Introducción a la Lógica II

Transcripción

1 Introducción a la Lógica II Félix Bou bou@ub.edu Versión 14 de abril de 2010 F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica II Versión 14 de abril de / 114

2 Metodología de la Asignatura Índice 1 Metodología de la Asignatura 2 Relaciones 3 Funciones 4 Lenguajes de Primer Orden: Sintaxis 5 Lenguajes de Primer Orden: Semántica F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica II Versión 14 de abril de / 114

3 Metodología de la Asignatura Metodología de la asignatura Datos Profesor Félix Bou. Departament de Lògica, Història i Filosofia de la Ciència. Despacho (4a planta). bou@ub.edu (fbou@iiia.csic.es) Teléfono: F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica II Versión 14 de abril de / 114

4 Metodología de la Asignatura Metodología de la asignatura Horario Grupo B1 (A. 403) Teoría Consultas Prácticas* Martes 17:00-18:00h Miércoles 17:00-18:00h 18:00-19:00h Jueves 17:00-18:00h 18:00-19:00h * Las prácticas son dadas por Joan Bertran también en el aula 403. Examen Final 1a Convocatoria 2a Convocatoria Grupo B1 (A. 403) 23 Junio, 16:00-18:00h 8 Sept, 19:00-21:00h F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica II Versión 14 de abril de / 114

5 Metodología de la Asignatura Sistema de Evaluación Evaluación Continua Tres exámenes parciales durante el curso. Las fechas son Jueves 11 de marzo de Jueves 22 de abril de Jueves 20 de mayo de Hace falta aprobar los tres exámenes con una nota mínima de 3, y en tal caso la nota final será la media de los tres exámenes parciales. Sólo se obtendrá la calificación de No Presentado en caso de no realizar los tres exámenes parciales. Evaluación Única Todo el mundo puede realizar el examen final, incluso aquellas personas que antes han hecho uno o más de los exámenes parciales. La asistencia al examen final supone automáticamente la renuncia a la nota de la evaluación continua, i.e., la nota final será la obtenida en el examen final. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica II Versión 14 de abril de / 114

6 Relaciones Motivando las Relaciones Recordemos que... Toda propiedad determina un conjunto, el conjunto de los objetos que cumplen dicha propiedad. En símbolos, si Φ es un propiedad al conjunto que determina, por comprensión, lo denotamos {x : Φ(x)} (es decir, {x : x verifica el propiedad Φ}). En los conjuntos no importa el orden, por ejemplo, {1, 2} = {2, 1}. Así pues, qué sucede si realmente tenemos una noción en la que el orden importa? Pues que es evidente que la noción de conjunto no es un buen candidato a formalizar esa noción. Ejemplos de Propiedades Binarias en las que importa el orden Ser padre de Ser hijo de Ser profesor de la asignatura F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica II Versión 14 de abril de / 114

7 Relaciones Par Ordenado En primer lugar (antes de hablar de relaciones) introducimos el concepto de par ordenado. Dados dos objetos a y b el par ordenado de a y b es un nuevo objeto (que denotamos a, b ) que nos permitirá distinguir su primera componente, a, de su segunda componente, b. Esto significa que para cualesquiera objetos a, b, c y d, se cumple que a, b = c, d sii a = c y b = d. Lo anterior es el único requisito que le exigimos a un par ordenado. Es decir, lo único que asumimos es que los pares ordenados son objetos que cumplen la condición anterior, y no nos preocupamos de averiguar qué objeto es. Lo fundamental es que la noción de par ordenado nos va a permitir distinguir el orden. Por ejemplo, Marta, Ana Ana, Marta mientras que {Marta, Ana} = {Ana, Marta}. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica II Versión 14 de abril de / 114

8 Relaciones La Operación Producto Cartesiano Si A y B son dos conjuntos cualesquiera, el producto cartesiano de A por B, en símbolos A B, es el conjunto de todos los pares ordenados cuya primera componente es un elemento de A y cuyo segunda componente es un elemento de B. Es decir, A B = { x, y : x A y y B}. El término cartesiano por supuesto hace referencia a Descartes. Y el término producto hace referencia al hecho que si A tiene n elementos y B tiene m elementos, entonces A B tiene n m elementos. Ejemplo: Si A = {1, 2} y B = {2, 3, 4}, entonces A B = { 1, 2, 1, 3, 1, 4, 2, 2, 2, 3, 2, 4 }. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica II Versión 14 de abril de / 114

9 Relaciones Algunas propiedades del Producto Cartesiano Si A = entonces A B =. Si B = entonces A B =. Si A y B entonces A B. Los tres puntos anteriores nos dicen que Así pues, B A ={ x, y : x B y y A}. A B = sii A = o B =. A B sii A y B. El producto cartesiano no es conmutativo porque por ejemplo {1} {2} = {2} {1}. [De hecho, A B = B A sii (o bien A = o bien B = o bien A = B).] F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica II Versión 14 de abril de / 114

10 Relaciones Relaciones (Binarias) Una relación (binaria) es un conjunto de pares ordenados. La idea intuitiva es que todo relacional binario (i.e., propiedad binaria) determina una relación, aquella que cumple que un par ordenado pertenece a la relación en cuestión si este relacional se da entre el primer componente del par y el segundo componente del par. Por ejemplo, el relacional ser más alto que determina la relación binaria { x, y : x ser más alto que y}. Una relación (binaria) en un conjunto A es un conjunto de pares ordenados tales que tanto el primer componente del par como el segundo componente son elementos de A. Es decir, R es una relación en A sii R es un subconjunto de A A. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica II Versión 14 de abril de / 114

11 Relaciones Relaciones (Binarias) Usamos la letras R, S y T para referirnos a las relaciones (binarias). En el caso que el par ordenado a, b R diremos que los objetos a, b están relacionados por R. Y en caso contrario (i.e., a, b R) diremos que no están relacionados por R. En ocasiones escribiremos arb en lugar de escribir a, b R. Y análogamente también usaremos a Rb como sinónimo de a, b R. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica II Versión 14 de abril de / 114

12 Relaciones Ejemplos de Relaciones Binarias Sea A = {x : x es un ser humano}. Entonces, R = { x, y : x A y y A y x es madre de y} es una relación binaria en A. Y S = { x, y : x A y y A y y es madre de x} es otra relación en el conjunto A. Sea B = {1, 2, 3,...}. Entonces, es una relación binaria en B. T = { x, y : x B y y B y x y} Clasifica las siguientes afirmaciones según sean verdaderas o falsas. 1, 0 T es falsa. 1, 1 T es verdadera. 1, 2 T es verdadera. 2, 1 T es falsa. Félix, 2 T es falsa. 3 2, 2 T es falsa. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica II Versión 14 de abril de / 114

