Circuitos Combinatorios

Transcripción

1 Circuitos Combinatorios Primer Cuatrimestre de 2010 Departamento de Computación, FCEyN,Universidad de Buenos Aires. 7 de abril de 2010

2 Objetivos de la clase de hoy Repasar los operadores y propiedades del algebra de boole vistas en la teórica (hace un ratito nomás) y utilizarlas para implementar circuitos combinatorios simples.

3 Propiedades Suma de productos Producto de sumas Compuertas lógicas Repasemos... Operadores booleanos: Pueden ser completamente descriptos usando su tabla de verdad. AND, OR, NOT Operadores básicos NAND, NOR Operadores universales Funciones booleanas: Combinación de operadores lógicos y variables booleanas. Ej. F (X, Y, Z) = X + Y Z. Orden de precedencia en la evaluación NOT > AND > OR. Dos funciones son iguales sii tienen la misma tabla de verdad. Identidades booleanas: Reducciones utilizando propiedades o leyes. X YZ + X Y Z + XZ == X Y + XZ

4 Propiedades Suma de productos Producto de sumas Compuertas lógicas Propiedades Identidad 1.A = A 0 + A = A Nulo 0.A = A = 1 Idempotencia A.A = A A + A = A Inverso A.A = 0 A + A = 1 Conmutatividad A.B = B.A A + B = B + A Asociatividad (A.B).C = A.(B.C) (A + B) + C = A + (B + C) Distributividad A + B.C = (A + B).(A + C) A.(B + C) = A.B + A.C Absorción A.(A + B) = A A + A.B = A De Morgan (A.B) = A + B (A + B) = A.B No existe una forma mecánica y facil para reducir una función, hay que practicar. De esto se deduce que no hay una única forma de escribir una función lógica, surge la necesidad de las formas canónicas.

5 Propiedades Suma de productos Producto de sumas Compuertas lógicas Suma de productos Por cada valor de la función que sea 1 escribimos un término utilizando todas las variables unidas por operadores AND, de forma tal que el término también valga 1. Luego combinamos todo con operadores OR. Probemos con un ejemplo: A B F(A,B) F (A, B) = AB + AB Es la función conocida como XOR.

6 Propiedades Suma de productos Producto de sumas Compuertas lógicas Producto de sumas Por cada valor de la función que sea 0 escribimos un término utilizando todas las variables unidas por operadores OR, de forma tal que el término también valga 0. Luego combinamos todo con operadores AND. Usando el ejemplo anterior: A B F(A,B) F (A, B) = (A + B)(A + B)

7 Propiedades Suma de productos Producto de sumas Compuertas lógicas Compuertas lógicas Una compuerta es un dispositivo electrónico que produce un resultado en base a un conjunto de valores de entrada. Se corresponden exactamente con las funciones que vimos antes.

8 Propiedades Suma de productos Producto de sumas Compuertas lógicas Compuerta NOT A NOT A

9 Propiedades Suma de productos Producto de sumas Compuertas lógicas Compuerta AND A B A AND B

10 Propiedades Suma de productos Producto de sumas Compuertas lógicas Compuerta OR A B A OR B

11 Propiedades Suma de productos Producto de sumas Compuertas lógicas Compuerta XOR A B A XOR B

12 Propiedades Suma de productos Producto de sumas Compuertas lógicas Compuerta NOR A B A NOR B

13 Propiedades Suma de productos Producto de sumas Compuertas lógicas Compuerta NAND A B A NAND B

14 Ejercicio 1 Demostrar si la siguiente igualdad entre funciones booleanas es verdadera o falsa: (X + Y ) = (X.Y ).Z + X.Z + (Y + Z) Solución: (X.Y ).Z + X.Z + (Y + Z) De Morgan (X.Y ).Z + X.Z + Y.Z Distributiva (X.Y ).Z + (X + Y ).Z De Morgan (X + Y ).Z + (X + Y ).Z Distributiva (X + Y ).(Z + Z) Inverso (X + Y ).1 Identidad X + Y

