Computación Bio inspirada Tema VIII: Complejidad Computacional en Modelos Celulares

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1 Computación Bio inspirada Tema VIII: Complejidad Computacional en Modelos Celulares Mario de J. Pérez Jiménez Grupo de Investigación en Computación Natural Dpto. Ciencias de la Computación e Inteligencia Artificial Universidad de Sevilla marper@us.es Máster Universitario en Lógica, Computación e Inteligencia Artificial Curso

2 Índice del tema VIII Problemas de decisión y lenguajes. Sistemas P reconocedores. Resolubilidad eficiente de problemas mediante sistemas P reconocedores. Limitaciones de los sistemas P reconocedores.

3 Problemas de decisión y lenguajes. Problema de decision: par ordenado (I X, θ X ) I X es un lenguaje sobre un alfabeto finito (cuyos elementos se denominan instancias del problema). θ X es una función total booleana sobre I X. Todo problema de optimización (un valor ha de ser minimizado o maximizado) se puede transformar eficientemente en un problema decisión. Existe una correspondencia natural entre problemas de decisión y languajes. Dado un problema de decisión X = (I X, θ X ), se le asocia un lenguaje L X de la siguiente manera: L X = {w I X : θ X (w) = 1}. Recíprocamente, dado un lenguaje L sobre un alfabeto Γ, se le asocia un problema de decisión como sigue: X L = (I XL, θ XL ), en donde I XL = Γ ; θ XL = {(w, 1) : w L} {(w, 0) : w / L}. Resolubilidad de un problema de decisión versus reconocimiento de un lenguaje. Una máquina de decisión M reconoce un lenguaje L sobre un alfabeto Σ si para cada u Σ se verifica: (a) si u L entonces la máquina para sobre u y devuelve sí; y (b) si u / L entonces la máquina para sobre u y devuelve no. Por ello, para resolver problemas de decisión se consideran sistemas P reconocedores de lenguajes.

4 Sistemas P reconocedores (I) Objetivo: Proporcionar soluciones eficientes de problemas de decisión en el marco de la computación celular con membranas. En particular, de problemas computacionalmente duros (NP-completos). Ahora bien: Los sistemas P son dispositivos no deterministas. Las MTND resuelven problemas NP-completos en tiempo polinomial. Las MTND no son fiables ya que: No capturan el verdadero concepto de algoritmo. El resultado de una ejecución de una MTND puede conducir a error. Conclusión: Las soluciones eficientes que proporcionen los sistemas P deben ofrecer ventajas cualitativas respecto de las ofrecidas por las MTND. Intentaremos que capturen el verdadero concepto de algoritmo: para un dato de entrada, el resultado de cualquier computación debe codificar la respuesta correcta.

5 Sistemas P reconocedores (II) Un sistema P reconocedor es un sistema P tal que: El alfabeto de trabajo tiene dos elementos distinguidos: yes, no. La zona de salida del sistema es el entorno (omitiremos i out). Todas las computaciones paran. Si C es una computación del sistema, entonces o bien un objeto yes o un objeto no (pero no ambos) se envían al entorno y, además, sólo en el último paso de la computación. En un sistema P reconocedor, diremos que Una computación es de aceptación (resp. de rechazo) si el objeto yes (resp., no) aparece en el entorno asociado a la configuración de parada.

6 Codificación polinomial, adecuación y completitud Sea X = (I X, θ X ) un problema de decisión y Π = {Π(n) n N} una familia de sistemas P reconocedores. Codificación polinomial de X en Π: Un par (cod, s) de funciones sobre I X computables en tiempo polinomial tales que para cada u I X : s(u) es un número natural y cod(u) es un multiconjunto de entrada de Π(s(u)). Además, se exige que s 1 (n) sea un conjunto finito para cada n N. Sea (cod, s) una codificación polinomial de X en Π. Π es adecuada respecto de (X, cod, s) si para cada u I X se tiene: Si existe una computación de aceptación de Π(s(u)) + cod(u), entonces θ X (u) = 1. Π es completa respecto de (X, cod, s) si para cada u I X se tiene: Si θ X (u) = 1 entonces cada computación de Π(s(u)) + cod(u) es de aceptación.

