Los modelos abstractos de cómputo. Tema 1: Introducción. El modelo transductor. El modelo reconocedor. ordenador. datos. Modelo Abstracto de Cómputo

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1 Tema 1: Introducción Preliminares Los Modelos Abstractos de Cómputo El principio de inducción Palabras y Lenguajes Palabras Operadores sobre palabras Predicados sobre palabras Lenguajes Operadores sobre lenguajes Gramáticas y Autómatas La gramática de los programas while Autómata que reconoce números en coma flotante 1 ordenador Modelo Abstracto de Cómputo Los modelos abstractos de cómputo datos Lenguaje Tema 1: Preliminares 2 El modelo transductor El modelo reconocedor Botón de accionamiento Botón de accionamiento Entradas Σ Modelo Transductor Transforma entradas en salidas Salida Σ Entrada Σ Modelo Reconocedor Ante una entrada devuelve un valor booleano Salida True=acepta la entrada False=rechaza la entrada salida = f(entradas) L( M ) = { x * : M acepta la entrada x} Tema 1: Preliminares 3 Tema 1: Preliminares 4

2 El modelo generador El principio de inducción Botón de accionamiento Definición de un conjunto A por inducción Modelo Generador: cada vez que se acciona el botón se produce una palabra en la salida. Salida Σ PASO BÁSICO: determinamos un conjunto finito de elementos que por axioma pertenecen a A e 1 A,..., e n A PASO DE INDUCCIÓN: disponemos de un conjunto finito de operaciones constructoras f 1,...,f m que permiten definir los nuevos elementos de A por etapas L( M ) = { x * : M produce alguna vezx en la salida } x 1,..., x j,..., x k A f 1 (x 1,...,x j ) A,..., f m (x 1,...,x k ) A Tema 1: Preliminares 5 Tema 1: Preliminares 6 Naturales N PASO BASICO: 0 N PASO DE INDUCCION: x N suc(x) N suc: N N es la función constructora sucesor que suma 1 a un natural Enteros Z PASO BASICO: 0 Z PASO DE INDUCCION: x Z suc(x) Z x Z pred(x) Z suc: Z Z es la función constructora sucesor que suma 1 a un entero pred: Z Z es la función constructora predecesor que resta 1 a un entero Tema 1: Preliminares 7 Inducción sobre los naturales: Definición de operadores Definición inductiva de operadores sobre N Operador unario: función g: N C, PASO BÁSICO: definimos g(0) PASO DE INDUCCIÓN: para cualquier x N, definimos g(suc(x))=h(g(x)) Operador binario: función g: N N C PASO BÁSICO: para cualquier x N, definimos g(x,0) PASO DE INDUCCIÓN: para cualesquiera x,y N, definimos g(x,suc(y))=f(g(x,y)) funciones apropiadas Tema 1: Preliminares 8

3 Inducción sobre los naturales: Demostración de predicados Operador unario: función g: N N, g(x)=x+3 PASO BÁSICO? PASO DE INDUCCIÓN? Queremos demostrar que para todos los naturales mayores o iguales que el natural i se cumple una propiedad P x i : P ( x) Operador binario: función g: N N N, g(x,y) = x+y PASO BÁSICO: Demostrar que se cumple P(i) PASO BÁSICO? PASO DE INDUCCIÓN? PASO DE INDUCCIÓN: a) Hipótesis de inducción: suponer que para b) Demostrar que también se cumple P( z +1) z i : P( z) Tema 1: Preliminares 9 Tema 1: Preliminares 10 Ejemplo de demostración por inducción Sea la sucesión de los números impares: n1 = 1, n 2 = 3, n3 = 5,..., nk = 2k 1, Se pide demostrar por inducción la siguiente propiedad: x 1 x : x p = 1 i n p = : P ( x x ) 2... Ejercicios de inducción Demostrar que para todo n 1 se cumplen las siguientes propiedades: - 6 n acaba en n n( n + 1) p = p = 1 2 n p = 1 (2p 1)3 p = ( n 1)3 n Tema 1: Preliminares 11 Tema 1: Preliminares 12

