Una Introducción a las Lógicas Híbridas
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- Julio Giménez Rubio
- hace 7 años
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1 FaMAF - UNC Córdoba - Argentina 28 de Octubre, Rosario, Argentina
2 Qué son HL? PE y Complejidad Ejemplo Conclusiones Estructura de la Charla 1 Qué son las Lógicas Híbridas? Lógicas Modales Lógicas Híbridas 2 Poder Expresivo y Complejidad El Lenguaje H(@) La Lógica Híbrida H(@, ) 3 Ejemplo 4 Conclusiones
3 Qué son HL? PE y Complejidad Ejemplo Conclusiones Lógicas Modales Lógicas Híbridas Lógicas Modales Sintaxis: Lógica Proposicional + modalidades Semántica: Interpretada en términos de estructuras relacionales (Grafos)
4 Qué son HL? PE y Complejidad Ejemplo Conclusiones Lógicas Modales Lógicas Híbridas Lógicas Modales Sintaxis: Lógica Proposicional + modalidades Semántica: Interpretada en términos de estructuras relacionales (Grafos) Example loves relation carol alice bob mary Query: Alguien ama a un solitario/a? (es cierta esto en algún punto del modelo?)
5 Qué son HL? PE y Complejidad Ejemplo Conclusiones Lógicas Modales Lógicas Híbridas Lógicas Modales Sintaxis: Lógica Proposicional + modalidades Semántica: Interpretada en términos de estructuras relacionales (Grafos) Example loves relation carol alice bob mary Query: Alguien ama a un solitario/a? (es cierta esto en algún punto del modelo?) The Modal Way : ϕ := loves [loves]
6 Qué son HL? PE y Complejidad Ejemplo Conclusiones Lógicas Modales Lógicas Híbridas Lógicas Modales Sintaxis: Lógica Proposicional + modalidades Semántica: Interpretada en términos de estructuras relacionales (Grafos) Example loves relation carol alice bob mary Query: Alguien ama a un solitario/a? (es cierta esto en algún punto del modelo?) The Modal Way : ϕ := loves [loves] ML puede ser pensada como un fragmento de LPO Las lógicas modales son (usualmente) decidibles! SAT de la lógica modal básica es PSpace-complete
7 Qué son HL? PE y Complejidad Ejemplo Conclusiones Lógicas Modales Lógicas Híbridas Lógicas Modales Sintaxis Dado PROP un conjunto de símbolos de proposición y REL un conjunto de símbolos de relación: FORM := p ϕ ϕ 1 ϕ 2 R ϕ [R]ϕ, donde p PROP, R REL, ϕ, ϕ 1, ϕ 2 FORM.
8 Qué son HL? PE y Complejidad Ejemplo Conclusiones Lógicas Modales Lógicas Híbridas Lógicas Modales Sintaxis Dado PROP un conjunto de símbolos de proposición y REL un conjunto de símbolos de relación: FORM := p ϕ ϕ 1 ϕ 2 R ϕ [R]ϕ, donde p PROP, R REL, ϕ, ϕ 1, ϕ 2 FORM. Como dijimos, son formulas booleanas con algunos operadores unarios raros mezclados.
9 Qué son HL? PE y Complejidad Ejemplo Conclusiones Lógicas Modales Lógicas Híbridas Lógicas Modales Modelos Dado PROP, REL un modelo modal (modelo de Kripke) es una estructura M = W, {Ri M R i REL}, V donde W es un conjunto no vacío R M i W W V : PROP 2 W
10 Qué son HL? PE y Complejidad Ejemplo Conclusiones Lógicas Modales Lógicas Híbridas Lógicas Modales Modelos Dado PROP, REL un modelo modal (modelo de Kripke) es una estructura M = W, {Ri M R i REL}, V donde W es un conjunto no vacío R M i W W V : PROP 2 W En otras palabras, es un grafo dirigido decorado (juro que sí es!) W es el conjunto de nodos, cada R i es un conjunto de ejes (pueden pensar que son ejes de distinto color en el grafo), y V asigna differentes etiquetas a cada nodo.
