Definición 2.- Las proposiciones se combinan mediante conectivos lógicos para formar otras proposiciones. Los conectivos lógicos básicos son:

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1 ii Matemática Discreta : Contenidos Capítulo 1 Lógica 1.1 Cálculo proposicional El Cálculo Proposicional se encarga del estudio de las relaciones lógicas entre objetos llamados proposiciones. Definición 1.- Una proposición es una frase o sentencia declarativa que es verdadera o falsa pero no ambas cosas a la vez. Los valores que puede tomar son verdadero o falso y que simbolizaremos respectivamente por 1 y 0 Definición 2.- Las proposiciones se combinan mediante conectivos lógicos para formar otras proposiciones. Los conectivos lógicos básicos son: Conectivo Símbolo Expresión Lectura Negación p no p Conjunción p q p y q Disyunción p q p o q Implicación condicional p q p implica q Bicondicional p q p si y sólo si q El conectivo p q también puede leerse por si p entonces q, p sólo si q o q si p. Definición 3.- A la proposición q p se la denomina recíproca de p q y a la proposición q p, la contrarrecíproca o contrapositiva de p q. Si una proposición no contiene conectivos lógicos diremos que es una proposición simple y utilizaremos las letras minúsculas p, q, r,... para simbolizarla. Las proposiciones compuestas son aquellas que contienen conectivos lógicos y las simbolizaremos con las letras mayúsculas (o cuando no nos interese diferenciar entre proposición simple y compuesta). De las proposiciones simples diremos que son variables lógicas de la proposición compuesta. Ejemplo 4 Las siguientes frases son proposiciones: [1] La Tierra es plana; [2] = 4; [3] = 7; [4] = 7 ó = 4; [5] Si la Tierra es plana entonces = 7; [6] Toda matriz real n n tiene inversa ([2], [4] y [5] son verdaderas y [1], [3] y [6] falsas). Las siguientes no son proposiciones: [7] Por qué no has venido?; [8] Qué divertidas son las matemáticas!, mientras que las siguientes podrían serlo si estuviera claro el contexto de las afirmaciones y su valor de verdad: [9] El examen de Junio es más fácil que el de Septiembre; [10] Se paga demasiado a los ministros; [11] Si A B = 0 entonces A = 0 y B = 0 (en [11] el valor de verdad cambia de ser números reales a ser matrices reales o en [9] podemos preguntarmos siempre?, en Fundamentos?,... ) Variables lógicas y tablas de verdad El valor de verdad de una proposición compuesta depende únicamente de los valores de verdad de las proposiciones simples que la forman, lo que nos lleva a considerarlas como una estructura formada por elementos que sólo pueden tomar los valores 0 y 1, operados entre sí con los conectivos lógicos: Definición 5.- Las variables que sólo pueden tomar los valores 0 y 1 las llamaremos variables lógicas Valores de verdad de los conectivos lógicos 6.- p p p q p q p q p q p q

2 iii Matemática Discreta : Contenidos 1.1 Cálculo proposicional Para cualquier proposición se puede construir una tabla como las anteriores, que describa el valor de verdad para cada combinación de valores de las variables lógicas. Una tabla de este tipo se llama tabla de verdad. En general si la proposición involucra n proposiciones simples su tabla de verdad tendrá 2 n filas. El orden en que se listan todas las posibles combinaciones de valores está estandarizado de menor a mayor, interpretando cada combinación de 0 s y 1 s como un número en binario. Como ocurre con los operadores numéricos, se pueden usar paréntesis para controlar el orden en el que se aplican los conectivos lógicos. En ausencia de paréntesis, se aplican de acuerdo con su prioridad respectiva, que se corresponde con el orden en que se han descrito en la tabla de presentación de los conectivos lógicos (primero luego antes que después y finalmente ). Por ejemplo, p q r representa lo mismo que (p q) r pero es muy distinto de p (q r). Definición 7.- Una tautología es una proposición compuesta que toma el valor 1 para cualesquiera que sean los valores de sus variables. Una contradicción es una proposición compuesta que siempre es falsa. Utilizaremos 1 para denotar las tautologías y 0 para las contradicciones Equivalencia lógica. Leyes de la lógica Definición 8.