. Instituto de Computación (InCo) Lógica proposicional. Semántica Curso / 76

7 Significado de algunos conectivos El dos es par o impar Verdad El dos es par o natural Verdad Si n es multiplo de 6, entonces 4 es par Verdad Si 4 es impar, entonces 3 es par Verdad Si ustedes estudian, entonces aprobarán la asignatura Instituto de Computación (InCo) Lógica proposicional. Semántica Curso / 76

8 Significado de algunos conectivos El dos es par o impar Verdad El dos es par o natural Verdad Si n es multiplo de 6, entonces 4 es par Verdad Si 4 es impar, entonces 3 es par Verdad Si ustedes estudian, entonces aprobarán la asignatura Verdad? Instituto de Computación (InCo) Lógica proposicional. Semántica Curso / 76

9 Valuaciones Una valuación es una función de PROP {0, 1} que transmite valores de verdad a partir de las letras proposicionales. No cualquier función de PROP {0, 1} es una valuación. f (α) = 1 para toda α PROP g (α) = (1 + largo (α)) mód 2 para toda α PROP Cómo se construyen funciones que sean valuaciones? Asegurando que el valor de las fórmulas compuestas queda determinado unívocamente por los valores de las variables. Instituto de Computación (InCo) Lógica proposicional. Semántica Curso / 76

10 Def Valuación Una función v : PROP {0, 1} es una valuación sii satisface: v ( ) = 0 v ((α β)) = mín {v (α), v (β)} v ((α β)) = máx {v (α), v (β)} v ((α β)) = máx {1 v (α), v (β)} v ((α β)) = 1 v (α) = v (β) v (( α)) = 1 v (α) Observación. Esta no es la definición de una valuación, sino la definición de ser una valuación; una serie de ecuaciones que garantizan la transmisión de la verdad. Instituto de Computación (InCo) Lógica proposicional. Semántica Curso / 76

11 Teorema El valor de verdad de los átomos determina una única valuación (el valor para cualquier fórmula). Hipótesis Sea w : P {0, 1}. Tesis Existe una única valuación v : PROP {0, 1} tal que v(p) = w(p) para todo p P. Instituto de Computación (InCo) Lógica proposicional. Semántica Curso / 76

12 Teorema Demostración Considere una función v sobre PROP definida por recursión primitiva tal que: v (p) = w (p) para todo p P v es una valuación (cumple con Def ) Esta función existe y es única dado que fue definida por recursión primitiva. Además es valuación (por su propia definición). Instituto de Computación (InCo) Lógica proposicional. Semántica Curso / 76

13 Lema El valor de verdad de una fórmula depende únicamente del valor de sus letras de proposición Hipótesis Sea α PROP. Sean v y v dos valuaciones tales que v(p) = v (p) para toda letra p que ocurre en α. Tesis Entonces v (α) = v (α). Instituto de Computación (InCo) Lógica proposicional. Semántica Curso / 76

14 Def Tautología, consecuencia lógica Tautología Decimos que α PROP es una tautología ssi para cualquier valuación v se cumple que v (α) = 1. Consecuencia lógica Dadas Γ PROP y α PROP, α es consecuencia lógica de Γ ssi para cualquier valuación v: Si ( γ Γ)v (γ) = 1, entonces v (α) = 1. Instituto de Computación (InCo) Lógica proposicional. Semántica Curso / 76

15 Notación Γ = α se lee α es consecuencia lógica de Γ γ 1,..., γ n = α se lee {γ 1,..., γ n } = α = α se lee = α = α se lee α es tautología Instituto de Computación (InCo) Lógica proposicional. Semántica Curso / 76

16 Uso directo de la definición de valuación Investigar p 0 p 0 Sea v una valuación. Luego, v (p 0 p 0 ) = (def.) máx {1 v (p 0 ), v (p 0 )} = (v (p 0 ) {0, 1}) 1. Como cualquier valuación cumple v (p 0 p 0 ) = 1, concluímos que = p 0 p 0. Instituto de Computación (InCo) Lógica proposicional. Semántica Curso / 76