4 Palabras Alfabeto: cualquier conjunto finito y no vacío de símbolos 1 = {a, b, c} 2 = {0,1} Palabra (o cadena) sobre un alfabeto : secuencia finita de símbolos de - ε es la palabra vacía (representa una secuencia de 0 símbolos) - si w es una palabra sobre y s, entonces ws también es una palabra sobre El conjunto de todas las palabras sobre un alfabeto se denota Σ*, es la clausura del alfabeto. El conjunto de todas las palabras sobre un alfabeto excluyendo la vacía se denota Σ +, es la clausura positiva del alfabeto. Operadores sobre palabras Definición inductiva de operadores sobre Σ* Operador unario: función g: Σ* C, PASO BÁSICO: definimos g(ε) PASO DE INDUCCIÓN: w Σ*, s Σ, definimos g(ws)=h(g(w), s) Operador binario: función g: Σ* Σ* C PASO BÁSICO: w Σ*, definimos g(w, ε) PASO DE INDUCCIÓN: w Σ*, x Σ*, s Σ, definimos g(x,ws)=f(g(x,w), s) donde h y f son funciones apropiadas Tema 1: Palabras y lenguajes 13 Tema 1: Palabras y lenguajes 14 Operadores sobre palabras Operadores sobre palabras Sean Σ un alfabeto; x,w, y Σ* palabras; s, t Σ símbolos. La longitud de x es el número de símbolos que forman la palabra, se denota x y se define: si x = ε, entonces x = ε = 0 si x = ws, entonces x = ws = w +1 El número de apariciones de un símbolo t en x se denota x t y se define: si x = ε, entonces x t = ε t = 0 si x = ws con s t, entonces x t = ws t = w t si x = wt, entonces x t = wt t = w t +1 Sean Σ un alfabeto; x,w, y Σ* palabras; s, t Σ símbolos. La concatenación de dos palabras x e y se denota x y y es la palabra definida como: si y = ε, entonces x y = x si y = ws, entonces x y = x ws =(x w)s Añadimos a x los símbolos de y respetando el orden que tienen en ésta. Nota: Más adelante escribiremos xy por x y (si no hay confusión) Tema 1: Palabras y lenguajes 15 Tema 1: Palabras y lenguajes 16

5 Predicados sobre palabras Queremos demostrar que para todas las palabras de Σ* se cumple una propiedad P * x Σ : P ( x) Propiedades de la concatenación Sean Σ un alfabeto; x,w, y Σ* palabras; s, t Σ símbolos. Elemento neutro por la derecha: x Σ* se verifica x ε = x Trivial (definición inductiva de concatenación). PASO BÁSICO: demostrar que se cumple P(ε) Elemento neutro por la izquierda: x Σ* se verifica ε x = x PASO DE INDUCCIÓN: a) Hipótesis de inducción: suponer que para w Σ*: b) Demostramos que, para cualquier s Σ, también se cumple P(ws) P(w) Paso básico : se verifica ε ε = ε Trivial por definición de la concatenación. Paso de inducción: a) La hipótesis de inducción (H.I.) es suponer que ε w = w. b) Lo demostramos para x = ws. x = ws ε x = ε ws = def (ε w)s = H.I. ws = x Tema 1: Palabras y lenguajes 17 Tema 1: Palabras y lenguajes 18 Propiedades de la concatenación Mas ejemplos de operadores Sean Σ un alfabeto; x,w, y Σ* palabras; s, t Σ símbolos. La asociatividad: x, y, z Σ* se verifica (x y) z =x (y z) Demostración por inducción sobre z: Paso básico : (x y) ε = def x y = def x (y ε) Paso de inducción : a) La H.I. es suponer que (x y) w =x (y w) b) Si z = ws (x y) z=(x y) ws = def ((x y) w)s = H.I. (x (y w))s def =x (y w)s = def x (y ws)=x (y z) Sean Σ un alfabeto; x,w, y Σ* palabras; s, t Σ símbolos; n N número. La potencia n-ésima de x denotada por x n se define si n = 0, entonces x n = x 0 = ε si n = k+1, entonces x n = x k+1 = x k x La inversa de x denotada por x R se define si x = ε, entonces x R = ε si x = ws entonces x R = (ws) R = s w R La conmutatividad?: La concatenación NO es conmutativa Tema 1: Palabras y lenguajes 19 Tema 1: Palabras y lenguajes 20

6 Algunas definiciones Más ejemplos de operadores La palabra x es sufijo de y si existe una palabra w tal que y = w x y Σ*, sufijo(ε, y) x,y Σ*, s Σ, sufijo(x, y) sufijo(xs, ys) La palabra x es prefijo de y si existe una palabra w tal que y = x w El número de apariciones de una palabra no vacía y en otra x se denota x y y se define si x = ε, entonces x y = 0 si x = ws y sufijo(y, x), entonces x y = ws y = w y +1 en otro caso x y = ws y = w y La palabra x es subpalabra de y si existen palabras w, z tales que y = w x z Tema 1: Palabras y lenguajes 21 Tema 1: Palabras y lenguajes 22 Lenguajes LENGUAJE SOBRE UN ALFABETO Σ: Cualquier conjunto de palabras L Σ L 1 ={00,11,010} {0,1}* Operadores sobre lenguajes Unión de lenguajes L1 L2 = {x Σ : x L 1 x L 2 } Intersección de lenguajes L1 L2 = {x Σ : x L 1 x L 2 } L 2 ={x {0,1}*: x mod 2=0} {0,1}* L 3 = {0,1}* L 4 ={ε} {0,1}* Ojo! {ε} Complementario de un lenguaje L ={x Σ : x L} Diferencia de lenguajes L1 - L2 = {x Σ : x L 1 x L 2 } Tema 1: Palabras y lenguajes 23 Tema 1: Palabras y lenguajes 24