- Se dice que dos proposiciones P y Q son lógicamente equivalentes, y escribimos P Q, si P Q es una tautología. Es decir, si las tablas de verdad de P y Q son iguales. Cuando P y Q no son lógicamente equivalentes escribimos P Q En la siguiente tabla se recogen equivalencias lógicas tan básicas y de uso tan frecuente que tienen nombre propio y son conocidas como leyes de la lógica. Leyes de la lógica Doble negación: ( p) p 6.- Idempotencia: { p p p p p p 2.- Conmutativas: { p q q p p q q p 7.- Identidad: { p 0 p p 1 p 3.- Asociativas: { (p q) r p (q r) (p q) r p (q r) 8.- Dominación: { p 1 1 p Distributivas: { p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r) 9.- Inversas: { p p 1 p p DeMorgan: { (p q) ( p q) (p q) ( p q) 10.- Absorción: { p (p q) p p (p q) p Puede comprobarse que todas las equivalencias lógicas de las leyes son ciertas (ver ejercicio??), como para: p q p q (p q) p q p q p 0 p 0 p 0 p (el bicondicional es una tautología en la ley de identidad, y en la de DeMorgan, ambas proposiciones tienen la misma tabla de verdad). Las leyes de arriba sólo involucran a los conectivos, y (no es casual, como veremos después); pero eso no significa que no existan otras equivalencias lógicas con la implicación y el bicondicional tan importantes como éllas (son casi leyes), e igualmente les damos un nombre para referenciarlas cuando las utilicemos: Equivalencias lógicas de la implicación De la implicación condicional: p q p q 12.- De la contrarreciproca: p q q p 13.- De la bicondicional: p q (p q) (q p) La equivalencia lógica nos induce a una identidad lógica entre ambas expresiones, que son iguales a efectos

3 iv Matemática Discreta : Contenidos lógicos, lo que nos lleva a pensar en la posibilidad de sustituir sin más una por otra. Esto es justamente lo que nos proponen las siguientes reglas, cómo obtener otras nuevas equivalencias lógicas de manera sencilla: Reglas de Sustitución 11.- R1. Sea P una tautología y q una variable que aparece en P. Si reemplazamos cada aparición de q por cualquier otra proposición Q, entonces la proposición resultante es también una tautología. R2. Sea P una proposición y Q una proposición que aparece en P. Si reemplazamos Q por otra proposición lógicamente equivalente a Q, obtenemos una nueva proposición lógicamente equivalente a P. Observar que por la regla R1, podemos sustituir en cada equivalencia lógica una variable por otra proposición para obtener nuevas equivalencias lógicas, así de p p obtenemos que P P, para cualquier proposición P o de la ley de DeMorgan, (P Q) ( P Q) para cualesquiera proposiciones P y Q. Es decir, nos permite generalizar esas leyes, y cualquier otra equivalencia lógica, para cualesquiera proposiciones. Y con la regla R2 podemos sustituir expresiones lógicamente equivalentes en las proposiciones manteniendo los mismos resultados lógicos (son lógicamente equivalentes). Así, por la equivalencia p q p q podemos sustituir una por otra en p q (p q) (q p) para obtener p q ( p q) ( q p). De hecho decimos que podemos sustituir cada aparición de una implicación condicional o un bicondicional en una proposición por sus equivalentes lógicos anteriores que sólo contienen los conectivos lógicos, y : Cualquier proposición admite una expresión lógicamente equivalente, que sólo contiene a los conectivos lógicos, y Definición 12.- Si P es una proposición que sólo contiene los conectivos lógicos, y, llamaremos dual de P a la proposición P d obtenida al sustituir en P cada aparición de por, de por, de 1 por 0 y de 0 por 1 Principio de dualidad 13.- Si P y Q son proposiciones que contienen sólo los conectivos, y entonces, si P Q también P d Q d. El recíproco también es cierto, pues (P d ) d = P. Nota: No por casualidad (ya lo dijimos) en las Leyes de la lógica sólo aparecen proposiciones con los conectivos base y también están pareadas, una ley y su dual (si una de ellas es cierta su dual también lo será). Si bien puede parecer que esos resultados eliminan los conectivos implicación condicional y bicondicional del estudio futuro, nada más lejos de la realidad pues estos conectivos son básicos en la sección?? y siguientes del tema, donde se manejan y se entiende mejor como funcionan con sus propias definiciones que con su expresión