3 de marzo de 2011 DSIC - UPV. Tema 5: Expresiones Regulares. U.D. Computación. Definiciones. Propiedades. Construcciones. AFs a partir de ERs

Transcripción

1 UD AFs Lem de UD DSIC - UPV 3 de mrzo de 2011 UD (DSIC - UPV) 3 de mrzo de / 40

2 Índice UD AFs Lem de sore expresiones regulres utómts finitos utómts finitos UD (DSIC - UPV) 3 de mrzo de / 40

3 UD AFs Lem de Inductivmente, un expresión regulr sore Σ se define: denot el lenguje vcio λ denot el lenguje {λ} Σ, denot el lenguje {} Si r y s son expresiones regulres que denotn L r y L s : (r) denot el lenguje L r r + s denot el lenguje L r L s rs denot el lenguje L rl s (r) denot el lenguje L r Sólo son expresiones regulres ls construids de est form UD (DSIC - UPV) 3 de mrzo de / 40

4 UD AFs Lem de Sen α, β y γ expresiones regulres 1 α + (β + γ) = (α + β) + γ 2 α(βγ) = (αβ)γ 3 α + β = β + α 4 α(β + γ) = (αβ) + (αγ) 5 (α + β)γ = (αγ) + (βγ) 6 αλ = λα = α 7 α + = + α = α 8 α = α = 9 λ = λ 10 = λ 11 α = λ + αα 12 (α + β ) = (α β ) = (α + β) 13 (αβ) α = α(βα) 14 (α β) α = (α + β) 15 (α β) = (α + β) β + λ UD (DSIC - UPV) 3 de mrzo de / 40

5 UD AFs Lem de Homomorfismo Reverso UD (DSIC - UPV) 3 de mrzo de / 40

6 UD AFs Lem de Homomorfismo Dd un expresión regulr α y un homomorfismo h : Σ α, pr otener un expresión regulr pr h(l(α)), st sustituir cd símolo de α por h() Por ejemplo, considerndo α = ( + () ) y el homomorfismo: h() = 0 y h() = 11, l expresión regulr pr h(l(α)) serí: 0(11(11) + (00) ) 11 UD (DSIC - UPV) 3 de mrzo de / 40

7 UD AFs Lem de Reverso Dd un expresión regulr α, pr otener un expresión regulr α r tl que L(α r ) = (L(α)) r, plicmos recursivmente ls siguientes regls: Si α =, α = λ o α = Σ, entonces α r = α Si α = β + γ, entonces α r = β r + γ r Si α = βγ, entonces α r = γ r β r Si α = β, entonces α r = (β r ) Por ejemplo, considerndo α = (( + ) + () ), l expresión regulr pr (L(α)) r serí: α r = (( + ) + () ) UD (DSIC - UPV) 3 de mrzo de / 40

8 UD AFs Lem de Posición Autómt UD (DSIC - UPV) 3 de mrzo de / 40

9 Cálculo de Derivds UD AFs Lem de Regls pr el cálculo de ls derivds Respecto símolos (, Σ, r, s ER) 1 1 = 2 1 λ = ( 3 1 si = λ si = 4 1 (r + s) ( = 1 r + 1 s 5 1 ( 1 r)s si λ r (rs) = ( 1 r)s + 1 s si λ r 6 1 r = ( 1 r)r Respecto cdens ( Σ, x Σ ) 1 λ 1 r = r 2 (x) 1 r = 1 (x 1 r) UD (DSIC - UPV) 3 de mrzo de / 40

10 UD AFs Lem de Entrd: α expresión regulr sore Σ Slid: AFD mínimo pr L(α) Metodo: Q = {α}; q 0 = α; F = ; δ = ; if λ L(α) then F = F {α} end if ctivos = {α} while ctivos {} do β = First(ctivos) ctivos = Rest(ctivos) for ll Σ do β = 1 β if r Q : L(r) = L(β ) then Q = Q {β } δ = δ {(β,, β )} ctivos = ctivos {β } if λ L(β ) then F = F {β } end if end if end for end while Return (Q, Σ, δ, q 0, F) Fin Metodo UD (DSIC - UPV) 3 de mrzo de / 40

