LÓGICA DE PREDICADOS 5. IDENTIDAD Y FUNCIONES

Transcripción

1 Juan Carlos León Universidad de Murcia LÓGICA DE PREDICADOS 5. IDENTIDAD Y FUNCIONES (PARTE 1) Esquema del tema 5.1. La noción lógica de identidad 5.2. Reglas de deducción natural para = 5.3. Cuantificadores numéricos 5.4. Descripciones definidas 5.5. Extensión del método de árboles 5.6. Funciones. Términos 5.7. Árboles con letras funcionales 1

2 Lógica de predicados 5. Identidad y funciones 5.1. La noción lógica de identidad Igualdad e identidad En matemáticas, la identidad se representa por el (engañosamente llamado) signo de igualdad 2+2=4 no significa que 2+2 sea igual que 4, sino que 2+2 es el mismo número que 4: una identidad (numérica), o mismidad En contextos no matemáticos, la identidad se expresa mediante el verbo ser ú por ejemplo, Juan Carlos es el profesor de Lógica 2

3 Proposiciones de identidad Compárese: 1) Sócrates es un filósofo 3) Sócrates es el maestro de Platón 2) París es una ciudad 4) París es la capital de Francia (1) y (2) son proposiciones de sujeto- predicado: la partícula es significa que el objeto a que refiere el sujeto tiene la propiedad expresada por el predicado (se trata de un es predicativo) En cambio, (3) y (4) son proposiciones de identidad: la partícula es significa es el mismo objeto que : es un es de identidad El es de identidad Algunas claves para reconocer un es de identidad: ú Puede reemplazarse por es el mismo objeto que? ú Puede invertirse el orden de las expresiones que flanquean al verbo es, sin que resulte lingüísticamente forzado? Respuestas afirmativas son signo de que tenemos una proposición de identidad 3

4 Extensión del lenguaje Añadimos al alfabeto un nuevo símbolo: ú El signo de identidad: = Y añadimos una nueva cláusula a la definición de fórmula atómica: ú k=j es una fórmula atómica para cualesquiera constantes k y j Ejemplos ú a=b c=a b=b Esta extensión constituye el lenguaje de la llamada lógica de predicados con identidad El predicado de identidad = es como una letra predicativa diádica (que expresa una relación binaria) ú pero seguimos la costumbre matemática de escribirla entre las dos constantes y no delante de ambas ú y, a diferencia de las restantes letras predicativas, = tiene una interpretación fija Teniendo en cuenta las reglas de formación de cfs, = podrá aparecer en expresiones complejas del mismo modo que lo hacen las letras predicativas. Por ejemplo, son cfs ú x x=x x y (Fx Fy x=y) 4

5 Lógica de predicados 5. Identidad y funciones 5.2. Reglas de deducción natural para = Introducción de = (I=) Para cualquier constante k, podemos introducir k=k en cualquier línea de una prueba, sin depender de ningún supuesto Esquema metalingüístico k=k El efecto de esta regla es como el de introducir un teorema: siempre podemos hacerlo, y sin depender de ningún supuesto Intuitivamente, la idea es que, por pura lógica, un objeto será siempre idéntico a sí mismo 5

6 Eliminación de = (E=) Si tenemos como premisas un enunciado de identidad del tipo k=j y una cf que contenga apariciones de una constante k, podemos sustituir en la cf una o más apariciones de k por j, dependiendo de todos los supuestos de ambas premisas Esquema metalingüístico: Γ k=j Δ P(k) Γ,Δ P(j) donde P(j) es el resultado de sustituir k por j, al menos en una de sus apariciones en P(k) O sea, si un objeto es el mismo que otro, cualquier cosa que digamos del uno, podemos decirla del otro Demostración de 5.01 y a=b b=a (conmutatividad) 1 (1) a=b S (2) a=a I= 1 (3) b=a E= 1, a=b, b=c a=c (transitividad) 1 (1) a=b S 2 (2) b=c S 1,2 (3) a=c E= 1,2 6