equivalente sin ellos. Simbolicemos las proposiciones m = Marta es alta y j = Juan es alto. Denotarlas así no pone de relieve que al valorar ambas proposiciones lo que hacemos es comprobar la misma característica ser alto pero aplicada a distintos individuos, no es manifiesta la clara relación entre ambas proposiciones. Ahora bien, si simbolizamos con A la condición ser alto podemos expresar las proposiciones anteriores por A( Marta) y A( Juan) respectivamente. Son las mismas proposiciones, pero simbolizadas así está clara la relación. La expresión ser alto decimos que es un predicado. Los predicados describen propiedades o relaciones sobre uno o más objetos. Una oración se puede expresar simbólicamente en términos de nombres de predicados seguidos del objeto u objetos a los cuales se aplica el predicado Igualmente las proposiciones Marta es madre de Juan y Juan es madre de Lucía, pueden expresarse mediante el predicado de dos variables ser madre de. Así, M(Marta,Juan) y M(Juan,Lucía), donde M es el nombre que utilizamos para el predicado, expresarían las proposiciones anteriores. A menudo no querremos asociar los argumentos de un predicado con individuos u objetos particulares. Cuando sea así, usaremos variables que representaremos con las letras minúsculas, por ejemplo: A(x) = x es alto, M(x, y) = x es madre de y. Definición 14.- Un predicado es una sentencia declarativa que contiene una o más variables y que resulta ser una proposición cuando sustituimos las variables por ciertos valores permitidos. El conjunto de donde permitiremos elegir los valores que pueden tomar las variables de un predicado se denomina universo del discurso o universo. Simbolizamos un predicado de n argumentos por p(x 1, x 2,..., x n ), donde p es el nombre del predicado.

4 v Matemática Discreta : Contenidos Nótese que los enunciados que contienen variables no suelen ser proposiciones: Ejemplo 15 tenemos que: Si consideramos, en el universo de los números enteros Z, los predicados p(x) = q(x, y) = El número x + 2 es un entero par Los números y + 2 y x y son enteros pares p(5) = El número es un entero par es una proposición falsa. q(4, 2) = Los números 4 y 2 son pares es verdadera. La proposición p(6) es verdadera y q(5, 2) es falsa. Eso no siempre es así. El enunciado Para cada entero x, x+2 es un entero par es claramente una sentencia declarativa falsa y, por tanto, una proposición. Del mismo modo Para algún entero x, x + 2 es un entero par es una proposición y verdadera. El cálculo proposicional resulta insuficiente para simbolizar proposiciones de este tipo. La notación que podríamos utilizar sería [p(0) p(1) p( 1) p(2) p( 2)...] para el enunciado Para cada entero x, p(x), y [p(0) p(1) p( 1) p(2) p( 2)...] para el enunciado Para algún entero x, p(x), pero no es aceptable en el cálculo proposicional ya que en este ámbito no se permite el uso de un número infinito de proposiciones. Necesitamos introducir dos símbolos nuevos que representen las expresiones para todo x y para algún x. Estos nuevos símbolos se llaman cuantificadores del predicado p(x). Definición 16.- Utilizaremos x para simbolizar para algún x y lo llamaremos cuantificador existencial. Otras lecturas posibles son para al menos un x y existe un x tal que. Utilizaremos x para simbolizar para cada x y lo llamaremos cuantificador universal. Otras lecturas posibles son para todo x y para cualquier x. En el predicado de una variable p(x), la variable x se denomina variable libre del predicado. El valor de verdad de la proposición que resulta al sustituir x por cada valor de su universo puede variar. En contraste x p(x) o x p(x) tienen un valor de verdad fijo de modo que el predicado p(x) cuantificado por x o por x se convierte en una proposición. En este caso se dice que x es una variable acotada por el cuantificador existencial o el universal. Estos nuevos conceptos se extienden de forma natural para predicados con n variables. En el predicado q(x, y) del ejemplo anterior, x e y son variables libres. Si fijamos una de las variables libres, por ejemplo x = 2, entonces q(2, y) es un predicado de variable libre y. De igual forma al aplicar un cuantificador a una de las variables libres, por ejemplo x q(x, y) o