Capítulo 4: Expresiones algebraicas. Polinomios.

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1 Mtemátics oientds ls enseñnzs cdémics: º B de ESO Cítulo : Eesiones lgeics. Polinomios. LiosMeVede.tk Auto: Edudo Cuchillo Iáñez Reviso: Jvie Rodigo Ilustciones: Bnco de Imágenes de INTEF commons.wikimedi

2 0 Eesiones lgeics. Polinomios. ºB ESO Índice. INTRODUCCIÓN. EXPRESIONES ALGEBRAICAS.. INTRODUCCIÓN.. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS. SUMA Y PRODUCTO.. MONOMIOS. POLINOMIOS.. SUMA DE POLINOMIOS.. PRODUCTO DE POLINOMIOS. DIVISIÓN DE POLINOMIOS.. INTRODUCCIÓN A LAS FRACCIONES POLINÓMICAS.. DIVISIÓN DE POLINOMIOS.. IGUALDADES NOTABLES.. OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS Resumen Según vnzmos en nuestos estudios se vn mlindo nuestos conocimientos, en ticul los de Mtemátics. Esto no se dee ningún tio de cicho, todo lo contio: lo lgo de l histoi ls Mtemátics se desolln emujds o ls necesiddes de ls esons. Es indudle l convenienci de ue un eson teng soltu con los númeos sus oeciones ásics: sum, est, multilicción división. Po soltu no dee entendese ue se se de memoi tods ls tls de multilic, sino ue se consciente de lo ue signific eliz un oeción concet, ue se cz de d esuest egunts cotidins ue se solventn oendo decudmente los dtos disoniles. P ese oósito es útil foment nuest ccidd de stcción; ell nos emite econoce como euivlentes situciones en ienci mu lejds. En este cítulo se v d un so en ese sentido l mniul, mnej, dtos numéicos no concetdos, no conocidos, tvés de indeteminds o viles. De es mne eceán ls eesiones lgeics, dento de ells, uns eesiones ticules de undnte uso simlicidd de eosición, los olinomios. Mt. oientds ls enseñnzs cdémics º B ESO. Cítulo : Eesiones lgeics. Polinomios Reviso: Jvie Rodigo LiosMeVede.tk Auto: Edudo Cuchillo Iáñez Ilustciones: Bnco de Imágenes de INTEF

3 Eesiones lgeics. Polinomios. ºB ESO. INTRODUCCIÓN. EXPRESIONES ALGEBRAICAS.. Intoducción No hce flt imgin situciones euscds ue, l ho de eliz un zonmiento, nos toemos con lgun de ls cuto oeciones mtemátics ásics: sum, est, multilicción o división. Ejemlos: El de, l mde el hijo hn ido l cine ls entds hn costdo euos. P clcul el ecio de cd entd se divide ente : / = euos. Si vmos com st de té el ecio de un kilogmo es de euos, esult hitul ue, según v l deendient intoduciendo sts en un ndej, vmos viendo el imote finl. P ello si l ndej está soe un lnz, ejecutmos l oeción donde es l cntidd de kilogmos ue nos h indicdo l lnz. Desués de cd esd, el esultdo de es multilicción eflej el imote de ls sts ue, en ese momento, contiene l ndej. Suongmos ue tenemos un contto con un comñí de telefoní móvil o el ue gmos céntimos de euo o minuto, sí como céntimos o estlecimiento de llmd. Con es tif, un llmd de minutos nos costá: 0'0 0' 0' 0' 0' euos Peo cuál es el ecio de un llmd culuie? Como desconocemos su dución, nos encontmos con un cntidd no detemind, o indetemind, o lo ue en culuie esuest ue demos l egunt nteio se eciá l usenci de ese dto conceto. Podemos deci ue el coste de un llmd culuie es donde señl su dución, en minutos. 0'0 0' 0'0 0' euos Actividdes ouests. A finles de cd mes l emes de telefoní móvil nos oocion l fctu mensul. En ell ece much infomción, en ticul, el númeo totl de llmds elizds N sí como l cntidd totl de minutos de convesción M. Con los dtos del nteio ejemlo, justific ue el imote de ls llmds efectuds dunte ese mes es: 0'0 M 0' N 0'0 M 0' N euos Mt. oientds ls enseñnzs cdémics º B ESO. Cítulo : Eesiones lgeics. Polinomios Reviso: Jvie Rodigo LiosMeVede.tk Auto: Edudo Cuchillo Iáñez Ilustciones: Bnco de Imágenes de INTEF

4 Eesiones lgeics. Polinomios. ºB ESO Ejemlo: Es ien conocid l fómul del áe de un ectángulo de se ltu socid h: A = h En todos estos ejemlos hn sugido eesiones lgeics... Eesiones lgeics Llmemos eesión lgeic culuie eesión mtemátic ue se constu con númeos ls oeciones mtemátics ásics: sum, est, multilicción /o división. En un eesión lgeic uede he dtos no concetdos; según el conteto, eciián el nome de vile, indetemind, ámeto, ente otos. Si en un eesión lgeic no h viles, dich eesión no es más ue un númeo: h Ejemlo: 0 Al fij un vlo conceto cd indetemind de un eesión lgeic ece un númeo, el vlo numéico de es eesión lgeic tles vloes de ls indeteminds. Ejemlo: El volumen de un cono viene ddo o l eesión lgeic: V h en l ue es el dio del cículo se h es su ltu. De este modo, el volumen de un cono cu se tiene un dio de 0 cm de ltu cm es igul : V h 0 00 cm. El áe ltel del cono viene dd o A L = π g, donde es el dio de l se g l genetiz. L sueficie totl es A T = π g + π. L eesión lgeic ue eesent el oducto de los cuddos de dos númeos culesuie e se simoliz o. Si en ell fijmos e esult. Mt. oientds ls enseñnzs cdémics º B ESO. Cítulo : Eesiones lgeics. Polinomios Reviso: Jvie Rodigo LiosMeVede.tk Auto: Edudo Cuchillo Iáñez Ilustciones: Bnco de Imágenes de INTEF

