EJERCICIOS RESUELTOS 7
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- Concepción Silva Roldán
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1 LÓGICA II EJERCICIOS RESUELTOS 7 (Los ya resueltos en las clases teóricas aparecen recuadrados) TEMA 5 IDENTIDAD: DERIVACIONES, FORMALIZACIÓN Y ÁRBOLES A) DERIVACIONES 5.01 a=b b=a (conmutatividad) (2) a=a I= 1 (3) b=a E= 1, a=b, b=c a=c (transitividad) 2 (2) b=c S 1,2 (3) a=c E= 1, Fa x (x=a Fx) (a) Fa x (x=a Fx) 1 (1) Fa S (2) a=a I= 1 (3) a=a Fa I 1,2 1 (4) x (x=a Fx) I 3 (b) x (x=a Fx) Fa 1 (1) x (x=a Fx) S 2 (2) b=a Fb S 2 (3) b=a E 2 2 (4) Fb E 2 2 (5) Fa E= 3,4 1 (6) Fa E 1,2,5 1
2 5.04 x x=x (reflexividad) (1) a=a I= (2) x x=x I x y (x=y y=x) (simetría) 1 (2) b=a C= 1 (3) a=b b=a PC 1,2 (4) y (a=y y=a) I 3 (5) x y (x=y y=x) I x y z (x=y y=z x=z) (transitividad) 1 (1) a=b b=c S 1 (2) a=b E 1 1 (3) b=c E 1 1 (4) a=c E= 2,3 (5) a=b b=c a=c PC 1,4 (6) z (a=b b=z a=z) I 5 (7) y z (a=y y=z a=z) I 6 (8) x y z (x=y y=z x=z) I x x=a (1) a=a I= (2) x x=a I (Fa Fb) x (Fx x=a x=b), x (Fx Gx) Ga Gb 1 (1) (Fa Fb) x (Fx x=a x=b) S 2 (2) x (Fx Gx) S 3 (3) Fc Gc S 1 (4) x (Fx x=a x=b) E 1 1 (5) Fc c=a c=b E 4 3 (6) Fc E 3 3 (7) Gc E 3 1,3 (8) c=a c=b MP 5,6 9 (9) c=a S 3,9 (10) Ga E= 7,9 3,9 (11) Ga Gb I (12) c=b S 3,12 (13) Gb E= 7,12 2
3 3,12 (14) Ga Gb I 13 1,3 (15) Ga Gb E 8,9,11,12,14 1,2 (16) Ga Gb E 2,3, a=b, a=c b=c 2 (2) a=c S 1,2 (3) b=c E= 1, a=b a=c b=c 2 (2) a=c S 1,2 (3) b=c E= 1,2 1 (4) a=c b=c PC 2,3 5 (5) b=c S 1,5 (6) a=c E= 1,5 1 (7) b=c a=c PC 5,6 1 (8) a=c b=c I 4, a=b Fa Fb 2 (2) Fa S (3) Fa Fa PC 2,2 (4) Fa Fa I 3,3 1 (5) Fa Fb E= 1, Fa x (x=a Fx) (a) Fa x (x=a Fx) 1 (1) Fa S 2 (2) b=a S 2 (3) a=b C= 2 1,2 (4) Fb E= 1,3 1 (5) b=a Fb PC 2,4 1 (6) x (x=a Fx) I 5 (b) x (x=a Fx) Fa 1 (1) x (x=a Fx) S 1 (2) a=a Fa E 1 (3) a=a I= 1 (4) Fa MP 2,3 3
4 5.13 x y (Fx x=y Fy) 1 (1) Fa a=b S 1 (2) Fa E 1 1 (3) a=b E 1 1 (4) Fb E= 2,3 (5) Fa a=b Fb PC 1,4 (6) y (Fa a=y Fy) I 5 (7) x y (Fx x=y Fy) I x (Fx Gx), Fa, a=b Gb 1 (1) x (Fx Gx) S 2 (2) Fa S 3 (3) a=b S 1 (4) Fa Ga E 1 1,2 (5) Ga MP 2,4 1,2,3 (6) Gb E= 3, x (Fx Gx), Fa, Gb a b 1 (1) x (Fx Gx) S 2 (2) Fa S 3 (3) Gb S 4 (4) a=b S 1 (5) Fa Ga E 1 1,2 (6) Ga MP 2,5 1,2,4 (7) Gb E= 4,6 1,2,3,4 (8) Gb Gb I 3,7 1,2,3 (9) a b RA 4, (Fa Fb) x (Fx x=a x=b), Ga Gb x (Fx Gx) 1 (1) (Fa Fb) x (Fx x=a x=b) S 2 (2) Ga Gb S 3 (3) Fc S 1 (4) x (Fx x=a x=b) E 1 1 (5) Fc c=a c=b E 4 1,3 (6) c=a c=b MP 3,6 7 (7) c=a S 2 (8) Ga E 2 7 (9) a=c C= 7 2,7 (10) Gc E= 8,9 11 (11) c=b S 4