13 Relaciones Algunas Observaciones Más A nivel intuitivo tenemos la analogía siguiente Propiedades Conjuntos = Relacionales (Binarios) Relaciones (Binarias) Es decir, los conjuntos son a las propiedades lo mismo que las relaciones (binarias) son a los relacionales (binarios). Mientras que los conjuntos corresponden a las extensiones de las propiedades, las relaciones (binarias) corresponden a las extensiones de los relacionales (binarios). Por el principio de extensionalidad dos relaciones R y S son la misma sii a ellas pertenecen los mismos pares. En otras palabras, R = S sii Así pues, R S sii para cualesquiera objetos x, y, se cumple que x, y R sii x, y S. existen dos objetos x, y tales que el par x, y pertenece a una de las relaciones pero no a la otra. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica II Versión 14 de abril de / 114

14 Relaciones Conjuntos asociados a una Relación (Binaria) El dominio de una relación R, en símbolos dom(r), es el conjunto de los primeros componentes de los pares de R. Así pues, dom(r) = {x : existe y tal que x, y R}. El recorrido de una relación R, en símbolos rec(r), es el conjunto de los segundos componentes de los pares de R. Así pues, rec(r) = {x : existe y tal que y, x R}. El campo de una relación R, en símbolos campo(r), es el conjunto de todos los componentes (indistintamente de si son primer o segundo componente) de los pares de R. Así pues, campo(r) = {x : existe y tal que x, y R o y, x R}. De hecho, se cumple que campo(r) = dom(r) rec(r). F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica II Versión 14 de abril de / 114

15 Relaciones Algunos Ejemplos Concretos de Relaciones Sea R el conjunto { 1, 6, 4, 7, 6, 6, 2, 5, 3, 2, 6, 1 }. Clasificar las siguientes afirmaciones según sean verdaderas o falsas. R es una relación es verdadera. R es una relación en {1, 2, 3, 4, 5, 6} es falsa. R es una relación en {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} es verdadera. R es una relación en {1, 2, 3,...} es verdadera. Sea R la misma relación que antes. Calcular domr = {1, 2, 3, 4, 6}. recr = {1, 2, 5, 6, 7}. campor = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica II Versión 14 de abril de / 114

16 Relaciones Algunas Relaciones con Nombre Propio Sea A un conjunto. Entonces, de entre todas las relaciones en A destacamos las siguientes. La relación de identidad en A, en símbolos Id A, es el conjunto de los pares ordenados con ambas componentes siendo iguales y pertenenciendo a A. Así pues, Y también es claro que Id A = { x, x : x A}. Id A = { x, y : x A y y A y x = y}. La relación nula en A es el conjunto vacío. [Es una relación puesto que es un conjunto de pares ordenados] La relación total en A es el conjunto de los pares ordenados con ambas componentes siendo elementos de A. Así pues, la relación total en A es precisamente A A. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica II Versión 14 de abril de / 114

17 Relaciones Observaciones sobre estas relaciones destacadas Sea A el conjunto. Entonces, Id A =. A A =. Sea A el conjunto {a}. Entonces, Id A = { a, a }. A A = { a, a }. Sea A el conjunto {a, b}. Entonces, IdA = { a, a, b, b }. A A = { a, a, a, b, b, a, b, b }. Sea A un conjunto cualesquiera. Entonces, Cuál es la menor relación en A? Es. Esto significa que (i) es una relación en A, y que además (ii) para cualquier relación R en A se cumple que R. Cuál es la mayor relación en A? Es A A. Esto significa que (i) A A es una relación en A, y que además (ii) para cualquier relación R en A se cumple que R A A. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica II Versión 14 de abril de / 114

18 Relaciones Operaciones con Relaciones Las relaciones son en particular conjuntos. Por tanto, todas las operaciones con conjuntos se pueden realizar en particular también con relaciones. Si R y S son dos relaciones cualesquiera, entonces [Union] R S = { x, y : x, y R o x, y S}. [Intersección] R S = { x, y : x, y R y x, y S}. [Diferencia] R S = { x, y : x, y R y x, y S}. Otra forma (dice exactamente lo mismo) de escribir las igualdades anteriores es decir que R S = { a, b : a, b R o a, b S}. R S = { a, b : a, b R y a, b S}. R S = { a, b : a, b R y a, b S}. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica II Versión 14 de abril de / 114

19 Relaciones Operaciones Nuevas con Relaciones A partir de una relación R definimos la relación inversa de R, en símbolos R, como la relación que se da entre objetos a y b si y sólo si R se da entre b y a. Es decir, R = { x, y : y, x R}. Por tanto, a, b R sii b, a R. Es claro que dom( R) = rec(r), rec( R) = dom(r), campo( R) = campo(r). A partir de dos relaciones R y S definimos su producto relacional, en símbolos R S, como la relación definida por la igualdad R S = { x, y : hay algún z tal que x, z R y z, y S}. Por tanto, para cualesquiera objetos a y b se cumple que a, b R S, sii hay algún objeto c tal que a, c R y c, b S. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica II Versión 14 de abril de / 114

20 Relaciones Algunos Ejemplos Sea R = { 1, 3, 1, 5, 2, 5 } y S = { 2, 1, 5, 2 }. Entonces, R = { 3, 1, 5, 1, 5, 2 }. S = { 1, 2, 2, 5 }. R S = { 1, 2, 2, 2 }. S R = { 2, 3, 2, 5, 5, 5 }. R R =. S S = { 5, 1 }. Consideramos las relaciones en los números naturales (i.e., N = {1, 2, 3,...}) siguientes: R = { x, y : x y} y S = { x, y : x > y}. Entonces, R = { x, y : y x} = { x, y : x y}. S = { x, y : y > x} = { x, y : x < y}. R S = { x, y : existe z tal que x z y z > y} = N N. S R = { x, y : existe z tal que x > z y z y} = (N {1}) N. R R = { x, y : existe z tal que x z y z y} = R. S S = { x, y : existe z tal que x > z y z > y}= { x, y : x y + 2}. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica II Versión 14 de abril de / 114

