Apuntes de Lógica Matemática I

Transcripción

1 Apuntes de Lógica Matemática I Héctor Olvera Vital 1. Primeras definiciones Definición 1 Un alfabeto A es un conjunto de símbolos. Definición 2 Una expresión del alfabeto A es una sucesión finita de símbolos de A (incluyendo el vacío) A = i N A i { }. Notación: Las sucesiones de símbolos las escribiremos de forma compacta, por ejemplo, la sucesión (,, A 0, ) la escribiremos como ( A 0 ) Definición 3 Un lenguaje formal, L es una pareja ordenada (A, E),donde A es un alfabeto, E A es el conjunto de las expresiones bien formadas (o fórmulas). Ejemplo 1 (Douglas Hofstadter) A = {M, I, U}, E = A. Ejemplo 2 A e = {), (,,,,, A 0, A 1, A 2,..}. Definamos E e a través de las siguientes reglas: R 1 A 0, A 1, A 2,... son expresiones bien formadas (o fórmulas) R 2 R 3 Si α es una expresión bine formada (o fórmula), entonces ( α) es una expresión bien formada. Si α y β son expresiones bien formadas, entonces (α β), (α β), (α β) y (α β), son expresiones bien formadas. R 4 Ninguna expresión es bien formada, a menos que R 1, R 2, R 3 obliguen a ello. L 0 = (A e, E e ) 2. Lógica de Enunciados 2.1. Motivación Queremos construir un lenguaje formal al cual podamos traducir oraciones del español y modelar el pensamiento deductivo. Por ejemplo, Se observaron rastros de Potacio se puede traducir usando un símbolo, digamos K. Un enunciado relacionado podría ser No se observaron rastros de Potacio y podríamos traducir como ( K). También se podría pensar en traducir como J, pero nos interesa descomponer los enunciados en partes atómicas hasta donde sea posible. Haremos la convención de que ningún símbolo es una sucesión finita de los demás símbolos. 1

2 2.2. Símbolos de la Lógica de Enunciados La siguiente tabla muestra los símbolos de la Lógica de Enunciados y la traducción de los conectivos de enunciado, que utilizaremos para traducir. Símbolos Lógicos Símbolos no lógicos Conectivos de enunciado Puntuación Símbolos de Enunciado Negación no Conjunción y Disyunción o (inclusivo) ), ( A 0, A 1, A 2,... Condicional sólo si Bicondicional si y sólo si 2.3. Traducción (a) O bien la evidencia obtenida es admisible, o bien el sospechoso debe ser liberado, pero no ambas cosas. E: la evidencia obtenida es admisible L: el sospechoso debe ser liberado ((E L) ( (E L))) (b) Este articulo constituye riqueza si y sólo si es transferible, de abastecimiento limitado, y produce placer o evita dolor. A: Este articulo constituye riqueza T: Este articulo es transferible L: Este articulo es de abastecimiento limitado P: Este articulo produce placer D: Este articulo evita dolor (A (T (L (P D)))) (c) No habrá agua, a menos de que llueva. A: habrá agua L: llueva (( L) ( A)) (d) Iré al cine contigo, si llevas tu auto, pero no va tu mamá o tu hermano. C: Iré al cien contigo A: llevas tu auto M: Va tu mamá H: va tu hermano 3. Construcción de fórmulas ((A (( M) ( H))) C) Las reglas para construir fórmulas en la Lógica de Enunciados son las descritas en el Ejemplo 2. Estas reglas se formalizan gracias al concepto de función. Definamos las cinco operaciones de construcción de fórmulas como sigue: Definición 4 Sean E, E, E, E definidas como sigue: y E, funciones de las expresiones en las expresiones, Si α es una fórmula, entonces E (α) = ( α). Si α y β son fórmulas, entonces E (α, β) = (α β), donde {,,, } El conjunto de las expresiones bien formadas, o fórmulas, se puede definir por recursión como sigue: 2

