Lógica de Primer Orden

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1 Lógica de Primer Orden IIC2213 IIC2213 Lógica de Primer Orden 1 / 60

2 Lógica de primer orden Dos de los objetivos de la lógica proposicional: Poder modelar el proceso de razonamiento. Poder formalizar la noción de demostración. Podemos expresar el siguiente argumento en lógica proposicional? Todos los hombres son mortales. Sócrates es hombre. Por lo tanto, Sócrates es mortal. Podemos demostrar que para el conjunto de los números naturales es cierto que todo número es par o impar? IIC2213 Lógica de Primer Orden 2 / 60

3 Lógica de primer orden El poder expresivo de la lógica proposicional es limitado. Por qué usamos esta lógica? Vamos a introducir una lógica más expresiva. Tiene algunas de las buenas propiedades de la lógica proposicional, pero no todas. Para expresar el argumento mostrado al principio necesitamos cuantificadores: para todo y existe. IIC2213 Lógica de Primer Orden 3 / 60

4 Lógica de primer orden: Vocabulario Una fórmula en lógica de primer orden está definida sobre algunas constantes, funciones y predicados. Notación Un vocabulario L es la unión de tres conjuntos: constantes : {c 1,...,c l,...}, funciones : {f 1,...,f m,...}, relaciones : {R 1,...,R n,...}. Notación La aridad de una función f (relación R) es el número de argumentos de f (de R). Cada función tiene una aridad mayor a 0. Cada relación tiene una aridad mayor o igual a 0. IIC2213 Lógica de Primer Orden 4 / 60

5 Lógica de primer orden: Vocabulario Ejemplo Para los números naturales L es la unión de constantes : {0, 1}, funciones : {s, +, }, relaciones : {<}. s es una función unaria, + y son funciones binarias y < es una relación binaria. IIC2213 Lógica de Primer Orden 5 / 60

6 Lógica de primer orden: Sintaxis Las fórmulas de la lógica de primer orden se construyen usando: Conectivos lógicos:,,, y. Paréntesis: ( y ). Relación binaria =. Variables. Cuantificadores: y. Veamos algunos ejemplos, antes de introducir formalmente la sintaxis de la lógica de primer orden. IIC2213 Lógica de Primer Orden 6 / 60

7 Sintaxis de la lógica de primer orden: Ejemplos Ejemplo Sea L = {0, 1, s, +,, <}. 1 = s(0). Para la igualdad usamos notación infija: No escribimos = (1,s(0)). x x < s(x). Usamos notación infija para funciones y relaciones comunes. x y x = y + y. x y(s(x) = s(y) x = y). IIC2213 Lógica de Primer Orden 7 / 60

8 Sintaxis de la lógica de primer orden: Términos Desde ahora en adelante: Suponemos dada una lista infinita de variables. Definición El conjunto de L-términos es el menor conjunto que satisface las siguientes condiciones: Cada constante c en L es un L-término. Cada variable x es un L-término. Si t 1,..., t n son L-términos y f es una función n-aria en L, entonces f (t 1,...,t n ) es un L-término. Ejemplos 0, s(s(s(1))) y s(0) s(x) IIC2213 Lógica de Primer Orden 8 / 60

9 Sintaxis de la lógica de primer orden: Fórmulas Definición El conjunto de L-fórmulas es el menor conjunto que satisface las siguientes condiciones: Si t 1 y t 2 son L-términos, entonces t 1 = t 2 es una L-fórmula. Si t 1,..., t n son L-términos y R es una relación n-aria en L, entonces R(t 1,...,t n ) es una L-fórmula. Si ϕ y ψ son L-fórmulas, entonces ( ϕ), (ϕ ψ), (ϕ ψ), (ϕ ψ) y (ϕ ψ) son L-fórmulas. Si ϕ es una L-fórmula y x es una variable, entonces ( x ϕ) y ( x ϕ) son L-fórmulas. Notación t 1 = t 2 y R(t 1,...,t n ) son llamadas fórmulas atómicas. IIC2213 Lógica de Primer Orden 9 / 60

10 Lógica de primer orden: Semántica Notación Omitimos paréntesis si no se produce una ambigüedad. Es x y x = y + y cierta en L = {0,1,s,+,,<}? Si pensamos en los números naturales es falsa. Pero L también puede usarse como vocabulario para los números reales, y en este conjunto la fórmula es cierta. El valor de verdad de una fórmula depende de la interpretación que se da a las constantes, funciones y relaciones. Tenemos que introducir la noción de estructura. IIC2213 Lógica de Primer Orden 10 / 60