17 Investigar ϕ ϕ (Uso... ) Sea v una valuación. Luego, v (ϕ ϕ) = (def.) máx {1 v (ϕ), v (ϕ)} = (v (ϕ) {0, 1}) 1. Como cualquier valuación cumple v (ϕ ϕ) = 1, concluímos que ( ϕ) = ϕ ϕ. Instituto de Computación (InCo) Lógica proposicional. Semántica Curso / 76

18 Investigar p 1 p 2 p 1 p 2 (Uso... ) y esto es inmediato. Como cualquier valuación cumple v (p 1 p 2 p 1 p 2 ) = 1, concluímos que = p 1 p 2 p 1 p 2. Instituto de Computación (InCo) Lógica proposicional. Semántica Curso / 76 Sea v una valuación. Luego, v (p 1 p 2 p 1 p 2 ) = 1 (def.) v (p 1 p 2 ) = v ( p 1 p 2 ) (def.) máx {v (p 1 ), v (p 2 )} = máx {1 v ( p 1 ), v (p 2 )} (def.) máx {v (p 1 ), v (p 2 )} = máx {1 1 + v (p 1 ), v (p 2 )},

19 Investigar p 0 p 1 (Uso... ) Sea v una valuación. Luego, v (p 0 p 1 ) = (def.) máx {1 v (p 0 ), v (p 1 )}. Si v (p 0 ) = 1 y v (p 1 ) = 0, tenemos v (p 0 p 1 ) = 0. Como hay una valuación v que cumple v (p 0 p 1 ) = 0, concluímos que = p 0 p 1. Instituto de Computación (InCo) Lógica proposicional. Semántica Curso / 76

20 Investigar (p 1 p 2 ) (p 1 p 2 ) (Uso... ) Sea v una valuación. Luego, v ((p 1 p 2 ) (p 1 p 2 )) = mín {v (p 1 p 2 ), v ( (p 1 p 2 ))} = mín {máx {1 v (p 1 ), v (p 2 )}, 1 v (p 1 p 2 )} = mín {máx {1 v (p 1 ), v (p 2 )}, 1 máx {v (p 1 ), v (p 2 )}} = mín {máx {1 v (p 1 ), v (p 2 )}, mín {1 v (p 1 ), 1 v (p 2 )}} = mín {máx {1 v (p 1 ), v (p 2 )}, 1 v (p 1 ), 1 v (p 2 )} Si v (p 1 ) = 1, tenemos v ((p 1 p 2 ) (p 1 p 2 )) = 0. Como hay una valuación v que cumple v ((p 1 p 2 ) (p 1 p 2 )) = 0, concluímos que = (p 1 p 2 ) (p 1 p 2 ). Instituto de Computación (InCo) Lógica proposicional. Semántica Curso / 76

21 Investigar ϕ, ψ = ϕ ψ (Uso... ) Sea v una valuación tal que v (ϕ) = 1 y v (ψ) = 1. Luego, v (ϕ ψ) = (def.) mín {v (ϕ), v (ψ)} = (hip.) 1. Como cualquier valuación que cumple v (ϕ) = 1 y v (ψ) = 1 debe cumplir que v (ϕ ψ) = 1, concluímos que ( ϕ, ψ)ϕ, ψ = ϕ ψ. Instituto de Computación (InCo) Lógica proposicional. Semántica Curso / 76

22 Investigar p 1 = p 2 p 3 (Uso... ) El argumento anterior sirve para justificar ( p, q, r P)p = q r? Y para ( ϕ, ψ, σ PROP)ϕ = ψ σ? Instituto de Computación (InCo) Lógica proposicional. Semántica Curso / 76 Sea v una valuación tal que v (p 1 ) = 1. Luego, v (p 2 p 3 ) = (def.) mín {v (p 2 ), v (p 3 )}. Si v (p 1 ) = 1 y v (p 2 ) = 0, tenemos v (p 2 p 3 ) = 0. Como hay una valuación v que cumple v (p 1 ) = 1 y v (p 2 p 3 ) = 0, concluímos que p 1 = p 2 p 3.

