Lógica de predicados. Sintaxis y Propiedades Lógica 2018

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1 Lógica de predicados. Sintaxis y Propiedades Lógica 2018 Instituto de Computación 8 de mayo Instituto de Computación (InCo) Lógica de predicados. Sintaxis y Propiedades Curso / 1

2 Estructuras Instituto de Computación (InCo) Lógica de predicados. Sintaxis y Propiedades Curso / 51

3 Def Estructura Una estructura es una secuencia ordenada M = U, R 1,..., R n, F 1,..., F m, {C i 1 i k} tal que: U es un conjunto no vacío, (notación: U = M ) R 1,..., R n son relaciones sobre U (n 0) F 1,..., F m son funciones en U (m 0) C i (1 i k) son elementos distinguidos de U Instituto de Computación (InCo) Lógica de predicados. Sintaxis y Propiedades Curso / 51

4 Estructura Ejemplo N, Par,, +,, 0, 1 N, < Z, +,, 0 naturales CPO de los naturales grupo de los enteros Instituto de Computación (InCo) Lógica de predicados. Sintaxis y Propiedades Curso / 51

5 Def Tipo de similaridad de una estructura El tipo de similaridad de U, R 1,..., R n, F 1,..., F m, {C i 1 i k} es una secuencia r 1,..., r n ; a 1,..., a m ; k tal que: R i U r i (1 i n y r i 0) F j : U a j U (1 j m y a j 0) Instituto de Computación (InCo) Lógica de predicados. Sintaxis y Propiedades Curso / 51

6 Tipo de similaridad de una estructura Ejemplo N, Par,, +,, 0, 1 tiene tipo 1, 2; 2, 2; 2 N, < tiene tipo 2; ; 0 Z, +,, 0 tiene tipo ; 2, 1; 1 Instituto de Computación (InCo) Lógica de predicados. Sintaxis y Propiedades Curso / 51

7 Lenguaje de primer orden Instituto de Computación (InCo) Lógica de predicados. Sintaxis y Propiedades Curso / 51

8 Def. Alfabeto de primer orden El alfabeto de tipo r 1,..., r n ; a 1,..., a m ; k para un lenguaje de primer orden consta de los siguientes símbolos: Símbolos de relación: P 1, P 2,..., P n, = Símbolos de función: f 1, f 2,..., f m Símbolos de constantes: c i tal que 1 i k Variables: x 1, x 2, x 3,... Conectivos:,,,,, Cuantificadores:, Auxiliares: ( ), Instituto de Computación (InCo) Lógica de predicados. Sintaxis y Propiedades Curso / 51

9 Def Términos Sea A el alfabeto de tipo r 1,..., r n ; a 1,..., a m ; k. El conjunto TERM A de los términos del lenguaje de primer orden con alfabeto A se define inductivamente por: 1 x i TERM A (i N) 2 c i TERM A (1 i k) 3 si t 1,..., t ai TERM A entonces f i (t 1,..., t ai ) TERM A Instituto de Computación (InCo) Lógica de predicados. Sintaxis y Propiedades Curso / 51

10 Def Fórmulas Sea A el alfabeto de tipo r 1,..., r n ; a 1,..., a m ; k. El conjunto FORM A de las fórmulas del lenguaje de primer orden con alfabeto A se define inductivamente por: 1 FORM A 2 si t 1,..., t ri TERM A entonces P i (t 1,..., t ri ) FORM A 3 si t 1, t 2 TERM A entonces t 1 = t 2 FORM A 4 si α, β FORM A entonces (α β) FORM A 5 si α FORM A entonces ( α) FORM A 6 si α FORM A entonces (( x)α), (( x)α) FORM A Instituto de Computación (InCo) Lógica de predicados. Sintaxis y Propiedades Curso / 51