11 Ejemplo UD AFs Lem de Consideremos α = ( + ) ( + ) : q 0 = α = (+) (+) ; λ L(q 0 ) por lo tnto F = 1 q 0 = q 0 1 q 0 = ( + ) ( + ) + ( + ) = q 1 ; λ L(q 1 ) por lo tnto F = 1 q 1 = q 0 1 q 1 = ( + ) ( + ) + ( + ) + ( + ) = ( + ) = q 2 ; λ L(q 2 ) por lo tnto F = {q 2 } 1 q 2 = 1 q 2 = q 2, UD (DSIC - UPV) 3 de mrzo de / 40

12 Posición UD AFs Lem de locl Lenguje Locl Expresión regulr linerizd AFD pr un expresión regulr linerizd UD (DSIC - UPV) 3 de mrzo de / 40

13 locl Lenguje Locl UD AFs Lem de El AFD A = (Q,Σ,δ,q 0,F) es locl si y solo si pr culquier Σ el conjunto {δ(q,) : q Q} posee lo sumo un elemento Si demás no existe ningún rco que lcnce q 0, el utómt es locl estndr Un lenguje es locl si y solo si es reconocido por un utómt locl estndr UD (DSIC - UPV) 3 de mrzo de / 40

14 Expresión regulr linerizd UD AFs Lem de Se α un expresión regulr y se n el número de símolos en α excluyendo préntesis y símolos de operción L expresión linerizd de α (denotd por α) se otiene colocndo un suíndice j {1,,n} cd símolo de α indicndo su pe: Siendo l versión linerizd es α = ( + )( + + ) α = ( )( ) UD (DSIC - UPV) 3 de mrzo de / 40

15 Expresión regulr linerizd UD AFs Lem de Si Σ α y Σ α son los lfetos de α y α respectivmente, y h : Σα Σ α es un homomorfismo que orr los suíndices, entonces: h(l(α)) = L(α) Por lo tnto, puede otenerse un utómt finito pr L(α) construyendo un utómt pr L(α) y posteriormente eliminndo los suíndices de este utómt (utómt de ) UD (DSIC - UPV) 3 de mrzo de / 40

16 AFD pr un expresión regulr linerizd UD AFs Lem de Tod expresión regulr linerizd denot un lenguje locl (reconocido por un AF locl estndr) Puede verse por inducción sore l estructur de ls expresiones regulres Csos se: λ UD (DSIC - UPV) 3 de mrzo de / 40

17 AFD pr un expresión regulr linerizd UD compuests: Sen α y β expresiones regulres linerizds, y sen A(α) = (Q 1,Σ 1,δ 1,q 1,F 1 ) y A(β) = (Q 2,Σ 2,δ 2,q 2,F 2 ), con Σ 1 Σ 2 =, utómts locles que ceptn L(α) y L(β) respectivmente: AFs Lem de q 1 1 n (α) q 2 1 m (β) UD (DSIC - UPV) 3 de mrzo de / 40

18 AFD pr un expresión regulr linerizd UD AFs Lem de Unión (α + β): Q = (Q 1 {q 1 }) (Q 2 {q 2 }) {q 0 }, q 0 / Q 1 Q 2 δ = {(q,, q ) δ 1 δ 2 : q / {q 1, q 2 }} {(q 0,, q) : (q 1,, { q) δ 1 (q 2,, q) δ 2 }, F 1 F 2 si q 1 / F 1 q 2 / F 2 F = (F 1 {q 1 }) (F 2 {q 2 }) {q 0 } en otro cso q 1 1 q 2 1 n m UD (DSIC - UPV) 3 de mrzo de / 40

19 AFD pr un expresión regulr linerizd UD AFs Lem de Unión (α + β): Q = (Q 1 {q 1 }) (Q 2 {q 2 }) {q 0 }, q 0 / Q 1 Q 2 δ = {(q,, q ) δ 1 δ 2 : q / {q 1, q 2 }} {(q 0,, q) : (q 1,, { q) δ 1 (q 2,, q) δ 2 }, F 1 F 2 si q 1 / F 1 q 2 / F 2 F = (F 1 {q 1 }) (F 2 {q 2 }) {q 0 } en otro cso q 0 q 1 1 q 2 1 n m UD (DSIC - UPV) 3 de mrzo de / 40