21 Relaciones Otro Ejemplo Sea P la relación en el conjunto de los seres humanos definida de modo que a, b P sii a es progenitor (padre o madre) de b. Y sea H la relación en el conjunto de los seres humanos tal que a, b H sii a es hermano(a) de b. Entonces, las siguientes relaciones (todas ellas en el conjunto de los seres humanos) cumplen que a, b P sii b es progenitor de a. Es decir, a, b P sii a es hijo(a) de b. a, b H sii b es hermano(a) de a. Es decir, H = H. a, b (H P) sii existe c tal que a es hermano(a) de c y c es progenitor de b. Es decir, a, b (H P) sii a es tío(a) de b. a, b ( P H) sii existe c tal que c es progenitor de a y c es hermano(a) de b. Es decir, a, b ( P H) sii a es sobrino(a) de b. a, b (P P) sii existe c tal que a es progenitor de c y c es progenitor de b. Es decir, a, b (P P) sii a es abuelo(a) de b. Cómo definir la relación que se da en un par ordenado a, b cuando a es nieto de b? Entre otras posibilidades se puede utilizar la relación P P. Otra posibilidad es (P P). F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica II Versión 14 de abril de / 114

22 Relaciones Propiedades de las Operaciones con Relaciones Para cualesquiera relaciones R, S y T se cumple que R = R. Por qué? Porque a, b R, sii b, a R, sii a, b R. R (S T ) = (R S) T. Por qué? Porque a, b (R (S T )), sii existe c tal que a, c R y c, b (S T ), sii existen c y d tal que a, c R y c, d S y d, b T, sii existe d tal que a, d (R S) y d, b T, sii a, b ((R S) T ). (R S) = ( S R). Por qué? Porque a, b (R S), sii b, a (R S), sii existe c tal que b, c R y c, a S, sii existe c tal que c, b R y a, c S, sii existe c tal que a, c S y c, b R, sii a, b ( S R). F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica II Versión 14 de abril de / 114

23 Relaciones Clases de Relaciones Sea R una relación. Se dice que R es una relación reflexiva en un conjunto A sii todo elemento de A esta relacionado consigo mismo por R. Es decir, sii para todo x A se cumple que x, x R. R es una relación reflexiva sii R es una relación reflexiva en el conjunto campo(r). R es una relación irreflexiva sii ningún objeto está relacionado consigo mismo por R. Es decir, sii todo objeto x cumple que x, x R. R es una relación simétrica sii para cada par de objetos x, y se cumple que si x, y R entonces y, x R. R es una relación asimétrica sii para cada par de objetos x, y se cumple que si x, y R entonces y, x R. R es una relación antisimétrica sii para cada par de objetos x, y se cumple que si x, y R y y, x R entonces x = y. Es decir, sii para cada par de objetos x, y diferentes, si x, y R entonces y, x R. R es una relación transitiva sii para cualesquiera objetos x, y, z se cumple que si x, y R y y, z R entonces x, z R. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica II Versión 14 de abril de / 114

24 Relaciones Algunas Reflexiones sobre las anteriores clases Sea R una relación. Por las definiciones anteriores se tiene que R no es una relación reflexiva en un conjunto A sii existe un elemento x A tal que x, x R. R no es una relación reflexiva sii existe un elemento x campo(r) tal que x, x R. R no es una relación irreflexiva sii existe un objeto x que cumple que x, x R. R no es una relación simétrica sii existen un par de objetos x, y que cumplen que x, y R y y, x R. R no es una relación asimétrica sii existen un par de objetos x, y que cumplen que x, y R y y, x R. R no es una relación antisimétrica sii existen un par de objetos x, y que cumplen que x, y R y y, x R y x y. R no es una relación transitiva sii existen objetos x, y, z que cumplen que x, y R y y, z R y x, z R. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica II Versión 14 de abril de / 114

25 Relaciones Algunos Ejemplos Consideramos las relaciones R 1 = { 1, 1, 2, 3 }, R 2 = { 1, 1, 1, 2, 2, 1 }, R 3 = { 1, 2, 1, 3, 2, 3 }, R 4 = { 1, 2, 1, 3, 2, 1 }, R 5 = { 1, 1, 1, 2, 2, 2 }, R 6 = { 1, 2, 2, 1, 2, 2 }, R 7 = { 1, 2, 2, 3, 1, 3, 3, 3 }, R 8 = { 1, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 2 }, R 9 = { 1, 2, 2, 1, 1, 1 } y R 10 = { 1, 2, 1, 3 }. A continuación completamos el cuadro siguiente. R 1 R 2 R 3 R 4 R 5 R 6 R 7 R 8 R 9 R 10 Reflexiva F F F F V F F V F F V Irreflexiva F F V V F F F F F V V Simétrica F V F F F V F V V F V Asimétrica F F V F F F F F F V V Antisimétrica V F V F V F V F F V V Transitiva V F V F V F V V F V V F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica II Versión 14 de abril de / 114

26 Relaciones Más Ejemplos Consideramos las relaciones siguientes en el conjunto de los números naturales N = {1, 2, 3,...}. Se trata de = { x, y : x y}, <= { x, y : x < y}, S = { x, y : y = x + 1}, Id = { x, y : x = y} y D = { x, y : x y}. A continuación completamos el cuadro siguiente. < S Id D Reflexiva en N V F F V F Irreflexiva F V V F V Simétrica F F F V V Asimétrica F V V F F Antisimétrica V V V V F Transitiva V V F V F F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica II Versión 14 de abril de / 114

27 Relaciones Caracterización de las diversas clases de Relaciones Sea R una relación en un conjunto A. Se cumple que R es una relación reflexiva en el conjunto A sii Id A R. R es una relación reflexiva sii Id campo(r) R. R es una relación irreflexiva sii R Id A. Es decir, sii R Id A =. R es una relación simétrica sii R R. Es decir, sii R = R. R es una relación asimétrica sii R R. Es decir, sii R R =. R es una relación antisimétrica sii R R Id A. R es una relación transitiva sii R R R. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica II Versión 14 de abril de / 114

28 Relaciones Relaciones de Equivalencia Para cualquier conjunto A la relación Id A (i.e., la relación de identidad en A) cumple que es reflexiva en A, simétrica y transitiva. Estas tres popiedades (reflexiva en el conjunto, simétrica y transitiva) caracterizan en cierta forma relaciones a las que podriamos llamar de igualdad en cierto aspecto. Por ejemplo, las relaciones R 1 = { a, b : a y b son palabras que tienen la misma primera letra} R 2 = { a, b : a y b son automóviles de la misma marca} R 3 = { a, b : a y b son personas que viven en el mismo país} R 4 = { a, b : a y b son personas que tienen la misma edad} R 5 = { a, b : a y b son mascotas que tienen el mismo dueño} cumplen las tres propiedades anteriores [la reflexiva corresponde en cada caso a un conjunto diferente: palabras, automóviles,... ]. Una relación de equivalencia en un conjunto A es una relación en A que además es reflexiva en A, simétrica y transitiva. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica II Versión 14 de abril de / 114