5 Eesiones lgeics. Polinomios. ºB ESO Si en l eesión z ticulizmos ls tes viles con los vloes,, z suge el númeo / En un eesión lgeic uede no tene sentido otog lgún vlo ciet indetemind. En efecto, en el último ejemlo no es osile hce z 0. Actividdes ouests. Escie ls eesiones lgeics ue nos oocionn l longitud de un cicunfeenci el áe de un tecio.. Reescie, en lenguje lgeico, los siguientes enuncidos, efeidos dos númeos culesuie e : El tile de su difeenci L sum de sus cuddos c El cuddo de su sum d El inveso de su oducto e L sum de sus ouestos d El oducto de sus cuddos. Un tiend de o nunci en sus esctes ue está de ejs ue todos sus tículos están ejdos un 0 % soe el ecio imeso en cd etiuet. Escie lo ue gemos o un end en función de lo ue ece en su etiuet.. Clcul el vlo numéico de ls siguientes eesiones lgeics el vlo o vloes ue se indicn:... Indic, en cd cso, el vlo numéico de l eesión z :,, z, 0, z c 0,, z 0. Clcul el vlo numéico de ls siguientes eesiones lgeics el vlo o los vloes ue se indicn: + = + + = = c c + c + c =. Mt. oientds ls enseñnzs cdémics º B ESO. Cítulo : Eesiones lgeics. Polinomios Reviso: Jvie Rodigo LiosMeVede.tk Auto: Edudo Cuchillo Iáñez Ilustciones: Bnco de Imágenes de INTEF

6 Eesiones lgeics. Polinomios. ºB ESO. POLINOMIOS. SUMA Y PRODUCTO.. Monomios. Polinomios Uns eesiones lgeics de gn utilidd son los olinomios, cu vesión más simle, l vez, genedo de ellos son los monomios. Un monomio viene ddo o el oducto de númeos e indeteminds. Llmemos coeficiente de un monomio l númeo ue multilic l indetemind, o indeteminds; l indetemind, o indeteminds, confomn l te litel del monomio. Ejemlos: L eesión ue nos oocion el tile de un cntidd,, es un monomio con un únic vile,, coeficiente. El volumen de un cono, h, es un monomio con dos indeteminds, h, coeficiente. Su te litel es h. Otos monomios:, z L eesión está fomd o tes téminos, tes monomios. Cd uno tiene un coeficiente un te litel: En el imeo, El segundo, Y en el teceo,, el coeficiente es l te litel, tiene o coeficiente te litel, el coeficiente es l te litel Atendiendo l eonente de l vile, o viles, djudicemos un gdo cd monomio con eglo l siguiente citeio: Cundo h un únic indetemind, el gdo del monomio seá el eonente de su indetemind. Si ecen vis indeteminds, el gdo del monomio seá l sum de los eonentes de ess indeteminds. Ejemlos: es un monomio de gdo en l vile. Mt. oientds ls enseñnzs cdémics º B ESO. Cítulo : Eesiones lgeics. Polinomios Reviso: Jvie Rodigo LiosMeVede.tk Auto: Edudo Cuchillo Iáñez Ilustciones: Bnco de Imágenes de INTEF

7 Eesiones lgeics. Polinomios. ºB ESO h es un monomio de gdo en ls indeteminds h. es un monomio de gdo en. z es un monomio de gdo en, z. Un númeo uede se considedo como un monomio de gdo 0. Actividdes ouests. En cd uno de los siguientes monomios señl su coeficiente, su te litel su gdo: c Un olinomio es un eesión constuid ti de l sum de monomios. El gdo de un olinomio vendá ddo o el mo gdo de sus monomios. Ejemlos: es un olinomio de gdo en l vile. es un olinomio de gdo en ls indeteminds e. es un olinomio de gdo en e. z es un olinomio de gdo en, z. Tnto en est sección como en l siguiente nos limitemos, ásicmente, conside olinomios con un únic vile. Es hitul escii los difeentes monomios de un olinomio de fom ue sus gdos vn en descenso, con este citeio, eci en su ime monomio cuál es el gdo del olinomio. El secto genéico de un olinomio en l vile es n n n n... 0 donde los coeficientes k son númeos. El monomio de gdo ceo, 0, ecie el nome de témino indeendiente. Diemos ue un olinomio es mónico cundo el coeficiente de su témino de mo gdo es igul. Mt. oientds ls enseñnzs cdémics º B ESO. Cítulo : Eesiones lgeics. Polinomios Reviso: Jvie Rodigo LiosMeVede.tk Auto: Edudo Cuchillo Iáñez Ilustciones: Bnco de Imágenes de INTEF