20 AFD pr un expresión regulr linerizd UD AFs Lem de Unión (α + β): Q = (Q 1 {q 1 }) (Q 2 {q 2 }) {q 0 }, q 0 / Q 1 Q 2 δ = {(q,, q ) δ 1 δ 2 : q / {q 1, q 2 }} {(q 0,, q) : (q 1,, { q) δ 1 (q 2,, q) δ 2 }, F 1 F 2 si q 1 / F 1 q 2 / F 2 F = (F 1 {q 1 }) (F 2 {q 2 }) {q 0 } en otro cso q 0 1 n 1 m UD (DSIC - UPV) 3 de mrzo de / 40

21 AFD pr un expresión regulr linerizd UD Producto (α β) (q 2 F 2 ): Q = (Q 1 Q 2 ) {q 2 }), δ = δ 1 {(q,, q ) δ 2 : q q 2 } {(q,, q ) : q F 1 (q 2,, q ) δ 2 }, q 0 = q 1 F = F 2 AFs Lem de q 1 1 n q 2 1 m UD (DSIC - UPV) 3 de mrzo de / 40

22 AFD pr un expresión regulr linerizd UD Producto (α β) (q 2 F 2 ): Q = (Q 1 Q 2 ) {q 2 }), δ = δ 1 {(q,, q ) δ 2 : q q 2 } {(q,, q ) : q F 1 (q 2,, q ) δ 2 }, q 0 = q 1 F = F 2 AFs Lem de q 1 1 n q 2 1 m UD (DSIC - UPV) 3 de mrzo de / 40

23 AFD pr un expresión regulr linerizd UD Producto (α β) (q 2 F 2 ): Q = (Q 1 Q 2 ) {q 2 }), δ = δ 1 {(q,, q ) δ 2 : q q 2 } {(q,, q ) : q F 1 (q 2,, q ) δ 2 }, q 0 = q 1 F = F 2 AFs Lem de q 1 1 n 1 1 m m UD (DSIC - UPV) 3 de mrzo de / 40

24 AFD pr un expresión regulr linerizd UD Producto (α β) (q 2 F 2 ): Q = (Q 1 Q 2 ) {q 2 }), δ = δ 1 {(q,, q ) δ 2 : q q 2 } {(q,, q ) : q F 1 (q 2,, q ) δ 2 }, q 0 = q 1 F = F 1 (F 2 {q 2 }) AFs Lem de q 1 1 n q 2 1 m UD (DSIC - UPV) 3 de mrzo de / 40

25 AFD pr un expresión regulr linerizd UD Producto (α β) (q 2 F 2 ): Q = (Q 1 Q 2 ) {q 2 }), δ = δ 1 {(q,, q ) δ 2 : q q 2 } {(q,, q ) : q F 1 (q 2,, q ) δ 2 }, q 0 = q 1 F = F 1 (F 2 {q 2 }) AFs Lem de q 1 1 n q 2 1 m UD (DSIC - UPV) 3 de mrzo de / 40

26 AFD pr un expresión regulr linerizd UD Producto (α β) (q 2 F 2 ): Q = (Q 1 Q 2 ) {q 2 }), δ = δ 1 {(q,, q ) δ 2 : q q 2 } {(q,, q ) : q F 1 (q 2,, q ) δ 2 }, q 0 = q 1 F = F 1 (F 2 {q 2 }) AFs Lem de q 1 1 n 1 1 m m UD (DSIC - UPV) 3 de mrzo de / 40

27 AFD pr un expresión regulr linerizd UD Clusur (α ): δ = δ {(q,, q ) : q F (q 0,, q ) δ} F = F 1 {q 1 }) AFs Lem de q 1 1 n UD (DSIC - UPV) 3 de mrzo de / 40

28 AFD pr un expresión regulr linerizd UD Clusur (α ): δ = δ {(q,, q ) : q F (q 0,, q ) δ} F = F 1 {q 1 }) AFs Lem de q 1 1 n 1 1 n n UD (DSIC - UPV) 3 de mrzo de / 40

29 AFD pr un expresión regulr linerizd Ejemplo UD Se α = ( + )( + + ) Entonces α = ( )( ) AFs Lem de ( ) UD (DSIC - UPV) 3 de mrzo de / 40