23 Considerando los valores en cada letra Investigar p 0 p 0 Sea v una valuación. Luego, Caso v (p 0 ) = 0 Caso v (p 0 ) = 1 v (p 0 p 0 ) = (def.) máx {1 v (p 0 ), v (p 0 )} = máx {1 0, 0}. v (p 0 p 0 ) = (def.) máx {1 v (p 0 ), v (p 0 )} = máx {1 1, 1}. Como cualquier valuación cumple v (p 0 p 0 ) = 1, concluímos que = p 0 p 0. Instituto de Computación (InCo) Lógica proposicional. Semántica Curso / 76

24 Investigar ϕ ϕ (Considerando... ) Sea v una valuación. Luego, Caso v (ϕ) = 0 Caso v (ϕ) = 1 v (ϕ ϕ) = (def.) máx {1 v (ϕ), v (ϕ)} = máx {1 0, 0}. v (ϕ ϕ) = (def.) máx {1 v (ϕ), v (ϕ)} = máx {1 1, 1}. Como cualquier valuación cumple v (ϕ ϕ) = 1, concluímos que = ϕ ϕ. Instituto de Computación (InCo) Lógica proposicional. Semántica Curso / 76

25 Investigar p 1 p 2 p 1 p 2 (Considerando... ) Sea v una valuación. Luego, v (p 1 p 2 p 1 p 2 ) = 1 v (p 1 p 2 ) = v ( p 1 p 2 ) máx {v (p 1 ), v (p 2 )} = máx {1 v ( p 1 ), v (p 2 )}. Caso v (p 2 ) = 0 máx {v (p 1 ), 0} = máx {1 v ( p 1 ), 0} v (p 1 ) = v (p 1 ), y esto es inmediato. Instituto de Computación (InCo) Lógica proposicional. Semántica Curso / 76

26 Investigar p 1 p 2 p 1 p 2 (Considerando... ) Caso v (p 2 ) = 0 (slide anterior) Caso v (p 2 ) = 1 máx {v (p 1 ), 1} = máx {1 v ( p 1 ), 1} 1 = 1, y esto es inmediato. Como cualquier valuación cumple v (p 1 p 2 p 1 p 2 ) = 1, concluímos que = p 1 p 2 p 1 p 2. Instituto de Computación (InCo) Lógica proposicional. Semántica Curso / 76

27 Investigar p 0 p 1 (Considerando... ) Sea v una valuación. Luego, Caso v (p 0 ) = 0 Caso v (p 0 ) = 1 v (p 0 p 1 ) = máx {1 v (p 0 ), v (p 1 )} = máx {1, v (p 1 )} = 1. v (p 0 p 1 ) = máx {1 v (p 0 ), v (p 1 )} = máx {0, v (p 1 )} = v (p 1 ). Si v (p 0 ) = 1 y v (p 1 ) = 0, tenemos v (p 0 p 1 ) = 0. Como hay una valuación v que cumple v (p 0 p 1 ) = 0, concluímos que = p 0 p 1. Instituto de Computación (InCo) Lógica proposicional. Semántica Curso / 76

28 Si v (p 1 ) = 1, tenemos v ((p 1 p 2 ) (p 1 p 2 )) = 0. Como hay una valuación v que cumple v ((p 1 p 2 ) (p 1 p 2 )) = 0, concluímos que = (p 1 p 2 ) (p 1 p 2 ). Instituto de Computación (InCo) Lógica proposicional. Semántica Curso / 76 Investigar (p 1 p 2 ) (p 1 p 2 ) (Cons... ) Sea v una valuación. Luego, Caso v (p 1 ) = 1 v ((p 1 p 2 ) (p 1 p 2 )) = mín {v (p 1 p 2 ), v ( (p 1 p 2 ))} = mín {máx {1 v (p 1 ), v (p 2 )}, 1 v (p 1 p 2 )} = mín {v (p 2 ), 1 máx {v (p 1 ), v (p 2 )}} = mín {v (p 2 ), 1 máx {1, v (p 2 )}} = mín {v (p 2 ), 1 1} = 0