11 Qué son HL? PE y Complejidad Ejemplo Conclusiones Lógicas Modales Lógicas Híbridas Lógicas Modales Semántica Dado un modelo M = W, {R M R REL}, V y w W : M, w = p sii w V (p) for p PROP
12 Qué son HL? PE y Complejidad Ejemplo Conclusiones Lógicas Modales Lógicas Híbridas Lógicas Modales Semántica Dado un modelo M = W, {R M R REL}, V y w W : M, w = p sii w V (p) for p PROP M, w = ϕ sii M, w = ϕ M, w = ϕ ψ sii M, w = ϕ and M, w = ψ
13 Qué son HL? PE y Complejidad Ejemplo Conclusiones Lógicas Modales Lógicas Híbridas Lógicas Modales Semántica Dado un modelo M = W, {R M R REL}, V y w W : M, w = p sii w V (p) for p PROP M, w = ϕ sii M, w = ϕ M, w = ϕ ψ sii M, w = ϕ and M, w = ψ M, w = R ϕ sii w W s.t. R M (w, w ) and M, w = ϕ M, w = [R]ϕ sii w W, R M (w, w ) implies M, w = ϕ
14 Qué son HL? PE y Complejidad Ejemplo Conclusiones Lógicas Modales Lógicas Híbridas Lógicas Modales Semántica Dado un modelo M = W, {R M R REL}, V y w W : M, w = p sii w V (p) for p PROP M, w = ϕ sii M, w = ϕ M, w = ϕ ψ sii M, w = ϕ and M, w = ψ M, w = R ϕ sii w W s.t. R M (w, w ) and M, w = ϕ M, w = [R]ϕ sii w W, R M (w, w ) implies M, w = ϕ R ϕ: Algún R-sucesor satisface ϕ. [R]ϕ: Todos los R-sucesores satisfacen ϕ.
15 Qué son HL? PE y Complejidad Ejemplo Conclusiones Lógicas Modales Lógicas Híbridas Fragmentos de LPO: La Traducción Standard Traducción Standard La traducción Standard ST lleva fórmulas modales a fórmulas de LPO (en la signatura adecuada): ST x (p i ) := P i (x)
16 Qué son HL? PE y Complejidad Ejemplo Conclusiones Lógicas Modales Lógicas Híbridas Fragmentos de LPO: La Traducción Standard Traducción Standard La traducción Standard ST lleva fórmulas modales a fórmulas de LPO (en la signatura adecuada): ST x (p i ) := P i (x) ST x ( ϕ) := ST x (ϕ) ST x (ϕ 1 ϕ 2 ) := ST x (ϕ 1 ) ST x (ϕ 2 )
17 Qué son HL? PE y Complejidad Ejemplo Conclusiones Lógicas Modales Lógicas Híbridas Fragmentos de LPO: La Traducción Standard Traducción Standard La traducción Standard ST lleva fórmulas modales a fórmulas de LPO (en la signatura adecuada): ST x (p i ) := P i (x) ST x ( ϕ) := ST x (ϕ) ST x (ϕ 1 ϕ 2 ) := ST x (ϕ 1 ) ST x (ϕ 2 ) ST x ( r i ϕ) := y.(r i (x, y) ST y (ϕ)) ST x ([r i ]ϕ) := y.(r i (x, y) ST y (ϕ)) (donde y es una variable nueva)
18 Qué son HL? PE y Complejidad Ejemplo Conclusiones Lógicas Modales Lógicas Híbridas Fragmentos de LPO: La Traducción Standard Traducción Standard La traducción Standard ST lleva fórmulas modales a fórmulas de LPO (en la signatura adecuada): ST x (p i ) := P i (x) ST x ( ϕ) := ST x (ϕ) ST x (ϕ 1 ϕ 2 ) := ST x (ϕ 1 ) ST x (ϕ 2 ) ST x ( r i ϕ) := y.(r i (x, y) ST y (ϕ)) ST x ([r i ]ϕ) := y.(r i (x, y) ST y (ϕ)) (donde y es una variable nueva) Para todo ϕ y todo M, w: M, w = ϕ sii M = ST x (ϕ)[x := w]
19 Qué son HL? PE y Complejidad Ejemplo Conclusiones Lógicas Modales Lógicas Híbridas Lógicas Modales Example loves relation carol alice bob mary Query: Alguien ama a algun solitario/a? En Modal: ϕ := loves [loves]
20 Qué son HL? PE y Complejidad Ejemplo Conclusiones Lógicas Modales Lógicas Híbridas Lógicas Modales Example loves relation carol alice bob mary Query: Alguien ama a algun solitario/a? En Modal: ϕ := loves [loves] ST x (ϕ) := y.(loves(x, y) z.(loves(y, z) ))
21 Qué son HL? PE y Complejidad Ejemplo Conclusiones Lógicas Modales Lógicas Híbridas Los Límites de la Expresividad Modal Ciertas propiedades no pueden expresarse en el lenguaje modal básico... loves relation carol alice bob mary Query: Ama Frank a Alice? Query: Hay alguien que se quiera a sí mismo? Query: Hay dos personas que se quieran entre ellas?
