Curso académico 2007/2008 Tema 3: Método de los Árboles Semánticos

Transcripción

1 p. 1/? Sistemas Lgicos Computacionales Curso académico 2007/2008 Tema 3: Método de los Árboles Semánticos Guido Sciavicco Universidad Murcia, Espinardo (Murcia) - Spain

2 p. 2/? La Maquina que Piensa Formalizar el razonamiento (el pensamiento) tiene un objetivo especifico, de carácter puramente practico, que va más allá del puro conocimiento; Si un sistema de razonamiento es suficientemente formal como para ser reducido a un conjunto de pasos, entonces puede ser transformado en un programa para ordenador (o sea es un algoritmo); Deber del diseñador de un tal algoritmo es demostrar que se trata de un algoritmo correcto, en un sentido que aclaramos a continuación.

3 p. 3/? La Maquina que Piensa (cont.) Cualquier ordenador pasado, presente, y futuro (en ciertos sentidos) debe contar con dos limitaciones físicas: el tiempo de computación y el espacio de memoria son finitos; Por lo tanto, cualquier algoritmo debe terminar en un tiempo finito y (por lo menos parcialmente) predecible, y utilizar una cantidad de espacio finito y (por lo menos parcialmente) predecible; Un algoritmo con éstas características se denomina terminante;

4 p. 4/? La Maquina que Piensa (cont.) Además, querremos que nuestro algoritmo, siempre que nos de una respuesta, ésta respuesta sea correcta, y denominaremos un tal algoritmo correcto; Finalmente, querremos que nuestro algoritmo no se olvide ninguna posible respuesta correcta, y denominaremos un tal algoritmo completo; En términos de lógica, un algoritmo deductivo es un algoritmo capaz, dada una formula en su lenguaje, decir si la formula es o menos satisfactible (o es una tautologia, o es una contradicción), utilizando, por cada φ, los resultados que ya conocemos: y... φ tautologia φ contradiccion

5 p. 5/? La Maquina que Piensa (cont.)... φ satisfactible φ satisfactible φ contingencia o sea no es ni una tautología ni una contradicción; Pero, es esto posible para cualquier lógica? La respuesta es NO. Para lo que nos concierne, es posible para la Lógica Proposicional, pero no para la Lógica de Primer Orden; En concreto, para éste ultimo caso, todos los algoritmo correctos y completos fallan en la terminación, es decir, el poder expresivo es tan alto que cualquier algoritmo correcto y completo puede necesitar de un tiempo infinito de computación.

6 p. 6/? La Maquina que Piensa (cont.) Un conjunto de símbolos, con una gramática para la generación de las formulas y una semántica bien definida, o sea, una lógica, se denomina decidible si posee por lo menos un algoritmo de deducción correcto, completo y terminante, y no decidible en caso contrario; Ésta definición, en términos más generales, se aplica a cualquier clase de problemas, y la hemos tomada en préstamo desde la teoría de la computabilidad, que tiene sus raíces en Gödel, Turing, Church, a partir de los años 40.

7 p. 7/? Razonando con Proposiciones A nivel de la Lógica Proposicional, formalizar un sistema automático de deducción resulta bastante sencillo; Por el momento, nos centraremos en un sistema basado en la semántica de las formulas, que por lo tanto se llama sistema de los árboles semánticos o tableaux (es decir, tablas); Las reglas de éste sistema se basan una a una en las reglas semánticas que ya hemos visto; Por ejemplo, deduciremos p a partir de p, o deduciremos q a partir de p q y p.

8 p. 8/? Vamos con Juicio Un juicio es un afirmación del tipo V.φ o F.φ, donde φ es una fórmula; En términos prácticos, nosotros nos preguntaremos, dada una fórmula, si V.φ vale, o sea, si φ es una tautología, o, si es conveniente, si F.φ vale, o sea, si φ es una contradicción; La cosa más sencilla para demostrar si es un caso o el otro es encontrar un contra-modelo, o sea una interpretación tal que la formula NO se satisface; Por ejemplo, si quiero demostrar que F.φ (φ es una contradicción), donde φ = p p, es suficiente enseñar la interpretación I = {p = V }, porque evidentemente I = p p.

