Teoría de Autómatas y Lenguajes Formales. Propiedades de los lenguajes regulares

Transcripción

1 Teoí de Autómts y engujes Fomles Popieddes de los lengujes egules José M. Sempee Deptmento de Sistems Infomáticos y Computción Univesidd Politécnic de Vlenci

2 Popieddes de los lengujes egules. Algunos conceptos pevios de ls popieddes soe lengujes. 2. Popieddes de ciee. 3. Popieddes de decisión. Biliogfí John Hopcoft, Jeffey D. Ullmn, Rjeev Motwni. Intoducción l teoí de utómts, lengujes y computción Addison Wesley, P. Gcí, E. Seg, T. Péez, J.M. Sempee, J. Ruiz, M. Vázuez de Pg. Apuntes soe l Teoí de Autómts y engujes Fomles. Editoil UPV. Sevicio de Pulicciones SPUPV

3 Conceptos pevios soe ls opeciones soe lengujes Un opeción soe lengujes es n-i si tom n elementos como gumentos. Opeciones -is: Clusu (estell), Reveso, Clusu positiv, Homomofismos, etc. Opeciones 2-is (inis): Unión, Intesección, Poducto, etc. etc. Un opeción n-i es de ciee p un clse de lengujes si el esultdo de plic l opeción soe n lengujes culesuie de l clse popocion como esultdo un lenguje de l clse. Un opeción n-i de ciee p un clse de lengujes es constuctiv si existe un lgoitmo ue tom como entd n lengujes de l clse en un epesentción pedefinid y popocion como slid el lenguje esultdo de plic l opeción los lengujes de entd en l epesentción pedefinid. Not: En los lengujes egules ls posiles epesentciones seín los utómts finitos (no) deteminists, ls expesiones egules o ls gmátics lineles po l deech (o po l izuied)

4 Pevio ls opeciones constuctivs: Cómo otene un AFD completo euivlente un AFD itio: () Añdi un nuevo estdo no finl (estdo de soción o sumideo) (2) Añdi ls tnsiciones ue fltn en el AFD itio de ptid hci el nuevo estdo (3) Añdi ls tnsiciones con todos los símolos del lfeto desde el estdo sumideo hci él mismo Ejemplo p p s, AFD itio AFD completo euivlente

5 Pevio ls opeciones constuctivs: Cómo otene un AF con un único estdo finl euivlente un AF itio: () Añdi un nuevo estdo finl (2) Añdi tnsiciones vcís desde los ntiguos estdos finles l nuevo estdo finl (3) Conveti los ntiguos estdos finles en estdos no finles Ejemplo p p s AF itio AF con un único estdo finl euivlente

6 * Unión de lengujes: x : x x } 2 { 2 Teoem: unión de dos lengujes egules itios es un lenguje egul Sen = (A ) y 2 = (A 2 ) siendo A y A 2 dos AFDs completos (mejo si con mínimos) con A = (Q,,d,,F ) y A 2 = (Q 2,,d 2, 2,F 2 ) Definición de un AFD A tl ue (A) = (A ) (A 2 ) A = (Q Q 2,, d, [, 2 ], F Q 2 Q F 2 ) donde d([,p],)=[ d (,), d 2 (p,)] Ejemplo [,s] [,s] s t, [,t] [,t]

7 Intesección de lengujes: 2 * { x : x x 2} Teoem: intesección de dos lengujes egules itios es un lenguje egul Sen = (A ) y 2 = (A 2 ) siendo A y A 2 dos AFDs (mejo si son mínimos y sin sumideos) con A = (Q,,d,,F ) y A 2 = (Q 2,,d 2, 2,F 2 ) Definición de un AFD A tl ue (A) = (A ) (A 2 ) A = (Q Q 2,, d, [, 2 ], F F 2 ) donde d([,p],)=[ d (,), d 2 (p,)] Ejemplo [,s] [,s] s t, [,t] [,t]

8 Conctención de lengujes: * { xy : x y 2} 2 Teoem: conctención de dos lengujes egules itios es un lenguje egul Sen = (A ) y 2 = (A 2 ) siendo A y A 2 dos AFs (no necesimente deteminists) con A = (Q,,d,,F ) y A 2 = (Q 2,,d 2, 2,F 2 ) Definición de un AF A tl ue (A) = (A ) (A 2 ) A = (Q Q 2,, d,,f 2 ) donde d(,)=d (,) ( Q -F ) ( {} d(,)=d (,) ( F ) ( ) d(,)=d (,) { 2 } ( F ) Ejemplo d(,)=d 2 (,) ( Q 2 ) ( {} s t s t,,

9 Clusu (estell) de lengujes: Teoem: clusu de un lenguje egul itio es un lenguje egul Se = (A ) siendo A un AF (no necesimente deteminist) con A = (Q,,d,,F ) Definición de un AF A tl ue (A) = ((A ))* A = (Q { 0 },, d, 0,F { 0 }) donde d(,)=d (,) ( Q -F ) ( {} d(,)=d (,) ( F ) ( ) d(,)=d (,) { 0 } ( F ) d( 0,)= { } * i0 i Ejemplo 0