11 Ejemplo (términos y fórmulas) Sea A el alfabeto de tipo 1, 2; 1, 2; 2. 1 f 2 (c 1, x 4 ) TERM A? 2 f 1 (c 1, x 4 ) TERM A? 3 (( x 1 )P 2 (f 1 (x 1 ), c 1 )) (( x 2 )P 1 (x 2 )) FORM A? 4 (( x 2 )f 2 (x 1, c 2 )) FORM A? 5 (( x 1 )P 1 (x 1, c 1 )) FORM A? 6 (( x 1 )(( x 2 )(( x 3 )P 3 (x 1, x 2, x 3 )))) FORM A? OJO!!! No confundir símbolo de predicado y símbolo de función! f 2 (x 1, c 2 ) TERM y P(x 1 ) FORM Instituto de Computación (InCo) Lógica de predicados. Sintaxis y Propiedades Curso / 51

12 Reglas de parentización Para simplificar la escritura de las fórmulas omitimos ciertos paréntesis: Las reglas de precedencia de conectivos son las mismas que para PROP. Conectivos de igual precedencia se asocian a la derecha. Cuantificadores: el y el tienen igual precedencia que el. Instituto de Computación (InCo) Lógica de predicados. Sintaxis y Propiedades Curso / 51

13 Reglas de parentización Atención: No confundir las siguientes fórmulas ( x)(α β) y ( x)α β ( x)(α β) y ( x)α β Ejemplo (Parentizar la siguiente expresión) ( x)p 1 (x) P 1 (x) (( x)p 1 (x)) P 1 (x) ((( x)p 1 (x)) ) P 1 (x) ((( x)p 1 (x)) ) ( P 1 (x)) ((( x)p 1 (x)) ) ( ( P 1 (x))) (((( x)p 1 (x)) ) ( ( P 1 (x)))) Instituto de Computación (InCo) Lógica de predicados. Sintaxis y Propiedades Curso / 51

14 Var, Const, AT Sea A el alfabeto de tipo r 1,..., r n ; a 1,..., a m ; k. Def [Var] Var es el conjunto de las variables de A ({x i i N}). Def [Const A ] Const A es el conjunto de los símbolos de constante de A ({c i 1 i k}). Def [fórmulas atómicas AT A ] AT A es el conjunto de fórmulas de FORM A que se obtienen con las cláusulas base (, P j (t 1,..., t rj ), t 1 = t 2 ). Instituto de Computación (InCo) Lógica de predicados. Sintaxis y Propiedades Curso / 51

15 PIP y ERP en TERM y FORM Instituto de Computación (InCo) Lógica de predicados. Sintaxis y Propiedades Curso / 51

16 Principio de inducción primitiva para TERM Sea A el alfabeto de tipo r 1,..., r n ; a 1,..., a m ; k. Lema [principio de inducción para TERM A ] H) Sea P una propiedad sobre TERM A. Si se cumple 1 P (x) para todo x Var 2 P (c) para todo c Const A 3 si P (t 1 ),..., P (t ai ) entonces P (f i (t 1,..., t ai )) para todo i {1,..., m} T) Entonces se cumple ( t TERM A )P (t). Instituto de Computación (InCo) Lógica de predicados. Sintaxis y Propiedades Curso / 51

17 Principio de inducción primitiva para FORM Sea A el alfabeto de tipo r 1,..., r n ; a 1,..., a m ; k. Lema [principio de inducción para FORM A ] H) Sea P una propiedad sobre FORM A. Si se cumple 1 P (α) para todo α AT 2 si P (α) y P (β) entonces P ((α β)) ( {,,, }) 3 si P (α) entonces P (( α)) 4 si P (α) entonces P ((( x)α)) P ((( x)α)) para todo x Var T) Entonces se cumple ( α FORM A )P (α). Instituto de Computación (InCo) Lógica de predicados. Sintaxis y Propiedades Curso / 51

18 Esquema de recursión primitiva para TERM Sea A el alfabeto de tipo r 1,..., r n ; a 1,..., a m ; k. Lema [esquema de recursión primitiva para TERM A ] H) Sean las siguientes funciones: H b : Var Const A B H i : (TERM A B) a i B, con i {1,..., m} T) Entonces existe una única función F : TERM A B tal que: F (t) = H b (t) si t Var Const A F (f i (t 1,..., t ai )) = H i (t 1, F (t 1 ),..., t ai, F (t ai )) Instituto de Computación (InCo) Lógica de predicados. Sintaxis y Propiedades Curso / 51