9 p. 9/? Reglas Vamos a ver las reglas formales: 1. V. φ V. φ F. φ F. φ F.φ V.φ 2. V.φ ψ V.φ ψ V.φ V.ψ 3. F.φ ψ F.φ ψ F.φ F.ψ F.φ ψ F.φ ψ F.φ F.ψ V.φ ψ V.φ ψ V.φ V.ψ

10 p. 10/? Reglas (cont.) 4. F.φ ψ F.φ ψ V.φ F.ψ V.φ ψ V.φ ψ F.φ V.ψ

11 p. 11/? El Algoritmo Se empieza con una formula proposicional φ; Si quiero demostrar que φ ES una tautología, intentaré demostrar que F.φ NO es satisfacible; Aplico las reglas a F.φ, teniendo en cuenta: 1. Se aplica la regla al juicio más arriba que todavia no ha sido considerado; 2. Se aplica la regla a TODAS las ramas ACTIVAS (véase punto siguiente); 3. Si una rama contiene el juicio V.p Y el juicio F.p, entonces es una rama contradictoria y es preciso cerrarla (NO ACTIVA).

12 p. 12/? Un Ejemplo Sencillo Queremos demostrar que la formula (p (p q)) q es una tautología; verifiquemos F.φ: F.(p (p q)) q V.(p (p q)) F.q V.p V.(p q) F.p V.q

13 p. 13/? Conclur desde un Árbol Semántico Al final del desarollo del árbol, cada rama ACTIVA es un modelo para el juicio; Si el juicio de salida era V.φ, entonces una rama ACTIVA es un modelo para la formula φ, mientras si era F.φ es un modelo para la formula φ; Si no hay ramas ACTIVAS, el juicio de salida es insatisfactible; por ejemplo, si se trataba de un juicio del tipo V.φ, entonces φ es insatisfactible, o sea φ es una tautología.

14 p. 14/? Entonces: Si quiero demostrar que φ es satisfactible expando V.φ, y cada rama ACTIVA al final del proceso representa un modelo para φ; Si quiero demostrar que φ es una tautología, expando F.φ y verifico que no hay ninguna rama ACTIVA al final del proceso; Si quiero demostrar que φ es una contradicción, expando V.φ, y verifico que al final del proceso no hay ninguna rama ACTIVA; Como es la formula del ejemplo anterior?

15 p. 15/? Ejercicios Elegir una regla de trasformación cualquiera y demostrar que se trata de una tautología con el método de los árboles semánticos; Demostrar que las siguientes son formulas satisfactibles: φ 1 = p (p (q r)) r; φ 2 = (p q) p (q r) r; Demostrar que las siguientes son tautologías: φ 3 = ( p (q p)) q; φ 4 = ((p q) (q r)) (p r).

16 p. 16/? Extender el Algoritmo al Primer Orden Al Primer Orden la cosa se complica un poco: debemos tener en cuenta: Variables, constantes, símbolos funcionales y términos; Cuantificadores; Debemos tener presente que al Primer Orden NO EXISTE una técnica deductiva terminante, por lo tanto nuestro algoritmo puede ser correcto, completo pero no necesariamente terminará siempre su computación!

17 Qué Podemos Computar? La razón intuitiva de los problemas que tenemos al Primer Orden, es que para demostrar que ciertas fórmulas son satisfactibles, debemos mostrar un modelo infinito y el espacio y el tiempo que tenemos a disposición son finitos; Pero, al Primer Orden es siempre posible demostrar que una formula NO es satisfactible en tiempo y espacio finitos! Por lo tanto, siempre que una formula sea una tautología, podremos demostrarlo (recuerda: φ tautología φ no satisfactible); Para mantener las cosas simples, nos centraremos solo en formulas cerradas. p. 17/?

18 p. 18/? Razonemos Como podemos demostrar que una formula de Primer Orden es insatisfactible? La parte proposicional de la formula se trata como hemos visto anteriormente; Constantes, variables y símbolos funcionales debes ser tratados de forma abstracta ; por ejemplo, para demostrar que la formula xp(x) P(a) no es satisfactible, NO ES SUFICIENTE interpretar, digamos, x y a como numeros naturales (recuerda: no satisfactible = no existe NINGUNA interpretación, dominio,... ).

19 p. 19/? Interpretaciones Abstractas Sabemos que la insatisfactibilidad de una formula depende solamente de su estructura lógica; Utilizaremos por lo tanto interpretaciones abstractas, llamadas de Herbrand (por su inventor) que nos permitiran evitar cualquier hipótesis sobre el dominio y sus propiedades; Éstas interpretaciónes dependen exclusivamente del lenguaje que se utiliza en la formula en cuestión.