22 Qué son HL? PE y Complejidad Ejemplo Conclusiones Lógicas Modales Lógicas Híbridas Los Límites de la Expresividad Modal Ciertas propiedades no pueden expresarse en el lenguaje modal básico... loves relation carol alice bob mary Query: Ama Frank a Alice? Query: Hay alguien que se quiera a sí mismo? Query: Hay dos personas que se quieran entre ellas? Que hace falta? 1 constantes 2 igualdades
23 Qué son HL? PE y Complejidad Ejemplo Conclusiones Lógicas Modales Lógicas Híbridas Los Límites de la Expresividad Modal Ciertas propiedades no pueden expresarse en el lenguaje modal básico... loves relation carol alice bob mary Query: Ama Frank a Alice? Query: Hay alguien que se quiera a sí mismo? Query: Hay dos personas que se quieran entre ellas? Que hace falta? 1 constantes 2 igualdades Estas limitaciones motival el trabajo en Lógicas Híbridas
24 Qué son HL? PE y Complejidad Ejemplo Conclusiones Lógicas Modales Lógicas Híbridas La Lógica Híbrida H(@) La Receta Básica lógica modal básica
25 Qué son HL? PE y Complejidad Ejemplo Conclusiones Lógicas Modales Lógicas Híbridas La Lógica Híbrida H(@) La Receta Básica lógica modal básica + nominales un nuevo sort de átomos
26 Qué son HL? PE y Complejidad Ejemplo Conclusiones Lógicas Modales Lógicas Híbridas La Lógica Híbrida H(@) La Receta Básica lógica modal básica + nominales un nuevo sort de átomos el operador at
27 Qué son HL? PE y Complejidad Ejemplo Conclusiones Lógicas Modales Lógicas Híbridas La Lógica Híbrida H(@) La Receta Básica lógica modal básica + nominales un nuevo sort de átomos el operador at H(@) la lógica híbrida básica
28 Qué son HL? PE y Complejidad Ejemplo Conclusiones Lógicas Modales Lógicas Híbridas La Lógica Híbrida H(@) La Receta Básica lógica modal básica + nominales un nuevo sort de átomos el operador at H(@) la lógica híbrida básica Los nominales denotan elementos (nodos) en el i ϕ es verdadera sii ϕ es cierta en el elemento denotado por i
29 Qué son HL? PE y Complejidad Ejemplo Conclusiones El Lenguaje H(@) La Lógica Híbrida H(@, ) La Lógica Híbrida H(@) Sintaxis: FORM := p i ϕ ϕ 1 ϕ 2 R ϕ i ϕ, i NOM
30 Qué son HL? PE y Complejidad Ejemplo Conclusiones El Lenguaje H(@) La Lógica Híbrida H(@, ) La Lógica Híbrida H(@) Sintaxis: FORM := p i ϕ ϕ 1 ϕ 2 R ϕ i ϕ, i NOM Semántica: Restringir la valuación V de modo que V (i) es un conjunto unitario para i NOM. Definimos M, w = i sii w V (i) (sii V (i) = {w}) M, w i ϕ sii M, w = ϕ for w V (i)
31 Qué son HL? PE y Complejidad Ejemplo Conclusiones El Lenguaje H(@) La Lógica Híbrida H(@, ) La Lógica Híbrida H(@) Sintaxis: FORM := p i ϕ ϕ 1 ϕ 2 R ϕ i ϕ, i NOM Semántica: Restringir la valuación V de modo que V (i) es un conjunto unitario para i NOM. Definimos M, w = i sii w V (i) (sii V (i) = {w}) M, w i ϕ sii M, w = ϕ for w V (i) Extensión de ST x a H(@) ST x (i) := x = i ST x (@ i ϕ) := x.(x = i ST x (ϕ))
32 Qué son HL? PE y Complejidad Ejemplo Conclusiones El Lenguaje H(@) La Lógica Híbrida H(@, ) Poder Expresivo de H(@) Example loves relation carol alice bob mary Query: Hay dos personas que se quieren entre ellas? En H(@): ϕ f loves m loves f m