8 Eesiones lgeics. Polinomios. ºB ESO Ejemlos: es un olinomio de gdo en l vile, cuo témino indeendiente es. es un olinomio de gdo en l indetemind con témino indeendiente. z z es un olinomio de gdo en es un olinomio de gdo en. z. Además, es un olinomio mónico. Actividdes ouests. P cd uno de los siguientes olinomios destc su gdo los monomios ue lo constituen: 0 Como ocue con culuie eesión lgeic, si fijmos, o escogemos, un vlo conceto l vile de un olinomio ece un númeo: el vlo numéico del olinomio ese vlo detemindo de l vile. Si hemos llmdo un olinomio, l evlución de en, o ejemlo, el númeo l denotemos o, leeemos de menos tes o en menos tes. Con este citeio, si es un olinomio cu indetemind es l vile, odemos efeinos él como o indistintmente. De est fom ecimos ue un olinomio uede se entendido como un mne concet de sign cd númeo oto númeo. Ejemlos: Si evlumos el olinomio en nos encontmos con el númeo El vlo del olinomio es 0 Al ticuliz el olinomio z z en z 0 esult el númeo 0. Actividdes ouests Mt. oientds ls enseñnzs cdémics º B ESO. Cítulo : Eesiones lgeics. Polinomios Reviso: Jvie Rodigo LiosMeVede.tk Auto: Edudo Cuchillo Iáñez Ilustciones: Bnco de Imágenes de INTEF

9 Mt. oientds ls enseñnzs cdémics º B ESO. Cítulo : Eesiones lgeics. Polinomios Reviso: Jvie Rodigo LiosMeVede.tk Auto: Edudo Cuchillo Iáñez Ilustciones: Bnco de Imágenes de INTEF Eesiones lgeics. Polinomios. ºB ESO 0. Consideemos el olinomio. Hll los siguientes vloes numéicos de : 0,,, /... Sum de olinomios Como un olinomio es un sum de monomios, l sum de dos olinomios es oto olinomio. A l ho de sum dos olinomios ocedeemos sum los monomios de igul te litel. Ejemlos: L sum de los olinomios es el olinomio + + = + En el siguiente ejemlo sumemos dos olinomios disoniéndolos, decudmente, uno soe oto. Ejemlo: Poieddes de l sum de olinomios Poiedd conmuttiv. Si son dos olinomios, no imot el oden en el ue los colouemos l ho de sumlos: Ejemlo:

10 Mt. oientds ls enseñnzs cdémics º B ESO. Cítulo : Eesiones lgeics. Polinomios Reviso: Jvie Rodigo LiosMeVede.tk Auto: Edudo Cuchillo Iáñez Ilustciones: Bnco de Imágenes de INTEF Eesiones lgeics. Polinomios. ºB ESO Poiedd socitiv. Nos señl cómo se ueden sum tes o más olinomios. Bst hcelo guándolos de dos en dos: Ejemlo: Tmién: Actividdes ouests. Reliz ls siguientes sums de olinomios: Elemento neuto. H un olinomio con un oiedd ticul: el esultdo de sumlo con culuie oto sieme es este último. Se tt del olinomio ddo o el númeo 0, el olinomio ceo. Ejemlo: 0 0 Elemento ouesto. Cd olinomio tiene socido oto, l ue llmemos su olinomio ouesto, tl ue l sum de mos es igul l olinomio ceo. Alcnzmos el olinomio ouesto de uno ddo, simlemente, cmindo el signo de cd monomio. Ejemlo: El olinomio ouesto de es, l ue denotemos como " ". Rtifiuemos ue su sum es el olinomio ceo: 0

11 Eesiones lgeics. Polinomios. ºB ESO Actividdes ouests. Escie el olinomio ouesto de cd uno de los siguientes olinomios:. Conside los olinomios,, sí como el olinomio sum s. Hll los vloes ue dot cd uno de ellos, es deci, clcul, s. Estudi si eiste lgun elción ente esos tes vloes.. Otén el vlo del olinomio en. Qué vlo tom el olinomio ouesto de en?.. Poducto de olinomios Ot oeción ue odemos eliz con olinomios es l multilicción. El esultdo del oducto de olinomios sieme seá oto olinomio. Aunue en un olinomio tenemos un indetemind, o vile, como ell dot vloes numéicos, l ho de multilic olinomios utilizemos ls oieddes de l sum el oducto ente númeos, en ticul l oiedd distiutiv del oducto esecto de l sum; sí, todo ued en función del oducto de monomios, cuestión ue esolvemos con fcilidd: Ejemlos: 0 0 n m 0 nm 0 0 Tmién odemos mteiliz el oducto de olinomios tl como multilicmos númeos enteos: Ejemlo: Mt. oientds ls enseñnzs cdémics º B ESO. Cítulo : Eesiones lgeics. Polinomios Reviso: Jvie Rodigo LiosMeVede.tk Auto: Edudo Cuchillo Iáñez Ilustciones: Bnco de Imágenes de INTEF

