Lógica de predicados 3. Sintaxis

Transcripción

1 Lógica de predicados 3. Sintaxis Juan Carlos León Universidad de Murcia Esquema del tema 3.1. Fórmulas bien formadas y funciones proposicionales 3.2. Alcance. Variables libres y ligadas 3.3. Teoremas 3.4. Reglas derivadas de deducción natural 2 1

2 Lógica de predicados 3. Sintaxis 3.1. Fórmulas bien formadas y funciones proposicionales 3 4 El alfabeto Alfabeto: Conectivas:,,,, Letras proposicionales: p, q, r, Letras predicativas: F, G, H, Constantes: a, b, c, Variables: x, y, z, La A-invertida: La E-invertida: Paréntesis: (, ) Los cuantificadores son símbolos compuestos: para cualquier variable v, v es un cuantificador universal v es un cuantificador existencial 2

3 Fórmulas atómicas La definición de fórmula bien formada (fbf) requiere, como paso previo, la de fórmula atómica: a) Una letra proposicional es una fórmula atómica b) Una letra predicativa n-ádica seguida de n constantes es una fórmula atómica Ejemplos: Fa Gc Hcd p No son fórmulas atómicas Fx Hxab porque x es una variable, no una constante Las fórmulas atómicas juegan el mismo papel en el lenguaje de la lógica de predicados que las letras proposicionales en la lógica proposicional 5 Fórmulas bien formadas (fbfs) 6 a) Una fórmula atómica es una fbf b) Si A es una fbf, A también lo es c) Si A y B son dos fbfs, entonces (A B), (A B), (A B) y (A B) también son fbfs d) Si P(k) es una fbf en la que aparece la constante k y en la que no aparece la variable v, y si P(v) es el resultado de reemplazar al menos una de las apariciones de k por v en P(k), entonces v P(v) y v P(v) son fbfs Las tres primeras cláusulas hacen que estas fbfs sean una extensión de las de la lógica proposicional Por supuesto, una fórmula (a secas) es cualquier secuencia finita de símbolos del alfabeto (sea o no una fbf). Por ejemplo: F) a x 3

4 7 Ejemplos (1) Ejemplo: x (Fx Gx) es una fbf Obsérvese que Fx y Gx no son fbfs, y que por tanto tampoco lo es (Fx Gx) Pero Fa y Ga sí son fbfs, al ser fórmulas atómicas, y por tanto también (Fa Ga) es una fbf De acuerdo con la cláusula (d), sustituimos a por x, y obtenemos (Fx Gx) que, aunque no es una fbf, hace que sí lo sea el resultado de prefijarle x De igual forma, x (Fx Ga) y x (Fa Gx) se obtienen a partir de (Fa Ga) sustituyendo sólo una de las apariciones de a por x 8 Ejemplos (2) La exigencia de que la variable v no aparezca en P(k) es esencial Haa es una fórmula atómica, y por tanto una fbf Sustituyendo la primera aparición de a por x, obtenemos Hxa Y prefijando el cuantificador, tenemos que x Hxa es una fbf Si ahora sustituyéramos la segunda aparición de a también por x y le prefijáramos un cuantificador con x llegaríamos a que x x Hxx es una fbf (un resultado no deseable) Aunque sí podemos sustituir a por y y obtener como fbf y x Hxy 4

5 Ejemplos (3) Por la misma causa, x (Fx x Gx) no es una fbf (Fa x Gx) sí es una fbf Pero como x ya aparece en ella, a tiene que ser sustituida por otra variable distinta Por ejemplo, y (Fy x Gx) sí es una fbf En cambio, ( x Fx x Gx) es una fbf, porque tanto x Fx como x Gx lo son 9 Funciones proposicionales Las fórmulas como Fx, (Fy x Gx), Hxy no son fbfs, sino funciones proposicionales Al igual que x + y no representa un número, sino una función numérica (que adoptará un valor numérico cuando las variables sean sustituidas por números concretos), Hxy es una función proposicional, que se convertirá en una proposición concreta cuando las variables sean sustituidas por los nombres de dos individuos determinados Definición: una fórmula A es una función proposicional en las variables v 1,, v n (n 0), si v 1 v n A es una fbf 10 5

6 Ejemplos 11 Hxy es una función proposicional en x e y, porque x y Hxy es una fbf y Hxy es una función proposicional en x, porque x y Hxy es una fbf (Fy x Gx) es una función proposicional en y, puesto que y (Fy x Gx) es una fbf En cambio, (Fx x Gx) no es una función proposicional en x, porque x (Fx x Gx) no es una fbf Dicho de otro modo, son funciones proposicionales las fórmulas que se obtienen al borrar los cuantificadores iniciales de una fbf Al admitir el caso de que n = 0, todas las fbfs resultan ser trivialmente funciones proposicionales en 0 variables Lógica de predicados 3. Sintaxis 3.2. Alcance. Variables libres y ligadas 12 6