33 Qué son HL? PE y Complejidad Ejemplo Conclusiones El Lenguaje H(@) La Lógica Híbrida H(@, ) Poder Expresivo de H(@) Example loves relation carol alice bob mary Query: Hay dos personas que se quieren entre ellas? En H(@): ϕ f loves m loves f m ST x (ϕ) := loves(f, m) loves(m, f ) (f = m)
34 Qué son HL? PE y Complejidad Ejemplo Conclusiones El Lenguaje H(@) La Lógica Híbrida H(@, ) Poder Expresivo de H(@) Example loves relation carol alice bob mary Query: Hay dos personas que se quieren entre ellas? En H(@): ϕ f loves m loves f m ST x (ϕ) := loves(f, m) loves(m, f ) (f = m) Para i, j, k i i
35 Qué son HL? PE y Complejidad Ejemplo Conclusiones El Lenguaje H(@) La Lógica Híbrida H(@, ) Poder Expresivo de H(@) Example loves relation carol alice bob mary Query: Hay dos personas que se quieren entre ellas? En H(@): ϕ f loves m loves f m ST x (ϕ) := loves(f, m) loves(m, f ) (f = m) Para i, j, k i i j i
36 Qué son HL? PE y Complejidad Ejemplo Conclusiones El Lenguaje H(@) La Lógica Híbrida H(@, ) Poder Expresivo de H(@) Example loves relation carol alice bob mary Query: Hay dos personas que se quieren entre ellas? En H(@): ϕ f loves m loves f m ST x (ϕ) := loves(f, m) loves(m, f ) (f = m) Para i, j, k i i j i j i k
37 Qué son HL? PE y Complejidad Ejemplo Conclusiones El Lenguaje H(@) La Lógica Híbrida H(@, ) Poder Expresivo de H(@) Example loves relation carol alice bob mary Query: Hay dos personas que se quieren entre ellas? En H(@): ϕ f loves m loves f m ST x (ϕ) := loves(f, m) loves(m, f ) (f = m) Para i, j, k i i j i j i i j (@ i j ϕ)
38 Qué son HL? PE y Complejidad Ejemplo Conclusiones El Lenguaje H(@) La Lógica Híbrida H(@, ) Algunas Propiedades de H(@) Complejidad: Todavía PSpace-complete
39 Qué son HL? PE y Complejidad Ejemplo Conclusiones El Lenguaje H(@) La Lógica Híbrida H(@, ) Algunas Propiedades de H(@) Complejidad: Todavía PSpace-complete Pero K t + 1 nominal es ExpTime-complete!
40 Qué son HL? PE y Complejidad Ejemplo Conclusiones El Lenguaje H(@) La Lógica Híbrida H(@, ) Algunas Propiedades de H(@) Complejidad: Todavía PSpace-complete Pero K t + 1 nominal es ExpTime-complete! Se pierde la "Tree Model Property"
41 Qué son HL? PE y Complejidad Ejemplo Conclusiones El Lenguaje H(@) La Lógica Híbrida H(@, ) Algunas Propiedades de H(@) Complejidad: Todavía PSpace-complete Pero K t + 1 nominal es ExpTime-complete! Se pierde la "Tree Model Property" i j Pero preservamos una forest model property: k l m
42 Qué son HL? PE y Complejidad Ejemplo Conclusiones El Lenguaje H(@) La Lógica Híbrida H(@, ) Algunas Propiedades de H(@) Complejidad: Todavía PSpace-complete Pero K t + 1 nominal es ExpTime-complete! Se pierde la "Tree Model Property" i j Pero preservamos una forest model property: k l m El µ-calculus híbrido con operador de pasado y modalidad universal es ExpTime-complete, y la demostración usa tree-automatas.