7 Demostración de Fa x (x=a Fx) (a) Fa x (x=a Fx) 1 (1) Fa S (2) a=a I= 1 (3) a=a Fa I 1,2 1 (4) x (x=a Fx) I 3 (b) x (x=a Fx) Fa 1 (1) x (x=a Fx) S 2 (2) b=a Fb S 2 (3) b=a E 2 2 (4) Fb E 2 2 (5) Fa E= 3,4 1 (6) Fa E 1,2,5 Regla derivada Usaremos únicamente una regla derivada, que es una generalización del esquema 5.01 Conmutativa de la identidad (C=): Γ k=j Γ j=k 7

8 Teoremas 5.04 x x=x (reflexividad) (1) a=a I= (2) x x=x I x y (x=y y=x) (simetría) 5.06 x y z (x=y y=z x=z) (transitividad) Ambos se obtienen fácilmente a partir de 5.01 y x x=a (1) a=a I= (2) x x=a I 1 Nombres sin referencia? Como muestra 5.07, en el lenguaje científico (cuyas proposiciones pretenden tener un valor de verdad), no caben los nombres vacíos (sin referencia), pues el mero uso de un nombre nos compromete con la existencia del objeto nombrado Cuando los científicos descubrieron que el hipotético planeta intramercuriano Vulcano no existía, no pasaron a negar todas las proposiciones que hasta el momento habían afirmado sobre él. Simplemente, su nombre fue eliminado del lenguaje científico En cambio, el lenguaje científico puede usar predicados vacíos, y sostener por ejemplo que no existen unicornios. (Hay incluso un tratado de Compuestos químicos inexistentes) 8

9 Formalización (ejercicio 5.20) Sólo Pérez y el centinela sabían la contraseña. Alguien que sabía la contraseña robó el arma. Luego el arma fue robada por Pérez o por el centinela Convenciones simbólicas a: Pérez Fx: x sabía la contraseña b: el centinela Gx: x robó el arma La primera premisa significa Pérez y el centinela sabían la contraseña, y cualquiera que la supiera será Pérez o el centinela. Donde la partícula será es un será de identidad Formalización: (Fa Fb) x (Fx x=a x=b), x (Fx Gx) Ga Gb Demostración de 5.08 (1) 5.08 (Fa Fb) x (Fx x=a x=b), x (Fx Gx) Ga Gb 1 (1) (Fa Fb) x (Fx x=a x=b) S 2 (2) x (Fx Gx) S 3 (3) Fc Gc S 1 (4) x (Fx x=a x=b) E 1 1 (5) Fc c=a c=b E 4 3 (6) Fc E 3 3 (7) Gc E 3 1,3 (8) c=a c=b MP 5,6 (continúa) 9

10 Demostración de 5.08 (2) 9 (9) c=a S 3,9 (10) Ga E= 7,9 3,9 (11) Ga Gb I (12) c=b S 3,12 (13) Gb E= 7,12 3,12 (14) Ga Gb I 13 1,3 (15) Ga Gb E 8,9,11,12,14 1,2 (16) Ga Gb E 2,3,15 Lógica de predicados 5. Identidad y funciones 5.3. Cuantificadores numéricos 10

11 Hay al menos dos Con la identidad podemos expresar proposiciones como sólo a y b son F, que hubiéramos sido incapaces de representar sin ella Tampoco puede expresarse sin la identidad la afirmación de que hay al menos dos objetos que son F Es fácil comprobar la equivalencia entre estas dos cfs: x Fx x y (Fx Fy) con lo que usar dos variables distintas no garantiza que haya dos objetos diferentes Para decir hay al menos dos Fs necesitamos esto x y (Fx Fy x y) (escribimos x y en lugar de x=y ) Hay al menos n Similarmente, podemos decir hay al menos tres cosas que son F escribiendo x y z (Fx Fy Fz x y x z y z) En general, resultará obvio que para cualquier número n podemos decir que al menos hay n cosas que son F, con el concurso esencial del signo de identidad Pero podremos expresar hay exactamente n cosas que son F? 11