29 Relaciones Clasificar los elementos de A a partir de una relación de equivalencia en A A nivel intuitivo la idea detrás de una relación de equivalencia en A es que nos permite clasificar los elementos del conjunto A. Cuando decimos clasificar nos referimos a que podemos distribuir (repartir) todos los elementos de A en diferentes clases (i.e., diferentes subconjuntos de A) disjuntas. Por ejemplo, la relación de equivalencia llamada R 1 en la diapositiva anterior nos permite clasificar todas las palabras en diferentes clases: (1) una clase es la de las palabras que comienzan con la letra a, (2) otra clase es la de las palabras que comienzan con la letra b, (3) otra clase es la de las palabras que comienzan con la letra c, (4) otra clase es la de las palabras que comienzan con la letra d, etc. Teniendo en cuenta que hay 27 letras del alfabeto lo que acabamos de observar es que la relación de equivalencia R 1 nos clasifica todas las palabras en 27 clases diferentes y disjuntas. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica II Versión 14 de abril de / 114

30 Relaciones Clasificar los elementos de A a partir de una relación de equivalencia en A Consideramos la relación R en los números naturales que se da entre aquellos números que tienen la misma paridad. En particular, 1, 3 R, 2, 4 R y 1, 2 R. Es fácil comprobar que R es una relación de equivalencia en el conjunto de los números naturales. Qué clasificación nos determina esta relación de equivalencia? Permite clasificar todos los números naturales en exactamente 2 clases diferentes y disjuntas: 1 una clase es la de los números naturales pares, y 2 la otra clase es la de los números naturales impares. Consideramos la relación R en los números naturales que se da entre aquellos números tales que ambos son pares. En particular, 1, 3 R, 2, 4 R y 1, 2 R. Es fácil comprobar que R no es una relación de equivalencia en el conjunto de los números naturales porque no es reflexiva en el conjunto de los números naturales (ya que por ejemplo 1, 1 R ). Al no ser una relación de equivalencia en el conjunto de los números naturales no nos determina una clasificación en dicho conjunto. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica II Versión 14 de abril de / 114

31 Relaciones Clasificar los elementos de A a partir de una relación de equivalencia en A Consideramos la relación S en los números naturales que se da entre aquellos números que tienen el mismo resto al dividir entre 10 (recordemos que el resto de dividir entre 10 ha de ser un número de los que hay del 0 al 9). En particular, 1, 11 S, 22, 4 S y 126, 66 S. De hecho, dos números naturales están relacionados por S sii tienen el mismo último digito en su representación decimal. Es fácil comprobar que S es una relación de equivalencia en el conjunto de los números naturales. Qué clasificación nos determina esta relación S de equivalencia? Permite clasificar todos los números naturales en las siguientes clases diferentes y disjuntas: 1 la clase de los números naturales cuyo resto al dividir entre 10 da 0, 2 la clase de los números naturales cuyo resto al dividir entre 10 da 1,. 10 la clase de los números naturales cuyo resto al dividir entre 10 da 9, Resumiendo, la relación S nos clasifica todos los números naturales en exactamente 10 clases diferentes y disjuntas. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica II Versión 14 de abril de / 114

32 Relaciones Clasificar los elementos de A a partir de una relación de equivalencia en A Consideramos la relación Id A de identidad en el conjunto A. Es fácil comprobar que Id A es una relación de equivalencia en el conjunto A. Qué clasificación nos determina la relación IdA de equivalencia? Permite clasificar todos los elementos de A en exactamente tantas clases diferentes y disjuntas como elementos pertenecen a A. Cada una de estas clases está formada por un único elemento de A. Consideramos la relación total en A, es decir, la relación A A. Es fácil comprobar que A A es una relación de equivalencia en el conjunto A. Qué clasificación nos determina la relación A A de equivalencia? Permite clasificar todos los elementos de A en exactamente una sóla clase. Así pues, esta única clase contiene a todos los elementos de A. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica II Versión 14 de abril de / 114

33 Relaciones La noción de Partición (o Clasificación) Una partición (o clasificación) de un conjunto A es una colección de subconjuntos no vacíos de A (estos subconjuntos son llamados las clases de la partición) tal que todo elemento de A pertenece a uno de estos subconjuntos y sólo a uno. Dicho de otro modo, una partición (o una clasificación) de un conjunto A es una colección Π de subconjuntos de A tal que Π (i.e., no hay clases vacías), si X Π, Y Π y X Y, entonces X Y = (i.e., las clases son disjuntas entre sí), si a A entonces existe un X Π tal que a X (i.e., todo elemento de A pertenece a alguna clase). Los elementos de Π son las clases de dicha partición (i.e., X es una clase de la partición Π sii X Π). F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica II Versión 14 de abril de / 114

34 Relaciones Algunos Ejemplos sobre Particiones La colección {{1}, {2, 3}} es una partición del conjunto {1, 2, 3}? Sí (porque se cumplen las tres condiciones escritas en la página anterior). Es {{1}, {2, 3}} una partición del conjunto {1, 2, 3, 4}? No (porque falla la última de las tres condiciones en el caso de tomar a como 4). Es {, {1}, {2, 3}} una partición del conjunto {1, 2, 3}? No (porque falla la primera de las tres condiciones). Es {{1}, {2}, {2, 3}} una partición del conjunto {1, 2, 3}? No (porque falla la segunda de las tres condiciones en el caso de tomar X como {2} y tomar Y como {2, 3}). Sea A a el conjunto de todas las palabras que comienzan con la letra a. Y análogamente consideramos los conjuntos A b, A c,..., A y, A z. Es la colección {A a, A b, A c,..., A y, A z } una partición del conjunto de todas las palabras? Sí (porque se cumplen las tres condiciones explicitadas en la definición de partición). F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica II Versión 14 de abril de / 114

35 Relaciones Más Ejemplos sobre Particiones Calcular todas las particiones del conjunto {1, 2}. A continuación vamos enumerando todas las particiones de dicho conjunto. 1 {{1}, {2}}, 2 {{1, 2}}. Así pues, en total hay 2 particiones. Calcular todas las particiones del conjunto {1, 2, 3}. A continuación vamos enumerando todas las particiones de dicho conjunto. 1 {{1}, {2}, {3}}, 2 {{1}, {2, 3}}, 3 {{2}, {1, 3}}, 4 {{3}, {1, 2}}, 5 {{1, 2, 3}}. Así pues, en total hay 5 particiones. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica II Versión 14 de abril de / 114