29 Investigar ϕ, ψ = ϕ ψ (Considerando... ) Sea v una valuación tal que v (ϕ) = 1 y v (ψ) = 1. Luego, v (ϕ ψ) = (def.) mín {v (ϕ), v (ψ)} = (hip.) 1. Como cualquier valuación que cumple v (ϕ) = 1 y v (ψ) = 1 debe cumplir que v (ϕ ψ) = 1, concluímos que ( ϕ, ψ)ϕ, ψ = ϕ ψ. Instituto de Computación (InCo) Lógica proposicional. Semántica Curso / 76

30 Investigar p 1 = p 2 p 3 (Considerando... ) Sea v una valuación tal que v (p 1 ) = 1. Luego, Caso v (p 2 ) = 0 v (p 2 p 3 ) = (def.) mín {v (p 2 ), v (p 3 )} = mín {0, v (p 3 )}. Si v (p 1 ) = 1 y v (p 2 ) = 0, tenemos v (p 2 p 3 ) = 0. Como hay una valuación v que cumple v (p 1 ) = 1 y v (p 2 p 3 ) = 0, concluímos que p 1 = p 2 p 3. Instituto de Computación (InCo) Lógica proposicional. Semántica Curso / 76

31 Tablas de verdad Investigar p 0 p 0 Construimos una tabla de verdad considerando todos los valores posibles que pueden tomar las letras en juego. p 0 p 0 p Como cualquier valuación cumple v (p 0 p 0 ) = 1, concluímos que = p 0 p 0. Instituto de Computación (InCo) Lógica proposicional. Semántica Curso / 76

32 Investigar ϕ ϕ (TV) ϕ ϕ ϕ Como cualquier valuación cumple v (ϕ ϕ) = 1, concluímos que ( ϕ) = ϕ ϕ. Qué sucede cuando ϕ =? Instituto de Computación (InCo) Lógica proposicional. Semántica Curso / 76

33 Investigar p 1 p 2 p 1 p 2 (TV) p 1 p 2 p 1 p 2 p 1 p 1 p 2 p 1 p 2 p 1 p Como cualquier valuación cumple v (p 1 p 2 p 1 p 2 ) = 1, concluímos que = p 1 p 2 p 1 p 2. En qué renglón aparece la valuación que cumple v (p 3 ) = 0? Instituto de Computación (InCo) Lógica proposicional. Semántica Curso / 76

34 Investigar p 0 p 1 (TV) p 0 p 1 p 0 p Como hay una valuación v que cumple v (p 0 p 1 ) = 0, concluímos que = p 0 p 1. Instituto de Computación (InCo) Lógica proposicional. Semántica Curso / 76

35 Investigar (p 1 p 2 ) (p 1 p 2 ) (TV) p 1 p 2 p 1 p 2 p 1 p 2 (p 1 p 2 ) (p 1 p 2 ) ( (p 1 p 2 )) Como hay una valuación v que cumple v ((p 1 p 2 ) (p 1 p 2 )) = 0, concluímos que = (p 1 p 2 ) (p 1 p 2 ). Instituto de Computación (InCo) Lógica proposicional. Semántica Curso / 76

36 Investigar ϕ, ψ = ϕ ψ (TV) ϕ ψ ϕ ψ Como cualquier valuación que cumple v (ϕ) = 1 y v (ψ) = 1 debe cumplir que v (ϕ ψ) = 1, concluímos que ( ϕ, ψ)ϕ, ψ = ϕ ψ. Instituto de Computación (InCo) Lógica proposicional. Semántica Curso / 76