43 Qué son HL? PE y Complejidad Ejemplo Conclusiones El Lenguaje H(@) La Lógica Híbrida H(@, ) La Lógica Híbrida H(@, ) Agregar un tercer conjunto VAR de símbolso atómicos (variables)
44 Qué son HL? PE y Complejidad Ejemplo Conclusiones El Lenguaje H(@) La Lógica Híbrida H(@, ) La Lógica Híbrida H(@, ) Agregar un tercer conjunto VAR de símbolso atómicos (variables) Dado un modelo M = W, {R M R REL}, V, sea g : VAR W una asignación para M. Interpretar las variables de VAR como: M, g, w = x sii g(x) = w
45 Qué son HL? PE y Complejidad Ejemplo Conclusiones El Lenguaje H(@) La Lógica Híbrida H(@, ) La Lógica Híbrida H(@, ) Agregar un tercer conjunto VAR de símbolso atómicos (variables) Dado un modelo M = W, {R M R REL}, V, sea g : VAR W una asignación para M. Interpretar las variables de VAR como: M, g, w = x sii g(x) = w Agregar binders. E.g., con la siguiente semántica: M, g, w = x.ϕ sii M, g x w, w = ϕ donde g x w(x) = w y g x w = g si no
46 Qué son HL? PE y Complejidad Ejemplo Conclusiones El Lenguaje H(@) La Lógica Híbrida H(@, ) La Lógica Híbrida H(@, ) Agregar un tercer conjunto VAR de símbolso atómicos (variables) Dado un modelo M = W, {R M R REL}, V, sea g : VAR W una asignación para M. Interpretar las variables de VAR como: M, g, w = x sii g(x) = w Agregar binders. E.g., con la siguiente semántica: M, g, w = x.ϕ sii M, g x w, w = ϕ donde g x w(x) = w y g x w = g si no Extensión de ST x a H(@, ) ST x (x i ) := x = x i ST x ( x i.ϕ) := x i.(x i = x ST x (ϕ))
47 Qué son HL? PE y Complejidad Ejemplo Conclusiones El Lenguaje H(@) La Lógica Híbrida H(@, ) Example loves relation carol bob Query: Hay alguien que se quiera a sí mismo? alice mary En H(@, ): ϕ := x i. loves x i
48 Qué son HL? PE y Complejidad Ejemplo Conclusiones El Lenguaje H(@) La Lógica Híbrida H(@, ) Example loves relation carol bob Query: Hay alguien que se quiera a sí mismo? alice mary En H(@, ): ϕ := x i. loves x i ST x (ϕ) := x i.((x = x i ) y.(loves(x, y) y = x i )) = loves(x, x)
49 Qué son HL? PE y Complejidad Ejemplo Conclusiones El Lenguaje H(@) La Lógica Híbrida H(@, ) Example loves relation carol bob Query: Hay alguien que se quiera a sí mismo? alice mary En H(@, ): ϕ := x i. loves x i ST x (ϕ) := x i.((x = x i ) y.(loves(x, y) y = x i )) = loves(x, x) Para x VAR: x.x
50 Qué son HL? PE y Complejidad Ejemplo Conclusiones El Lenguaje H(@) La Lógica Híbrida H(@, ) Example loves relation carol bob Query: Hay alguien que se quiera a sí mismo? alice mary En H(@, ): ϕ := x i. loves x i ST x (ϕ) := x i.((x = x i ) y.(loves(x, y) y = x i )) = loves(x, x) Para x VAR: x.x x.ϕ x. ϕ
51 Qué son HL? PE y Complejidad Ejemplo Conclusiones El Lenguaje H(@) La Lógica Híbrida H(@, ) Example loves relation carol bob Query: Hay alguien que se quiera a sí mismo? alice mary En H(@, ): ϕ := x i. loves x i ST x (ϕ) := x i.((x = x i ) y.(loves(x, y) y = x i )) = loves(x, x) Para x VAR: x.x x.ϕ x. ϕ x.( R (ϕ x) ϕ)
52 Qué son HL? PE y Complejidad Ejemplo Conclusiones El Lenguaje H(@) La Lógica Híbrida H(@, ) Algunas Propiedades de H(@, ) Una lógica con muy buen comportamiento teórico: simple axiomatización, buena teoría de modelos, etc.