36 Relaciones Más Ejemplos sobre Particiones Calcular todas las particiones del conjunto {1, 2, 3, 4}. A continuación vamos enumerando todas las particiones de dicho conjunto. 1 {{1}, {2}, {3}, {4}}, 2 {{1}, {2}, {3, 4}}, 3 {{1}, {3}, {2, 4}}, 4 {{1}, {4}, {2, 3}}, 5 {{1}, {2, 3, 4}}. 6 {{2}, {3}, {1, 4}}, 7 {{2}, {4}, {1, 3}}, 8 {{2}, {1, 3, 4}}. 9 {{3}, {4}, {1, 2}}, 10 {{3}, {1, 2, 4}}. 11 {{4}, {1, 2, 3}}. 12 {{1, 2}, {3, 4}}, 13 {{1, 3}, {2, 4}}, 14 {{1, 4}, {2, 3}}, 15 {{1, 2, 3, 4}}. Así pues, en total hay 15 particiones. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica II Versión 14 de abril de / 114

37 Relaciones Nota Avanzada sobre el Número de Particiones Por curiosidad comentamos que el número de particiones de un conjunto con n elementos se conoce como el n-ésimo número de Bell (en honor de Eric Temple Bell) y se suele denotar B n. En particular, B 1 = 1, B 2 = 2, B 3 = 5, B 4 = 15, B 5 = 52, B 6 = 203, etc. Cómo calcular dicho número en general? La mejor forma es calcular B n+1 por recursión a partir de los anteriores ya conocidos (i.e., de B n, B n 1,..., B 2, B 1, B 0 tomando el convenio que B 0 = 1) usando la fórmula n ( ) n B n+1 = B k. k k=0 F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica II Versión 14 de abril de / 114

38 Relaciones Cuál es la conexión entre las Relaciones de Equivalencia y las Particiones? En las próximas diapositivas vamos a analizar esta conexión con todo detalle pero todo lo que diremos se puede resumir en que para cualquier conjunto A se cumple que, Toda relación R de equivalencia en el conjunto A determina una partición de A a la cual llamaremos A/R. Toda partición Π del conjunto A determina una relación de equivalencia en A a la cual llamaremos R Π. Toda relación R de equivalencia en el conjunto A cumple que coincide con la relación de equivalencia asociada a la partición A/R. Es decir, R = R A/R. Toda partición Π del conjunto A cumple que coincide con la partición asociada a la relación R Π. Es decir, Π = A/R Π. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica II Versión 14 de abril de / 114

39 Relaciones Cuál es la partición A/R determinada por la relación de equivalencia R? Sea R una relación de equivalencia en un conjunto A. Definición Para cada a A, definimos el conjunto [a] R (al cual llamaremos la clase de equivalencia de a respecto a R) como el conjunto de todos los elementos de A relacionados con a. Es decir, [a] R = {x A : x, a R}. Usando que R es reflexiva en A deducimos que para cada a A, se cumple que a [a] R. Por tanto, [a] R. Usando que R es simétrica y transitiva deducimos que para cada a A y b A, se cumple que si a, b R entonces [a] R = [b] R. [ Por qué? Porque x, a R sii x, b R] Usando que R es simétrica y transitiva deducimos que para cada a A y b A, se cumple que si a, b R entonces [a] R [b] R =. [ Por qué? Porque si x, a R y x, b R entonces a, b R] F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica II Versión 14 de abril de / 114

40 Relaciones Cuál es la partición A/R determinada por la relación de equivalencia R? Sea R una relación de equivalencia en un conjunto A. Definición Definimos el conjunto A/R (al cual llamaremos el conjunto cociente de A respecto a R) como el conjunto de las clases de equivalencia respecto a R de todos los elementos de A. Es decir, Hecho A/R = {[a] R : a A}. Se cumple que A/R es una partición de A. Es decir, Para cada a A se cumple que [a] R. Para cada a A y b A, si [a] R [b] R entonces [a] R [b] R =. Para cada a A se cumple que existe un b A tal que a [b] R. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica II Versión 14 de abril de / 114

41 Relaciones Un Ejemplo sobre A/R Sea A el conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}, y sea R la relación { 1, 2, 2, 1, 4, 3, 3, 4, 4, 6, 6, 4, 3, 6, 6, 3 } Id A. Es evidente que R es una relación de equivalencia en el conjunto anterior A. Qué partición (clasificación) A/R nos determina esta relación de equivalencia R? Comenzamos calculando las clases de equivalencia de todos los elementos de A. En este caso se tiene que [1] R = [2] R = {1,2}. [3] R = [4] R = [6] R = {3, 4, 6}. [5] R = {5}. Una vez calculadas todas las clases de equivalencia es evidente que el conjunto cociente A/R es {[1] R, [2] R, [3] R, [4] R, [5] R, [6] R }, es decir {[1] R, [3] R, [5] R }, es decir A/R = {{1, 2}, {3, 4, 6}, {5}}. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica II Versión 14 de abril de / 114

42 Relaciones Otro Ejemplo sobre A/R Sea N el conjunto {1, 2, 3,...} de los números naturales, y consideramos otra vez la relación S en los números naturales que se da entre aquellos números que tienen el mismo resto al dividir entre 10 (i.e., si tienen el mismo último digito en su representación decimal). Es evidente que S es una relación de equivalencia en el conjunto anterior N. Qué partición (clasificación) N/S nos determina esta relación de equivalencia S? Las clases de equivalencia de los elementos de N son [1] S = {1, 11, 21, 31,...} = [11] S = [21] S =.... [2] S = {2, 12, 22, 32,...} = [12] S = [22] S =.... [3] S = {3, 13, 23, 33,...} = [13] S = [23] S =.... [4] S = {4, 14, 24, 34,...} = [14] S = [24] S =.... [5] S = {5, 15, 25, 35,...} = [15] S = [25] S =.... [6] S = {6, 16, 26, 36,...} = [16] S = [26] S =.... [7] S = {7, 17, 27, 37,...} = [17] S = [27] S =.... [8] S = {8, 18, 28, 38,...} = [18] S = [28] S =.... [9] S = {9, 19, 29, 39,...} = [19] S = [29] S =.... [10] S = {10, 20, 30, 40,...} = [20] S = [30] S =.... Por tanto, es evidente que el conjunto cociente N/S es precisamente {[1] S, [2] S, [3] S, [4] S, [5] S, [6] S, [7] S, [8] S, [9] S, [10] S }. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica II Versión 14 de abril de / 114

43 Relaciones Cuál es la relación de equivalencia R Π determinada por la partición Π? Sea Π una partición del conjunto A. Definición Definimos la relación R Π como aquella que relaciona dos objetos de A sii estos dos objetos pertenecen a una misma clase de la partición Π. Es decir, relaciona dos objetos sii la clase de la partición a la que pertenece el primer objeto coincide con la clase de la partición a la que pertenece el segundo objeto. Es decir, R Π = { a, b : a A y b A y existe X Π tal que a X y b X }. Hecho Se cumple que R Π es una relación de equivalencia en A. Es decir, [Reflexiva en A] Para cada a A se cumple que a, a R Π. [Simétrica] Para cada a A y b A, si a, b R Π entonces b, a R Π. [Trans] Para cada a, b, c A, si a, b R Π y b, c R Π entonces a, c R Π. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica II Versión 14 de abril de / 114