37 Investigar p 1 = p 2 p 3 (TV) p 1 p 2 p 3 p 2 p Como hay una valuación v que cumple v (p 1 ) = 1 y v (p 2 p 3 ) = 0, concluímos que p 1 = p 2 p 3. Instituto de Computación (InCo) Lógica proposicional. Semántica Curso / 76

38 Tablas semánticas Investigar = p 0 p 0 Las tablas semánticas son árboles cuya raíz es la negación de lo que se pretende probar. F.p 0 p 0 T.p 0 F.p 0 Como ninguna valuación cumple v (p 0 p 0 ) = 0, concluímos que = p 0 p 0. Instituto de Computación (InCo) Lógica proposicional. Semántica Curso / 76

39 Investigar = ϕ ϕ (TS) F.ϕ ϕ T.ϕ F.ϕ Como ninguna valuación cumple v (ϕ ϕ) = 0, concluímos que = ϕ ϕ. Instituto de Computación (InCo) Lógica proposicional. Semántica Curso / 76

40 Investigar = p 1 p 2 p 1 p 2 (TS) F.p 1 p 2 p 1 p 2 T.p 1 p 2 F. p 1 p 2 T. p 1 F.p 2 F.p 1 T.p 1 T.p 2 Como ninguna valuación cumple v (p 1 p 2 p 1 p 2 ) = 0, concluímos que = p 1 p 2 p 1 p 2. Instituto de Computación (InCo) Lógica proposicional. Semántica Curso / 76

41 Investigar = p 0 p 1 (TS) F.p 0 p 1 T.p 0 F.p 1 Las valuaciones que cumplen v (p 0 ) = 1 y v (p 1 ) = 0 muestran que = p 0 p 1. Instituto de Computación (InCo) Lógica proposicional. Semántica Curso / 76

42 Investigar = (p 1 p 2 ) (p 1 p 2 ) (TS) F.(p 1 p 2 ) (p 1 p 2 ) F.p 1 p 2 T.p 1 F.p 2 F. (p 1 p 2 ) T.p 1 p 2 T.p 1 T.p 2 Las valuaciones que cumplen v (p 1 ) = 1 o v (p 2 ) = 0 muestran que (p 1 p 2 ) (p 1 p 2 ). Instituto de Computación (InCo) Lógica proposicional. Semántica Curso / 76

43 Investigar ϕ, ψ = ϕ ψ (TS) T.ϕ T.ψ F.ϕ ψ F.ϕ F.ψ Como ninguna valuación que cumple v (ϕ) = 1 y v (ψ) = 1 cumple v (ϕ ψ) = 0, concluímos que ϕ, ψ = ϕ ψ. Instituto de Computación (InCo) Lógica proposicional. Semántica Curso / 76

44 Investigar p 1 = p 2 p 3 T.p 1 F.p 2 p 3 F.p 2 F.p 3 Solamente quedan fórmulas atómicas. Las valuaciones que cumplen v (p 2 ) = 0 y v (p 1 ) = 1, o v (p 3 ) = 0 y v (p 1 ) = 1, muestran que p 1 = p 2 p 3. Instituto de Computación (InCo) Lógica proposicional. Semántica Curso / 76

45 Reglas de las tablas semánticas F.ϕ ψ T.ϕ ψ T.ϕ F.ψ F.ϕ ψ F.ϕ T.ψ T.ϕ ψ F.ϕ ψ F.ϕ F.ψ T.ϕ ψ T.ϕ T.ψ T.ϕ F.ψ F.ϕ T.ψ F. ϕ T.ϕ T.ψ F.ϕ F.ψ T. ϕ F.ϕ ψ F.ϕ F.ψ T.ϕ ψ T.ϕ T.ψ T.ϕ F.ϕ Instituto de Computación (InCo) Lógica proposicional. Semántica Curso / 76