19 Esquema de recursión primitiva para FORM F (α) = H at (α) si α AT A F ((α β)) = H (α, F (α), β, F (β)) F (( α)) = H (α, F (α)) F ((( x)α)) = H (x, α, F (α)) F ((( x)α)) = H (x, α, F (α)) Instituto de Computación (InCo) Lógica de predicados. Sintaxis y Propiedades Curso / 51 Sea A el alfabeto de tipo r 1,..., r n ; a 1,..., a m ; k. Lema [esquema de recursión primitiva para FORM A ] H) Sean las siguientes funciones: 1 H at : AT A B 2 H : (FORM A B) 2 B ( {,,, }) 3 H : FORM A B B 4 H, H : Var A FORM A B B T) Entonces existe una única función F : FORM A B tal que:

20 Variables libres y ligadas Instituto de Computación (InCo) Lógica de predicados. Sintaxis y Propiedades Curso / 51

21 Alcance de cuantificadores Def [alcance o radio de acción] El alcance del cuantificador x en la fórmula (( x)α) es la fórmula α. El alcance del cuantificador x en la fórmula (( x)α) es la fórmula α. ( x 1 ) P 1 (x 1 ) ( x 2 ) P 2 (x 1, x 2 ) ( x 2 ) ( x 1 ) (P 1 (x 1 ) P 2 (x 1, x 2 )) Instituto de Computación (InCo) Lógica de predicados. Sintaxis y Propiedades Curso / 51

22 Alcance de cuantificadores ( x 1 ) P 1 (x 1 ) ( x 2 ) P 2 (x 1, x 2 ) ( x 1 ) ( x 2 ) P 1 (x 1 ) P 2 (x 1, x 2 ) ( x 2 ) ( x 1 ) (P 1 (x 1 ) P 2 (x 1, x 2 )) ( x 2 ) ( x 1 ) P 1 (x 1 ) P 2 (x 1, x 2 ) Instituto de Computación (InCo) Lógica de predicados. Sintaxis y Propiedades Curso / 51

23 Def. Ocurrencias libres y ligadas Una ocurrencia de una variable x en α está ligada si se encuentra bajo alcance de un cuantificador ( x) o ( x), o si es la variable de un cuantificador ( x) o ( x). Si una ocurrencia de una variable x no está ligada en α, se dice que es una ocurrencia libre. Ejemplo ( x 1 )P 1 (x 1 ) ( x 2 )P 2 (x 1, x 2 ) ( x 1 )P 1 (c 1 ) Las ocurrencias azules de x 1 están ligadas, mientras que la roja no. Instituto de Computación (InCo) Lógica de predicados. Sintaxis y Propiedades Curso / 51

24 Def. Variables libres y ligadas Una variable x está ligada en α si x tiene alguna ocurrencia ligada en α. Una variable x está libre en α si x tiene alguna ocurrencia libre en α. Ejemplo Sea α = ( x 1 )P 1 (x 1 ) ( x 2 )P 2 (x 1, x 2 ) x 1 tiene 2 ocurrencias ligadas en α entonces x 1 es ligada en α x 1 tiene 1 ocurrencia libre en α entonces x 1 es libre en α Instituto de Computación (InCo) Lógica de predicados. Sintaxis y Propiedades Curso / 51

25 Observación Una ocurrencia de variable en una fórmula está o bien libre o bien ligada ( no ambas!). Una variable puede estar libre y ligada en una misma fórmula. Instituto de Computación (InCo) Lógica de predicados. Sintaxis y Propiedades Curso / 51