10 { x * Reveso (inveso) de lengujes: } : x Teoem: El eveso de un lenguje egul itio es un lenguje egul Se = (A ) siendo A un AF con un único estdo finl con A = (Q,,d,,{f}) Definición de un AF A tl ue (A) = ((A )) A = (Q,, d, f,{ } ) donde d (p,) p d (,) (,p Q )( {}) Ejemplo s s

11 Complementio de lengujes: { x * : x } * Teoem: El complementio de un lenguje egul itio es un lenguje egul Se = (A ) siendo A un AFD completo con A = (Q,,d,,F ) Definición de un AFD A tl ue (A) = *- (A ) A = (Q,, d,,q -F ) Ejemplo, s, s

12 Difeenci de lengujes: * { x : x x 2} 2 Teoem: difeenci ente dos lengujes egules itios es un lenguje egul 2 2 Ddo ue l difeenci ente dos lengujes se puede defini como l intesección ente el pimeo y el complementio del segundo, podemos constui un epesentción p l opeción sándonos en constucciones y conocids. Difeenci simétic de lengujes: ) ( ) 2 ( 2 2 Teoem: difeenci simétic ente dos lengujes egules itios es un lenguje egul Ddo ue l difeenci simétic ente dos lengujes se puede defini como l unión de ls difeencis ente cd uno de ellos con el oto, podemos constui un epesentción p l opeción sándonos en constucciones y conocids.

13 Homomofismos: h : h( * * ) { h( w) * : w Teoem: Ddo un homomofismo itio y un lenguje egul itio, el homomofismo soe el lenguje egul poduce un lenguje egul } Se el lenguje definido soe el lfeto y denotdo po l expesión egul. Tomemos un homomofismo itio h: * Podemos defini un expesión egul h de fom ue h denot h(). Bst con sustitui en cd símolo po l cden h() consevndo l pioidd de los opedoes. Ejemplo Se h()=0 y h()= = **(+) + h = (0)*(0 + 0) + = (0)*0 + = (0)*

14 Homomofismos invesos: h : * * h ( ) { x*: h( x) } Teoem: Ddo un homomofismo itio y un lenguje egul itio, el homomofismo inveso soe el lenguje egul poduce un lenguje egul Se = (A ) siendo A un AFD con A = (Q,,d,,F ) Definición de un AF A tl ue (A) = h - ((A )) A = (Q,, d h,,f ) donde d h (,) = d (,h()) ( Q )( ) Ejemplo Se h()=0 y h()= 0 0 s 0 s

15 Sustituciones: : ( * ) P( x ( x) * ) Teoem: Se un sustitución iti donde p cd símolo del lfeto el esultdo es un lenguje egul y se un lenguje egul itio. sustitución soe el lenguje egul poduce un lenguje egul. Se el lenguje definido soe el lfeto y denotdo po l expesión egul. Tomemos un sustitución iti : * de fom ue cd lenguje () ued denotdo po un expesión egul. Podemos defini un expesión egul de fom ue denot (). Bst con sustitui en cd símolo po l expesión egul consevndo l pioidd de los opedoes. Ejemplo Se =(0)* y =(0 +)* + = * + σ = ((0)*)* [(0 + )* + ] + (0 +)* + = (0)* [(0 + )* + ] + (0 +)* + = = [(0)* + ] [(0 + )* + ] = [(0)*] [(0 + )* + ]

16 Alguns opeciones de ciee no constuctivs Teoem: El cociente po l deech de un lenguje egul 2 con un lenguje itio d siempe como esultdo un lenguje egul. 2 2 * \ { v : uv 2 u } Teoem: El cociente po l izuied de un lenguje egul 2 con un lenguje itio d siempe como esultdo un lenguje egul. 2 2 * / { v : vu2 u } Not: Si fue egul entonces l popiedd seí constuctiv en mos csos

17 Aplicciones de ls opeciones de ciee: Demostción de no egulidd P demost ue un lenguje itio no es egul st con plic soe popieddes de ciee p l clse de los lengujes egules y otene como esultdo un lenguje NO egul. De est fom, si el lenguje fue egul no se hí otenido uno no egul ddo el ciee de ls opeciones plicds. Ejemplo Demueste ue el lenguje ={ww : w {, }* } no es egul Tomemos l intesección ** = { n n : n 0 } =. A continución definimos el homomofismo h(0) =, h() = y h(2)=. Aplicndo el homomofismo inveso soe otenemos h - ( ) = { {0,} n 22{0,} n : n 0 } = 2. Aplicmos l intesección 2 0*22* = { 0 n 22 n : n 0 } = 3. Definimos ho el homomofismo g(0) =, g() = y g(2) =. Aplicndo g soe 3 otenemos g( 3 ) = { n n : n 0 } = 4. Ddo ue el último lenguje otenido 4 no es egul, podemos conclui ue tmpoco lo es y ue, si lo fue, el esultdo de plic soe popieddes de ciee gntiz ue los lengujes otenidos seín egules.

