Lógica de Predicados, Sintaxis

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José Silva Escobar
hace 5 años
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1 Lógica de Predicados, Sintaxis Dante Zanarini LCC 16 de Septiembre de 2015 Dante Zanarini (LCC) Lógica de Predicados, Sintaxis 16 de Septiembre de / 15

2 Enriqueciendo el lenguaje Consideremos el siguiente razonamiento: - Todos los polinomios son derivables p 0 - p(x) = x 2 + 3x + 9 es un polinomio p 1 - p(x) = x 2 + 3x + 9 es derivable p 2 Se puede formalizar en lógica proposicional? Sí, deberíamos ver que p 0, p 1 p 2 Sin embargo, este secuente no es válido, a pesar que el razonamiento parece serlo Si estamos usando la lógica para identificar los buenos razonamientos, algo está fallando Dante Zanarini (LCC) Lógica de Predicados, Sintaxis 16 de Septiembre de / 15

3 Lógica de Predicados como Lenguaje Formal En Lógica de Predicados utilizaremos dos lenguajes formales: El Lenguaje de términos, que describe los objetos con los que trabajamos El Lenguaje de fórmulas, que describe relaciones entre los objetos de estudio, así como también permite expresar propiedades universales y existenciales sobre ellos Dante Zanarini (LCC) Lógica de Predicados, Sintaxis 16 de Septiembre de / 15

4 Alfabeto El alfabeto está compuesto por los siguientes símbolos: (A) Un conjunto F = {f 1, f 2,... f n } de símbolos de función, junto con una función ar : F N. Decimos que ar(f i ) es la aridad de f i (B) Un conjunto P = {P 1, P 2,..., P n } de símbolos de predicados, también acompañados por su aridad (utilizaremos ar(p i ) para denotar la aridad de P i ) (C) Un conjunto infinito Var = {x 0, x 1,...} de variables (D) Conectivos, C = {,,,,,, } (E) Símbolos auxiliares, A = { (, ) } Si ar(f i ) = 0, decimos que f i es una constante Si ar(p i ) = 0, decimos que P i es una proposición Al par (F, P) le llamaremos signatura Dante Zanarini (LCC) Lógica de Predicados, Sintaxis 16 de Septiembre de / 15

5 Lenguaje de Términos Definición (TERM) El conjunto de términos se define inductivamente por las siguientes reglas: (1) Para todo i N, x i TERM (2) Si ar(f i ) = 0, entonces f i TERM (3) Si ar(f i ) = n > 0 y t 1, t 2,..., t n TERM, entonces f i (t 1, t 2,..., t n ) TERM Dante Zanarini (LCC) Lógica de Predicados, Sintaxis 16 de Septiembre de / 15

6 Lenguaje de Términos Ejemplo Si F = {f, g, h, c} con ar(f ) = 2, ar(g) = ar(h) = 1 y ar(c) = 0, tenemos f (g(x 5 ), c) TERM h(f (c, g(c))) TERM c TERM h(g(h(x 15 ))) TERM Dante Zanarini (LCC) Lógica de Predicados, Sintaxis 16 de Septiembre de / 15

7 Lenguaje de Fórmulas Definición (Form) Sea (F, P) una signatura. El conjunto de fórmulas Form (F,P) se define inductivamente por las siguientes reglas: (i) Form (F,P) Si ar(p i ) = 0, entonces P i Form (F,P) Si ar(p i ) = n > 0, y t 1, t 2,..., t n TERM, entonces P i (t 1, t 2,..., t n ) Form (F,P) (ii) Si φ Form (F,P), entonces ( φ) Form (F,P) (iii) Si φ, ψ Form (F,P), entonces (φ ψ), (φ ψ), (φ ψ) Form (F,P) (iv) Si x i Var y φ Form (F,P), entonces ( x i φ), ( x i φ) Form (F,P) Dante Zanarini (LCC) Lógica de Predicados, Sintaxis 16 de Septiembre de / 15

8 Convenciones sintácticas Cuando podamos, omitiremos los paréntesis más externos en ( x i φ) y ( x i φ) Orden de precedencia de los operadores:,,,,, Agregaremos..., w, x, y, z al conjunto de variables Dante Zanarini (LCC) Lógica de Predicados, Sintaxis 16 de Septiembre de / 15

