Tema 5: Procedimientos para obtener funciones computables

Transcripción

1 Tema 5: Procedimientos para obtener funciones computables Dpto. Ciencias de la Computación e Inteligencia Artificial Universidad de Sevilla Lógica y Computabilidad Curso LC, Procedimientos para obtener funciones computables 5.1

2 Procedimientos de definición y funciones básicas Estudiaremos procedimientos para definir funciones que nos permitan obtener nuevas funciones computables, a partir de otras funciones computables ya conocidas. Es deseable que estos procedimientos de definición permitan obtener todas las funciones GOTO computables a partir de algunas funciones básicas cuya computabilidad sea indiscutible. Esto nos proporcionará, más adelante, una caracterización de las funciones GOTO-computables independiente de todo modelo de computación particular. Consideramos tres procedimientos básicos: Composición. Recursión primitiva. µ Recursión (o Minimización). LC, Procedimientos para obtener funciones computables 5.2

3 Composición Dadas g : N n N, h 1,.., h n : N m N, decimos que f es la composición de g y h 1,..., h n, si Para todo x N m, f ( x) = g(h 1 ( x),..., h n ( x)) Usamos como notación f = C(g; h 1,..., h n ). Lema. GCOMP es cerrado bajo composición: En efecto, el siguiente programa calcula f = C(g; h1,..., h n ): Z 1 h 1 (X 1,..., X m ). Z n h n (X 1,..., X m ) Y g(z 1,..., Z n ) Lema. El conjunto de funciones totales es cerrado bajo composición. LC, Procedimientos para obtener funciones computables 5.3

4 Recursión Primitiva(I) Dadas g : N m N, h : N m+2 N, decimos que f : N m+1 N se define por recursión primitiva a partir de g y h (y escribimos f = R(g, h)), si Para todo x N m, y N { f ( x, 0) = g( x) f ( x, y + 1) = h( x, y, f ( x, y)) Esta definición se extiende al caso m = 0: { f (0) = k f (x + 1) = h(x, f (x)) donde k N. En este caso escribimos: f = R(k, h), y diremos que f se obtiene por recursión primitiva a partir de la constante k y de h. LC, Procedimientos para obtener funciones computables 5.4

5 Recursión Primitiva(II) Lema. GCOMP es cerrado bajo recursión primitiva: En efecto, sean g : N m N, h : N m+2 N G-computables. El siguiente programa calcula f = R(g; h): [A] Y g(x 1,..., X m ) IF X m+1 = 0 GOTO E Y h(x 1,..., X m, Z, Y ) Z Z + 1 X m+1 X m+1 1 GOTO A Lema. El conjunto de funciones totales es cerrado por recursión primitiva. LC, Procedimientos para obtener funciones computables 5.5

6 µ Recursión (I) Sea f : N n+1 N, (n 1). La función definida por µ recursión a partir de f es la función f µ : N n N dada por { min{y : f ( x, y) = 0 z < y (f ( x, z) )} si existe f µ ( x) = e.o.c. Nota. Usualmente escribiremos: µy(f ( x, y) = 0). Lema. GCOMP es cerrada bajo µ Recursión. En efecto, sea f : N n+1 N, (n 1), GOTO computable. El siguiente programa calcula f µ : [A] Z f (X 1,..., X n, Y ) IF Z = 0 GOTO E Y Y + 1 GOTO A LC, Procedimientos para obtener funciones computables 5.6

7 µ Recursión (II) Para los predicados suele darse una definición ligeramente distinta: Si θ es un predicado n + 1-ario, definimos: { min{y : θ( x, y)} si existe el mínimo θ µ ( x) µy(θ( x, y)) = e.c.o.c. Lema. θ GCOMP = µy(θ( x, y)) GCOMP Observación: La µ Recursión no proporciona siempre funciones totales. Ejemplo. Sea θ el siguiente predicado de aridad 2: { 1 si x = 0 θ(x, y) = 0 e.o.c. { 0 si x = 0 Entonces, θ µ (x) = µy(θ(x, y)) = si x 0 Como θ es computable, la función θ µ es computable. LC, Procedimientos para obtener funciones computables 5.7

8 Funciones básicas Llamaremos funciones básicas a las siguientes funciones: Siguiente: S : N N; S(x) = x + 1 Idénticamente nula: O : N N; O(x) = 0 Proyecciones: Para cada i, n N (1 i n), n i : N N; n i (x 1,..., x n ) = x i Lema. Las funciones básicas son G-computables: Siguiente, S : { X X + 1 Y X Nula, O : Programa vacío, p Proyecciones, (n) j : Y X j LC, Procedimientos para obtener funciones computables 5.8

