Lenguaje Lógica Proposicional

Transcripción

1 Lenguaje Lógica Proposicional María Manzano Universidad de Salamanca Curso María Manzano (Universidad de Salamanca) LP Curso / 18

2 1 Introducción 2 Gramática 3 Forma lógica 4 Formalización 5 El mundo de Tarski María Manzano (Universidad de Salamanca) LP Curso / 18

3 Introducción Objetivos I adquisición de un lenguaje arti cial I formalización enunciados del español Características 1. uso declarativo del lenguaje 2. preciso, carente por completo de ambigüedad 3. de conectores 4. LP lógica proposicional fórmulas atómicas sin cuanti cadores 5. conectores como funciones veritativas (booleanos) 5. falso signi ca no verdadero 6. bivalente María Manzano (Universidad de Salamanca) LP Curso / 18

4 Cómo se construye un lenguaje formal? Alfabeto El alfabeto contiene 1. conectores: :, _, ^,!, $ 2. letras proposicionales: p, q, r, s,..., p 1, p 2, paréntesis. Fórmulas: Se construyen mediante reglas De nition FORM(L 0 ) es el menor conjunto que se puede generar mediante Paso Básico: F1. Las letras proposicionales son fórmulas. Pasos Inductivos: F2. Si A y B son fórmulas, también lo son: :A, (A ^ B), (A _ B), (A! B), (A $ B). María Manzano (Universidad de Salamanca) LP Curso / 18

5 Example Es una fórmula (((p ^ :p) _ r)! r)? VERDADERO La demostración es como sigue: 1. p 2 FORM F 1 2 r 2 FORM F 1 3. :p 2 FORM F 2 en 1 4. (p ^ :p) 2 FORM F 2 en 1 y 3 5. ((p ^ :p) _ r) 2 FORM F 2 en 2 y 4 6. (((p ^ :p) _ r)! r) 2 FORM F 2 en 5 y 2 María Manzano (Universidad de Salamanca) LP Curso / 18

6 Forma lógica Las fórmulas de nuestro lenguaje L 0 que no son atómicas tienen cinco formas lógicas posibles: negaciones, conjunciones, disyunciones, condicionales y bicondicionales. En un condicional Forma lógica Denominación :A negación (A ^ B) conjunción (A _ B) disyunción (A! B) condicional (A $ B) bicondicional (A! B) la fórmula A es el antecedente y B el consecuente. María Manzano (Universidad de Salamanca) LP Curso / 18

7 Ejemplos Son fórmulas todas las sucesiones nitas de signos del alfabeto? Solution Por supuesto que no, debe ser conforme a las reglas F1 y F2. Example Sin alterar el orden de los signos, transformad las sucesiones de signos siguientes en fórmulas cuya forma lógica sea un condicional, utilizando paréntesis cuando sea necesario. 1. p! r $ q (p! (r $ q)) 2. p _ r! q _ r ((p _ r)! (q _ r)) María Manzano (Universidad de Salamanca) LP Curso / 18

8 Subfórmulas Mediante árbol genealógico Example p q (p _ q) r p q j j :p :q ((p _ q)! r) (:p ^ :q) (((p _ q)! r) $ (:p ^ :q)) El conjunto de las subfórmulas es (((p _ q)! r) $ (:p ^ :q)), ((p _ q)! r), (:p ^ :q), (p _ q), r, :p, :q, p, q María Manzano (Universidad de Salamanca) LP Curso / 18

9 Convenciones sobre notación Abreviaturas usaremos los signos? y > para lo falso y lo verdadero : Reglas eliminación de paréntesis? : = p ^ :p > : = p _ :p 1 paréntesis externos pueden suprimirse 2 conyuntor y disyuntor unen más que condicionador y bicondicionador 3 conjunción o disyunción iterada puede escribirse sin paréntesis 4 otros signos : ^ _! $ & g = María Manzano (Universidad de Salamanca) LP Curso / 18

10 Condicional Example Cartas LEY Si hay una vocal por una cara, por la otra hay un número par. A cuántas cartas tengo que darle la vuelta para estar completamente segura de que la ley se cumple? 2 1 A B Figura: Las cartas sobre la mesa María Manzano (Universidad de Salamanca) LP Curso / 18