46 Tautologías Fórmulas que son verdaderas en todas las valuaciones. Contingencias Fórmulas que son verdaderas en algunas valuaciones y falsa en otras. Contradicciones Fórmulas que son falsas en todas las valuaciones. Cuando se trabaja con implicaciones, puede ser más simple analizar cuando no es tautología. Cuando se trabaja con consecuencias lógicas, puede ser más simple analizar cuando no es tautología. Instituto de Computación (InCo) Lógica proposicional. Semántica Curso / 76

47 Tautologías = α α = α α α = α β β α = (α β) α β = (α β) β α = α α = α α = α α α = α β β α = (α β) (α β) = (α β) β α Tautologías? = α = α β γ (α β) γ = α (β γ) (α β) (α γ) Instituto de Computación (InCo) Lógica proposicional. Semántica Curso / 76

48 Equivalencia en PROP Def. Equivalencia entre proposiciones Dos fórmulas proposicionales α y β son equivalentes sii α β es una tautología Notación α eq β Observación Se cumple α eq β si y sólo si para cualquier valuación v : PROP {0, 1} se cumple v (α) = v (β). Lema La relación eq es de equivalencia en PROP PROP Instituto de Computación (InCo) Lógica proposicional. Semántica Curso / 76

49 Equivalencia en PROP. Clases de equivalencia Instituto de Computación (InCo) Lógica proposicional. Semántica Curso / 76

50 Leyes algebraicas = (α β) γ α β γ = α β β α = α α α = α (α β) α = α (β γ) (α β) (α γ) = (α β) α β (α β) γ eq α β γ α β eq β α α α eq α α α eq α α (α β) eq α (α β) eq α β Instituto de Computación (InCo) Lógica proposicional. Semántica Curso / 76

51 Leyes algebraicas = (α β) γ α β γ = α β β α = α α α = α (α β) α = α (β γ) (α β) (α γ) = (α β) α β (α β) γ eq α β γ α β eq β α α α eq α α (α β) eq α α (β γ) eq (α β) (α γ) (α β) eq α β Instituto de Computación (InCo) Lógica proposicional. Semántica Curso / 76

52 Leyes algebraicas = α α α eq α Instituto de Computación (InCo) Lógica proposicional. Semántica Curso / 76

53 Equivalencias entre conectivos α β eq (α β) (β α) α β eq α β α β eq α β α β eq ( α β) α β eq ( α β) α eq α eq α α Instituto de Computación (InCo) Lógica proposicional. Semántica Curso / 76

54 Más ejemplos de consecuencia lógica α, β = α β α = α β β = α β α β, α = β α β, β = α α, α = α β, β = α α β, α = β α β, α = β Instituto de Computación (InCo) Lógica proposicional. Semántica Curso / 76

55 Lema Hipótesis = α β Tesis α β eq α y α β eq β Lema a. Si = α entonces α β eq β b. Si = α entonces α β eq β c. β eq β d. β eq β Instituto de Computación (InCo) Lógica proposicional. Semántica Curso / 76

56 Sustitución. [ / ] : PROP PROP P PROP i [ϕ/p] = { ϕ si p = q ii q[ϕ/p] = q si p q iii (α β)[ϕ/p] = (α[ϕ/p] β[ϕ/p]) iv ( α)[ϕ/p] = ( α[ϕ/p]) Instituto de Computación (InCo) Lógica proposicional. Semántica Curso / 76

57 Sustitución por fórmulas equivalentes Si α 1 y α 2 son equivalentes, entonces puedo sustituir una letra proposicional de una fórmula β cualquiera por α 1 y por α 2, y obtener fórmulas equivalentes. Esto se utiliza mucho en matemática: no dudamos en afirmar la siguiente igualdad 3 (2 + 5) = 3 7 Por qué vale esa igualdad? Porque sabemos que = 7 y reemplazamos iguales por iguales Esto es, en la expresión 3 ξ sustituimos a ξ por (2 + 5) y por 7, y obtenemos dos números iguales. Instituto de Computación (InCo) Lógica proposicional. Semántica Curso / 76