12 Mt. oientds ls enseñnzs cdémics º B ESO. Cítulo : Eesiones lgeics. Polinomios Reviso: Jvie Rodigo LiosMeVede.tk Auto: Edudo Cuchillo Iáñez Ilustciones: Bnco de Imágenes de INTEF 00 Eesiones lgeics. Polinomios. ºB ESO Recodemos ue el olinomio ouesto de oto se otiene simlemente cmindo el signo de cd monomio. Est cción se coesonde con multilic o el númeo el olinomio oiginl. De est fom el olinomio ouesto de es En este momento ece de mne ntul l oeción difeenci, o est, de olinomios. L definimos con l ud del olinomio ouesto de uno ddo: Ejemlo: Actividdes ouests. Efectú los siguientes oductos de olinomios:. Reliz ls siguientes difeencis de olinomios:. Multilic cd uno de los siguientes olinomios o un númeo de tl fom ue sujn olinomios mónicos:

13 Mt. oientds ls enseñnzs cdémics º B ESO. Cítulo : Eesiones lgeics. Polinomios Reviso: Jvie Rodigo LiosMeVede.tk Auto: Edudo Cuchillo Iáñez Ilustciones: Bnco de Imágenes de INTEF 0 Eesiones lgeics. Polinomios. ºB ESO. Clcul simlific los siguientes oductos: c d Poieddes del oducto de olinomios Poiedd conmuttiv. Si son dos olinomios, no imot el oden en el ue los colouemos l ho de multiliclos: Ejemlo: Poiedd socitiv. Nos señl cómo se ueden multilic tes o más olinomios. Bst hcelo guándolos de dos en dos: Ejemlo: Tmién: Actividdes ouests. Reliz los siguientes oductos de olinomios:

14 Mt. oientds ls enseñnzs cdémics º B ESO. Cítulo : Eesiones lgeics. Polinomios Reviso: Jvie Rodigo LiosMeVede.tk Auto: Edudo Cuchillo Iáñez Ilustciones: Bnco de Imágenes de INTEF 0 Eesiones lgeics. Polinomios. ºB ESO Elemento neuto. H un olinomio con un oiedd ticul: l multiliclo o culuie oto sieme nos d éste último. Se tt del olinomio ddo o el númeo, el olinomio unidd. Ejemlo: Poiedd distiutiv de l multilicción esecto de l sum. Cundo en un multilicción de olinomios uno de los fctoes viene ddo como l sum de dos olinomios como, o ejemlo, tenemos dos ociones conoce el esultdo: eliz l sum, desués, multilic distiui, lic, l multilicción cd uno de los sumndos, desués, sum: Comomos ue otenemos el mismo esultdo. En genel, l oiedd distiutiv de l multilicción esecto de l sum nos dice ue Conviene coment ue l nteio oiedd distiutiv leíd en sentido contio, de deech izuied, es lo ue comúnmente se denomin sc fcto común. Ejemlo: Actividdes ouests 0. De cd uno de los siguientes olinomios ete lgún fcto ue se común sus monomios: 0 0 0

15 0 Eesiones lgeics. Polinomios. ºB ESO. DIVISIÓN DE POLINOMIOS.. Intoducción ls fcciones olinómics Hst este momento hemos estudido vis oeciones con olinomios: sum, est oducto. En culuie de los csos el esultdo sieme es oto olinomio. Cundo estlecemos un fcción olinómic como, o ejemlo, lo ue tenemos es un eesión lgeic, un fcción lgeic, l cul, en genel, no es un olinomio. Sí ece un olinomio en el mu ticul cso en el ue el denomindo es un númeo difeente de ceo, esto es, un olinomio de gdo 0. Es sencillo constt ue l eesión nteio no es un olinomio: culuie olinomio uede se evludo en culuie númeo. Sin emgo es eesión no uede se evlud, ue nos uedí el númeo 0 en el denomindo. Podímos cee ue l siguiente fcción olinómic sí es un olinomio: L eesión de l deech sí es un olinomio, ues se tt de un sum de monomios, eo l de l izuied no lo es ue no uede se evlud en 0. No ostnte, es fcción lgeic el olinomio, cundo son evludos en culuie númeo difeente de ceo, ofecen el mismo vlo. Son eesiones euivlentes llí donde ms tienen sentido, esto es, uellos númeos en los ue el denomindo no se hce ceo... División de olinomios Aunue, como hemos visto en el tdo nteio, un fcción olinómic, en genel, no es un olinomio, vmos dentnos en l división de olinomios ues es un cuestión imotnte útil. Anlicemos con detenimiento l división de dos númeos enteos ositivos. Cundo dividimos dos númeos, D dividendo ente d diviso, distinto de 0, sugen otos dos, el cociente c el esto. Ellos se encuentn ligdos o l llmd ue de l división: Altentivmente: D d c D d c Además, decimos ue l división es ect cundo 0. El conocido lgoitmo de l división esigue encont un númeo enteo, el cociente c, tl ue el esto se un númeo meno ue el diviso d, mo o igul ue ceo. Fijémonos en ue, sin est eigenci el esto, odemos escoge itimente un vlo el cociente c el cul nos suminist su d Mt. oientds ls enseñnzs cdémics º B ESO. Cítulo : Eesiones lgeics. Polinomios Reviso: Jvie Rodigo LiosMeVede.tk Auto: Edudo Cuchillo Iáñez Ilustciones: Bnco de Imágenes de INTEF

