Problemas computacionales, intratabilidad y problemas NP completos. 26 de agosto de Facultad de Ingeniería. Universidad del Valle

Transcripción

1 Complejidad Complejidad, in NP completos Facultad de Ingeniería. Universidad del Valle 26 de agosto de 2014

2 Contenido Complejidad 1 2 3

3 Complejidad computacional Complejidad Notación De acuerdo a la complejidad de la solución ante una entrada de tamaño n se utilizan las siguientes notaciones: O(f (n)) Ω(f (n)) Θ(f (n))

4 Complejidad De acuerdo al tipo Se pueden clasificar en: de solución de desición Estos consisten en encontrar la mejor solución a un problema de acuerdo a un criterio, estos pueden ser de decisión o solución.

5 Tratabilidad Complejidad Decibilidad Los puede ser decidibles o indecidibles. decidibles Pueden ser tratables o intratatables indecidibles Puede ser indecidibles o altamente indecidibles.

6 Máquinas de Turing Complejidad Determinista Esta ejecuta una acción definida ante la lectura de un símbolo de entrada. No determinista Ejecuta la mejor acción posible ante la lectura de un símbolo de entrada.

7 Contenido Complejidad 1 2 3

8 P Complejidad P Es aquel problema de desición que se puede verificar solucionar en tiempo polinomial por una maquina de turing determinista.

9 Complejidad NP Es aquel que se puede verificar en tiempo polinomial por una maquina de turing determinista ser solucionados en tiempo polinomial por una máquina de turing no determinista Son los de NP los cuales pueden ser reducidos en tiempo polinomial a otro problema.

10 P=NP? Complejidad El problema P=NP?

11 Contenido Complejidad 1 2 3

12 Complejidad

13 Reducción Complejidad Definición Sean A B dos de desición pertenecientes a NP. Se puede tranformar una instancia A en una instancia B en tiempo polinomial. Requerimiento Se debe cumplir: A p B Es decir A tiene una complejidad menor o igual a B.

14 Reducción Complejidad Definición Una reducción es correcta si: Instancias negativas de A resultan en instancias negativas de B Instancias positivas de A resultan en instancias positivas de B

15 SAT Complejidad Introducción Este es el primer problema completo demostrado. La demostración fue realizada por Stephen Cook en 1971 Definición Cualquier problema puede ser reducido a SAT en tiempo polinomial.

16 SAT Complejidad Definición formal El problema consiste en un conjunto de variables boleanas x 1, x 2.x 3,..,..x n un conjunto de clausulas s 1, s 2, s 3,.., s n en forma normal conjuntiva, donde existen valores de las variables en la cual la expresión es verdadera. Example (x 1 x 2 ) (x 2 x 3 ) (x 1 x 3 x 4 ) (x 2 x 3 ) (x 1 x 2 x 3 ) x 1

17 SAT es? Complejidad Enunciados demostración Se utiliza una máquina de Turing no deterministra para el cómputo de este algoritmo. Se códifica la entrada de la máquina de Turing de tal forma esta resulta en una fórmula booleana en FNC. Se la máquina de turing acepta la entrada, entonces la fórmula es satisfactible.

18 SAT es? Complejidad Explicación de la demostración La máquina de Turing no determinista al poder procesar la fórmula booleana, dando los valores correctos a cada variable de cada clausula, conduce a un estado de aceptación, de acuerdo a los valores asignados a cada variable.

19 SAT es? Complejidad Consecuencias Si se llegara a demostrar que SAT puede ser resuelto en tiempo polinomial entonces cualquier problema puede ser resuelto en tiempo polinomial. Al reducir cualquier problema NP a SAT, se demuestra que es.

20 Complejidad