58 Sustitución por fórmulas equivalentes Teorema de sustitución Hipótesis α 1 eq α 2 Tesis Para cualesquiera β PROP y p P, se cumple β[α 1 /p] eq β[α 2 /p] Instituto de Computación (InCo) Lógica proposicional. Semántica Curso / 76

59 Observemos... α 1 eq α 2 ( v)v (α 1 ) = v (α 2 ) ( v, β, p)v (β[α 1 /p]) = v (β[α 2 /p]) ( β, p)β[α 1 /p] eq β[α 2 /p]. Lema Hipótesis Sean v, α 1, α 2 tales que v (α 1 ) = v (α 2 ). Tesis Para cualesquiera β PROP y p P, se cumple v (β[α 1 /p]) = v (β[α 2 /p]). Pruebe el lema explicitando la propiedad que busca y usando el PIP adecuado. Instituto de Computación (InCo) Lógica proposicional. Semántica Curso / 76

60 Investigar (p 1 p 2 ) (p 1 p 2 ) (eq) (p 1 p 2 ) (p 1 p 2 ) eq (β = p (p 1 p 2 ), α 1 = p 1 p 2, α 2 = p 1 p 2 ) ( p 1 p 2 ) (p 1 p 2 ) eq (β = ( p 1 p 2 ) p, α 1 = (p 1 p 2 ), α 2 = p 1 p 2 ) ( p 1 p 2 ) p 1 p 2 eq (( p 1 p 2 ) p 1 ) p 2 eq (β = p p 2, α 1 = ( p 1 p 2 ) p 1, α 2 = p 1 ) Por qué? Completar. p 1 p 2. Si v (p 1 ) = 1 y v (p 2 ) = 1, tenemos v ( p 1 p 2 ) = 0. Como hay una valuación v que cumple v ( p 1 p 2 ) = 0 y (p 1 p 2 ) (p 1 p 2 ) eq p 1 p 2, concluímos que = (p 1 p 2 ) (p 1 p 2 ). Instituto de Computación (InCo) Lógica proposicional. Semántica Curso / 76

61 Investigar p 1 p 2 p 1 p 2 (eq) p 1 p 2 eq p 1 p 2 eq (β = p p 2, α 1 = p 1, α 2 = p 1 ) p 1 p 2. Como p 1 p 2 eq p 1 p 2, concluímos que = p 1 p 2 p 1 p 2. Instituto de Computación (InCo) Lógica proposicional. Semántica Curso / 76

62 Conectivas n-arias Sea f : {0, 1} n {0, 1}. Una conectiva lógica n-aria $ queda definida por la función f si para cualquier valuación v se cumple ( q 1,..., q n P)v ( $ ( q 1,..., q n)) = f ( v ( q 1),..., v (q n ) ) Conjuntos completos de conectivos K es un conjunto completo de conectivos si para cada conectivo n-ario $ y letras proposicionales q 1,..., q n existe una fórmula σ PROP cuyos conectivos están en K, sus letras en { q 1,..., q n}, y tal que σ eq $ ( q 1,..., q n). Instituto de Computación (InCo) Lógica proposicional. Semántica Curso / 76

63 Conectivas unarias (1/2) q 1 $ ( q 1) q q 1 $ ( q 1) q Instituto de Computación (InCo) Lógica proposicional. Semántica Curso / 76

64 Conectivas unarias (2/2) q 1 $ ( q 1) q 1 q 1 q q 1 $ ( q 1) q 1 q 1 q 1 (q 1 q 1 ) Instituto de Computación (InCo) Lógica proposicional. Semántica Curso / 76

65 Conectivas binarias (1/8) q 1 q 2 $ ( q 1, q 2) q q 1 q 2 $ ( q 1, q 2) q Instituto de Computación (InCo) Lógica proposicional. Semántica Curso / 76