26 Def Conjunto de variables libres de un término Sea A el alfabeto de tipo r 1,..., r n ; a 1,..., a m ; k. Definimos FV : TERM A (Var) recursivamente en TERM A : FV(x) = {x} si x Var FV(c i ) = FV(f i (t 1,..., t ai ) = FV(t 1 ) FV(t ai ) Instituto de Computación (InCo) Lógica de predicados. Sintaxis y Propiedades Curso / 51

27 Def Conjunto de variables libres de una fórmula Definimos FV : FORM A (Var) recursivamente en FORM A : FV( ) = FV(P i (t 1,..., t ri )) = FV(t 1 ) FV(t ri ) FV(t 1 = t 2 ) = FV(t 1 ) FV(t 2 ) FV((α β)) = FV(α) FV(β) FV(( α)) = FV(α) FV((( x)α)) = FV(α) {x} FV((( x)α)) = FV(α) {x} Instituto de Computación (InCo) Lógica de predicados. Sintaxis y Propiedades Curso / 51

28 Variables ligadas de una fórmula Ejercicio Definir recursivamente en FORM A la función BV : FORM A (Var) que calcula el conjunto de variables ligadas de una fórmula. Instituto de Computación (InCo) Lógica de predicados. Sintaxis y Propiedades Curso / 51

29 Términos y fórmulas cerrados Sea A el alfabeto de tipo r 1,..., r n ; a 1,..., a m ; k. Def [términos y fórmulas cerradas] Un término t es cerrado si FV (t) =. Una fórmula α es cerrada si FV (α) =. También se dice en este caso que α es una sentencia. Una fórmula α es abierta si no tiene cuantificadores. Notación: TERM C A = {t TERM A t es cerrado} SENT A = {α FORM A α es cerrada} Instituto de Computación (InCo) Lógica de predicados. Sintaxis y Propiedades Curso / 51

30 Sustituciones en TERM y en FORM Instituto de Computación (InCo) Lógica de predicados. Sintaxis y Propiedades Curso / 51

31 Def Sustitución de términos en términos Sea A el alfabeto de tipo r 1,..., r n ; a 1,..., a m ; k. Sean s, t TERM A y x Var. Definimos s[t/x] del siguiente modo: { t si x = y 1 y[t/x] = y si x y 2 c i [t/x] = c i 3 f i (t 1,..., t ai )[t/x] = f (t 1 [t/x],..., t ai [t/x]) Instituto de Computación (InCo) Lógica de predicados. Sintaxis y Propiedades Curso / 51

32 Ejemplo (Sustitución) Sea L un lenguaje de tipo 1, 2; 1, 2; 2. f 2 (x 1, x 2 )[x 1 /x 2 ] = f 2 (x 1, x 1 ) f 1 (f 2 (c 1, x 3 ))[c 2 /x 3 ] = f 1 (f 2 (c 1, c 2 )) f 1 (f 2 (c 1, x 3 ))[c 2 /x 1 ] = f 1 (f 2 (c 1, x 3 )) Instituto de Computación (InCo) Lógica de predicados. Sintaxis y Propiedades Curso / 51

33 Ejemplo (Sustitución) Sea L un lenguaje de tipo 1, 2; 1, 2; 2. f 2 (x 1, x 2 )[x 1 /x 2 ] = f 2 (x 1, x 1 ) f 1 (f 2 (c 1, x 3 ))[c 2 /x 3 ] = f 1 (f 2 (c 1, c 2 )) f 1 (f 2 (c 1, x 3 ))[c 2 /x 1 ] = f 1 (f 2 (c 1, x 3 )) Instituto de Computación (InCo) Lógica de predicados. Sintaxis y Propiedades Curso / 51

34 Def Sustitución de variables por términos en fórmulas (1 de 3) Sea A el alfabeto de tipo r 1,..., r n ; a 1,..., a m ; k. Sean t TERM A, x Var, α FORM A. Definimos α[t/x] del siguiente modo: [t/x] = P j (t 1,..., t rj )[t/x] = P j (t 1 [t/x],..., t rj [t/x]) t 1 = t 2 [t/x] = t 1 [t/x] = t 2 [t/x] Instituto de Computación (InCo) Lógica de predicados. Sintaxis y Propiedades Curso / 51