5 2 (12) Gb E 2 11 (13) b=c C= 11 2,11 (14) Gc E= 12,13 1,2,3 (15) Gc E 6,7,10,11,14 1,2 (16) Fc Gc PC 3,15 1,2 (17) x (Fx Gx) I x y (Fx Fy x=y), Fa, a b Fb 1 (1) x y (Fx Fy x=y) S 2 (2) Fa S 3 (3) a b S 1 (4) y (Fa Fy a=y) E 1 1 (5) Fa Fb a=b E 4 1,3 (6) (Fa Fb) MT 3,5 1,2,3 (7) Fb SC 2, x Fx x y (Fx Fy) (a) x Fx x y (Fx Fy) 1 (1) x Fx S 2 (2) Fa S 2 (3) Fa Fa I 2,2 2 (4) y (Fa Fy) I 3 2 (5) x y (Fx Fy) I 4 1 (6) x y (Fx Fy) E 1,2,5 (b) x y (Fx Fy) x Fx 1 (1) x y (Fx Fy) S 2 (2) y (Fa Fy) S 3 (3) Fa Fb S 3 (4) Fa E 3 3 (5) x Fx I 4 2 (6) x Fx E 2,3,5 1 (7) x Fx E 1,2, x (Fx y (Fy x=y)) x Fx x y (Fx Fy x=y) (a) x (Fx y (Fy x=y)) x Fx x y (Fx Fy x=y) 1 (1) x (Fx y (Fy x=y)) S 2 (2) Fa y (Fy a=y) S 2 (3) Fa E 2 2 (4) x Fx I 3 5 (5) Fb Fc S 5
6 2 (6) y (Fy a=y) E 2 2 (7) Fb a=b E 6 5 (8) Fb E 5 2,5 (9) a=b MP 7,8 2 (10) Fc a=c E 6 5 (11) Fc E 5 2,5 (12) a=c MP 10,11 2,5 (13) b=c E= 9,12 2 (14) Fb Fc b=c PC 5,13 2 (15) y (Fb Fy b=y) I 14 2 (16) x y (Fx Fy x=y) I 15 2 (17) x Fx x y (Fx Fy x=y) I 4,16 1 (18) x Fx x y (Fx Fy x=y) E 1,2,17 (b) x Fx x y (Fx Fy x=y) x (Fx y (Fy x=y)) 1 (1) x Fx x y (Fx Fy x=y) S 1 (2) x Fx E 1 1 (3) x y (Fx Fy x=y) E 1 4 (4) Fa S 5 (5) Fb S 1 (6) y (Fa Fy a=y) E 3 1 (7) Fa Fb a=b E 6 4,5 (8) Fa Fb I 4,5 1,4,5 (9) a=b MP 7,8 1,4 (10) Fb a=b PC 5,9 1,4 (11) y (Fy a=y) I 10 1,4 (12) Fa y (Fy a=y) I 4,11 1,4 (13) x (Fx y (Fy x=y)) I 12 1 (14) x (Fx y (Fy x=y)) E 2,4,13 B) FORMALIZACIÓN EJERCICIO 5.20 Sólo Pérez y el centinela de la entrada principal sabían la contraseña. Alguien que sabía la contraseña robó el arma. Luego, el arma fue robada o bien por Pérez o bien por el centinela de la entrada principal. - a: Pérez - b: El centinela de la entrada principal - Fx: x sabía la contraseña - Gx: x robó el arma (Fa Fb) x (Fx x=a x=b), x (Fx Gx) Ga Gb (= 5.08) 6
7 EJERCICIO 5.21 Todo asesino es un demente. El Dr. Jekyll es un asesino. El Dr. Jekyll es Mr. Hyde. Luego, Mr. Hyde es un demente. - a: El Dr. Jekyll - b: Mr. Hyde - Fx: x es un asesino - Gx: x es un demente x (Fx Gx), Fa, a=b Gb (= 5.14) EJERCICIO 5.22 Ningún asesino está en su sano juicio. El Dr. Jekyll es un asesino. Mr. Hyde está en su sano juicio. Luego, el Dr. Jekyll no es Mr. Hyde. - a: El Dr. Jekyll - b: Mr. Hyde - Fx: x es un asesino - Gx: x está en su sano juicio x (Fx Gx), Fa, Gb a b (= 5.15) EJERCICIO 5.23 Sólo Juan y Lola están bailando. Juan y Lola están bailando el twist. Luego, todos los que bailan bailan el twist. - a: Juan - b: Lola - Fx: x está bailando - Gx: x está bailando el twist (Fa Fb) x (Fx x=a x=b), Ga Gb x (Fx Gx) (= 5.16) EJERCICIO 5.24 Hay a lo sumo un único rey de España. Felipe VI es rey de España. Felipe VI no es Juan Carlos I. Luego, Juan Carlos I no es rey de España. - a: Felipe VI - b: Juan Carlos I 7
8 - Fx: x es rey de España x y (Fx Fy x=y), Fa, a b Fb (= 5.17) EJERCICIO 5.25 Habrá como mucho un par de candidatos. - Fx: x es un candidato x y z (Fx Fy Fz x=y x=z y=z) EJERCICIO 5.26 Hay exactamente tres personas divinas. - Fx: x es una persona divina x y z (Fx Fy Fz x y x z y z w (Fw x=w y=w z=w)) EJERCICIO 5.27 El autor de La Ilíada escribió La Odisea. Luego, alguien escribió tanto La Ilíada como la Odisea. - Fx: x escribió La Ilíada - Gx: x escribió La Odisea x (Fx y (Fy x=y) Gx) x (Fx Gx) EJERCICIO 5.28 El autor del Quijote era manco. Cervantes escribió el Quijote. Luego, Cervantes era manco. - a: Cervantes - Fx: x escribió El Quijote - Gx: x era manco x (Fx y (Fy x=y) Gx), Fa Ga 8
