Introducción a la Lógica de Primer Orden

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Yolanda Aranda Flores
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1 Introducción a la Lógica de Primer Orden Mara Manzano USAL Curso Mara Manzano (USAL) LPO Curso / 15

2 1 Introducción 2 Análisis lógico del lenguaje natural 3 Lenguaje formal LPO 4 Inducción y Recursión 5 Formalización Mara Manzano (USAL) LPO Curso / 15

3 Introducción Objetivos compartidos con la lógica proposicional: 1 Lógica = estudio de la consecuencia (razonamientos válidos o correctos) 2 Lógica = estudio de los conjuntos de creencias consistentes 3 Lógica = Gramática + Semántica (+ Cálculo) Nuevo: aumento capacidad expresiva 1 Se analizan los enunciados atómicos 2 Aparecen los cuanti cadores Mara Manzano (USAL) LPO Curso / 15

4 Por qué necesitamos la Lógica de Primer Orden? α = Sólo los niños y los borrachos dicen la verdad. β = María Manzano no es una borracha ni es una niña. LUEGO: γ = María Manzano miente. En lógica proposicional α, β y γ se formalizan como letras proposicionales (por ejemplo, p, q y r) y por lo tanto fp, qg 2 r En un lenguaje de primer orden se podría formalizar: α 8x(:Mx! (Bx _ Nx)) β :Ba ^ :Na LUEGO: γ Ma VAL(PL) VAL(FOL) La lógica de primer orden contiene a la proposicional VAL(PL) VAL(FOL) Pero es más potente. Mara Manzano (USAL) LPO Curso / 15

5 Análisis lógico del lenguaje natural Términos I Pequeño recorrido por el mundo subatómico. Designadores. Segmentos de la cadena sonora que se re eren (o designan) a un individuo. 1 nombres propios son los más cortos, sencillos, unívocos e independientes del contexto y constituyen el paradigma de designador. 2 pronombres personales yo, mi, me, etc. también son designadores, pero no son independientes del contexto. 3 deícticos son también designadores, actúan señalando al objeto al que se re eren en un entorno conocido. Mara Manzano (USAL) LPO Curso / 15

6 Análisis lógico del lenguaje natural Términos II Functores. Expresiones lingüísticas que junto a designadores constituyen un designador. 1 Un functor que sólo requiere de un designador para formar un nuevo designador es un functor monádico o unario. 2 Cuando hacen falta dos designadores para formar un designador, se trata de un functor binario. 3 En general, cuando hacen falta n designadores para formar un designador, el functor es n ario. Mara Manzano (USAL) LPO Curso / 15

7 Análisis lógico del lenguaje natural Sentencias I Las sentencias son expresiones lingüísticas de las que tenga sentido preguntarse si son verdaderas o falsas. Esto es, los enunciados aseverativos de la lengua natural, que se componen entre sí para formar enunciados complejos exactamente igual que en la lógica proposicional. Relatores. Los relatores se parecen a los functores porque también combinan designadores, pero aquí el resultado es una sentencia. 1 Un relator que sólo requiere de un designador para formar un enunciado es un relator monádico o unario. 2 Cuando hacen falta dos designadores para formar una sentencia, se trata de un relator binario. 3 En general, cuando hacen falta n designadores para formar un enunciado, el relator es n ario. Mara Manzano (USAL) LPO Curso / 15

8 Análisis lógico del lenguaje natural Sentencias II Conectores. Usamos los mismos conectores que en la lógica proposicional : ^ _! $ y con el mismo signi cado que allí. Variables. Las variables constituyen un recurso muy útil a la hora de formalizar enunciados complejos, especialmente como vehículo de cuanti cación. Cuanti cadores. Las expresiones lingüísticas que nos sirven para decir algo de todos los objetos de una determinada clase son los cuanti cadores universales, los cuanti cadores existenciales se emplean para destacar que al menos un objeto tiene una cierta propiedad. Mara Manzano (USAL) LPO Curso / 15

9 Lenguaje formal LPO Alfabeto El alfabeto de un lenguaje cualquiera L 1 de lógica de primer orden contiene dos tipos de signos: los comunes a todos los lenguajes de primer orden: 1 conectores :, _, ^,!, $, 2 los cuanti cadores 8 y 9 3 las variables individuales x, y, z, u, v, w, x 0, x 1, x 2,..., y 0, y 1, y 2,... 4 y la igualdad = los peculiares de cada lenguaje de primer orden: 1 relatores R n, S n, T n, R0 n, Rn 1, Rn 2,... como relatores n-arios, 2 los functores f n, g n, h n, f0 n, f 1 n, f 2 n,... como functores n-arios 3 las constantes individuales a, b, c, a 0, a 1, a 2,... Mara Manzano (USAL) LPO Curso / 15

