CONJUNTOS CIENTÍFICO, MAT. 2

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1 CONJUNTOS CIENTÍFICO, MAT. 2 PRIMERAS NOCIONES Conceptos primitivos: Conjunto y elemento de un conjunto. Formas de determinar un conjunto: 1) Decimos que un conjunto está determinado por extensión cuando se nombra cada uno de sus elementos. 2) Decimos que un conjunto está determinado por comprensión cuando se dan propiedades que caracterizan a los elementos del conjunto y sólo a ellos. Ejemplos: Sea A = {0, 2, 4, 6}, este conjunto está determinado por extensión, para determinarlo por comprensión podemos escribir: A = {xn / x =2, x 6}. De la misma forma, si consideramos B = {xn / 2x < 9} podemos escribirlo por extensión: B = {0, 1, 2, 3, 4}. Ejercicio 1 Analiza si los siguientes conjuntos están bien determinados y en ese caso indica si están determinados por extensión o por comprensión: A = {an / 5 a 8} B = {15, 3, a, b} C = {cn / c = 2 } D = {dr / 2 d 3} E = {e / 1 e 3} F = {-1, 0, 1, 2, 3} G = {fz / -1 f 4} H = {hn / 2 h 4} I = {in / 2 i 3} J = {jn / 3 j 8} K = {kn / 5 k 11} Igualdad de conjuntos Decimos que dos conjuntos son iguales cuando tienen los mismos elementos. Simbólicamente: A = B x(xa xb). Conjunto vacío Al conjunto al cual no pertenece ningún elemento le decimos conjunto vacío. Simbólicamente: = {xe/ xe} Inclusión de conjuntos Dados dos conjuntos A y B, decimos que A está incluido en B sí y sólo sí, todos los elementos de A pertenecen a B. Simbólicamente: AB x(xa xb). Si AB entonces A es un subconjunto de B. En un diagrama esto se puede representar: CONJUNTOS 2017 LICEO 10 1

2 CONJUNTOS NUMÉRICOS (Lee el material colgado en aulas virtuales). Ejercicio 2 1 Sea A = {-5; ; 0; 2 ; 7; ; 1 3; 1,41; -0,33; 9 ; 2; 8 }, determina por 2 extensión los conjuntos: B = {xa / xz} C = {xa / xq} D / DA y DN E = {xa / x 2 = 2} Ejercicio 3 Indica el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: a) Todo número entero es racional. b) Todo número irracional es real. c) Algunos números enteros son naturales. d) Entre dos números enteros hay siempre otro número entero. e) Entre dos números racionales hay siempre infinitos números racionales. Ejercicio 4 a) Encuentra si es posible: Un número racional no entero. Un número entero no racional. Un número real no entero cuyo cuadrado sea un número natural. Un número real cuyo cuadrado sea -1. Un número real comprendido entre 2,14 y 2,15. Un número racional comprendido entre 4 5 y 5 6. b) En los casos en que sea posible, escribe un número x que cumpla las siguientes condiciones: xn / x(-2, 1) xz / x(-4,5; -4) [a, b] = {x / a x b} xq / x(0,33; 1 ) (a, b) = {x / a < x < b} 3 xq / x(3,14; ) Ejercicio 5 Si nn, determina, en caso que existan, para qué valores de n estos números pertenecen a Z: a) n 2 b) 3 n c) n - 5 d) n + ½ CONJUNTOS 2017 LICEO 10 2

3 Ejercicio 6 Sea A = 2, 3,0, 5 y B = 1, 8, 12 a) Sea C = {x / x = a b, aa, bb}. Determínalo por extensión. Identifica a qué conjunto numérico pertenece cada elemento de C. b) Es posible afirmar que el producto de dos irracionales es un número irracional? Justifica. c) Es posible afirmar que el producto de dos irracionales es un número racional? Justifica. d) Es posible afirmar que el producto de dos racionales es un número racional? OPERACIONES CON CONJUNTOS Intersección de conjuntos Dados dos conjuntos A y B, llamamos A intersección B al conjunto de todos los elementos que pertenecen a A y también pertenecen a B. Simbólicamente: AB = {x / xa y xb} En un diagrama esto se puede representar: Ejercicio 7 Dados A = {xz / -1 x < 4} y B = {xz / 0 x < 5}, determina AB por extensión. Ejercicio 8 Sean: A = [-1, 4] y B = (2, 7), halla AB. Ejercicio 9 Sean A = [ 3, 4) y B = (1,8; 6]. a) Determina como intervalo AB. b) Determina por extensión AZ. c) Escribe 3 elementos de BI y 3 elementos de (AB)Q. Unión de conjuntos Dados dos conjuntos A y B, llamamos A unión B al conjunto de todos los elementos que pertenecen a A y/o pertenecen a B. Simbólicamente: A B x / x A y/o x B En un diagrama esto se puede representar: CONJUNTOS 2017 LICEO 10 3