9 Ejemplos-I- (Composición y Recursión) Las siguientes funciones son GOTO-computables y totales: Identidad I N : N N Constantes: C k a : N k N, C k a ( x) = a (a, k N, k > 0) Predecesor: pr : N N { 0 si x = 0 pr(x) = x 1 si x > 0 : N 2 N Diferencia reducida: { x 0 si x y y = x y e.c.o.c. Signo: sg : N N sg(x) = { 0 si x = 0 1 e.c.o.c. LC, Procedimientos para obtener funciones computables 5.9

10 Ejemplos-II- (Composición y Recursión) Signo inverso: Suma: + : N 2 N sg : N N Producto: : N 2 N sg (x) = 1 sg(x) +(x, y) = x + y (x, y) = x y Mínimo: min : N 2 N y Máximo: max : N 2 N. { x si x y min(x, y) = y e.c.o.c. { x si x y max(x, y) = y e.c.o.c. LC, Procedimientos para obtener funciones computables 5.10

11 Ejemplos-III- (Composición y Recursión) Distancia: : N 2 N { x y si x y x y = y x e.c.o.c. Exponencial: exp : N 2 N { 1 si x = 0 y = 0 exp(x, y) = x y e.c.o.c. Factorial: fact : N N 1 si x = 0 fact(x) = j e.c.o.c. 1 j x LC, Procedimientos para obtener funciones computables 5.11

12 Ejemplos-IV- (µ Recursión) Minimización de la suma: Sum(x, y) = x + y { 0 si x = 0 Sum µ (x) = µy(sum(x, y) = 0) = e.o.c. { Minimización de la función g(x, y) = x y si y x si y > x g µ (x) = Id(x) La función función raíz cuadrada parcial, Sqrt, definida así: { y si existe y N tal que y Sqrt(x) = 2 = x e.o.c es GOTO-computable. En efecto, Sqrt(x) = µy( x y 2 = 0) LC, Procedimientos para obtener funciones computables 5.12

13 Predicados y conjuntos GOTO computables. Un predicado sobre N es GOTO computable si la función que lo define es GOTO computable. Un conjunto A N k es GOTO computable si su función característica, C A, es GOTO computable. Ejemplos: Los conjuntos y N k, para cada k N son GOTO computables. Los predicados: θ 1 (x, y) x = y; θ 2 (x, y) x y; θ 3 (x, y) x < y son GOTO computables. Si f : N k N es GOTO computable, entonces los predicados (k + 1)-arios siguientes son GOTO computables: θ( x, y) f ( x) = y; θ ( x, y) f ( x) y; θ ( x, y) f ( x) < y. El grafo G(f ) = {( x, y) N k+1 : f ( x) = y} de una función f : N k N, GOTO computable, es GOTO computable. LC, Procedimientos para obtener funciones computables 5.13

14 Operaciones con conjuntos y predicados Proposición. Sean θ, θ predicados sobre N, k arios y GOTO computables, entonces los predicados: θ, θ θ, θ θ, θ θ y θ θ son predicados GOTO-computables. θ( x) = sg(θ( x)) (θ θ )( x) = θ( x) θ ( x) (θ θ )( x) = sg(θ( x) + θ ( x)) θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ Corolario. Si A, B N k son conjuntos GOTO-computables, entonces: N k A; A B; A B son GOTO-computables. CN k A = C A ; C A B = C A C B ; C A B = C A C B LC, Procedimientos para obtener funciones computables 5.14

15 Definiciones por casos Proposición. Sean k 2 y f 1,..., f k : N m N funciones GOTO-computables y totales. Sea {A 1,..., A k } una partición de N m en conjuntos GOTO-computables, es decir, N m = k i=1 A i, i(a i ), y i, j = 1,..., k, i j A i A j = Entonces, la función g : N m N definida por f 1 ( x) si x A 1 g( x) =... f k ( x) si x A k es GOTO-computable y total. Pues g = f 1 C A f k C Ak es GOTO-computable. Nota: La proposición anterior puede expresarse con predicados GOTO-computables, θ 1,..., θ k, que sean exhaustivos y excluyentes. LC, Procedimientos para obtener funciones computables 5.15

16 Minimización acotada -I- Definición. Sea θ( x, y) un predicado (n + 1) ario. Definimos la función total θ µ : N n+1 N, así: { θµ( x, min{z y : θ( x, z)} si existe tal mínimo y) = y + 1 e.c.o.c. Usualmente escribiremos: µz y θ( x, z) y diremos que θ µ se obtiene de θ por minimización acotada. Proposición. Si θ GCOMP (n+1) entonces θ µ GCOMP (n+1). Es fácil diseñar un programa que calcule θ µ( x, y) (Ejercicio). LC, Procedimientos para obtener funciones computables 5.16