35 Def Sustitución de variables por términos en fórmulas (2 de 3) Sea A el alfabeto de tipo r 1,..., r n ; a 1,..., a m ; k. Sean t TERM A, x Var, α FORM A. Definimos α[t/x] del siguiente modo: (α β)[t/x] = (α[t/x] β[t/x]) ( α)[t/x] = ( α[t/x]) Instituto de Computación (InCo) Lógica de predicados. Sintaxis y Propiedades Curso / 51

36 Def Sustitución de variables por términos en fórmulas (3 de 3) Sea A el alfabeto de tipo r 1,..., r n ; a 1,..., a m ; k. Sean t TERM A, x Var, α FORM A. Definimos α[t/x] del siguiente modo: { (( y)α[t/x]) si x y (( y)α)[t/x] = (( y)α) si x = y { (( y)α[t/x]) si x y (( y)α)[t/x] = (( y)α) si x = y Instituto de Computación (InCo) Lógica de predicados. Sintaxis y Propiedades Curso / 51

37 Sustitución y pasaje de parámetros z := 45; print (sumar2(z)); FUNCTION sumar2(x: integer) : integer; VAR y : integer; BEGIN y := 2; sumar2 := x + y END; Instituto de Computación (InCo) Lógica de predicados. Sintaxis y Propiedades Curso / 51

38 Ejemplo (Sustitución) Sea L un lenguaje de tipo 1, 2; 2; 2. P 1 (f 1 (x 1, x 2 ))[x 1 /x 2 ] = P 1 (f 1 (x 1, x 1 )) (P 1 (x 1 ) P 2 (c 1, x 3 ))[c 2 /x 1 ] = (P 1 (c 2 ) P 2 (c 1, x 3 )) (( x 1 )P 2 (x 1, x 3 ))[c 3 /x 3 ] = (( x 1 )P 2 (x 1, c 3 )) (( x 1 )P 2 (x 1, x 3 ))[c 1 /x 1 ] = (( x 1 )P 2 (x 1, x 3 )) (( x 1 )P 2 (x 1, x 3 ))[x 1 /x 3 ] = (( x 1 )P 2 (x 1, x 1 )) Instituto de Computación (InCo) Lógica de predicados. Sintaxis y Propiedades Curso / 51

39 Ejemplo (Sustitución) Sea L un lenguaje de tipo 1, 2; 2; 2. P 1 (f 1 (x 1, x 2 ))[x 1 /x 2 ] = P 1 (f 1 (x 1, x 1 )) (P 1 (x 1 ) P 2 (c 1, x 3 ))[c 2 /x 1 ] = (P 1 (c 2 ) P 2 (c 1, x 3 )) (( x 1 )P 2 (x 1, x 3 ))[c 3 /x 3 ] = (( x 1 )P 2 (x 1, c 3 )) (( x 1 )P 2 (x 1, x 3 ))[c 1 /x 1 ] = (( x 1 )P 2 (x 1, x 3 )) (( x 1 )P 2 (x 1, x 3 ))[x 1 /x 3 ] = (( x 1 )P 2 (x 1, x 1 )) Apareció una ligadura nueva! No queremos estas situaciones! Instituto de Computación (InCo) Lógica de predicados. Sintaxis y Propiedades Curso / 51

40 Sustitución y pasaje de parámetros? y := 45; print (sumar2(y)); FUNCTION sumar2(x: integer) : integer; VAR y : integer; BEGIN y := 2; sumar2 := x + y END; Instituto de Computación (InCo) Lógica de predicados. Sintaxis y Propiedades Curso / 51