4 Ejercicio 10 3 Dados A = [, 6] y B = (-1, 4), determina AB. 2 Ejercicio 11 Halla NZ, NZ, QI, QI. Ejercicio Sean A = 1; ; 2;2 5 ;(1 2)(1 2); ; Halla; AB, AQ, (AB)Z, (BZ)N. y B = {x / x < - ½}. Diferencia de conjuntos Dados los conjuntos A y B, llamaremos diferencia de A y B o complemento relativo de B respecto a A, al conjunto de todos los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B. Simbólicamente: A B = {x / xa y xb} Por lo que: x(a B) xa y xb En un diagrama esto se puede representar: Ejercicio 13 A x N/x 23 x 5 y B 1,5,9, determina por extensión Dados A - B y B - A. Ejercicio 14 A x R/ 2 x 5, B x R/ 4 x 2 y C x R/ 0 x 4 Sean: determina por comprensión los conjuntos: AB; BC; A (BC); (A C)B. Ejercicio 15 Sea A = [-2, 5). Halla tres elementos de A N, Q A y (Z A) N. Complemento de un conjunto Si se considera un conjunto referencial E, y trabajamos solamente con subconjuntos de E, llamamos complemento de X al conjunto: E - X. Simbólicamente: X = E X = {x / xe y xx} = {x / xx} En un diagrama esto se puede representar: CONJUNTOS 2017 LICEO 10 4

5 Ejercicio 16 Determina los conjuntos A, B y E (conjunto de referencia) que cumplan simultáneamente: AB; B A = {xn / x < 4}; A = {0, 1, 2, 3, 8, 9}; AB = {xn / 4 x < 8}. Ejercicio 17 Determina por extensión los conjuntos A y B sabiendo que: A B = {-2, -3}, AB = {-1, 0} y B - A x N / 4 x 9 Ejercicio 18 Determina por extensión los conjuntos A y B si: A B x N/2 x 4 ; A B x N/ x 7 y B A 5, 6 Ejercicio 19 Expresa los conjuntos representados por la región pintada mediante los símbolos: A, B, C,,, y : a) b) RELACIÓN BINARIA Y FUNCIÓN Par ordenado: Lo consideraremos un concepto primitivo. Producto cartesiano Dados dos conjuntos A y B, llamamos producto cartesiano de A por B al conjunto de todos los pares ordenados cuyo primer componente pertenece a A y su segundo componente pertenece a B. Simbólicamente: AxB = {(x, y) / xa e yb} Relación binaria Dados dos conjuntos A y B, llamamos relación binaria de A en B a todo subconjunto de AxB. Simbólicamente: R: A B RAxB Dominio Dados dos conjuntos A y B y una relación R de A en B, llamamos dominio de R al conjunto: D(R) = {xa / (x, y)r} CONJUNTOS 2017 LICEO 10 5

6 Recorrido Dados dos conjuntos A y B y una relación R de A en B, llamamos recorrido de R al conjunto: R(R) = {yb / (x, y)r} Función Dados dos conjuntos A y B, decimos que f es una función de A en B sí y sólo sí f es una relación binaria de A en B tal que cada elemento de A se relaciona con un y sólo un elemento de B por medio de f. Simbólicamente: f: AB es función xa, un y sólo un yb / f(x) = y Ejercicio 20 Dados A = {-1, -2, 3}; B = {-4, 5} y R = {(-1,-4); (-2, 5); (-4, 5)}, es R una función de A en B? Justifica. Ejercicio 21 Dados los conjuntos: A = {3, 5, 7} y B = {4, 6, 8, 10}, escribe por extensión las siguientes relaciones y analiza si son funciones: R = {(x, y)axb / x = y 1} y R1 = {(x, y)axb / y = x + 3. Ejercicio 22 Dados A = {xn / x 2, x < 8}, B = {2, 4, 6} y las siguientes relaciones: R1: A B / (x, y)r1 x = y 1 R2: B A / (x, y)r2 x + y =3 R3: B A / (x, y)r3 y = 1 a) Escribe por extensión las relaciones. b) Analiza si son funciones. c) Si son funciones, indica su recorrido. Ejercicio 23 Sean las relaciones: L = {(x, y) 2 / y = x 2 } y M = {(x, y) 2 / x = y 2 }, determina el dominio de cada una e indica cuáles representan funciones de en. Ejercicio 24 Dados: A = {-1, 0, 1, 2} y B = {-1, 1, 3, 5} a) Determina por extensión: AB y AB. b) Determina un conjunto C para que la siguiente relación sea una función: f: AB AC / f(x) = x + 1. CONJUNTOS 2017 LICEO 10 6

7 Ejercicio 25 Dados los conjuntos A, B, C y E según diagrama, indica el valor de verdad de las siguientes proposiciones, justifica: a) AB A B b) (AB) (B C) c) AC B d) C B A B Ejercicio 26 a) Representa mediante diagramas de Venn los conjuntos A, B, C, E (conjunto referencial) sabiendo que: AB, CA y BC = b) Pinta (A C)(B A) Ejercicio 27 Indica cuál o cuáles de los siguientes gráficos representan una función de en : OPERACIÓN BINARIA Sea A un conjunto, decimos que es una operación binaria definida en A si y sólo si es una función de AxA en A. Sea A un conjunto y una operación binaria definida en A, puede cumplir en A las propiedades: 1) Conmutativa: ab =ba, a,ba. 2) Asociativa: (ab)c = a(bc), a,b,ca. 3) Existencia de neutro: na/ an = na=a, aa. 4) Existencia de simétrico: aa, a A/ aa = a a =n Si es otra operación binaria definida en A, decimos que: 5) cumple distributiva respecto a a(bc) = (ab)(ac), a,b,ca. CONJUNTOS 2017 LICEO 10 7

8 Ejercicio 28 Investiga en cuál de los siguientes conjuntos: N, Z, Q y, la adición, la sustracción, la multiplicación y/o la división son operaciones. Ejercicio 29 Investiga si la adición y/o la multiplicación, cumplen alguna de estas propiedades en N. Ejercicio 30 Investiga si la sustracción cumple alguna de estas propiedades en Z. Profesores: Elena Arzuaga María Pucci Javier Villarmarzo CONJUNTOS 2017 LICEO 10 8