11 Formalización I Al formalizar pretendemos: 1 claves de formalización de enunciados atómicos: asignarles letras p, q, r, 2 fórmula del lenguaje formal cuya retrotraducción al castellano, usando las mismas claves de formalización, sea verdadera en los mismos casos que la original. En algunos casos se quiere también: 3 Re ejar, en lo posible, la estructura del enunciado que se formaliza. María Manzano (Universidad de Salamanca) LP Curso / 18

12 Formalización II 1 Negación La negación de un enunciado verdadero será falsa y la de uno falso será verdadera. no no es cierto que no es verdad que nunca jamás 2 Conjunción La conjunción de dos enunciados es verdadera si y sólo si ambos lo son. y pero aunque sin embargo 3 Disyunción La disyunción que recoge nuestra conectiva es la llamada incluyente (o no excluyente) La disyunción de dos enunciados es verdadera si al menos uno de ellos lo es o a menos que a no ser que y/o María Manzano (Universidad de Salamanca) LP Curso / 18

13 Formalización III 1 Condicional Formalizamos (A! B) para indicar un enunciado condicional. En castellano usamos normalmente la expresión si A entonces B. Se usan también si A, B, B, si A, A es condición su ciente para B, B es condición necesaria para A, sólo si B, A. La interpretación que le daremos será la siguiente: Un enunciado condicional es falso cuando el antecedente es verdadero y el consecuente falso, en el resto de los casos es verdadero. 2 Bicondicional Un enunciado bicondicional es verdadero cuando y sólo cuando sus dos miembros son simultáneamente verdaderos o falsos. A es condición su ciente para B y que B es condición necesaria para A 3 Formalizaciones complejas. Se trata de combinar varios conectores. María Manzano (Universidad de Salamanca) LP Curso / 18

14 Tabla de verdad conectores Conectores binarios C D (C ^ D) (C _ D) (C! D) (C $ D) Los conectores binarios se interpretan como funciones binarias sobre el conjunto de los valores de verdad f1, 0g Conector monario C :C María Manzano (Universidad de Salamanca) LP Curso / 18

15 Tabla de verdad fórmulas cualesquiera p q r (p! (q! r))! ((p ^ q)! r) (p _ r)! :q María Manzano (Universidad de Salamanca) LP Curso / 18

16 Example Elegid la formalización adecuada (y/o sus equivalentes, si las hubiera). 1 Piensa mal (p) y acertarás (q). 2 Maui es un perro (p), no un peluche (q). 3 El SIDA es menos contagioso que la gripe (p), pero mucho más peligroso (q). 4 Sólo si tienen las alas en buen estado (p) pueden las mariposas volar (q). 5 Julia canta con Alba (p), sólo si tiene un público entusiasta (q) María Manzano (Universidad de Salamanca) LP Curso / 18

17 Example 1 Te regalaré el cuadro que te gusta (r) y viajaremos juntos a Ithamaracá (q) cuando me toque la lotería (s), o dejaré de llamarme Ernesto (p). 2 Yo trabajo (p) y me desvelo (q), por parecer que tengo de poeta (r) la gracia que no quiso darme el cielo (s). 3 Si eres tan listo como dices (p), sabrás traducir correctamente al lenguaje formal esta frase (q), pues te resultará sencillo (r) y disfrutarás haciéndolo (s). María Manzano (Universidad de Salamanca) LP Curso / 18

18 Example Dada la fórmula ((p ^ q)! r) y las claves de formalización siguientes: p := Noemí estudia piano q := Daniel toca el trombón r := su madre sale de compras elegid su (o sus) adecuada expresión en castellano. 1. Sólo si sale su madre de compras toca Noemí el piano y Daniel el trombón. 2. Es su ciente que Noemí estudie piano y Daniel toque el trombón para que su madre salga de compras. 3. Siempre que Noemí estudia piano y Daniel toca el trombón, su madre sale de compras. 4. Noemí toca el piano y Daniel el trombón sólo si su madre sale de compras. 5. Es necesario que Noemí estudie piano y Daniel toque el trombón para que su madre salga de compras. María Manzano (Universidad de Salamanca) LP Curso / 18

19 El mundo de Tarski Cuando se aprende una segunda lengua se pueden seguir dos métodos muy diferentes: Utilizar la lengua propia y hacer traducciones directas e inversas hacia la nueva. Aprender a usarla sin mediación de la lengua natural. Estas consideraciones llevaron a los autores de El mundo de Tarski, Barwise y Etchemendy, a concebir el mencionado programa, en el que el aprendizaje del lenguaje formal es directo. María Manzano (Universidad de Salamanca) LP Curso / 18