66 Conectivas binarias (2/8) q 1 q 2 $ ( q 1, q 2) q q 1 q 2 $ ( q 1, q 2) q Instituto de Computación (InCo) Lógica proposicional. Semántica Curso / 76

67 Conectivas binarias (3/8) q 1 q 2 $ ( q 1, q 2) q 1 q 1 q q 1 q 2 $ ( q 1, q 2) q 1 q 1 q 1 (q 1 q 1 ) Instituto de Computación (InCo) Lógica proposicional. Semántica Curso / 76

68 Conectivas binarias (4/8) q 1 q 2 $ ( q 1, q 2) q 1 q q 1 q 2 $ ( q 1, q 2) q 1 q 2 (q 1 q 2 ) Instituto de Computación (InCo) Lógica proposicional. Semántica Curso / 76

69 Conectivas binarias (5/8) q 1 q 2 $ ( q 1, q 2) q 1 q 1 q q 1 q 2 $ ( q 1, q 2) q 1 q 1 q 2 ( q 1 q 2 ) Instituto de Computación (InCo) Lógica proposicional. Semántica Curso / 76

70 Conectivas binarias (6/8) q 1 q 2 $ ( q 1, q 2) q 1 q 2 $ ( q 1, q 2) Instituto de Computación (InCo) Lógica proposicional. Semántica Curso / 76

71 Conectivas binarias (7/8) q 1 q 2 $ ( q 1, q 2) q 1 q 2 $ ( q 1, q 2) Instituto de Computación (InCo) Lógica proposicional. Semántica Curso / 76

72 Conectivas binarias (8/8) ( q 1 q 2 $ q 1, q 2) q 1 q 2 q 1 q 2 q 1 q 2 (q 1 q 2 ) ( q 1 q 2 ) (q 1 q 2 ) ( q q 1 q 2 $ ( q 1, q 2) Instituto de Computación (InCo) Lógica proposicional. Semántica Curso / 76

73 Conjuntos completos de conectivos Teorema El conjunto {, } es un conjunto completo de conectivos. Otros conjuntos completos de conectivos {, } {, } {, } Instituto de Computación (InCo) Lógica proposicional. Semántica Curso / 76

74 Notación. Conjunciones y disyunciones Definición i 0 ϕ i = ϕ 0 i n+1 ϕ i = i n ϕ i ϕ n+1 i 0 ϕ i = ϕ 0 i n+1 ϕ i = i n ϕ i ϕ n+1 Instituto de Computación (InCo) Lógica proposicional. Semántica Curso / 76

75 Formas normales Definición Una fórmula está en forma normal conjuntiva sii es de la forma i n ( j m i ϕ ij ) donde cada ϕ ij es una fórmula atómica o la negación de una fórmula atómica. Una fórmula está en forma normal disyuntiva sii es de la forma i n ( j m i ϕ ij ) donde cada ϕ ij es una fórmula atómica o la negación de una fórmula atómica. Instituto de Computación (InCo) Lógica proposicional. Semántica Curso / 76

76 Formas normales Teorema Para toda α PROP existen fórmulas α c y α d en forma normal conjuntiva y forma normal disyuntiva respectivamente tales que α eq α c y α eq α d. Instituto de Computación (InCo) Lógica proposicional. Semántica Curso / 76

77 Para investigar si una fórmula proposicional es tautología (o contradicción) podemos usar un método sintético (tablas de verdad) un método anaĺıtico (analizar la fórmula estudiada) Para investigar si una fórmula proposicional es consecuencia lógica de un conjujnto de premisas podemos usar un método sintético (tablas de verdad) solamente si las premisas son finitas un método anaĺıtico (analizar la fórmula estudiada) Para simplificar un problema inicial llevándolo a fórmulas proposicionales conocidas podemos usar equivalencias lógicas sustitución Instituto de Computación (InCo) Lógica proposicional. Semántica Curso / 76