41 Qué falló en el último caso? (( x 1 )P 2 (x 1, x 3 ))[x 1 /x 3 ] = (( x 1 )P 2 (x 1, x 1 )) la variable x 3 estaba libre en (( x 1 )P 2 (x 1, x 3 )) al sustituir x 3 por x 1 (que es la variable cuantificada por el ), queda ligada (( x 1 )P 2 (x 1, x 1 )) Lo mismo hubiera pasado si en vez de [x 1 /x 3 ] se pone [t/x 3 ] con x 1 FV(t). El problema ocurre cuando hacemos (( x i )α)[t/x] y x i está en t : x i FV(t) Tenemos que exigir que x i FV(t) Hay algunos casos en que no hace falta pedir esa condición. Entre ellos está cuando la sustitución no se realiza porque x FV(( x i )α) Instituto de Computación (InCo) Lógica de predicados. Sintaxis y Propiedades Curso / 51

42 Def Término libre para una variable en una fórmula Sean t TERM, ϕ FORM. t está libre para x en ϕ si: 1 ϕ es atómica 2 ϕ = (ϕ 1 ϕ 2 ) y t está libre para x en ϕ 1 y en ϕ 2 3 ϕ = ( ϕ 1 ) y t está libre para x en ϕ 1 4 ϕ = (( y)ϕ 1 ) (o ϕ = (( y)ϕ 1 )) y se cumple alguna de las siguientes: 1 x FV((( y)ϕ 1 )) (resp. x FV((( y)ϕ 1 ))) 2 y FV(t) y t está libre para x en ϕ 1 Instituto de Computación (InCo) Lógica de predicados. Sintaxis y Propiedades Curso / 51

43 Restricción en sustituciones De ahora en adelante sólo aplicaremos la sustitución ϕ[t/x] cuando t esté libre para x en ϕ. Si esto no sucede: no permitimos aplicar la sustitución! (( x 1 )P 2 (x 1, x 3 ))[c 3 /x 3 ] Podemos aplicar la función de sustitución, la aplicamos, y el resultado es (( x 1 )P 2 (x 1, c 3 )). (( x 1 )P 2 (x 1, x 3 ))[c 1 /x 1 ] Podemos aplicar la función de sustitución, la aplicamos, y el resultado es (( x 1 )P 2 (x 1, x 3 )), igual que el argumento. (( x 1 )P 2 (x 1, x 3 ))[x 1 /x 3 ] No podemos aplicar la función de sustitución. Instituto de Computación (InCo) Lógica de predicados. Sintaxis y Propiedades Curso / 51

44 Ejemplo x 2 está libre para x 1 en ( x 1 )P 1 (x 1, x 3 ) pues x 1 FV(( x 1 )P 1 (x 1, x 3 )). Cualquier t está libre para x 2 en ( x 1 )( x 2 )P 1 (x 1, x 2 ) pues x 2 FV(( x 1 )( x 2 )P 1 (x 1, x 2 )) f (x 3, x 1 ) no está libre para x 2 en ( x 3 )P 2 (x 2 ) pues x 2 FV(( x 3 )P 2 (x 2 )), y x 3 FV(f (x 3, x 1 )) (aunque f (x 3, x 1 ) está libre para x 2 en P 2 (x 2 )) f (x 3, x 1 ) no está libre para x 2 en ( x 4 )( x 3 )(x 3 = x 2 ) pues x 2 FV(( x 4 )( x 3 )(x 3 = x 2 )) y f (x 3, x 1 ) no está libre para x 2 en ( x 3 )(x 3 = x 2 ) (aunque x 4 FV(f (x 3, x 1 ))) Instituto de Computación (InCo) Lógica de predicados. Sintaxis y Propiedades Curso / 51

45 Sustitución simultánea en términos y fórmulas t[t 1,..., t n /y 1,..., y n ] es el resultado de sustituir las ocurrencias de cada y i por t i en t simultáneamente (i = 1,..., n, y i y j si i j) α[t 1,..., t n /y 1,..., y n ] se define análogamente Sustitución simultánea sustitución secuencial No es lo mismo la sustitución simultánea que la composición de sustituciones: x 1 [x 2, c 2 /x 1, x 2 ] = x 2 x 1 [x 2 /x 1 ][c 2 /x 2 ] = x 2 [c 2 /x 2 ] = c 2 Instituto de Computación (InCo) Lógica de predicados. Sintaxis y Propiedades Curso / 51