30 Algoritmo UD AFs Lem de 1: Entrd: α expresión regulr sore Σ 2: Slid: AFD pr L(α) 3: Metodo: 4: Otener α versión linerizd de α 5: Otener A un Autómt locl estndr pr α 6: A pos = h(a), donde h es un homomorfismo de orrdo de los suíndices 7: Return A pos 8: Fin Metodo UD (DSIC - UPV) 3 de mrzo de / 40

31 Ejemplo UD Dd α = ( + )( + + ) y su versión linerizd α = ( )( ), el utómt locl estndr pr α es: AFs Lem de UD (DSIC - UPV) 3 de mrzo de / 40

32 Posición Ejemplo UD y el utómt de pr α = ( + )( + + ) es: AFs Lem de UD (DSIC - UPV) 3 de mrzo de / 40

33 Autómt UD AFs Lem de Relción follow Autómt follow UD (DSIC - UPV) 3 de mrzo de / 40

34 Autómt UD AFs Lem de El utómt follow de un expresión regulr α se propone como el utomt cociente del utómt de por l siguiente relción: { p,q F o ien p,q Q F p f q follow(p) = follow(q) donde follow(p) = {q Q : Σ,δ(p,) = q} El utómt cociente resultnte es un reducción prcil del utómt de UD (DSIC - UPV) 3 de mrzo de / 40

35 Autómt UD Recordmos el utómt de pr α = ( + )( + + ) : AFs Lem de q 0 q 1 q 2 q 3 q 6 q 4 q 5 UD (DSIC - UPV) 3 de mrzo de / 40

36 Autómt UD Ls clses de equivlenci son: {q 0 }, {q 1,q 2,q 3,q 6 }, {q 4,q 5 }, con lo que el utómt follow pr α qued: AFs Lem de,,, {q 0 } {q 1,q 2,q 3,q 6 } {q 4,q 5 }, UD (DSIC - UPV) 3 de mrzo de / 40

37 utómts finitos UD AFs Lem de Sistems de ecuciones en expresiones regulres Lem de utómts finitos UD (DSIC - UPV) 3 de mrzo de / 40

38 Sistems de ecuciones en expresiones regulres Lem de UD AFs Lem de Ecución en expresiones regulres: Ecución linel donde vriles y coeficientes tomn l form de expresiones regulres X = rx + s Lem de : Se X = rx + s un ecución en expresiones regulres X = r s es un solución pr l ecución Es únic si λ r demostrmos que r s es solución: rx + s = X=r s rr s + s = (rr + λ)s = rr +λ=r r s Si λ r existen infinits soluciones: t Σ, r (s + t) es solución: X =rx + s = rr (s + t) + s = rr s + rr t + s = =(rr + λ)s + rr t = rr +λ=r r s + r t = X=r (s+t) X UD (DSIC - UPV) 3 de mrzo de / 40

39 Sistems de ecuciones en expresiones regulres UD AFs Lem de Ddo un sistem de ecuciones en expresiones regulres: X 1 = r 11 X 1 + r 12 X r 1n X n + s 1 X 2 = r 11 X 1 + r 12 X r 1n X n + s 2 X n = r 11 X 1 + r 12 X r 1n X n + s 3 l resolución viene trs plicr el método de Guss utilizndo el Lemm de pr reducir UD (DSIC - UPV) 3 de mrzo de / 40

40 AFs Algoritmo UD AFs Lem de 1: Entrd: Autómt finito A = (Q,Σ,δ,q 1,F) con Q = {q 1,q 2,,q n } 2: Slid: Expresión regulr pr L(A) 3: Metodo: 4: Por cd estdo q i introducir un vrile X i 5: Si q i F entonces en l prte derech de l i-esim ecución prece el término λ 6: Si q j δ(q i,) entonces en l prte derech de l i-esim ecución prece el término X j, con Σ {λ} 7: Resolver el sistem de ecuciones en expresiones regulres utilizndo el Lem de pr reducir 8: Devolver l expresión regulr socid l estdo inicil 9: Fin Metodo UD (DSIC - UPV) 3 de mrzo de / 40