16 0 Eesiones lgeics. Polinomios. ºB ESO vlo socido como esto. En efecto, si tenemos como dividendo D = como diviso d =, si ueemos ue el cociente se c = su esto socido es D d c l coneión ente estos cuto númeos es Est últim lectu de l división de númeos enteos v guinos l ho de dividi dos olinomios. Ddos dos olinomios, l división de, olinomio dividendo, ente, olinomio diviso, nos oocioná otos dos olinomios, el olinomio cociente c el olinomio esto. Tmién uí esá un eigenci soe el olinomio esto: su gdo deeá se meno ue el gdo del olinomio diviso. L elción ente los cuto seá, ntulmente, Tmién esciiemos c c unue, en tl cso, seemos conscientes de ls cutels señlds en el tdo nteio en cunto ls euivlencis ente olinomios ots eesiones lgeics. Al igul ue ocue con el lgoitmo de l división ente, el lgoitmo de l división de olinomios const de vis ets, de cácte eetitivo, en cd un de ls cules ecen unos olinomios cociente esto ovisionles de fom ue el gdo de esos olinomios esto v descendiendo hst ue nos tomos con uno cuo gdo es infeio l gdo del olinomio diviso, lo ue indic ue hemos concluido. Vemos este ocedimiento con un ejemlo conceto. Ejemlo: Vmos dividi el olinomio ente el olinomio. Como el olinomio diviso,, es de gdo, deemos encont dos olinomios, un olinomio cociente c, un olinomio esto de gdo o 0, tles ue c o, como iguldd ente eesiones lgeics, c A l vist de los olinomios, de lo dicho soe, es evidente ue el gdo del olinomio cociente, c, h de se igul. Vmos otenelo monomio monomio. Pime oimción los olinomios cociente esto: P ode log l iguldd c, como el gdo de seá o 0, el témino de mo gdo de,, sugiá del oducto c. Así otenemos l ime oimción de c, su Mt. oientds ls enseñnzs cdémics º B ESO. Cítulo : Eesiones lgeics. Polinomios Reviso: Jvie Rodigo LiosMeVede.tk Auto: Edudo Cuchillo Iáñez Ilustciones: Bnco de Imágenes de INTEF

17 Mt. oientds ls enseñnzs cdémics º B ESO. Cítulo : Eesiones lgeics. Polinomios Reviso: Jvie Rodigo LiosMeVede.tk Auto: Edudo Cuchillo Iáñez Ilustciones: Bnco de Imágenes de INTEF 0 Eesiones lgeics. Polinomios. ºB ESO monomio de mo gdo: c, de mne utomátic, tmién un ime esto : c Como este olinomio es de gdo, mo ue, el gdo del olinomio diviso, ese olinomio esto no es el definitivo; deemos continu. Segund oimción los olinomios cociente esto: Si ticulizmos l iguldd ente eesiones lgeics c lo ue tenemos hst ho esult Est segund et consiste en dividi el olinomio, sugido como esto de l et nteio, ente el olinomio, el diviso inicil. Es deci, eetimos lo hecho ntes eo considendo un nuevo olinomio dividendo: el olinomio esto del so nteio. El nuevo ojetivo es lcnz l iguldd c. Al igul ue ntes, el gdo de deeí se o 0. Como el témino de mo gdo de,, sle del oducto c, es necesio ue el olinomio cociente conteng el monomio c Ello nos llev un segundo esto : c Como este olinomio es de gdo, igul ue el gdo del olinomio diviso, ese olinomio esto no es el definitivo; deemos continu. Tece oimción los olinomios cociente esto: Lo elizdo en l et segund nos emite vnz en l decud descomosición de l eesión lgeic ue nos ocu: Est tece et consiste en dividi el olinomio, el esto de l et nteio, ente el olinomio, el diviso inicil. De nuevo eetimos el lgoitmo eo con oto olinomio dividendo: el olinomio esto del so nteio. Peseguimos ue c. Como en cd so, el gdo de deeí se o 0. El témino de

18 Mt. oientds ls enseñnzs cdémics º B ESO. Cítulo : Eesiones lgeics. Polinomios Reviso: Jvie Rodigo LiosMeVede.tk Auto: Edudo Cuchillo Iáñez Ilustciones: Bnco de Imágenes de INTEF 0 Eesiones lgeics. Polinomios. ºB ESO mo gdo de,, suge del oducto c, o lo ue c el tece esto es c Como este olinomio es de gdo, meno ue, gdo del olinomio diviso, ese olinomio esto sí es el definitivo. Hemos concluido: Si lo eesmos medinte olinomios: Conclusión: l dividi el olinomio ente el olinomio otenemos como olinomio cociente c como olinomio esto. Seguidmente vmos giliz l división de olinomios: Actividdes ouests. Comue ue los cálculos ue tienes continución eflejn lo ue se hizo en el ejemlo nteio dividi el olinomio ente el olinomio. Pime et: Pime segund ets: Ls tes ets:

19 Mt. oientds ls enseñnzs cdémics º B ESO. Cítulo : Eesiones lgeics. Polinomios Reviso: Jvie Rodigo LiosMeVede.tk Auto: Edudo Cuchillo Iáñez Ilustciones: Bnco de Imágenes de INTEF 0 Eesiones lgeics. Polinomios. ºB ESO. Divide los siguientes olinomios: ente ente ente ente ente. Encuent dos olinomios tles ue l dividilos ezc como olinomio cociente como esto... Igulddes notles En este tdo vmos destc un seie de oductos concetos de olinomios ue sugen fecuentemente. Podemos eonelos de mu divess foms. Tl como lo hemos, eceá más de un indetemind; hemos de se cces de eci ue si, en lgún cso ticul, lgun indetemind s se un númeo conceto esto no há nd más ue ticuliz un situción más genel. Potencis de un inomio. Ls siguientes igulddes se otienen, simlemente, ts efectu los ootunos cálculos: El cuddo de un sum es igul l cuddo del imeo, más el dole oducto del imeo o el segundo, más el cuddo del segundo. Comue l iguldd ti de los cuddos ectángulos de l ilustción.