7 Alcance El alcance de una conectiva o de un cuantificador en una función proposicional es la función proposicional más pequeña en la que aparezca esa conectiva o ese cuantificador En y (Fy x Gx), el alcance del condicional no es una fbf, sino la función proposicional (Fy x Gx) ; el alcance de x es la fbf x Gx ; y el alcance de y es la fbf entera En ( x Fx x Gx) el alcance de es la fbf completa, y el de los cuantificadores, el antecedente y el consecuente En x y Hxy el alcance de x es la fbf entera; y el de y es la función proposicional y Hxy Variables libres y ligadas Una variable está ligada cuando cae bajo el alcance de un cuantificador que tenga esa misma variable De lo contrario, la variable está libre En (Fy x Gx), y está libre, y x está ligada Una fórmula es una función proposicional en una variable cuando esa variable está libre Un cuantificador debe tener al menos dos variables ligadas dentro de su alcance (una de ellas, la del propio cuantificador) El alcance de un cuantificador no puede contener otro cuantificador que use la misma variable 7

8 Lógica de predicados 3. Sintaxis 3.3. Teoremas 15 Teoremas Como en lógica proposicional, son teoremas aquellas fbfs que pueden derivarse sin contar con ningún supuesto previo Podríamos probar como teoremas los condicionales correspondientes a todos los esquemas de argumento ya probados, sólo con añadir a sus pruebas los pasos necesarios de PC Por ejemplo, en correspondencia con 2.11 y 2.25 tenemos 3.01 x (Fx Gx) ( x Fx x Gx) 3.02 x (Fx Gx) ( x Fx x Gx) 16 8

9 Leyes lógicas Otros teoremas fáciles de probar, que se corresponden con las leyes proposicionales de no contradicción y tercio excluso son 3.03 x (Fx Fx) 3.04 x (Fx Fx) Como en lógica proposicional, debe esperarse que los teoremas expresen leyes lógicas: proposiciones verdaderas exclusivamente por razones lógicas La noción de teorema es sintáctica; la de ley lógica, en cambio, es semántica 17 Lógica de predicados 3. Sintaxis 3.4. Reglas derivadas de deducción natural 18 9

10 Nuevas reglas derivadas Podríamos obtener una regla derivada en correspondencia con cada uno de los esquemas de argumento probados En la práctica, sólo usaremos cuatro nuevas reglas derivadas (que se probarían como los esquemas que se citan: cambiando en ellos Fx por cualquier función proposicional en una variable v) Definición de (Df ) 2.36 Γ v P(v) Γ v P(v) Γ v P(v) Γ v P(v) Negación de (N ) 2.37 Γ v P(v) Γ v P(v) Γ v P(v) Γ v P(v) Definición de (Df ) 2.27 Γ v P(v) Γ v P(v) Γ v P(v) Γ v P(v) Negación de (N ) 2.38 Γ v P(v) Γ v P(v) Γ v P(v) Γ v P(v) 19 Demostración del esquema 3.05 (1) 3.05 x Fx x Gx x (Fx Gx) 1 (1) x Fx x Gx S 2 (2) x (Fx Gx) S 2 (3) x (Fx Gx) N 2 2 (4) (Fa Ga) E 3 2 (5) Fa Ga ID 4 2 (6) Fa E 5 2 (7) x Fx I 6 20 (continúa) 10

11 Demostración del esquema 3.05 (2) 1,2 (8) x Gx MP 1,7 2 (9) Ga E 5 2 (10) x Gx I 9 2 (11) x Gx N 10 1,2 (12) x Gx x Gx I 8,11 1 (13) x (Fx Gx) RA 2,12 1 (14) x (Fx Gx) DN Demostración del esquema x (Fx Gx) x Fx x Gx 1 (1) x (Fx Gx) S 2 (2) x Fx S 2 (3) x Fx N 2 4 (4) Fa S 1 (5) Fa Ga E 1 1,4 (6) Ga SD 4,5 1,4 (7) x Gx I 6 1,2 (8) x Gx E 3,4,7 1 (9) x Fx x Gx PC 2,8 1 (10) x Fx x Gx ID 9 11

12 Demostración del teorema y (Fy x Fx) 1 (1) y (Fy x Fx) S 1 (2) y (Fy x Fx) N 1 1 (3) (Fa x Fx) E 2 1 (4) Fa x Fx ID 3 1 (5) Fa E 4 1 (6) x Fx I 5 1 (7) x Fx E 4 1 (8) x Fx x Fx I 6,7 (9) y (Fy x Fx) RA 1,8 (10) y (Fy x Fx) DN 9 Ejercicios: esquemas 3.08 a x Fx x (Gx Fx) 3.09 x Fx x (Fx Gx) 3.10 x Fx x Gx x (Fx Gx) 3.11 x Fx x Gx x (Fx Gx) 3.12 x Fx x Gx x (Fx Gx) 3.13 x Fx x Gx x (Fx Gx) 3.14 x (Fx Gx) x Fx x Gx 3.15 y ( x Fx Fy) 24 12

13 Ejercicios: esquemas 3.16 a y (Fy x Fx) 3.17 y ( x Fx Fy) 3.18 x (Fx Gx) x Fx x Gx 3.19 x (Fx Gx Hx), x Hx x Fx 3.20 x (Fx Gx), x Gx x Fx 3.21 x (Fx Gx), x (Fx Hx) x (Hx Gx) 3.22 x (Hx Gx), x (Fx Gx) x (Fx Hx) 13