3 1. Todos los símbolos de enunciados son fórmulas. 2. Si α es una fórmula, entonces el resultado de aplicar la operación de construcción E a α es una fórmula. 3. Si α y β son fórmulas, entonces el resultado de aplicar las operaciones de construcción E, E, E y E a α y a β, también son fórmulas. 4. Solo son fórmulas aquellas que se puedan obtener con estas reglas. Cómo saber si una expresión es una fórmula? Si existe una forma de obtener la expresión a través de las operaciones de construcción de fórmulas, podríamos estar seguros de que sí es una fórmula. Afirmación 1 ((A 1 A 10 ) (( A 3 ) (A 8 A 3 ))) es una fórmula. Para demostrar que es una fórmula basta mostrar su árbol de construcción: ((A 1 A 10 ) (( A 3 ) (A 8 A 3 ))) (A 1 A 10 ) E (( A 3 ) (A 8 A 3 )) E E A 1 A 10 ( A 3 ) (A 8 A 3 ) E E A 3 A 8 A 3 La idea del árbol de construcción se puede formalizar con la noción de sucesión de construcción. Definición 5 Unas sucesión de construcción es una sucesión finita E 1, E 2,..., E n de expresiones tal que, para cada i n se cumple al menos uno de los siguientes hechos: (i) E i es un símbolo de enunciado. (ii) E i = E (E j ) para algún j < i. (iii) E i = E (E j, E k ) para algunos j < i y k < i. Una sucesión de construcción para la fórmula ((A 1 A 10 ) (( A 3 ) (A 8 A 3 ))) es A 1, A 10, (A 1 A 10 ), A 3, ( A 3 ), A 8, (A 8 A 3 ), (( A 3 ) (A 8 A 3 )), ((A 1 A 10 ) (( A 3 ) (A 8 A 3 ))) Observación 1 Toda fórmula tiene una sucesión de construcción y el resultado de una sucesión de construcción es una fórmula. 3

4 La forma en la que se construyen las fórmulas nos recuerda a los números naturales. Podemos hacer la siguiente analogía: Naturales Fórmulas Base 0 Símbolos de Enunciado Construcción Sucesor E, E, E, E y E Gracias a esta analogía podemos pensar en proponer un resultado similar al principio de inducción para naturales, pero para adaptarlo primero definiremos cerrado bajo una función. Definición 6 Un conjunto S es cerrado bajo una función f, n-aria, si y sólo si cada vez que x 1,..., x n S entonces f(x 1,..., x n ) S. Teorema 1 (Principio de Inducción) Si S es un conjunto de fórmulas que contiene a todos los símbolos de enunciado y es cerrado bajo las cinco operaciones de construcción de fórmulas, entonces S es el conjunto de todas las fórmulas. Consideremos una fórmula α arbitraria. Entonces α es el último término de alguna sucesión de construcción E 1,..., E n. Procedamos por inducción numérica fuerte. Supongamos que E j S para toda j < i. Caso 1 E i es un símbolo de enunciado, entonces E i S. Caso 2 E i = E (E j ) para algún j < i, entonces E j S y por ser S cerrado bajo E, E i S. Caso 3 E i = E (E j, E) para algunos j, k < i, entonces E j, E k S y por ser S cerrado bajo E, E i S. Para cada i n, E i S, en particular E n = α S Ahora con el principio de inducción podremos probar resultados que nos ayudarán a conocer mejor las fórmulas y nos ayudarán a determinar cuando una expresión no es una fórmula. Teorema 2 Ninguna expresión con más paréntesis izquierdos que paréntesis derechos es una fórmula. Por inducción sobre la formación de fórmulas. Definamos B F órm como el conjunto de las fórmulas balanceadas (que tiene la misma cantidad de paréntesis derechos que de paréntesis izquierdos). A 0, A 1, A 2,... son fórmulas balanceadas, es decir, B contiene a todos los símbolos de enunciado. Supongamos que α y β son fórmulas balanceadas. ( α), (α β), (α β), (α β) y (α β) son fórmulas balanceadas, es decir, B es cerrado bajo las cinco operaciones de construcción de fórmulas. Entonces, por el principio de inducción, B = F órm Afirmación 2 Cualquier segmento inicial propio de una fórmula de la lógica proposicional tiene más paréntesis izquierdos que derechos. 4