20 0 Eesiones lgeics. Polinomios. ºB ESO El cuddo de un difeenci es igul l cuddo del imeo, menos el dole oducto del imeo o el segundo, más el cuddo del segundo. Osev l figu conéctl con l iguldd. Rtific l iguldd con los cuos isms de l figu. Podemos osev ue, en cd uno de los desollos, el eonente del inomio coincide con el gdo de cd uno de los monomios. Ejemlos: Actividdes ouests. Reliz los cálculos:. Otén ls fómuls de los cuddos de los siguientes tinomios: Mt. oientds ls enseñnzs cdémics º B ESO. Cítulo : Eesiones lgeics. Polinomios Reviso: Jvie Rodigo LiosMeVede.tk Auto: Edudo Cuchillo Iáñez Ilustciones: Bnco de Imágenes de INTEF

21 0 Eesiones lgeics. Polinomios. ºB ESO c c. Desoll ls siguientes otencis: + / c / d + e + f / /. Ees como cuddo de un sum o de un difeenci ls siguientes eesiones lgeics: c 0 + d + e + + f + + Sum o difeenci. De nuevo l siguiente iguldd se otiene ts efectu el oducto señldo: Sum o difeenci es igul difeenci de cuddos. Osev ls figus conéctls con l iguldd. Ejemlos: Actividdes ouests. Efectú estos oductos:. Ees como sum o difeenci ls siguientes eesiones c d 00 De vuelt los olinomios de un vile, odemos deci ue en este tdo hemos endido Mt. oientds ls enseñnzs cdémics º B ESO. Cítulo : Eesiones lgeics. Polinomios Reviso: Jvie Rodigo LiosMeVede.tk Auto: Edudo Cuchillo Iáñez Ilustciones: Bnco de Imágenes de INTEF

22 0 Eesiones lgeics. Polinomios. ºB ESO otencis de un olinomio, o oductos de un olinomio o sí mismo, sí como oductos de l fom sum o difeenci. Conviene dse cuent de ue sus fómuls, leíds l evés, nos infomn del esultdo de ciets divisiones de olinomios. En efecto, l igul ue cundo leemos deducimos ue, tmién,, ti del desollo de un inomio como, o ejemlo,, odemos otene ue Lo mismo ocue con el oducto de olinomios de l fom sum o difeenci. Puesto ue, o ejemlo,, deducimos ue, tmién. Actividdes ouests 0. Reliz ls siguientes divisiones de olinomios ti de l convesión del dividendo en l otenci de un inomio o en un oducto de l fom sum o difeenci: ente ente ente ente.. Oeciones con fcciones lgeics Puesto ue tnto los olinomios como ls fcciones lgeics otenids ti de dos olinomios son, en otenci, númeos, oeemos con tles eesiones siguiendo ls oieddes de los númeos. Sum o est. P sum o est dos fcciones olinómics deeemos consegui ue tengn igul denomindo. Un mne segu de loglo, unue uede no se l más decud, es ést: Poducto. Bst multilic los numedoes denomindoes ente sí: División. Sigue l conocid egl de l división de fcciones numéics: Mt. oientds ls enseñnzs cdémics º B ESO. Cítulo : Eesiones lgeics. Polinomios Reviso: Jvie Rodigo LiosMeVede.tk Auto: Edudo Cuchillo Iáñez Ilustciones: Bnco de Imágenes de INTEF

23 Mt. oientds ls enseñnzs cdémics º B ESO. Cítulo : Eesiones lgeics. Polinomios Reviso: Jvie Rodigo LiosMeVede.tk Auto: Edudo Cuchillo Iáñez Ilustciones: Bnco de Imágenes de INTEF Eesiones lgeics. Polinomios. ºB ESO Ejemlos: : En ocsiones uede se útil eci ue un fcción olinómic uede se eescit como l sum, difeenci, oducto o cociente de ots dos fcciones olinómics. En ticul, ello uede se ovechdo simlific un eesión olinómic: Ejemlos: Actividdes ouests. Efectú los siguientes cálculos:

24 Mt. oientds ls enseñnzs cdémics º B ESO. Cítulo : Eesiones lgeics. Polinomios Reviso: Jvie Rodigo LiosMeVede.tk Auto: Edudo Cuchillo Iáñez Ilustciones: Bnco de Imágenes de INTEF Eesiones lgeics. Polinomios. ºB ESO :. Reliz ls siguientes oeciones ltendo, en cd tdo, solo uno de los denomindoes, su esectivo numedo:. Clcul los siguientes cocientes: + : : c + 0 : d :. Comue ls siguientes identiddes simlificndo l eesión del ldo izuiedo de cd iguldd:. Simlific ls siguientes fcciones lgeics: c d. En cd un de ls siguientes fcciones lgeics escie, cundo se osile, el olinomio numedo, o denomindo, en fom de otenci de un inomio o de sum o difeenci, osteiomente, ode simlific cd eesión: c