7 Más operadores sobre lenguajes Concatenación de lenguajes L1 L2 = {x Σ : y L 1 z L 2 (x = y z)} Potencia de un lenguaje: L k L 0 = {ε} L n+1 = L n L Clausura y clausura positiva de un lenguaje L * = n 0 L n L + = n 1 L n Inverso de un lenguaje L R = {x R : x L} La gramática de los Programas While Esta gramática define las expresiones sintácticamente correctas de los Programas While sobre los naturales. G=(N,Σ,P,<pw>) No terminales N={<pw>,<asig>,<comp>,<if>,<while>,<var>} Terminales Σ={suc, pred, no-es-0?, if, then, while, loop, end if, end loop, X,,:=, ;, (, )} Tema 1: Palabras y lenguajes 25 Tema1: Gramáticas y autómatas 26 La gramática de los Programas While Ejemplo de derivación Conjunto P de producciones <var> X0 <var> X1 <var> X2 <var> X3 <var> X4 <var> X5 <var> X6 <var> X7 <var> X8 <var> X9 <var> <var>0 <var> <var>1 <var> <var>2 <var> <var>3 <var> <var>4 <var> <var>5 <var> <var>6 <var> <var>7 <var> <var>8 <var> <var>9 <pw> <asig> <pw> <comp> <pw> <if> <pw> <while> <asig> <var>:=0; <asig> <var>:=suc(<var>); <asig> <var>:=pred(<var>); <comp> <pw><pw> <if> if no-es-0?(<var>) then <pw>end if; <while> while no-es-0?(<var>)loop <pw>end loop; <pw> <comp> <pw><pw> <while><pw> while no-es-0?(<var>) loop <pw>end loop;<pw> while no-es-0?(x1) loop <pw>end loop;<pw> while no-es-0?(x1) loop <asig>end loop;<pw> while no-es-0?(x1) loop <var>:=suc(<var>); end loop;<pw> while no-es-0?(x1) loop X2:=suc(<var>); end loop;<pw> while no-es-0?(x1) loop X2:=suc(X2); end loop;<pw> while no-es-0?(x1) loop X2:=suc(X2); end loop;<asig> while no-es-0?(x1) loop X2:=suc(X2); end loop;<var>:=pred(<var>); while no-es-0?(x1) loop X2:=suc(X2); end loop;<var>5:=pred(<var>); while no-es-0?(x1) loop X2:=suc(X2); end loop;x45:=pred(<var>); while no-es-0?(x1) loop X2:=suc(X2); end loop;x45:=pred(x3); Tema 1: Gramáticas y autómatas 27 Tema 1: Gramáticas y autómatas 28

8 Árbol de derivación Autómata reconocedor de números en coma flotante <pw> q 1 <pw> <while> <comp> <pw> <asig> q 0 +,- 0,1,2, 3,4,5, 0,1,2, 6,7,8, q 8 3,4,5, 9 6,7,8, 9 q 2 q 3 while no-es-0? ( <var> ) loop <pw> end loop; X1 <var> <asig> := suc ( <var> ) ; <var> := pred ( <var> ) ; <var> 5 X3 X4 q 7 E q 4 q 6 +,- q 5 X2 X2 Tema 1: Gramáticas y autómatas 29 Tema 1: Gramáticas y autómatas 30 La jerarquía de Chomsky Estudiamos en MAC I y ALF RECONOCIDOS POR AUTOMATAS DE TURING LINEALMENTE ACOTADOS LENGUAJES RECURSIVAMENTE ENUMERABLES DEPENDIENTES DEL CONTEXTO GENERADOS POR GRAMATICAS TIPO 0 GENERALES TIPO 1 DEPENDIENTES DEL CONTEXTO Tema 2: Lenguajes regulares Autómatas finitos y Gramáticas regulares Expresiones regulares Propiedades de los lenguajes regulares Aplicaciones: Traductores, análisis léxico y otras CON PILA NO DETERMINISTAS FINITOS INDEPENDIENTES DEL CONTEXTO REGULARES TIPO 2 INDEPENDIENTES DEL CONTEXTO TIPO 3 REGULARES Tema 3: Lenguajes independientes del contexto Gramáticas independientes del contexto Autómatas con pila Propiedades de los lenguajes independientes del contexto Aplicaciones: Análisis sintáctico Tema 1: Gramáticas y autómatas 31 Tema 1: Gramáticas y autómatas 32

9 Además estudiamos en ALF Tema 4: Lenguajes recursivos y recursivamente enumerables Gramáticas generales Autómatas de Turing Tema 5: Introducción a la teoría de la Computabilidad Máquinas de Turing Implementando tipos de datos en MT Problema de parada Tesis de Church-Turing Tema 1: Gramáticas y autómatas 33