7 Resolución de problemas en tiempo polinomial (I) Sea X = (I X, θ X ) un problema de decisión y Π = {Π(n) : n N} una familia de sistemas P reconocedores. X es resoluble en tiempo polinomial por la familia Π (X PMC R) si: Π es polinomialmente uniforme por MT Existe una MTD que trabaja en tiempo polinomial y construye Π(n) a partir de n N. Existe una codificación polinomial (cod, s) de X en Π tal que: Π es polinomialmente acotada: Existe un polinomio p(n) tal que para cada u I X, todas las computaciones de Π(s(u)) + cod(u) paran en, a lo sumo, p( u ) pasos. Π es adecuada y completa respecto a (X, cod, s).

8 Resolución de problemas en tiempo polinomial (II) u I X Answer of the problem cod polynomial encoding s? Π Answer of the P system cod(u) input (s(u)) Clases de complejidad polinomial para sistemas P reconocedores

9 Estabilidad de las clases de complejidad polinomial La clase de complejidad PMC R: Es estable bajo reducibilidad en tiempo polinomial. Si X 1 p X 2 y X 2 PMC R, entonces X 1 PMC R. Es cerrada bajo complementario. Si X PMC R, entonces X PMC R.

10 Eficiencia de clases de sistemas P Una clase R de sistemas P reconocedores es presumiblemente eficiente si y sólo si familias de sistemas de dicha clase pueden resolver problemas NP completos en tiempo polinomial. NP co NP PMC R. Una clase R de sistemas P reconocedores es presumiblemente no eficiente si y sólo si únicamente problemas de la clase P pueden ser resueltos en tiempo polinomial por familias de sistemas de dicha clase. P = PMC R.

11 Sistemas P básicos de transición: limitaciones Sea T la clase de los sistemas P reconocedores básicos de transición. Teorema. P = PMC T. La clase T es presumiblemente no eficiente. Corolario. Son equivalentes: P = NP. Existe, al menos, un problema NP completo que pertenece a PMC T. Todo problema NP completo pertenece a PMC T.

12 Sistemas P con membranas activas: limitaciones Sea AM la clase de los sistemas P reconocedores con membranas activas. Sea N AM la clase de los sistemas P reconocedores con membranas activas que no usan las reglas de división de membranas. Teorema. P = PMC N AM. La clase N AM es presumiblemente no eficiente. Corolario. Son equivalentes: P = NP. Existe, al menos, un problema NP completo que pertenece a PMC N AM. Todo problema NP completo pertenece a PMC N AM. En el tema siguiente veremos que usando sistemas de AM se pueden resolver eficientemente problemas NP completos. Es decir, la clase AM es presumiblemente eficiente.

13 Sistemas P de tejidos: limitaciones Sea T C la clase de los sistemas P reconocedores de tejidos con reglas de comunicación. Sea T DC la clase de los sistemas P reconocedores de tejidos con división celular. Sea T DC(k) la clase de los sistemas P reconocedores de tejidos con división celular y cuyas reglas de comunicación tienen longitud a lo sumo k. Teorema. P = PMC T C = PMC T DC(1). Es decir, las clases T C y T DC(1) son presumiblemente no eficientes. Corolario. Son equivalentes: P = NP. Existe, al menos, un problema NP completo que pertenece a PMC T C. Existe, al menos, un problema NP completo que pertenece a PMC T DC(1). Todo problema NP completo pertenece a PMC T C. Todo problema NP completo pertenece a PMC T DC(1). En el tema siguiente veremos que usando sistemas de T DC se pueden resolver eficientemente problemas NP completos.