11 Semántica de la lógica de primer orden: Estructuras Una L-estructura interpreta todos los componentes de L en un dominio. Definición Una L-estructura A contiene: Un dominio A no vacío. Para cada constante c L, una interpretación c A A de c. Para cada función m-aria f L, una interpretación f A : A m A de f. Para cada relación n-aria R L, una interpretación R A A n de R. Notación A = A, c A,..., f A,..., R A,... IIC2213 Lógica de Primer Orden 11 / 60

12 Algunos ejemplos de estructuras Ejemplo Para representar grafos usamos un vocabulario L = {E}. Por ejemplo, el siguiente grafo: es representado por la estructura A = A,E A, donde: A = {1,2,3,4}, E A = {(1,2),(1,3),(3,2),(4,1), (4, 2)}. IIC2213 Lógica de Primer Orden 12 / 60

13 Algunos ejemplos de estructuras Ejemplo Los números naturales son representados por la estructura: N = N,0 N,1 N,s N,+ N, N,< N. Los números reales son representados por la estructura: R = R,0 R,1 R,s R,+ R, R,< R. Ahora podemos decir que N no satisface x y x = y + y y que R si satisface esta fórmula. IIC2213 Lógica de Primer Orden 13 / 60

14 Semántica de la lógica de primer orden: Variables libres Necesitamos introducir la noción de variable libre. El conjunto de variables de un L-término t se define como: Si t es una constante, entonces V (t) =. Si t = x es una variable, entonces V (t) = {x}. Si t = f (t 1,...,t n ), entonces V (t) = V (t 1 ) V (t n ). Ejemplo V (f (g(x,y),s(0))) = V (g(x,y)) V (s(0)) = V (x) V (y) V (0) = {x} {y} = {x,y} IIC2213 Lógica de Primer Orden 14 / 60

15 Semántica de la lógica de primer orden: Variables libres El conjunto de variables de una L-fórmula ϕ se define como: Si ϕ = t 1 = t 2, entonces V (ϕ) = V (t 1 ) V (t 2 ). Si ϕ = R(t 1,...,t n ), entonces V (ϕ) = V (t 1 ) V (t n ). Si ϕ = ( ψ), entonces V (ϕ) = V (ψ). Si ϕ = (ψ θ) ( {,,, }), entonces V (ϕ) = V (ψ) V (θ). Si ϕ = ( x ψ) o ϕ = ( x ψ), entonces V (ϕ) = {x} V (ψ). Ejemplo V(( x P(x)) ( y Q(s(y)))) = V( x P(x)) V( y Q(s(y))) = ({x} V(P(x))) V(Q(s(y))) = ({x} V(x)) V(s(y)) = {x, y} IIC2213 Lógica de Primer Orden 15 / 60

16 Semántica de la lógica de primer orden: Variables libres Definición El conjunto de variables libres de una L-fórmula ϕ se define como: Si ϕ es una fórmula atómica, entonces VL(ϕ) = V (ϕ). Si ϕ = ( ψ), entonces VL(ϕ) = VL(ψ). Si ϕ = (ψ θ) ( {,,, }), entonces VL(ϕ) = VL(ψ) VL(θ). Si ϕ = ( x ψ) o ϕ = ( x ψ), entonces VL(ϕ) = VL(ψ) \ {x}. Variable libre: No aparece cuantificada. IIC2213 Lógica de Primer Orden 16 / 60

17 Semántica de la lógica de primer orden: Variables libres Ejemplo VL(P(x) y Q(x,y)) = {x}, VL(P(z) z R(z)) = {z}. Notación Si ϕ es una fórmula, entonces usamos ϕ(x 1,...,x k ) para indicar que VL(ϕ) = {x 1,...,x k }. Decimos que ϕ es una oración si VL(ϕ) =. IIC2213 Lógica de Primer Orden 17 / 60

18 Semántica de la lógica de primer orden: Definición Si una fórmula contiene variables libres, entonces no podemos decir directamente que es verdadera o falsa en una estructura. Es x < s(0) cierta en N? El valor de verdad de una fórmula con variables libres depende de los valores dados a estas variables. Si x es 0, entonces x < s(0) es cierta en N. Pero si x es 1, entonces es falsa. IIC2213 Lógica de Primer Orden 18 / 60