25 Eesiones lgeics. Polinomios. ºB ESO CURIOSIDADES. REVISTA GEOMETRÍA Tl como odás como dunte este cuso los siguientes, gcis los olinomios seá osile sencillo descii numeosos ojetos geométicos como ects, cicunfeencis, elises, áols, lnos, esfes, cilindos, conos, etc. = + + c + + z = + = P ve geométicmente el cuddo de un tinomio: htt://ecusostic.educcion.es/ncoimgenes/we/_m:.swf P ve geométicmente sum o difeenci: htt://ecusostic.educcion.es/ncoimgenes/we/_m:.swf P ve geométicmente el cuddo de un difeenci: htt://ecusostic.educcion.es/ncoimgenes/we/_m:.swf OTRAS CIENCIAS Hemos visto en este cítulo ue ls fómuls ue nos oocionn el áe o el volumen de difeentes figus vienen dds o olinomios. Éstos tmién ecen en numeosos inciios o lees de l Físic de l Químic como, o ejemlo, en difeentes Lees de Consevción, l Le Genel de los Gses, etc. Asimismo, son de fecuente uso l ho de otene distintos índices o indicdoes oios de l Economí como, o ejemlo, el IPC índice de ecios l consumo, el euío, etc. Mt. oientds ls enseñnzs cdémics º B ESO. Cítulo : Eesiones lgeics. Polinomios Reviso: Jvie Rodigo LiosMeVede.tk Auto: Edudo Cuchillo Iáñez Ilustciones: Bnco de Imágenes de INTEF

26 Eesiones lgeics. Polinomios. ºB ESO RESUMEN Noción Descición Ejemlos Eesión lgeic Se constue con númeos ls oeciones mtemátics ásics de sum, est, multilicción /o división z Vile, indetemind Vlo numéico de un eesión lgeic Lo no concetdo en un eesión lgeic Al fij un vlo conceto cd indetemind, o vile, de un eesión lgeic se otiene un númeo, el vlo numéico de es eesión lgeic tles vloes de ls indeteminds. Ls viles, o indeteminds, del ejemlo nteio son,, z Si, hcemos =, =, z = / otenemos Monomio Eesión dd o el oducto de númeos e indeteminds. z, Coeficiente de un monomio El númeo ue multilic l indetemind, o indeteminds, del monomio Los coeficientes de los nteioes monomios son, esectivmente, Pte litel de un monomio L indetemind, o oducto de indeteminds, ue multilic l coeficiente del monomio L te litel de es z z Gdo de un monomio Cundo h un únic indetemind es el eonente de dich indetemind. Si ecen vis, el gdo del monomio seá l sum de los eonentes de ess indeteminds. Los gdos de los monomios ecedentes son, esectivmente Polinomio Eesión constuid ti de l sum de monomios. Gdo de un olinomio Sum, est oducto de olinomios División de dos olinomios El mo gdo de sus monomios El esultdo sieme es oto olinomio Se otienen otos dos olinomios, los olinomios cociente c esto, ligdos los olinomios iniciles: los olinomios dividendo diviso El nteio olinomio es de gdo, c Mt. oientds ls enseñnzs cdémics º B ESO. Cítulo : Eesiones lgeics. Polinomios Reviso: Jvie Rodigo LiosMeVede.tk Auto: Edudo Cuchillo Iáñez Ilustciones: Bnco de Imágenes de INTEF

27 Eesiones lgeics. Polinomios. ºB ESO EJERCICIOS Y PROBLEMAS. Un emes moist de vijes está confeccionndo un ofet distiuil en difeentes gencis de vije. Se tt de un vije en vión, de id vuelt, Plm de Mlloc cuo ecio deendeá del númeo finl de vijeos. Los dtos concetos son: Si no h más de 00 esons inteesds, el vuelo costá 0 euos o eson. Si h más de 00 esons inteesds, o cd vijeo ue se del centen el ecio del vije se educiá en euo. No ostnte, el ecio del vuelo en ningún cso seá infeio 0 euos. Estudi detemin el ecio finl del vuelo, o eson, en función del númeo totl de vijeos. Asimismo, ees l cntidd ue ingesá l emes según el númeo de vijeos.. En este ejecicio se v esent un tuco medinte el cul vmos divin el númeo ue esult ts mniul eetidmente un númeo desconocido. Conviete en un eesión lgeic ls sucesivs lteciones del númeo desconocido justific lo ue ocue. i. Dile un comñeo ue esci en un el un númeo ue no lo mueste ii. Que lo multiliue o iii. Que l esultdo nteio le sume iv. Que multiliue o lo otenido v. Que l esultdo nteio le sume 0 vi. Que multiliue o lo otenido vii. Que divid ente 00 l últim cntidd viii. Que l esultdo ecedente le este l mitd del númeo ue esciió i. Indeendientemente del númeo desconocido oiginl ué númeo h sugido?. Los esonsles de un emes, en evisión de unos futuos ltijos en ls vents de los oductos ue ficn, iensn oone sus tjdoes finles del ño 0 lo siguiente: L disminución de los sueldos, el óimo ño 0, en un 0%. P 0 ofecen ument un 0% los slios de 0. c En genel, sugieen ue el sueldo disminu un 0% cd ño im ue umente un 0% cd ño. Si finlmente se lic lo euesto, estudi si los tjdoes ecueán en el ño 0 el slio ue tenín en 0. Anliz ué ocue con los sueldos ts el so de muchos ños.. Los esonsles de l nteio emes, desués de ecii el infome de un consulto, lten su Mt. oientds ls enseñnzs cdémics º B ESO. Cítulo : Eesiones lgeics. Polinomios Reviso: Jvie Rodigo LiosMeVede.tk Auto: Edudo Cuchillo Iáñez Ilustciones: Bnco de Imágenes de INTEF