15 Ejercicio 2 Simplificar la función: XY + X Z + YZ Solución: XY + X Z + YZ(1) Identidad XY + X Z + YZ(X + X ) Inverso XY + X Z + (YZ)X + (YZ)X Distributiva XY + X Z + X (YZ) + X (ZY ) Conmutativa (varias veces) XY + X Z + (XY )Z + (X Z)Y Asociativa XY + (XY )Z + (X Z) + (X Z)Y Conmutativa XY (1 + Z) + X Z(1 + Y ) Distributiva XY (1) + X Z(1) Nulo XY + X Z Identidad

16 Ejercicio 3 Dada la siguiente tabla de verdad: A B C F Escribir la función booleana que representa. Implementar la función utilizando a lo sumo una compuerta binaria AND, una compuerta binaria OR y una compuerta NOT.

17 Expresamos la función como una suma de productos: (A.B.C) + (A.B.C) + (A.B.C) Ahora nos restringen las compuertas, tenemos que simplificar. (A.B.C) + (A.B.C) + (A.B.C) Distributiva ((A.B) + (A.B) + (A.B)).C Distributiva ((A.B) + (A + A).B).C Inverso ((A.B) + 1.B).C Identidad ((A.B) + B).C Distributiva ((A + B).(B + B)).C Inverso ((A + B),1).C Identidad (A + B).C Bingo! Ahora a implementarlo

18 La implementación es la siguiente:

19 Ejercicio 4 Armar un inversor de 3 bits. Este circuito invierte o no las tres entradas de acuerdo al valor de una de ellas que actúa como control. En otras palabras, un inversor de k-bits es un circuito de k entradas (e k,..., e 0 ) y k 1 salidas (s k 1,..., s 0 ) que funciona del siguiente modo: Si e k = 1, entonces s i = not(e i ) para todo i < k Si e k = 0, entonces s i = e i para todo i < k Ejemplo: inversor(1,011)=100 inversor(0,011)=011 inversor(1,100)=011 inversor(1,101)=010

20 Solución: Podriamos hacer la tabla de verdad, pero seria mucho lio, mejor pensemos =). Primero miremos como invertir un solo bit. ei ek si De donde nos suena esta tabla?... Sep, es un XOR ( ) P Q = (P.Q) + (P.Q) Ahora que ya lo tenemos cocinado para un valor, pensemos que pasa cuando tenemos más de uno.

21 Implementado con XOR:

22 Ejercicio 5 Armar un sumador simple (de un bit). Solución:

23 Ejercicio 6 Teniendo dos sumadores simples y solo una compuerta a elección, arme un sumador completo. Solución:

24 Ejercicio 7 Usando sumadores armar un circuito que convierta un entero en su inverso aditivo (el inverso aditivo de un número n es el número x tal que x + n = 0). Los enteros se representan con notación complemento a 2 de 4 bits. En esta reprepresentación el -8 no tiene inverso aditivo, no hace falta contemplar el caso aparte. (HINT: Pensar en propiedades del inverso aditivo vistas en la práctica 1) Solución:

25 Ejercicio 8 Dibujar el diagrama lógico de un demultiplexor de 2 ĺıneas de control, 1 ĺınea de entrada y 4 ĺıneas de salida. Este circuito dirige la única ĺınea de entrada a una de cuatro ĺıneas de salida, dependiendo del estado de las dos ĺıneas de control. c 1 c 0 s i 0 0 s 0 = e 0, s i = 0 si i s 1 = e 0, s i = 0 si i s 2 = e 0, s i = 0 si i s 3 = e 0, s i = 0 si i 3

26 Solución: Nota: Se usaron compuertas de tres entradas por simplicidad, si en el parcial usan compuertas de más de dos entradas tienen que explicar como funcionan.

27 Cosas que tendríamos que haber entendido y tips Operadores y funciones booleanas, reducciones utilizando propiedades. Dada una tabla de verdad escribir la función booleana correspondiente. Implementar funciones utilizando compuertas lógicas. RECOMENDACIONES Sean cuidadosos cuando dibujan circuitos: Que quede claro cuando un cable esta conectado a otro y cuando lo saltea (pongan un circulito en la unión o una curva cuando no quieren que lo toque).