44 Relaciones Un Ejemplo sobre Π R Sea A el conjunto {1, 2}. Anteriormente vimos que en este conjunto hay exactamente 2 particiones, que son Π = {{1}, {2}} y Π = {{1, 2}}. Qué relación es RΠ? Es la relación Id A. Qué relación es RΠ? Es la relación A A. Sea A el conjunto {1, 2, 3}. Anteriormente vimos que en este conjunto hay exactamente 5 particiones, que son Π 1 = {{1}, {2}, {3}}, Π 2 = {{1}, {2, 3}}, Π 3 = {{2}, {1, 3}}, Π 4 = {{3}, {1, 2}} y Π 5 = {{1, 2, 3}}. Qué relación es RΠ1? Es la relación Id A. Qué relación es RΠ2? Es la relación Id A { 2, 3, 3, 2 }. Qué relación es R Π3? Es la relación Id A { 1, 3, 3, 1 }. Qué relación es R Π4? Es la relación Id A { 1, 2, 2, 1 }. Qué relación es RΠ5? Es la relación A A. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica II Versión 14 de abril de / 114

45 Relaciones Otro Ejemplo sobre Π R Sea A el conjunto {1, 2, 3, 4}. Anteriormente vimos que en este conjunto hay exactamente 15 particiones. Para cada una de ellas escribimos la relación asociada correspondiente (seguimos el mismo orden que en la diapositiva anterior donde las escribimos). 1 Id A, 2 Id A { 3, 4, 4, 3 }, 3 Id A { 2, 4, 4, 2 }, 4 Id A { 2, 3, 3, 2 }, 5 Id A { 2, 3, 2, 4, 3, 4, 3, 2, 4, 2, 4, 3 }, 6 Id A { 1, 4, 4, 1 }, 7 Id A { 1, 3, 3, 1 }, 8 Id A { 1, 3, 1, 4, 3, 4, 3, 1, 4, 1, 4, 3 }, 9 Id A { 1, 2, 2, 1 }, 10 Id A { 1, 2, 1, 4, 2, 4, 2, 1, 4, 1, 4, 2 }, 11 Id A { 1, 2, 1, 3, 2, 3, 2, 1, 3, 1, 3, 2 }, 12 Id A { 1, 2, 2, 1 } { 3, 4, 4, 3 }, 13 Id A { 1, 3, 3, 1 } { 2, 4, 4, 2 }, 14 Id A { 1, 4, 4, 1 } { 2, 3, 3, 2 }, 15 A A. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica II Versión 14 de abril de / 114

46 Relaciones Las relaciones de equivalencia en un conjunto y las particiones en ese conjunto se determinan mútuamente Hecho Sea R una relación de equivalencia en un conjunto A. Entonces la relación R A/R es precisamente la relación R (i.e., R A/R = R). [ Por qué? Porque x, y R A/R sii, existe X A/R tal que x X y y X sii, existe a A tal que x [a] R y y [a] R sii, existe a A tal que x, a R y y, a R sii, x, y R. ] Hecho Sea Π una partición un conjunto A. Entonces la partición A/R Π es precisamente la partición Π (i.e., A/R Π = Π). [ Por qué? Porque X A/R Π sii, existe a A tal que X = [a] RΠ sii, existe a A tal que X = {x A : x, a R Π } sii, existe a A tal que X = {x A : x está en la misma clase de Π que a} sii, X Π. ] F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica II Versión 14 de abril de / 114

47 Relaciones Las relaciones de equivalencia en un conjunto y las particiones en ese conjunto se determinan mútuamente Una Consecuencia Immediata Sea A un conjunto. Entonces, hay tantas relaciones de equivalencia en A como particiones del conjunto A hay. Por tanto, el número de Bell n-ésimo también coincide con el número de relaciones de equivalencia en un conjunto con n elementos. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica II Versión 14 de abril de / 114

48 Funciones Un tipo especial de relaciones: las funciones Hay relaciones que tienen la peculiaridad de que ningún objeto se relaciona con más de un objeto a la vez. Así pues, estas relaciones cumplen que el objeto b con el que se relaciona (si es que lo hay) a través de R un objeto a queda totalmente determinado utilizando sólo a y R. En el lenguaje natural nos encontramos continuamente con relaciones de este tipo particular: la relación { x, y : y es el alcalde de x} tiene dicha peculiaridad. Es precisamente dicha particularidad la que hace que no haya ninguna ambigüedad al usar una expresión como el alcalde de Barcelona (automáticamente sabemos que se refiere a Jordi Hereu). la relación { x, y : y es el año de nacimiento de x} tiene dicha peculiaridad. Es precisamente dicha particularidad la que hace que no haya ninguna ambigüedad al usar una expresión como el año de nacimiento de Ramón y Cajal (automáticamente sabemos que se refiere al año 1852).... F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica II Versión 14 de abril de / 114

49 Funciones Funciones Qué es una función? Una función es una relación R tal que para cualesquiera objetos a, b, c, se cumple que si a, b R y a, c R, entonces b = c. En otras palabras, una función es una relación R que cumple que para todo a dom(r) hay un único objeto b tal que a, b R. Usaremos las letras f, g, h, F, G, H para referirnos a funciones. Si f es una función y a dom(f ), entonces denotaremos f (a) al único objeto b tal que a, b f. Es decir, para todo elemento a del dominio de f se cumple que, f (a) = b sii a, b R. Diremos que f (a) es el valor de f en el argumento a o el valor que f asigna al argumento a. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica II Versión 14 de abril de / 114

50 Funciones Algunos Ejemplos sobre Funciones Es la relación { 2, 3, 2, 4 } una función? No (porque se tiene que el 2 está relacionado con más de un objeto). Es la relación { a, b : a N y b N y b = a + 1} una función? Si (porque se tiene que si b = a + 1 y c = a + 1 entonces b = c.). Es la relación { a, b : a N y b N y a = b + 1} una función? Si (porque se tiene que si a = b + 1 y a = c + 1 entonces b = c.). Es la relación { a, b : a N y b N y a < b} una función? No (porque se tiene que el 1 está relacionado tanto con el 2 como con el 3.). Sea A un conjunto. Es la relación { a, {a} : a A} una función? Sí. Sea A un conjunto. Es la relación Id A (es decir, la relación { a, a : a A}) una función? Sí. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica II Versión 14 de abril de / 114