53 Qué son HL? PE y Complejidad Ejemplo Conclusiones El Lenguaje H(@) La Lógica Híbrida H(@, ) Algunas Propiedades de H(@, ) Una lógica con muy buen comportamiento teórico: simple axiomatización, buena teoría de modelos, etc. Muy Expresiva: Equivalente al Bounded Fragment de LPO
54 Qué son HL? PE y Complejidad Ejemplo Conclusiones El Lenguaje H(@) La Lógica Híbrida H(@, ) Algunas Propiedades de H(@, ) Una lógica con muy buen comportamiento teórico: simple axiomatización, buena teoría de modelos, etc. Muy Expresiva: Equivalente al Bounded Fragment de LPO Ya la lógica modal básica + es indecidible
55 Qué son HL? PE y Complejidad Ejemplo Conclusiones Un Ejemplo Interesante Consideremos un sistema de alarma. Queremos verificar la propiedad de que siempre que la alarma suena, haya antes habido algún problema en el sistema.
56 Qué son HL? PE y Complejidad Ejemplo Conclusiones Un Ejemplo Interesante Consideremos un sistema de alarma. Queremos verificar la propiedad de que siempre que la alarma suena, haya antes habido algún problema en el sistema. [F](alarma P problema)
57 Qué son HL? PE y Complejidad Ejemplo Conclusiones Un Ejemplo Interesante Consideremos un sistema de alarma. Queremos verificar la propiedad de que siempre que la alarma suena, haya antes habido algún problema en el sistema. [F](alarma P problema) Agregemos un botón de reset (para apagar la alarma). Queremos verificar ahora que si la alarma suena, haya antes habido algún problema a partir del ultimo reset.
58 Qué son HL? PE y Complejidad Ejemplo Conclusiones Un Ejemplo Interesante Consideremos un sistema de alarma. Queremos verificar la propiedad de que siempre que la alarma suena, haya antes habido algún problema en el sistema. [F](alarma P problema) Agregemos un botón de reset (para apagar la alarma). Queremos verificar ahora que si la alarma suena, haya antes habido algún problema a partir del ultimo reset. [F](reset [F](alarma P problema)) (?)
59 Qué son HL? PE y Complejidad Ejemplo Conclusiones Un Ejemplo Interesante Consideremos un sistema de alarma. Queremos verificar la propiedad de que siempre que la alarma suena, haya antes habido algún problema en el sistema. [F](alarma P problema) Agregemos un botón de reset (para apagar la alarma). Queremos verificar ahora que si la alarma suena, haya antes habido algún problema a partir del ultimo reset. [F](reset [F](alarma P problema)) (?) El sistema no puede olvidar la ocurrencia de un problema.
60 Qué son HL? PE y Complejidad Ejemplo Conclusiones Un Ejemplo Interesante Consideremos un sistema de alarma. Queremos verificar la propiedad de que siempre que la alarma suena, haya antes habido algún problema en el sistema. [F](alarma P problema) Agregemos un botón de reset (para apagar la alarma). Queremos verificar ahora que si la alarma suena, haya antes habido algún problema a partir del ultimo reset. [F](reset [F](alarma P problema)) (?) El sistema no puede olvidar la ocurrencia de un problema. [F] x.(reset [F](alarma P (problema P x)))
61 Qué son HL? PE y Complejidad Ejemplo Conclusiones Conclusiones Lo que hicimos: Algoritmos eficientes de razonamiento para lógicas híbridas (tableaux, resolución, etc.) Nuevas optimizaciones y estrategias Implementaciones (htab, HyLoRes) Extensiones (Memory Logics) Model Checking
62 Qué son HL? PE y Complejidad Ejemplo Conclusiones Conclusiones Lo que hicimos: Algoritmos eficientes de razonamiento para lógicas híbridas (tableaux, resolución, etc.) Nuevas optimizaciones y estrategias Implementaciones (htab, HyLoRes) Extensiones (Memory Logics) Model Checking Lo que falta hacer: Una perspectiva algebraica Testing en Aplicaciones
63 Qué son HL? PE y Complejidad Ejemplo Conclusiones Conclusiones Lo que hicimos: Algoritmos eficientes de razonamiento para lógicas híbridas (tableaux, resolución, etc.) Nuevas optimizaciones y estrategias Implementaciones (htab, HyLoRes) Extensiones (Memory Logics) Model Checking Lo que falta hacer: Una perspectiva algebraica Testing en Aplicaciones Para mas información: Hybrid Logics Web InToHyLo
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