19 Semántica de la lógica de primer orden: Definición Dada una estructura A con dominio A, una asignación σ es una función que asigna a cada variable un valor en A. Extendemos σ para dar valores a los términos: Si t = c es una constante, entonces ˆσ(t) = c A. Si t = x es una variable, entonces ˆσ(t) = σ(x). Si t = f (t 1,...,t n ), entonces ˆσ(t) = f A (ˆσ(t 1 ),..., ˆσ(t n )). IIC2213 Lógica de Primer Orden 19 / 60

20 Semántica de la lógica de primer orden: Definición Ejemplo Si σ(x) = 7 es una asignación para N, entonces ˆσ(s(1) s(x)) = ˆσ(s(1)) N ˆσ(s(x)) = s N (ˆσ(1)) N s N (ˆσ(x)) = s N (1 N ) N s N (σ(x)) = 2 N s N (7) = 2 N 8 = 16 Por simplicidad, usamos σ en lugar de ˆσ. IIC2213 Lógica de Primer Orden 20 / 60

21 Semántica de la lógica de primer orden: Definición Vamos a definir la semántica de la lógica de primer orden. Dado: Un vocabulario L, una L-estructura A con dominio A y una asignación σ para A. Definición Decimos que (A,σ) satisface una L-fórmula ϕ, denotado como (A,σ) = ϕ, si y sólo si: ϕ = t 1 = t 2 y σ(t 1 ) = σ(t 2 ). ϕ = R(t 1,...,t n ) y (σ(t 1 ),...,σ(t n )) R A. ϕ = ( ψ) y (A,σ) = ψ. ϕ = (ψ θ) y (A,σ) = ψ o (A,σ) = θ. IIC2213 Lógica de Primer Orden 21 / 60

22 Semántica de la lógica de primer orden: Definición ϕ = (ψ θ), (A,σ) = ψ y (A,σ) = θ. ϕ = (ψ θ) y (A,σ) = ψ o (A,σ) = θ. ϕ = (ψ θ) y ambos (A,σ) = ψ, (A,σ) = θ o ambos (A,σ) = ψ, (A,σ) = θ. ϕ = ( x ψ) y existe a A tal que (A,σ[x/a]) = ψ, donde { a y = x, σ[x/a](y) = σ(y) y x. ϕ = ( x ψ) y (A,σ[x/a]) = ψ. para todo a A se tiene que Nota: Si ϕ es una oración, podemos decir que A = ϕ. IIC2213 Lógica de Primer Orden 22 / 60

23 Semántica de la lógica de primer orden: Ejemplos Ejemplo Sea A = A,E A, donde A = {1,2,3,4} y E A = {(1,2), (1,3), (3,2), (4,1), (4,2)}. Cuáles de las siguientes fórmulas son ciertas en A: x y E(x,y), x y E(x,y), x y E(x,y), x y E(x,y)? Ejercicios 1. Sea f una función unaria y L = {f }. Construya una estructura finita que satisfaga ϕ = x y (f (x) = f (y) x = y). 2. Sean L y ϕ como en el ejercicio anterior. Construya una estructura que satisfaga ψ = ϕ x y f (y) x. Existe una estructura finita que satisfaga ψ? IIC2213 Lógica de Primer Orden 23 / 60

24 Dos nociones útiles Decimos que una L-fórmula ϕ es satisfacible si existe una L-estructura A y una asignación σ para A tal que (A,σ) = ϕ. Si ϕ es oración, entonces ϕ es satisfacible si existe A tal que A = ϕ. Decimos que una L-fórmula ϕ es válida si para toda L-estructura A y toda asignación σ para A se tiene que (A,σ) = ϕ. Si ϕ es oración, entonces ϕ es válida si para todo A se tiene que A = ϕ. Ejercicio Construya una fórmula válida. IIC2213 Lógica de Primer Orden 24 / 60

25 Dos nociones útiles Al igual que en la lógica proposicional, la lógica de primer orden tiene asociados algunos problemas de decisión: SAT = {ϕ ϕ es una oración satisfacible}, VAL = {ϕ ϕ es una oración válida}. Son estos problemas más difíciles que para el caso de la lógica proposicional? Cómo se demuestra que son al menos tan difíciles? Vamos a mostrar una primera diferencia entre estas dos lógicas... IIC2213 Lógica de Primer Orden 25 / 60