10 Lenguaje formal LPO Términos De nition El conjunto de los términos de L 1 al que llamamos TERM(L 1 ), o simplemente TERM es el menor conjunto que se puede generar mediante las reglas: Paso Básico: (T1) Las variables y constantes individuales son términos. Paso Inductivo: (T2) Si τ 1,..., τ n son términos, f n τ 1...τ n es un término. (También podemos escribir, f n (τ 1,..., τ n )). Mara Manzano (USAL) LPO Curso / 15

11 Lenguaje formal LPO Fórmulas De nition El conjunto de las fórmulas de L 1 (al que llamamos FORM(L 1 ), o simplemente FORM, cuando esté claro por el contexto) es el menor conjunto que se puede generar a partir de las reglas siguientes: Paso Básico: (F1) Si τ 1,..., τ n son términos, R n τ 1...τ n es una fórmula. (También podemos escribir, R n (τ 1,..., τ n ).) en especial: Si τ 1 y τ 2 son términos, τ 1 = τ 2 es una fórmula. Pasos Inductivos: (F2) Si A y B son fórmulas, también lo son: :A, (A ^ B), (A _ B), (A! B), (A $ B). Pasos Inductivos: (F3) Si A es una fórmula, también lo son: 8xA y 9xA. Mara Manzano (USAL) LPO Curso / 15

12 Demostraciones por inducción semiótica Términos y Fórmulas Si queremos demostrar que todos los términos tienen una determinada propiedad, tenemos que demostrarlo en dos pasos: Paso Básico: (1) Todos los términos atómicos la tienen. Pasos inductivos: (2) Los términos complejos la heredan de sus componentes. Si queremos demostrar que todas las fórmulas de primer orden tienen una determinada propiedad, tenemos que demostrarlo en tres pasos: Paso Básico: (1) Todas las fórmulas atómicas la tienen. Paso Inductivo: (2) Las fórmulas compuestas la heredan de sus componentes, si se usan conectores. Paso Inductivo: (3) Las fórmulas compuestas, obtenidas con cuanti cadores la heredan de sus componentes. Mara Manzano (USAL) LPO Curso / 15

13 De niciones recursivas para primer orden Si queremos de nir un concepto para todos los términos, tenemos que de nirlo en dos pasos: Paso Básico: (1) Lo de nimos para todos los términos atómicos Pasos Inductivos: (2) Lo de nimos para términos functoriales en función de sus componentes Si queremos de nir un concepto para todas las fórmulas, tenemos que de nirlo en tres pasos: Paso Básico: (1) Lo de nimos para fórmulas atómicas. Pasos Inductivos: (2) Se de ne para las fórmulas compuestas en función de sus componentes, si se usan conectores. Pasos Inductivos: (3) Se de ne para fórmulas cuanti cadas en función de la de nición hecha para el núcleo. Mara Manzano (USAL) LPO Curso / 15

14 Formalización Las cinco primeras son como en LP, las otras dos son nuevas 1 Negación. La negación de un enunciado verdadero será falsa y la de uno falso será verdadera. 2 Conjunción. La conjunción de dos enunciados es verdadera si y sólo si ambos lo son. 3 Disyunción. La disyunción de dos enunciados es verdadera si al menos uno de ellos lo es. 4 Condicional. Un enunciado condicional es falso cuando el antecedente es verdadero y el consecuente falso, en el resto de los casos es verdadero. 5 Bicondicional. Un enunciado bicondicional es verdadero cuando y sólo cuando sus dos miembros son simultáneamente verdaderos o falsos. 6 Generalización. Una generalización es verdadera cuando se veri ca para todos los individuos del universo. 7 Particularización. Una particularización es verdadera cuando se veri ca para al menos un individuo del universo. Mara Manzano (USAL) LPO Curso / 15

15 Formalización Lanzarote del Lago Universo de discurso: personajes de la novela de Chrétien de Troyes a := Arturo i := Ginebra e := Lanzarote Axy := x es amigo de y Qxy := x ama a y Oxy := x odiar a y Lanzarote ama a la reina Ginebra, pero ella no ama a todos los que la aman. Qei ^ :8x (Qxi! Qix) Lanzarote no ama a ninguno de sus amigos. 8x (Axe! :Qex) Los amigos de Lanzarote odian a aquellos a quienes Arturo ama. 8x (Axe! 8y (Qay! Oxy)) Mara Manzano (USAL) LPO Curso / 15

16 Formalización Tragicomedia de Calisto y Melibea Universo de discurso: a := Calisto e := Melibea i := Segismundo Todo (Seres humanos y tiempo están incluidos) Px : x es una persona Tx : x es un instante de tiempo Axyz : x ama a y en el instante z En lógica temporal la formalización sería más directa, aquí lo que hacemos es tomar un universo de discurso que incluye el tiempo. a. Alguna vez amó Calisto a Melibea 9x(Tx ^ Aaex) b. El amor de Melibea por Calisto fue siempre correspondido 8x (Tx! (Aeax! Aaex)) c. Melibea no amaba a Calisto en el mismo instante en que Calisto amaba a Melibea 9x(Tx ^ :Aeax ^ Aaex) Mara Manzano (USAL) LPO Curso / 15

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