9 C) ÁRBOLES EJERCICIO 5.29 Usando el método de árboles, comprobar si es o no válido el siguiente esquema argumentativo: x (x=a Fx) Fa ü 1. x (x=a Fx) (prem.) 2. Fa ( concl.) ü 3. b=a Fb (de 1) 4. b=a (de 5. Fb 3) 6. Fa (de 4 y 5) Como el árbol está cerrado, las fbfs iniciales serán insatisfacibles. Y el esquema de inferencia, por tanto, es válido. EJERCICIO 5.30 Usando el método de árboles, comprobar si es o no válido el siguiente esquema argumentativo: Fa x (x=a Fx) 1. Fa (prem.) ü 2. x (x=a Fx) ( concl.) 3. x (x=a Fx) (de 2) ü 4. (a=a Fa) (de 3) 5. a a 6. Fa (de 4) El árbol cierra. Las fbfs iniciales son insatisfacibles. Y el esquema es válido. EJERCICIO 5.31 Usando el método de árboles, comprobar si es o no válido el siguiente esquema argumentativo: x (Fx Gx), Fa, Gb a b 1. x (Fx Gx) (prem.) 2. Fa (prem.) 3. Gb (prem.) ü 4. a=b ( concl.) 5. a=b (de 4) 6. Fb (de 2 y 5) 7. Ga (de 3 y 5) 9
10 ü 8. Fa Ga (de 1) 9. Fb Gb (de 1) 10. Fa 11. Ga (de 8) Como el árbol está cerrado, las fbfs iniciales serán insatisfacibles. Y el esquema de inferencia, por tanto, es válido. (Las líneas 6 y 9 son superfluas) EJERCICIO 5.32 Usando el método de árboles, comprobar si es o no válido el siguiente esquema argumentativo: x (Fx x=a x=b), Ga Gb x (Fx Gx) 1. x (Fx x=a x=b) (prem.) ü 2. Ga Gb (prem.) ü 3. x (Fx Gx) ( concl.) 4. Ga (de 5. Gb 2) ü 6. x (Fx Gx) (de 3) ü 7. (Fc Gc) (de 6) 8. Fa a=a a=b (de 1) 9. Fb b=a b=b (de 1) ü 10. Fc c=a c=b (de 1) 11. Fc (de 12. Gc 7) 13. Fc ü 14. c=a c=b (de 10) 15. c=a 16. c=b (de 14) 17. Ga (de 12 y 15) 18. Gb (de 12 y 16) El árbol cierra. Las fbfs iniciales son insatisfacibles. Y el esquema es válido. (Para simplificar el árbol, evitando más ramificaciones, se ha omitido la aplicación de las correspondientes reglas a las líneas 8 y 9, que son superfluas) EJERCICIO 5.33 Usando el método de árboles, comprobar si es o no válido el siguiente esquema argumentativo: x (Fx y (Fy x=y)), Fa Fb ü 1. x (Fx y (Fy x=y)) (prem.) 2. Fa (prem.) 3. Fb ( concl.) 10
11 ü 4. Fc y (Fy c=y) (de 1) 5. Fc (de 6. y (Fy c=y) 4) ü 7. Fa c=a (de 6) ü 8. Fb c=b (de 6) ü 9. Fc c=c (de 6) 10. Fa 11. c=a (de 7) 12. Fc 13. c=c (de 9) 14. Fb 15. c=b (de 8) 16. Fb (de 5 y 15) 17. y (Fy a=y) (de 6 y 11) 18. a=a (de 11 y 11) 19. a=c (de 11 y 13) ü 20. Fa a=a (de 17) ü 21. Fb a=b (de 17) ü 22. Fc a=c (de 17) 23. Fa 24. a=a (de 20) 25. Fc 26. a=c (de 22) 27. Fb 28. a=b (de 21) 29. Fb (de 2 y 28) El árbol está terminado y abierto. Por tanto, las tres fbfs iniciales son insatisfacibles. Y, en consecuencia, el esquema de inferencia es inválido. 11
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