26 La complejidad de VAL Teorema (Church) VAL es indecidible. Demostración: Vamos a reducir el siguiente problema a VAL: L = {w {0,1} existe una MT determinista M tal que w = C(M) y M acepta ε}. Por qué es este problema indecidible? IIC2213 Lógica de Primer Orden 26 / 60

27 La complejidad de VAL Para cada MT M determinista, tenemos que construir una fórmula ϕ M tal que: M acepta ε si y sólo si ϕ M es válida. Suponemos que M = (Q, {0,1},q 0,δ,F), donde Q = {q 0,...,q m }, F = {q m }, no existe una transición en δ para q m. IIC2213 Lógica de Primer Orden 27 / 60

28 La complejidad de VAL Definimos un vocabulario L de la siguiente forma: P(t) : t es el tiempo de partida de la máquina. C(t,p) : M tiene un 0 en la posición p de la cinta en el tiempo t. U(t,p) : M tiene un 1 en la posición p de la cinta en el tiempo t. B(t,p) : M tiene un B en la posición p de la cinta en el tiempo t. E i (t) : estado de M es q i (i [0,m]) en el tiempo t. T(t,p) : la cabeza está en la posición p en el tiempo t. L(x,y) : orden lineal en el dominio. ϕ M es definida como (ϕ P ϕ L ϕ I ϕ C ϕ δ ) ϕ A. IIC2213 Lógica de Primer Orden 28 / 60

29 La complejidad de VAL ϕ P : Hay un único punto de partida. x(p(x) y(x y P(y))). ϕ L : L es un orden lineal donde cada elemento tiene un sucesor y un predecesor. x L(x,x) x y z ((L(x,y) L(y,z)) L(x,z)) x y (x = y L(x,y) L(y,x)) x y (L(x,y) z (L(x,z) L(z,y))) x y (L(y,x) z (L(y,z) L(z,x))). IIC2213 Lógica de Primer Orden 29 / 60

30 La complejidad de VAL Usamos orden lineal L para definir un predicado auxiliar: suc(x,y) = L(x,y) z (L(x,z) L(z,y)). ϕ I : Estado inicial. x (P(x) (E 0 (x) T(x,x) y B(x,y))). IIC2213 Lógica de Primer Orden 30 / 60

31 La complejidad de VAL ϕ C : La máquina funciona correctamente. ϕ C se define como la conjunción de cuatro fórmulas. Primero, cada celda siempre contiene un único símbolo: x y ((C(x,y) U(x,y) B(x,y)) (U(x,y) C(x,y) B(x,y)) (B(x,y) C(x,y) U(x,y))). IIC2213 Lógica de Primer Orden 31 / 60

32 La complejidad de VAL Segundo, la máquina siempre está en un único estado: x ( m i=0 ( E i (x) j [0,m]\{i} )) E j (x). Tercero, la cabeza siempre está en una única posición: x y (T(x,y) z (y z T(x,z))). IIC2213 Lógica de Primer Orden 32 / 60

33 La complejidad de VAL Cuarto, el contenido de una celda no cambia si no es apuntada por la cabeza: x y z (( T(x,y) suc(x,z)) ((C(x,y) C(z,y)) (U(x,y) U(z,y)) (B(x,y) B(z,y)))). IIC2213 Lógica de Primer Orden 33 / 60

34 La complejidad de VAL ϕ δ : función δ define como funciona la máquina. Para cada transición en δ se define una fórmula, y ϕ δ se define como la conjunción de estas fórmulas. Ejemplo Para δ(q i,0) = (q j,1, ) se define la siguiente fórmula: x y u v ((E i (x) T(x,y) C(x,y) suc(x,u) suc(v,y)) (E j (u) T(u,v) U(u,y))). IIC2213 Lógica de Primer Orden 34 / 60

35 La complejidad de VAL ϕ A : La máquina acepta ε. x y (P(x) (x = y L(x,y)) E m (y)). Para terminar sólo falta demostrar que M acepta ε si y sólo si ϕ M es válida. Qué sucedería si ϕ M es definida como ϕ P ϕ L ϕ I ϕ C ϕ δ ϕ A? IIC2213 Lógica de Primer Orden 35 / 60