46 Notación: [α(x), α(t)] Para simplificar la notación α[t/x], en matemática se utilizan (meta)expresiones de la forma α(x) o α(x, y, z) Esta notación no significa que las variables listadas ocurran libres en la fórmula ni que la fórmula no tenga otras variables libres que no sean las listadas... Sólo se utiliza para escribir informalmente la sustitución: Por ejemplo, α(t) notará el resultado de sustituir t por x en α(x); α(s, t, u) notará el resultado de sustituir s por x, t por y y u por z en α(x, y, z). Instituto de Computación (InCo) Lógica de predicados. Sintaxis y Propiedades Curso / 51

47 Símbolo de predicado $ Las sustituciones definidas hasta el momento, permiten poner un término dado en el lugar de una variable. Eso es diferente de la sustitución de PROP, que permitía poner una fórmula en el lugar de una fórmula atómica. Para hacer esto, se tiene que hacer una modificación en el lenguaje. Agregamos a la definición de FORM una cláusula más: $ FORM ($ es una variable de fórmula, la usamos como comodín para sustituir una fórmula en otra). Instituto de Computación (InCo) Lógica de predicados. Sintaxis y Propiedades Curso / 51

48 Def Fórmula libre para $ Sean α, ϕ FORM. ϕ está libre para $ en α si se cumple alguna de las siguientes condiciones: 1 α es atómica 2 α = (α 1 α 2 ) y ϕ está libre para $ en α 1 y en α 2 3 α = ( α 1 ) y ϕ está libre para $ en α 1 4 α = (( x)α 1 ) (o α = (( x)α 1 )) y se cumple alguno de los siguientes: 1 $ no ocurre en α 1 2 x FV(ϕ) y ϕ está libre para $ en α 1 Instituto de Computación (InCo) Lógica de predicados. Sintaxis y Propiedades Curso / 51

49 Def Sustitución de fórmulas en fórmulas Sean α, ϕ FORM tal que ϕ está libre para $ en α. Definimos α[ϕ/$] recursivamente en α: { α si α $ 1 si α es atómica, α[ϕ/$] = ϕ si α = $ 2 (α 1 α 2 )[ϕ/$] = (α 1 [ϕ/$] α 2 [ϕ/$]) 3 ( α 1 )[ϕ/$] = ( α 1 [ϕ/$]) 4 (( x)α 1 )[ϕ/$] = (( x)(α 1 [ϕ/$])) 5 (( x)α 1 )[ϕ/$] = (( x)(α 1 [ϕ/$])) Instituto de Computación (InCo) Lógica de predicados. Sintaxis y Propiedades Curso / 51

50 Resumen Instituto de Computación (InCo) Lógica de predicados. Sintaxis y Propiedades Curso / 51

51 Resumen de Sintaxis de la Lógica de Predicados de Primer Orden I Se definieron dos familias de lenguajes: uno para representar elementos del universo otro para representar afirmaciones sobre esos elementos Se definieron los principios de Inducción y Recursión primitivas para esos lenguajes con el objetivo de: hacer demostraciones definir funciones recursivamente sobre esos lenguajes Se estudiaron los aspectos sintácticos que introducen las variables y se definieron algunos conceptos relativos a eso: ocurrencia libre y ligada de una variable término libre para una variable en una fórmula dada Instituto de Computación (InCo) Lógica de predicados. Sintaxis y Propiedades Curso / 51

52 Resumen de Sintaxis de la Lógica de Predicados de Primer Orden II Se definieron funciones de sustitución: de una variable por un término en fórmulas y términos de fórmulas en fórmulas Instituto de Computación (InCo) Lógica de predicados. Sintaxis y Propiedades Curso / 51

53 Bibliografía I Dirk Van Dalen. Logic and Structure. Secciones 3.1, 3.2 y 3.3, 5ta ed. Instituto de Computación (InCo) Lógica de predicados. Sintaxis y Propiedades Curso / 51