5 Demostraremos que toda fórmula, o es un símbolo de enunciado o termina con un paréntesis derecho. Sea B el conjunto de los símbolos de enunciado y de las fórmulas que terminan con un paréntesis derecho. Por definición, B tiene a todos los símbolos de enunciado. Supongamos que α y β pertenecen a B. ( α) y (α β) 1 terminan con un paréntesis derecho. Por el principio de inducción, B = F órm Ahora bien, no hay segmentos iniciales de símbolos de enunciado y para las demás fórmulas ya vimos que terminan con un paréntesis derecho, por lo que cualquier segmento inicial no toma el último paréntesis, que es derecho, por lo que debe de tener más paréntesis izquierdos, pues las fórmulas son balanceadas. Corolario Ningún segmento inicial propio de una fórmula es una fórmula. Afirmación 3 Muestre que no hay fórmulas de longitud 2, 3 ni 6, pero cualquier otra longitud es posible. Sea B el conjunto de las fórmula que no tiene longitud 2, 3 ni 6. Sea A un símbolo de enunciado. long[a] = 1 por lo que A B. Por lo que B contiene a todos los símbolos de enunciado. Supongamos que α y β están en B, es decir, las longitud de α y β son diferentes a 2, 3 y 6. long[( α)] = long[α] + 3, como no existen fórmulas de longitud negativa y de longitud 0, long[( α)] 2, 3. Ahora bien, si la long[( α)] = 6, entonces long[α] = 3 lo cual contradice nuestra hipótesis de inducción. Por lo tanto ( α) tiene longitud diferente a 2, 3 y 6. long[(α β)] = long[α] + long[β] + 3, como no existen fórmulas de longitud negativa y de longitud 0, long[(α β)] 2, 3. Si long[(α β)] = 6, entonces long[α] o long[β] es 2, lo que contradice nuestra hipótesis de inducción. Por lo tanto (α β) tiene longitud diferente a 2, 3 y 6. Con lo que concluimos que B es cerrado bajo las cinco operaciones de construcción de fórmulas. Finalmente, por el principio de inducción, B = F órm Con esto concluimos que no hay fórmulas de longitud 2, 3 ni 6. Ahora demostremos que cualquier otra longitud es posible. Primero veamos los casos de 1, 4 y 5. (1) A 10 (4) ( A 1 ) (5) (A 0 A 1 ) Sea S F órm tal que A 0 S y α S si y sólo si existe una sucesión de construcción tal que E 1 = A 0, y E i+1 = E (E i ) o E i+1 = E (A 0, E i ). Por ejemplo, ( (A 0 ( A 0 ))) S ya que su sucesión de construcción es A 0, ( A 0 ), (A 0 ( A 0 )), ( (A 0 ( A 0 ))). Para simplificar la notación asociaremos a cada formula de S las operaciones con las que se construyeron, de esta forma a la fórmula ( (A 0 ( A 0 ))) le asociaremos la sucesiones y a la sucesión le asociaremos la fórmula (A 0 (A 0 ( ( (A 0 A 0 ))))). Probemos ahora que para cualquier numero natural n mayor que 6, hay una formula en S de longitud n. Por inducción sobre los naturales. 7 cumple la afirmación, pues ( ( A 0 )) S tiene longitud 7. Supongamos que hay una fórmula en S de longitud n y demostremos que hay una fórmula de longitud n + 1 en S. Sea α dicha fórmula. Fijémonos en la sucesión asociada a α, digamos 1 {,,, } 5

6 E 1 E 2... E m, si existe un i m tal que E i = entonces la fórmula asociada a la sucesión E 1 E 2... E i 1 E i+1... E m tiene longitud n + 1. Si en la sucesión asociada a α no aparece, entonces al menos hay dos, pues n es mayor que 6. Entonces la fórmula asociada a E 3... E m tiene longitud n