36 La complejidad de SAT Corolario SAT es indecidible. Ejercicio Demuestre el corolario. Para la lógica proposicional SAT era decidible (pero difícil). Para la lógica de primer orden es indecidible! IIC2213 Lógica de Primer Orden 36 / 60

37 La noción de isomorfismo Sean A = N,0 N,s N y B = B, 0 B, s B definida como: B = {0}. 0 B = ε. s B (0 } {{ 0} ) = } 0 {{ 0}, para todo n 0. n veces n+1 veces Son similares estas estructuras? Por qué? Si identificamos i N con 0 0 }{{} estructuras son idénticas. i veces podemos ver que estas IIC2213 Lógica de Primer Orden 37 / 60

38 La noción de isomorfismo Dos estructuras son isomorfas si son idénticas excepto por sus dominios. Definición Dado un vocabulario L y dos L-estructuras A y B, decimos que A y B son isomorfas, denotado como A = B, si existe una biyección h : A B tal que: h(c A ) = c B, para cada constante c L. h(f A (a 1,...,a m )) = f B (h(a 1 ),...,h(a m )), para cada función m-aria f L y elementos a 1,..., a m A. (a 1,...,a n ) R A si y sólo si (h(a 1 ),...,h(a n )) R B, para cada función n-aria R L y elementos a 1,..., a n A. IIC2213 Lógica de Primer Orden 38 / 60

39 La noción de isomorfismo: Ejemplos Ejemplos 1. Sea A = N, 0 N, 1 N, + N, < N y B = B, 0 B, 1 B, + B, < B, donde B es el conjunto de los números pares y los demás símbolos son definidos de manera usual. Son A y B isomorfos? 2. Qué pasa en el caso anterior si además consideramos la multiplicación? 3. Sea L = {E } y A = A, E A, donde A = {1, 2, 3, 4} y E A = {(1, 2), (1, 3), (3, 2), (4, 1), (4, 2)}. Defina una oración ϕ tal que para toda L-estructura B se tiene que B = ϕ si y sólo si A = B. 4. Sea Z = Z, 0 Z, 1 Z, s Z, + Z, Z, < Z. Son N y Z isomorfos? 5. Son N y R isomorfos? 6. Sea A = R, + R, R y B = C, + C, C. Son A y B isomorfos? IIC2213 Lógica de Primer Orden 39 / 60

40 El teorema de isomorfismo Si dos estructuras A y B son isomorfas, entonces son idénticas excepto por sus dominios. A y B son indistinguibles. En particular: La lógica de primer orden no debería poder distinguir entre estructuras isomorfas. Vamos a demostrar esto. Por qué este resultado es fundamental? IIC2213 Lógica de Primer Orden 40 / 60

41 El teorema de isomorfismo: Una primera versión Teorema Si A y B son L-estructuras isomorfas, entonces para cada L-oración ϕ se tiene que: A = ϕ si y sólo si B = ϕ Cómo podemos demostrar este Teorema? Podemos usar inducción? Tenemos que demostrar una versión mas fuerte del teorema. IIC2213 Lógica de Primer Orden 41 / 60

42 El teorema de isomorfismo: Una segunda versión Notación Si h : A B es una biyección que muestra que A y B son estructuras isomorfas, entonces h es un isomorfismo de A en B. Nota: Si σ es una asignación para A, entonces h σ es una asignación para B. IIC2213 Lógica de Primer Orden 42 / 60

43 El teorema de isomorfismo: Una segunda versión Teorema (Isomorfismo) Sea σ una asignación para A y h un isomorfismo de A en B. Entonces para toda L-fórmula ϕ: (A,σ) = ϕ si y sólo si (B,h σ) = ϕ La primera versión del teorema es un corolario de esta versión más fuerte. IIC2213 Lógica de Primer Orden 43 / 60

44 El teorema de isomorfismo: Aplicaciones Antes de demostrar el teorema de isomorfismo, vamos a ver una de sus aplicaciones. Notación Si (A,σ) = ϕ(x 1,...,x k ) y σ(x i ) = a i (i [1,k]), entonces decimos que A = ϕ(a 1,...,a k ). Problema de Definibilidad Dada una estructura A y S A k (k 1), decimos que S es definible en A si existe una fórmula ϕ(x 1,...,x k ) tal que S = {(a 1,...,a k ) A k A = ϕ(a 1,...,a k )}. IIC2213 Lógica de Primer Orden 44 / 60