9 Lenguaje de fórmulas Ejemplo Sean F = {p, i, e}, con ar(p) = 2, ar(i) = 1, ar(e) = 0; y P = {L,. =}, con ar(l) = ar(. =) = 2 Algunos términos: p(e, x 2 ), p(i(x 1 ), i(p(x 2, e))) Algunas fórmulas: L(e, i(e)) (i(x 1 ). = i(e)) (x 1. = e) ( x 1 (( (x 1. = e)) L(e, x1 ))) ( x 3 L(x 3, e)) (e. = i(x 3 )) Dante Zanarini (LCC) Lógica de Predicados, Sintaxis 16 de Septiembre de / 15

10 Variables libres Definimos el conjunto de variables libres de una fórmula φ por recursión en φ: Ejercicios: FV : Form 2 Var FV ( ) = FV (P i ) = si ar(p i ) = 0 FV (P i (t 1,..., t n )) = n i=1 FV T (t i ) si ar(p i ) = n > 0 FV ( φ) = FV (φ) FV (φ ψ) = FV (φ) FV (ψ) FV ( x i φ) = FV (φ) {x i } FV ( x i φ) = FV (φ) {x i } Definir FV T : TERM 2 Var, que calcula el conjunto de variables libres de un término Definir BV : Form 2 Var, que determina el conjunto de variables ligadas de una fórmula Dante Zanarini (LCC) Lógica de Predicados, Sintaxis 16 de Septiembre de / 15

11 Fórmulas cerradas Un término t (una fórmula φ) se dice cerrado (cerrada) si no tiene variables libres A una fórmula cerrada la llamaremos sentencia SENT (F,P) es el conjunto de sentencias sobre una signatura, y TERM C F es el conjunto de términos cerrados Dante Zanarini (LCC) Lógica de Predicados, Sintaxis 16 de Septiembre de / 15

12 Sustitución para Términos Definición Sean s, t términos y x i Var. Definimos la sustitución de x i por t en s por recursión en s: { xj si i j (vars) x j [t/x i ] = t si i = j (ctes) c[t/x i ] = c (func) f (t 1,... t n )[t/x i ] = f (t 1 [t/x i ],... t n [t/x i ]) Dante Zanarini (LCC) Lógica de Predicados, Sintaxis 16 de Septiembre de / 15

13 Sustitución para Fórmulas Definición Sean t TERM y φ Form, definimos φ[t/x i ] por recursión en φ: [t/x i ] = P i [t/x i ] = P i (ar(p i ) = 0) P i (t 1,..., t n )[t/x i ] = P i (t 1 [t/x i ],... t n [t/x i ]) ( φ)[t/x i ] = (φ[t/x i ]) (φ ψ)[t/x i ] = φ[t/x i ] ψ[t/x i ] ( x j φ)[t/x i ] = ( x j φ)[t/x i ] = { ( xj φ) si i = j ( x j φ[t/x i ]) si i j { ( xj φ) si i = j ( x j φ[t/x i ]) si i j Dante Zanarini (LCC) Lógica de Predicados, Sintaxis 16 de Septiembre de / 15

14 Captura de Variables Un problema de la operación de sustitución, es que puede cambiar el significado de una fórmula Por ejemplo, xp(x, y) Si sustituimos la variable y con t = x, obtenemos: ( xp(x, y))[x/y] = ( xp(x, y)[x/y]) = ( xp(x, x)) Este problema se conoce como captura de variables libres Dante Zanarini (LCC) Lógica de Predicados, Sintaxis 16 de Septiembre de / 15

15 Evitando la captura Para no alterar el significado (que veremos más adelante) en φ[t/x i ] de una fórmula, necesitamos que t esté libre para x i en φ. Definición Un término t está libre para una variable x en una fórmula φ sii 1 φ es atómica 2 φ φ 1 φ 2 y t está libre para x en φ 1 y φ 2. 3 φ φ 1 y t está libre para x en φ 1 4 φ yφ 1 y si x y, se cumple: t está libre para x en φ 1 y / FV (t) Dante Zanarini (LCC) Lógica de Predicados, Sintaxis 16 de Septiembre de / 15

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