51 Funciones Igualdad entre Funciones Sea f una función. Entonces, por el principio de extensionalidad es evidente que f = { a, f (a) : a dom(f )}. Dicho de otra forma, para todo par de objetos a, b se cumple que a, b f sii a dom(f ) y f (a) = b. Sea f una función. Entonces, por el principio de extensionalidad es evidente que rec(f ) = {f (a) : a dom(f )}. Sean f y g dos funciones. Entonces, por el principio de extensionalidad es evidente que f = g sii { dom(f ) = dom(g) para todo a dom(f ), se cumple que f(a) = g(a). Por tanto, para definir una función basta con (i) especificar su dominio, y (ii) decir que que valor asigna la función a cada elemento del dominio. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica II Versión 14 de abril de / 114

52 Funciones Ejemplos de Funciones Sea G la función cuyo dominio es el conjunto A de las palabras y tal que para cada palabra p (i.e., p A) se cumple que G(p) es la primera letra de p. Resumiendo, G es la función que asigna a cada palabra su primera letra. Sea g la función cuyo dominio es el conjunto A de los números naturales y tal que para cada número natural n (i.e., n N) se cumple que g(n) es n 3. Resumiendo, g es la función que asigna a cada número natural su cubo. Sea h la función cuyo dominio es el conjunto A de las palabras y tal que para cada palabra p (i.e., p A) se cumple que h(p) es el número de letras que tiene la palabra p. Resumiendo, h es la función que asigna a cada palabra el número de letras que tiene dicha palabra. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica II Versión 14 de abril de / 114

53 Funciones Más Ejemplos de Funciones Sea h 1 la función cuyo dominio es el conjunto {V, F } {V, F } (i.e., el producto cartesiano consigo mismo del conjunto formado por los dos valores de verdad) y que a cada elemento a, b del dominio le asigna el valor de verdad de la fórmula p q al interpretar p por el valor a y q por el valor b. Resumiendo, h 1 es la función { V, V, V, V, F, V, F, V, V, F, F, F }. Sea h 2 la función cuyo dominio es otra vez el conjunto {V, F } {V, F } y que a cada elemento a, b del dominio le asigna el valor de verdad de la fórmula p q al interpretar p por el valor a y q por el valor b. Resumiendo, h 2 es la función { V, V, V, V, F, F, F, V, V, F, F, V }. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica II Versión 14 de abril de / 114

54 Funciones Función de A en B Una función f es una función de A en B si además de ser una función cumple que dom(f ) = A y que para todo a A se tiene que f (a) B. En otras palabras, f es una función tal que dom(f ) = A y rec(f ) B. Usaremos la notación f : A B para indicar que f es una función de A en B. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica II Versión 14 de abril de / 114

55 Funciones Varias Clases de Funciones Una función f es inyectiva si para cualesquiera a, b dom(f ), se cumple que si f (a) = f (b) entonces a = b. En otras palabras, si a b entonces f (a) f (b). Una función f se dice que es sobre B si además de ser función se cumple que B rec(f ). En otras palabras, f es una función tal que para todo b B se cumple que existe a dom(f ) tal que f (a) = b. Una función f es una función de A sobre B si además de ser función se cumple que dom(f ) = A y rec(f ) = B. En otras palabras, f es una función tal que dom(f ) = A, para todo a A se cumple que f (a) B [i.e., rec(f ) B], para todo b B se cumple que existe a A tal que f (a) = b [i.e., B rec(f )]. Una biyección entre un conjunto A y un conjunto B es una función de A sobre B que además es inyectiva. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica II Versión 14 de abril de / 114

56 Funciones Algunos Ejemplos sobre las Clases anteriores Sea Z el conjunto de los números enteros, i.e., Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...}. Consideramos la función f que asigna a cada número entero n su opuesto n (en particular se tiene que f ( 2) = 2, f ( 1) = 1, f (0) = 0, f (1) = 1, f (2) = 2). Es evidente que es una función de Z en Z. Es inyectiva? Sí (porque números diferentes tienen opuestos diferentes). Es sobre Z? Sí (porque todo número entero es el opuesto de algún número entero). Es una biyección entre Z y Z? Sí. Consideramos la función g que asigna a cada número entero n su cuadrado n 2 (en particular se tiene que g( 2) = ( 2) 2 = 4, g( 1) = ( 1) 2 = 1, g(0) = 0, g(1) = 1 2 = 1, g(2) = 2 2 = 4). Es evidente que g es una función de Z en Z. Es inyectiva? No (porque por ejemplo g(1) = g( 1) siendo el 1 y el 1 dos números diferentes). Es sobre Z? No (porque el número 1 no es el cuadrado de ningún número entero). Es sobre {0, 1, 2,...}? No (porque 2 no es el cuadrado de ningún entero). Es una biyección entre Z y Z? No. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica II Versión 14 de abril de / 114

57 Funciones Más Ejemplos sobre las Clases anteriores Sea A el conjunto de las personas. Consideramos la función F que asigna a cada persona su madre. Es evidente que F es una función de A en A. Es inyectiva? No (porque hay personas diferentes con la misma madre). Es sobre A? No (porque hay personas que no son la madre de nadie). Es sobre el conjunto M de las mujeres? No (porque no toda mujer es madre de alguien). Es una biyección entre A y A? No. Sea A el conjunto {Madrid, Barcelona, Valencia}. Consideramos la función G que asigna a cada elemento de A su alcalde. De hecho, G = { Madrid, Gallardón, Barcelona, Hereu, Valencia, Barberà }. Es inyectiva? Sí (porque ciudades diferentes tienen alcaldes diferentes). Es sobre el conjunto de los alcaldes de España? No (porque por ejemplo el alcalde de Tarragona no es el alcalde ninguna de las ciudades pertenecientes a A). Es sobre el conjunto {Gallardón, Hereu, Barberà}? Sí (porque todo elemento de este conjunto es el alcalde de una de las ciudades pertenecientes a A). Es una biyección entre A y {Gallardón, Hereu, Barberà}? Sí. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica II Versión 14 de abril de / 114

58 Lenguajes de Primer Orden: Sintaxis Motivación de los lenguajes de Primer Orden La lógica de enunciados sólo es útil para analizar la estructura de los enunciados compuestos formados a partir de otros más simples con ayuda de expresiones veritativo-funcionales. Esto nos da una incapacidad de la lógica de enunciados para mostrar la corrección de argumentos como los siguientes: Todos los hombres son mortales, Juan es un hombre; por tanto, Juan es mortal. El planeta Marte tiene agua, Marte no es la Tierra; por tanto, algún planeta diferente de la Tierra tiene agua. Para estudiar la corrección de argumentos como los anteriores necesitamos un lenguaje formal que nos permita representar la estructura de enunciados como los anteriores. Y no queremos perder tampoco el poder de representación que ya teníamos en la lógica de enunciados. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica II Versión 14 de abril de / 114