45 El problema de definibilidad: Ejemplos Ejemplo Qué conjuntos definen en N,+, las siguientes fórmulas? ϕ 1 (x) = y(x + y = y), ϕ 2 (x) = y(x y = y), ϕ 3 (x,y) = z( ϕ 1 (z) x + z = y). Para demostrar que un conjunto es definible tenemos que construir una fórmula. Cómo podemos demostrar que un conjunto no es definible? Podemos usar el teorema de isomorfismo! IIC2213 Lógica de Primer Orden 45 / 60

46 El problema de definibilidad y el teorema de isomorfismo Es la multiplicación definible en R,+? Si esto es cierto, entonces existe ϕ(x,y,z) tal que para todo a,b,c R: R,+ = ϕ(a,b,c) si y sólo si a b = c. Entonces para todo isomorfismo h de R,+ en R,+, se tiene que: R,+ = ϕ(a,b,c) si y sólo si R,+ = ϕ(h(a),h(b),h(c)). Sea h : R R definida por h(x) = x 2. h es un isomorfismo de R,+ en R,+. R,+ = ϕ(2,2,4) y R,+ = ϕ(h(2),h(2),h(4)). Tenemos una contradicción! IIC2213 Lógica de Primer Orden 46 / 60

47 El problema de definibilidad y el teorema de isomorfismo Ejercicios 1. Demuestre que la suma no es definible en R,. 2. Demuestre que la suma no es definible en N,. 3. Puede usarse el teorema de isomorfismo para mostrar que la multiplicación no es definible en N,+? IIC2213 Lógica de Primer Orden 47 / 60

48 El teorema de isomorfismo: Demostración Ahora vamos a demostrar por inducción la versión fuerte del teorema de isomorfismo. Dado: un vocabulario L y L-estructuras A y B. Necesitamos el siguiente lema: Lemma Si σ es una asignación para A y h es un isomorfismo de A en B, entonces ĥ σ = h ˆσ. Demostración: Por inducción en los L-términos. Para cada constante c L: ĥ σ(c) = c B = h(c A ) = h(ˆσ(c)) = (h ˆσ)(c). IIC2213 Lógica de Primer Orden 48 / 60

49 El teorema de isomorfismo: Demostración Para cada variable x: ĥ σ(x) = (h σ)(x) = h(σ(x)) = h(ˆσ(x)) = (h ˆσ)(x). Para cada función n-aria f L: Si ĥ σ(t i ) = (h ˆσ)(t i ) para todo i [1,n], entonces ĥ σ(f (t 1,...,t n )) = f B (ĥ σ(t 1 ),...,ĥ σ(t n )) = f B ((h ˆσ)(t 1 ),...,(h ˆσ)(t n )) = f B (h(ˆσ(t 1 )),...,h(ˆσ(t n ))) = h(f A (ˆσ(t 1 ),..., ˆσ(t n ))) = h(ˆσ(f (t 1,...,t n ))) = (h ˆσ)(f (t 1,...,t n )). IIC2213 Lógica de Primer Orden 49 / 60

50 El teorema de isomorfismo: Demostración Vamos a demostrar el teorema por inducción en la estructura de ϕ: Si ϕ = t 1 = t 2, entonces: (A,σ) = t 1 = t 2 si y sólo si ˆσ(t 1 ) = ˆσ(t 2 ) si y sólo si h(ˆσ(t 1 )) = h(ˆσ(t 2 )) si y sólo si (h ˆσ)(t 1 ) = (h ˆσ)(t 2 ) si y sólo si ĥ σ(t 1 ) = ĥ σ(t 2 ) si y sólo si (B,h σ) = t 1 = t 2. IIC2213 Lógica de Primer Orden 50 / 60

51 El teorema de isomorfismo: Demostración Si ϕ = R(t 1,...,t n ), entonces: (A,σ) = R(t 1,...,t n ) si y sólo si (ˆσ(t 1 ),..., ˆσ(t n )) R A si y sólo si (h(ˆσ(t 1 )),...,h(ˆσ(t n ))) R B si y sólo si ((h ˆσ)(t 1 ),...,(h ˆσ)(t n )) R B si y sólo si (ĥ σ(t 1 ),...,ĥ σ(t n )) R B si y sólo si (B,h σ) = R(t 1,...,t n ). IIC2213 Lógica de Primer Orden 51 / 60