12 Hay a lo sumo uno Decir hay exactamente una cosa que es F equivale a decir hay al menos una y a lo sumo una cosa que es F Ya sabemos que para decir hay al menos un F basta escribir x Fx Y afirmar hay a lo sumo un F es lo mismo que decir si dos cosas cualesquiera son F, serán la misma cosa : x y (Fx Fy x=y) Esta cf permite que no haya nada que sea F, y que haya una sola cosa que sea F; pero si más de una fuera F, la cf resultaría falsa Hay exactamente uno Para decir hay exactamente un F escribiremos pues x Fx x y (Fx Fy x=y) Esa cf es equivalente a estas otras más breves y nítidas x (Fx y (Fy x=y)) x (Fx y (Fy x y)) Indicamos incluso un tercer equivalente más simple aún, aunque menos claro x y (Fy x=y) Podemos convenir en usar la notación 1 x Fx como abreviatura de cualquiera de esas cfs y llamar a este nuevo símbolo cuantificador numéricamente definido 12

13 Hay exactamente n Para decir hay exactamente dos cosas que son F quizá lo más sencillo sea escribir x y (Fx Fy x y z (Fz x=z y=z)) También podríamos usar el cuantificador numérico 1 x y escribir x (Fx 1 y (Fy x y)) Ahora podemos abreviar cualquiera de las dos cfs anteriores con un segundo cuantificador numéricamente definido 2 x Fx Y, obviamente, este procedimiento puede extenderse de modo que para cualquier número finito n tendremos una cf que afirme que exactamente n cosas son F Ejercicios: del 5.09 al a=b, a=c b=c 5.10 a=b a=c b=c 5.11 a=b Fa Fb 5.12 Fa x (x=a Fx) 5.13 x y (Fx x=y Fy) 5.14 x (Fx Gx), Fa, a=b Gb 5.15 x (Fx Gx), Fa, Gb a b 13

14 Ejercicios: del 5.16 al x (Fx x=a x=b), Ga Gb x (Fx Gx) 5.17 x y (Fx Fy x=y), Fa, a b Fb 5.18 x Fx x y (Fx Fy) 5.19 x (Fx y (Fy x=y)) x Fx x y (Fx Fy x=y) Lógica de predicados 5. Identidad y funciones 5.4. Descripciones definidas 14

15 Nombres y descripciones Hasta aquí hemos tratado por igual nombres de objetos y descripciones de objetos (como expresiones que refieren a un objeto), y los hemos simbolizado mediante constantes Pero hay argumentos cuya validez depende de la composición interna de una descripción, ya que ésta se construye a base de indicar que una cierta propiedad le corresponde a un único objeto Por esa razón las denominamos descripciones definidas Ejemplo (ejercicio 5.27) El autor de La Ilíada escribió La Odisea; luego, alguien escribió tanto La Ilíada como La Odisea El argumento es obviamente válido, pero esa validez no se manifiesta si tratamos la descripción el autor de La Ilíada como si fuera un nombre, y lo representamos mediante una constante: Ga x (Fx Gx) (a: el autor de La Ilíada; Fx: x escribió La Ilíada; Gx: x escribió La Odisea) 15

16 Formalización Lo que afirma la premisa es que exactamente una persona escribió La Ilíada, y que esa misma persona escribió La Odisea: x (Fx y (Fy x=y) Gx) El contenido de la descripción está captado por los dos primeros miembros de la conjunción: alguien escribió La Ilíada y es el único que lo ha hecho La conclusión se sigue entonces obviamente La teoría de las descripciones Este tratamiento de las descripciones se debe a B. Russell (1905) Las dos proposiciones ú El actual rey de Francia es calvo ú El actual rey de Francia no es calvo son ambas falsas (y sólo aparentemente contradictorias), ya que no existe actualmente un rey de Francia La teoría de las descripciones definidas de Russell suscita problemas filosóficos que se abordan mejor en el ámbito de la filosofía del lenguaje 16

17 Bertrand Russell 17