18 Aplicciones de ls opeciones de ciee: Demostción de egulidd P demost ue un lenguje itio es egul st con plic soe lenguje egules conocidos popieddes de ciee p l clse de los lengujes egules y otene como esultdo el lenguje. De est fom, si el lenguje no fue egul no se podí otene pti de lengujes egules y opeciones de ciee. Ejemplo Demueste ue el lenguje ={wx : w,x {, }*, w,x tienen longitud p} es egul Tomemos el lenguje egul denotdo po l expesión egul. A continución definimos l sustitución σ() = ((+)(+))* ue denot tods ls cdens de longitud p soe el lfeto {,}. Si plicmos l sustitución soe l expesión egul otenemos σ()=σ()σ() =. Ddo ue hemos otenido como el esultdo de plic opeciones de ciee soe un lenguje egul, podemos conclui ue tmién lo es.

19 Aplicciones de ls opeciones de ciee: Ciee de nuevs opeciones P demost ue un nuev opeción P es de ciee p l clse de los lengujes egules st con defini P en función de un plicción finit de opeciones de ciee p l clse de los lengujes egules. Ejemplo Se define l opeción P soe cdens del lfeto {,} de l siguiente fom: Si l cden es de longitud p, P cmi los símolos po. Si l cden es de longitud imp, P cmi los símolos po. opeción se extiende lengujes de l fom hitul (P() = { P(w) : w }). Demueste ue P es un opeción de ciee p l clse de los lengujes egules. Definmos el homomofismo h de fom ue h() = y h() =. Definmos el homomofismo g de fom ue g() = y g() =. Podemos compo ue P se puede defini como P() = h( ((+)(+))*) g( ((+)(+))*(+)) Ddo ue hemos definido P pti de un númeo finito de opeciones de ciee p l clse de los lengujes egules (intesección, homomofismos y unión), podemos conclui ue P es de ciee p l clse de los lengujes egules.

20 Popieddes de decisión Diemos ue un cuestión de decisión es decidile p un clse de lengujes si existe un lgoitmo ue l esuelve. En cso contio diemos ue l cuestión es indecidile. Alguns cuestiones de decisión elcionds con los utómts finitos Consideemos ue A y A 2 son dos utómts finitos deteminists itios. En cso de ue no lo fuen, otendímos sus coespondientes AFDs euivlentes. A continución consideemos ue w es un cden iti y ue cd denot l cdinlidd de un conjunto (en este cso un lenguje). Teoem: s siguientes cuestiones son decidiles:. cuestión de l vcuidd: (A )? 2. cuestión de l (in)finitud: cd((a )) =? 3. cuestión de l petenenci: w (A )? 4. cuestión de l euivlenci: (A ) = (A 2 )?

21 Un lgoitmo de decisión p l cuestión de l vcuidd cuestión de l vcuidd: (A )? Entd: A, un utómt finito deteminist. Slid: SI o NO Método: () Elimin de A los estdos no lcnzles desde el estdo inicil. (2) Si en el utómt esultnte existen estdos finles output(si) sino output(no)

22 Un lgoitmo de decisión p l cuestión de l (in)finitud cuestión de l (in)finitud: cd((a )) =? Entd: A, un utómt finito deteminist. Slid: SI o NO Método: () Elimin de A los estdos no lcnzles desde el estdo inicil. (2) Minimiz el nteio AFD esultnte. (3) Elimin del AFD mínimo el estdo sumideo (si lo huie) (4) Si en el AFD esultnte existen ciclos o ucles* output(si) sino output(no) *El estlecimiento de l existenci de ucles o ciclos se puede esolve medinte lgoitmos conocidos de l teoí de gfos plicdos soe el digm de tnsiciones del utómt

23 Un lgoitmo de decisión p l cuestión de l petenenci cuestión de l petenenci: w (A )? Entd: A, un utómt finito deteminist y w un cden iti. Slid: SI o NO Método: () Comenzndo desde el estdo inicil plic ls tnsiciones existentes en el AFD de cuedo con los símolos de l cden w. (2) Si no se puede complet ls tnsiciones (el AFD es incompleto) output(no) sino Si el último estdo de llegd es finl o de ceptción output(si) sino output(no)

24 Un lgoitmo de decisión p l cuestión de l euivlenci cuestión de l euivlenci: (A ) = (A 2 )? [ ( A ) ( A2 )] [(( ( A ) ( A2 )) ( ( A ) ( A2 ))) ] cuestión de l euivlenci se puede educi l cuestión de l vcuidd plicndo opeciones de ciee y conocids.