59 Lenguajes de Primer Orden: Sintaxis Motivación de los Lenguajes de Primer Orden Por tanto, nuestro nuevo lenguaje tendrá que permitirnos al menos utilizar expresiones del tipo de: 1 Nombres propios: Juan, Marte, la Tierra, etc. Los nombres propios son expresiones para referirnos a un objeto determinado. 2 Predicados (propiedades): ser mortal, ser humano, contener agua, etc. Los predicados expresan propiedades de un cierto objeto. 3 Relacionales: ser hijo de, es mayor que, ser trillizos, etc. Los relaciones son expresiones que utilizamos para indicar que un objeto está relacionado de algún modo con otro. 4 la relación de identidad: es igual a. 5 Cuantificadores: todos, algunos. Los cuantificadores son expresiones que utilizamos para hablar de la totalidad o de una parte de un conjunto de objetos. 6 Conectivas Proposicionales: y, o, implica, si y sólo si, no ocurre. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica II Versión 14 de abril de / 114

60 Lenguajes de Primer Orden: Sintaxis Motivación de los Lenguajes de Primer Orden Los seis elementos anteriores son exactamente los presentes en los lenguajes de primer orden. No hay un sólo lenguaje de primer orden sino una familia de lenguajes de primer orden. Todos los lenguajes de primer orden tienen en común los tres últimos elementos de la lista anterior. Simplemente se diferencian en los tres primeros elementos, dependiendo del ámbito de la realidad del que queramos hablar conviene tener unos u otros nombres propios, predicados y relacionales. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica II Versión 14 de abril de / 114

61 Lenguajes de Primer Orden: Sintaxis Los Lenguajes de Primer Orden Todos los lenguajes de primer orden tienen en común los símbolos siguientes: 1 Variables: x, y, z,..., x 1, x 2,... (hay infinitas). 2 Conectivas:,,,,. 3 Cuantificadores: (cuantificador universal), (cuantificador existencial). 4 Símbolo de igualdad:. 5 Paréntesis: ), (. Las conectivas, los cuantificadores y el símbolo de igualdad son los símbolos lógicos del lenguaje. Y los paréntesis son los símbolos auxiliares del lenguaje. Todo lenguaje de primer orden está caracterizado por los símbolos que tiene además de los comunes. Estos símbolos, llamados símbolos propios, son de tres tipos (y sólo de uno de ellos): 1 Constantes individuales: c, d, e,..., c 1, c 2,... 2 Símbolos de predicado: P, Q, P 1, P 2, Símbolos relacionales: R, S, T, R 1, R 2,... Cada símbolo relacional tiene asociado un número natural 2 que indica el tipo de relación que puede expresar (binaria, ternaria, etc.). F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica II Versión 14 de abril de / 114

62 Lenguajes de Primer Orden: Sintaxis Los Lenguajes de Primer Orden Para identificar un lenguaje de primer orden basta con decir cuáles son sus símbolos propios, es decir, (i) cuáles son sus constantes, (ii) cuáles son sus símbolos de predicado, y (iii) cuáles son sus símbolos relacionales (indicando el número asociado a cada símbolo relacional). Ejemplos de lenguajes de primer orden L es el que no tiene símbolos propios (lenguaje puro de la identidad). El que tiene una constante individual c y un símbolo relacional ternario R. L 1 es el que tiene dos constantes individuales c, d, un símbolo de predicado P, un símbolo relacional binario R y un símbolo relacional ternario S. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica II Versión 14 de abril de / 114

63 Lenguajes de Primer Orden: Sintaxis Fórmulas de un lenguaje de Primer Orden Sea L un lenguaje de primer orden. Una expresión del lenguaje L es una sucesión finita de símbolos de L. Un término del lenguaje L es una variable o una constante de L. Una fórmula atómica del lenguaje L es una expresión de alguna de las tres formas siguientes: 1 t t donde t, t son términos del lenguaje L. 2 Pt donde P es un símbolo de predicado de L y t es un término de L. 3 Rt 1... t n donde R es un símbolo relacional n-ario de L y t 1,..., t n son términos de L. Una fórmula del lenguaje L es una expresión que se obtiene de acuerdo a alguna de las reglas siguientes: 1 Toda fórmula atómica de L es una fórmula de L. 2 Si α, β son fórmulas también lo son (α β), (α β), (α β), (α β) y α. 3 Si α es una fórmula y x es una variable, xα y xα son fórmulas. Omitiremos los paréntesis exteriores de las fórmulas (como en el caso proposicional), y usaremos α, β,... para referirnos a las fórmulas. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica II Versión 14 de abril de / 114

64 Lenguajes de Primer Orden: Sintaxis Ejemplos de fórmulas en un lenguaje de Primer Orden Ejemplo en los lenguajes L y L 1 anteriores Expresión Término Fórmula Atómica Fórmula x), No No No No (y Sí No No No x Sí Sí No No c No/Sí No/Sí No No (x y) Sí No No No y x Sí No Sí Sí cx c No/Sí No No No yx y Sí No No Sí Px No/Sí No No/Sí No/Sí Rxy No/Sí No No/Sí No/Sí Px Rxy No/Sí No No No/Sí F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica II Versión 14 de abril de / 114

65 Lenguajes de Primer Orden: Sintaxis Ejemplos de fórmulas en un lenguaje de Primer Orden Ejemplos de fórmulas atómicas (se sobreentiende el lenguaje) x y, x c, Pc, Rxy, Rdy, Rcd, etc. Ejemplos de fórmulas no atómicas (se sobreentiende el lenguaje) x y, Px, Px Rxy, Px Qy, xpx, x Px, x( y(px Rxy) Rxc), x xpx, etc. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica II Versión 14 de abril de / 114

66 Lenguajes de Primer Orden: Sintaxis Diversos Tipos de Fórmulas Una conjunción es una fórmula de primer orden de la forma (α β). Una disyunción es una fórmula de primer orden de la forma (α β). Un condicional es una fórmula de primer orden de la forma (α β). Un bicondicional es una fórmula de primer orden de la forma (α β). Una negación es una fórmula de primer orden de la forma α. Una cuantificación universal es una fórmula de primer orden de la forma xα. Una cuantificación existencial es una fórmula de primer orden de la forma xα. Toda fórmula de primer orden es o bien una conjunción, o una diyunción, o un condicional, o un bicondicional, o una negación, o una cuantificación universal, o una cuantificación existencial, o una fórmula atómica. F. Bou (bou@ub.edu) Introducción a la Lógica II Versión 14 de abril de / 114