17 Minimización acotada -II- Definición. Sea f ( x, y) una función (n + 1) aria y total. Definimos la función de aridad n + 1, f µ, así: f µ ( x, y) = µz y (f ( x, z) = 0) Diremos que f µ se obtiene de f por minimización acotada. Proposición. Si f GCOMP (n+1) y total entonces fµ GCOMP (n+1). Ejemplos. La función cociente. { 0 si y = 0 qt(x, y) = µt x (x < (t + 1) y) e.o.c. La función resto. rm(x, y) = { x (y qt(x, y)) si y 0 0 si y = 0 LC, Procedimientos para obtener funciones computables 5.17

18 Cuantificación acotada Proposición. Sea θ G-COMP (n+1) un predicado n + 1-ario. Los siguientes predicados son GOTO-computables: θ 1 ( x, y) z y θ( x, z); θ 2 ( x, y) z y θ( x, z) En efecto: θ 1 ( x, y) = sg(y + 1 µt y(θ( x, t))) θ2 ( x, y) = sg(y + 1 µt y( θ( x, t))) Ejemplos. Los siguientes predicados son GOTO-computables: Predicado de divisibilidad, x y: θ(x, y) z y(y = z x) Predicado de primalidad: primo(x) (x > 1) t x((t x) (t = 1 t = x)) LC, Procedimientos para obtener funciones computables 5.18

19 La sucesión de los números primos Es la función p : N N definida por: p(0) = 0, y para todo n 1, p(n) = pn es el n ésimo primo. p es GOTO computable ya que se define por recursión así: { p(0) = 0 p(x + 1) = µy (primo(y) y > p(x)) LC, Procedimientos para obtener funciones computables 5.19

20 Codificación de sucesiones Definición (Sucesiones finitas). Una codificación de N m a partir de N, es una función total f : N m N que verifica: 1. f es GOTO computable e inyectiva. 2. Para cada i, 1 i m, la función total, g i : N N: { ai si x rang(f ) x = f (a g i (x) = 1,..., a m ) 0 e.c.o.c. es GOTO computable. Definición (Sucesiones de longitud arbitraria). Sea N = {ε} N N 2... N k... (donde ε es la sucesión vacía -de longitud 0-). Una función f : N N, codifica N a partir de N, si: f es total. j 1, f N j es una codificación de N j, a partir de N. LC, Procedimientos para obtener funciones computables 5.20

21 La función par Es la función total, : N 2 N definida por x, y = 2 x (2y + 1) 1 La función par es GOTO-computable y biyectiva. Para todo x, y N se verifica: x x, y, y x, y. Existen l, r : N N tales que si z = x, y, l(z) = x; r(z) = y z = l(z), r(z) l y r son funciones decodificadoras de,. Las funciones l, r son GOTO-computables y totales. Usando la función par podemos codificar N 3 a partir de N: (x, y, z) x, y, z Y, en general, N k a partir de N. LC, Procedimientos para obtener funciones computables 5.21

22 Números de Gödel Sea {p n : n 1} la sucesión de números primos y [ ] : N N la función definida así: { [ε] = 1 [a 1,..., a n ] = p a pan n Diremos que [a 1,..., a n ] es el número de Gödel de la sucesión finita a 1,..., a n. Propiedades: La función [ ] codifica N a partir de N. Para todo i, 1 i n se verifica: a i [a 1,..., a n ]. La función [ ] no es inyectiva. rang( [ ])= N {0}. Cada número natural codifica infinitas sucesiones. LC, Procedimientos para obtener funciones computables 5.22

23 Las funciones componente y longitud Lema. Si x N {0, 1} existen unos únicos a 1,..., a n N, a n 0, tales que x = [a 1,..., a n ]. Escribiremos (x)i = a i si i {1,..., n} y diremos que a i es la componente i ésima de x. Si i / {1,..., n} entonces escribiremos: (x) i = 0. Definición. Denominaremos función componente a la función: ( ) : N 2 N, definida así: { 0 si x = 0 (x) i = µt x ( (p t+1 i x)) e.c.o. La función componente es GOTO computable y total. Definición. Definimos la función longitud, long : N N, así: long(x) = µi x ((x) i 0 j x (j > i (x) j = 0)) La función longitud es GOTO computable y total. LC, Procedimientos para obtener funciones computables 5.23