28 Eesiones lgeics. Polinomios. ºB ESO intención inicil vn oone sus tjdoes, finles del ño 0, lo siguiente: Un umento de los sueldos, el óimo ño 0, de un 0%. P 0, un educción del 0% soe los slios de 0. c En genel, sugieen ue el sueldo umente un 0% cd ño im ue disminu un 0% cd ño. Si se lic lo euesto, nliz si el slio de los tjdoes del ño 0 coincidiá con el ue tenín en 0. Estudi cómo evolucionn los sueldos ts el so de muchos ños.. Osev si h númeos en los ue ls siguientes eesiones no ueden se evluds:. Hll el vlo numéico de ls siguientes eesiones en los númeos ue se indicn: en en e, 0 e c c c en. Un eson tiene hodos 000 euos decide deositlos en un oducto ncio con un tio de inteés nul del %. Si decide ecue sus hoos l co de dos ños, cuál seá l cntidd totl de l ue disondá?. Constue un olinomio de gdo,, tl ue.. Conside los olinomios,. Mt. oientds ls enseñnzs cdémics º B ESO. Cítulo : Eesiones lgeics. Polinomios Reviso: Jvie Rodigo LiosMeVede.tk Auto: Edudo Cuchillo Iáñez Ilustciones: Bnco de Imágenes de INTEF

29 Eesiones lgeics. Polinomios. ºB ESO Hz ls siguientes oeciones: 0. Clcul los oductos: 0' 0' 0'z 0' 0' 0' z c. Efectú ls divisiones de olinomios: ente ente ente. Clcul los cocientes: : z : z c :. Reliz ls oeciones ente fcciones lgeics: :. Encuent un olinomio tl ue l dividi ente se oteng como olinomio esto.. Clcul ls otencis: z c d z Mt. oientds ls enseñnzs cdémics º B ESO. Cítulo : Eesiones lgeics. Polinomios Reviso: Jvie Rodigo LiosMeVede.tk Auto: Edudo Cuchillo Iáñez Ilustciones: Bnco de Imágenes de INTEF

30 Mt. oientds ls enseñnzs cdémics º B ESO. Cítulo : Eesiones lgeics. Polinomios Reviso: Jvie Rodigo LiosMeVede.tk Auto: Edudo Cuchillo Iáñez Ilustciones: Bnco de Imágenes de INTEF Eesiones lgeics. Polinomios. ºB ESO. Anliz si los siguientes olinomios hn sugido del desollo de otencis de inomios, o tinomios, o de un oducto sum o difeenci. En cso fimtivo ees su ocedenci. z. Anliz si el numedo el denomindo de ls siguientes eesiones lgeics oceden del desollo de un inomio, o de un oducto sum o difeenci, simlifícls: c. Efectú ls siguientes oeciones simlific todo lo osile: c. Simlific todo lo osile: : : c : 0. Simlific todo lo osile: : : c

31 Eesiones lgeics. Polinomios. ºB ESO AUTOEVALUACIÓN. Señl los coeficientes ue ecen en ls siguientes eesiones lgeics: c. Destc ls viles, o indeteminds, de ls ecedentes eesiones lgeics.. Del olinomio indic su gdo los monomios ue lo integn.. L eesión no tiene sentido c d 0. Culuie olinomio: uede se evludo en culuie númeo. no uede se evludo en el númeo ceo. c no uede se evludo en cietos númeos concetos.. El vlo numéico de l eesión z en,, z es: z c d. Comlet decudmente ls siguientes fses: L sum de dos olinomios de gdo dos suele se oto olinomio de gdo. L sum de tes olinomios de gdo dos suele se oto olinomio de gdo. c El oducto de dos olinomios de gdo dos es sieme oto olinomio de gdo. d L difeenci de dos olinomios de gdo dos suele se oto olinomio de gdo.. Finliz decudmente ls siguientes fses: L sum de dos olinomios de gdo dos es sieme oto olinomio de gdo. L sum de tes olinomios de gdo dos es sieme oto olinomio de gdo. c L difeenci de dos olinomios de gdo dos es sieme oto olinomio de gdo.. Al dividi el olinomio ente el olinomio esto esultnte: dee se de gdo. uede se de gdo. c dee se de gdo. d ningun de ls ociones ecedentes. 0. P ue un fcción olinómic se euivlente un olinomio: los olinomios deen se del mismo gdo. no imotn los gdos de. c el gdo del olinomio numedo,, dee se sueio o igul l gdo del olinomio denomindo,. d el gdo del olinomio numedo,, dee se infeio l gdo del olinomio denomindo,. Mt. oientds ls enseñnzs cdémics º B ESO. Cítulo : Eesiones lgeics. Polinomios Reviso: Jvie Rodigo LiosMeVede.tk Auto: Edudo Cuchillo Iáñez Ilustciones: Bnco de Imágenes de INTEF