52 El teorema de isomorfismo: Demostración Finalmente suponemos que la propiedad se cumple para ψ y θ. Si ϕ = ψ, entonces: (A,σ) = ϕ si y sólo si (A,σ) = ψ si y sólo si (B,h σ) = ψ si y sólo si (B,h σ) = ϕ IIC2213 Lógica de Primer Orden 52 / 60

53 El teorema de isomorfismo: Demostración Si ϕ = ψ θ, entonces: (A,σ) = ϕ si y sólo si (A,σ) = ψ y (A,σ) = θ si y sólo si (B,h σ) = ψ y (B,h σ) = θ si y sólo si (B,h σ) = ϕ IIC2213 Lógica de Primer Orden 53 / 60

54 El teorema de isomorfismo: Demostración Suponga que ϕ = x ψ. Sólo vamos a demostrar una dirección. La otra dirección se demuestra de la misma forma pero considerando h 1 en lugar de h. Si (A,σ) = ϕ: Existe a A tal que (A,σ[x/a]) = ψ. Por hipótesis de inducción: Existe a A tal que (B,h σ[x/a]) = ψ. Pero: h σ[x/a] = (h σ)[x/h(a)]. Tenemos que: Existe b B tal que (B,(h σ)[x/b]) = ψ. Por lo tanto: (B,h σ) = ϕ. IIC2213 Lógica de Primer Orden 54 / 60

55 El sistema de Hilbert: Lógica de Primer Orden El sistema de deducción de Hilbert para la lógica de primer orden consta de los siguientes elementos: Esquemas para generar fórmulas válidas: (a) ϕ (ψ ϕ). (b) (ϕ (ψ θ)) ((ϕ ψ) (ϕ θ)). (c) ( ϕ ψ) (( ϕ ψ) ϕ). (d) ( x ϕ(x)) ϕ(t), donde t es un término cualquiera. (e) ϕ(t) ( x ϕ(x)), donde t es un término cualquiera. (f) ( x ϕ) ( x ϕ). IIC2213 Lógica de Primer Orden 55 / 60

56 El sistema de Hilbert: Lógica de Primer Orden Axiomas para la igualdad: (a) x (x = x). (b) x y (x = y y = x). (c) x y z ((x = y y = z) x = z). (d) Para todo predicado m-ario P: x 1 x m y 1 y m ((P(x 1,...,x m ) x 1 = y 1 x m = y m ) P(y 1,...,y m )). (e) Para toda función n-aria f : x 1 x n y 1 y n ((x 1 = y 1 x n = y n ) f (x 1,..., x n ) = f (y 1,..., y n )). IIC2213 Lógica de Primer Orden 56 / 60

57 El sistema de Hilbert: Lógica de Primer Orden Reglas de inferencia: (a) Modus Ponens: ϕ ψ ϕ ψ (b) Generalización: Si y no aparece libre en ϕ, entonces ϕ ψ(y) ϕ yψ(y) IIC2213 Lógica de Primer Orden 57 / 60

58 El sistema de Hilbert: Lógica de Primer Orden Definición Dado un conjunto de fórmulas Σ {ϕ}, una deducción formal de ϕ desde Σ es una secuencia de fórmulas ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ n tal que: Para cada i n: ϕi Σ o ϕi es un axioma lógico o existen j, k < i tales que ϕi es obtenido desde ϕ j y ϕ k usando modus ponens o existe j < i tal que ϕi es obtenido desde ϕ j usando la regla de generalización. ϕ n = ϕ. Notación Σ H ϕ IIC2213 Lógica de Primer Orden 58 / 60

59 El sistema de Hilbert: Propiedades Teorema (Corrección) Dado un conjunto de fórmulas Σ {ϕ}, si Σ H ϕ, entonces Σ = ϕ. Ejercicio Demuestre el teorema. IIC2213 Lógica de Primer Orden 59 / 60

60 El sistema de Hilbert: Propiedades Teorema (Completidad de Gödel) Dado un conjunto de fórmulas Σ {ϕ}, si Σ = ϕ, entonces Σ H ϕ. Corolario (Compacidad) Un conjunto de fórmulas Σ es satisfacible si y sólo si Σ es finitamente satisfacible. Ejercicio Demuestre el corolario. IIC2213 Lógica de Primer Orden 60 / 60