y q(x, y), obtenemos un nuevo predicado de variable libre y o x, respectivamente. Finalmente, si acotamos todas las variables tendremos proposiciones, como por ejemplo x y q(x, y), x y q(x, y), x y q(x, y) o y q(2, y). Así, si p(x) es un predicado de una variable, utilizamos los cuantificadores para construir proposiciones de la forma x p(x) y x p(x). El valor de verdad de estas nuevas proposiciones se resume en el siguiente cuadro: P P es verdadera si P es falsa si P x p(x) Para algún a del universo p(a) es verdadera Para cada a del universo p(a) es falsa x p(x) x p(x) Para cada a del universo p(a) es verdadera Para algún a del universo p(a) es falsa x p(x) Utilizando los conectivos lógicos y los cuantificadores obtenemos predicados compuestos, mediante las siguientes reglas de formación: R1. Cualquier variable lógica es un predicado compuesto R2. Cualquier predicado de n variables es un predicado compuesto R3. Si P (x) y Q(x) son predicados compuestos con variable libre x, entonces P (x), P (x) Q(x), P (x) Q(x), P (x) Q(x) y P (x) Q(x) son predicados compuestos de variable libre x R4. Si P (x) es un predicado compuesto de variable libre x, entonces x P (x) y x P (x) son predicados compuestos donde x ya no es libre R5. Los únicos predicados compuestos son los que se obtienen de R1, R2, R3 y R4 Nota: En R3 y R4 los predicados P y Q son en general predicados de n variables donde una de ellas, x, es libre. Este es el único sitio donde nos permitimos esta licencia. En el resto del capítulo utilizamos P (x) unicamente para predicados de una variable y cuando queramos referirnos a predicados de n variables libres lo haremos explícitamente por P (x 1, x 2,..., x n ). Ahora, con los predicados, una proposición compuesta no es más que un predicado compuesto sin variables libres. Este nuevo conjunto de proposiciones y las reglas que los rigen es el objetivo del Cálculo de predicados.

5 vi Matemática Discreta : Contenidos La prioridad de los cuantificadores x y x es la misma (para ambos) que la del( conectivo ). En ausencia de paréntesis, se interpretarán de izquierda a derecha, así x y p(x, y) significa x y p(x, y). En adelante, cuando digamos simplemente predicado (o proposición) entenderemos que es, en general, predicado compuesto (o proposición compuesta). Pongamos algunos ejemplos para determinar el valor de verdad de proposiciones con cuantificadores. Ejemplo 17 Dados los siguientes predicados en el universo de los números reales p(x) : x 0 q(x) : x 2 0 r(x) : x 3 + 3x + 4 = 0 s(x) : x 2 3 > 0 se tiene que las siguientes proposiciones son verdaderas: 1.- x p(x) 2.- x p(x) Puesto que (1) y (2) son ambas verdaderas, concluimos que (2) no es la negación de (1), aunque desde luego p(x) sí es la negación de p(x). 3.- x [p(x) q(x)] 4.- x [p(x) q(x)]. Esta proposición puede traducirse o leerse de distintas formas: Para cada número real x, si x 0, entonces x 2 0. Cualquier número real no negativo tiene un cuadrado no negativo. El cuadrado de cualquier número real no negativo es un número real no negativo. Las siguientes proposiciones son falsas: 5.- x[q(x) s(x)]. Para mostrar que una proposición del tipo x P (x) es falsa, basta encontrar un valor concreto de x tal que P (x) sea falsa. Este x es lo que llamaremos un contraejemplo para esta proposición. Para la proposición (5) el valor x = 1 es un contraejemplo que demuestra su falsedad 6.- x[r(x) s(x)] 7.- x [r(x) p(x)]. El único contraejemplo en este caso es x = 1 Insistimos en la necesidad de especificar el universo de cada variable cuantificada, ya que el valor de verdad de una proposición puede depender de la elección de los universos de sus variables. Por ejemplo, la proposición x(x 2 = 2) es verdadera si el universo es R y es falsa si el universo es Q. Sin embargo hay proposiciones donde el valor de verdad no sólo es independiente de la elección del universo sino que también es independiente de los valores de las variables lógicas. Una proposición compuesta que es verdadera para todos los universos del discurso y para todos los valores de sus variables lógicas se llama tautología. Esta definición extiende la que se dio en el Cálculo proposicional donde no había universos por los que preocuparse.