20 p. 20/? Interpretaciones Abstractas (cont.) En general, el dominio es el conjunto de las constantes de la formula (o conjunto con una sola constante si la formula no contiene ninguna) + conjunto de todas las aplicaciones posibles de símbolos funcionales del lenguaje (si hay) a elementos del dominio; Ejemplo: el dominio de una interpretación de Herbrand para la formula φ = x(p(x) Q(f(x))) R(a,b) es D H = {a,b,f(a),f(b),f(f(a)),f(f(b)),...} Ahora, simplemente mirando el numero de parámetros de cada símbolo de predicado, obtenemos una interpretación; por ejemplo, en el caso anterior...

21 p. 21/? Interpretaciones Abstractas (cont.)... podríamos tener: I 1 H = (D H,P H =,Q H =,R H = ); I 2 H = (D H,P H = {a},q H =,R H = ); I 3 H = (D H,P H =,Q H = {a},r H = ); I 4 H = (D H,P H = {a},q H =,R H = {(a,b), (a,f(a))}); y muchas otras (son infinitas, en éste caso!); Como cualquier interpretación, una I H puede o no satisfacer la formula; en éste caso tenemos, por ejemplo, que IH 4 = φ.

22 p. 22/? Tomando Confianza con Herbrand Se consideren las siguientes formulas: x,y(p(x,y) Q(x) R(y)); x(p(x) Q(x)) P(a) Q(a); x(p(x) Q(f(x))) P(a) Q(b). Y por cada una de ellas, se encuentre, si es posible, una interpretación de Herbrand que la satisface y una que no la satisface.

23 p. 23/? Para Qué? Las interpretaciones de Herbrand tienen una característica muy importante que nos ayudará a desarrollar una metodología de deducción; Hemos visto que una tal interpretación tiene un dominio bien definido, que se denomina base de Herbrand; Cualquier interpretación de Herbrand que utilize como dominio la base de Herbrand (de su lenguaje) más un conjunto cualquiera de (nuevas) constantes se denomina interpretación extendida de Herbrand; Teorema: cualquier formula de Primer Orden cerrada es satisfactible si y solo si lo es en una interpretación extendida de Herbrand.

24 p. 24/? Reglas El papel jugado en el caso de la logica Proposicional por las letras proposicionales, ahora lo juegan las formulas atómicas; Por lo tanto, no habrá regla para los juicios V.p(t 1,...,t n ) y F.p(t 1,...,t n ); Gracias al teorema que hemos visto, podemos buscar solo en el mundo de las interpretaciones que tienen como dominio la base (extendida) de Herbrand; Si la formula en cuestión no contiene constantes, entonces se empieza con D H = {a}, donde a no aparece en el lenguaje, mientras si contiene por lo menos una constante, D H será la base de Herbrand.

25 p. 25/? Reglas (cont.) Nuevas reglas formales: 5. V. xφ(x) V. xφ(x) V.φ(t) V. xφ(x) 6. F. xφ(x) F. xφ(x) F.φ(t) F. xφ(x) F. xφ(x) F. xφ(x) F.φ(s) V. xφ(x) V. xφ(x) V.φ(s)

26 p. 26/? Reglas (cont.) t es el primer término de la base de Herbrand D H que no aún no ha sido utilizado para la sustitución en la formula xφ(x), y s es el primer término de la base de Herbrand D H que no aún no ha sido utilizado en la rama, o una nueva constante, que se añade a la base actual, si no hay ningún término disponible.

27 p. 27/? Ejemplo φ = ( x(p(x) p(f(x))) p(a)) p(f(a)) es una tautología: F.( x(p(x) p(f(x))) p(a)) p(f(a)) D H = {a,f(a),... V. x(p(x) p(f(x))) V.p(a) F.p(f(a)) V.(p(a) p(f(a))) V. x(p(x) p(f(x))) F.p(a) V.p(f(a))

28 p. 28/?... Y más Ejercicios Elegir una regla de trasformación relativa a los cuantificadores y demostrar que se trata de una tautología con el método de los árboles semánticos; Demostrar que las siguientes son tautologías: φ 1 = ( x,y(p(x,y) zr(z)) x R(x)) P(a,b); φ 2 = (P(a) P(f(a))) x P(x); φ 3 = ( x y(p(x) R(y))) x y(p(x) R(y)).