EJERCICIOS del TEMA 2: Lenguajes Regulares

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1 EJERCICIOS de MAC 1 ALF (Tem 2) Curso 2010/2011 EJERCICIOS del TEMA 2: Lengujes Regulres Sore AFDs (utómts finitos determinists): 1. Rzon l vercidd o flsedd de l siguientes firmción, poyándote en l teorí vist en clse. Si M = (Q, Σ, δ, q 0, F) es un utómt finito determinist totlmente especificdo con F = Q, entonces L(M) = Σ. 2. Se M = (Q, Σ, δ, q 0, F) un AFD con Q = {q 0,q 1,q 2 }, Σ = {, }, F = {q 2 } y l función de trnsición δ: δ q 0 q 0 q 1 q 1 q 2 q 1 q 2 q 2 q 0 ) Diuj el utómt M ) Trz los cómputos de M que procesn ls plrs,, c) Qué plrs de ls procesds en () son ceptds por M? 3. Busc tres plrs ceptds y tres plrs rechzds por cd uno de los siguientes utómts mostrndo el cómputo que ls proces. Determin cuáles de ellos están totlmente especificdos. Srís cuál es el lenguje ceptdo por cd uno de ellos? ) ),,, pág. 1

2 EJERCICIOS de MAC 1 ALF (Tem 2) Curso 2010/2011 c ), d ) e ),, f ) g ) 4. Construye AFDs que cepten cd uno de los siguientes lengujes definidos sore el lfeto Σ = {,}: ) L = { x Σ* : l longitud de x es divisile por 3} ) L = { x Σ*: no es suplr de x } c ) L = { x Σ* : x comienz por y termin por } d ) L = { x Σ* : x tiene un número pr de 's y un número pr de 's } e ) L = { x Σ* : x tiene tres 's consecutivs } f ) L = { x Σ* : tod prición de l suplr en x, o ien v seguid de, o está l finl de l plr } g ) L = { x Σ* : si x empiez por no contiene l suplr y si x empiez por contiene l suplr } h ) L = { x Σ* : x tiene un número pr de priciones de l cden } i ) L = { x Σ* : es suplr de x si y sólo si es suplr de x } j ) L = { x Σ* : x está formd por l conctención de un número ritrrio de cdens de l form yy R, con y =2 } k ) L = { x Σ* : x no contiene ningún prefijo en el que l diferenci entre el número de 's y 's se myor que tres ( fvor de culquier de ellos) } pág. 2

3 EJERCICIOS de MAC 1 ALF (Tem 2) Curso 2010/ (Ejercicio especil) Construye un AFD que cepte el siguiente lenguje: L = { x {, }* : x no contiene l suplr ni el sufijo } 6. (Ejercicio especil) Demuestr que l noción de lenguje ceptdo por un AFD no depende del lfeto prticulr de éste (siempre que l menos conteng los símolos involucrdos). Es decir, prue que: "Si Σ* L y Σ, entonces existe un AFD sore el lfeto Σ que cept L si y solo si, existe otro AFD sore el lfeto que cept L". Sore AFNDs (utómts finitos no determinists): 7. Busc tres plrs ceptds y tres plrs rechzds por cd uno de los siguientes utómts no determinists, mostrndo todos los cómputos que ls procesn. Srís qué lenguje cept cd uno de ellos? ) ) c ) 8. Construye AFNDs que cepten los siguientes lengujes sore el lfeto Σ = {,,c} ) L = { x Σ* : x tiene lgún pr de 's seprds por un cden de símolos de longitud 4*i, con i 0 } ) L = { x Σ* : x 5 y el quinto símolo contdo desde el finl es } c) L = { x Σ* : ni ni son sucdens de x } d) L = { x Σ* : x tiene y como sucden } e) L = { x Σ* : ccc es sufijo de x y en ningun otr posición de x pueden encontrrse dos símolos igules seguidos } pág. 3

4 EJERCICIOS de MAC 1 ALF (Tem 2) Curso 2010/2011 f ) L = { x Σ* : x tiene tres símolos igules seguidos } g ) L = { x Σ* : los símolos de x de posición múltiplo de tres son c's } 9. (Ejercicio especil) Construye un AFND que cepte el siguiente lenguje L = { x {,, c}* : x empiez y termin por y entre cd prición de y l siguiente hy un número pr de 's o un número impr c's } 10. (Ejercicio especil) Cuántos utómts finitos determinists y con dos estdos pueden construirse sore el lfeto {0,1}? Aceptn todos ellos lengujes distintos? Y de ellos, cuántos están totlmente especificdos? Y si construimos utómts finitos no determinists? 11. Se el lenguje regulr L = { x {,}*: x mod 2 = 1 x mod 3 = 0 es suplr de x }. Sigue los psos que se te indicn continución sin construir en ningún momento el utómt finito indicdo : ) Supón que quieres construir un utómt finito M que reconozc L. Indic cuántos estdos tendrí M y explic por qué. Enumer dichos estdos, explicndo pr qué sirve cd uno de ellos en tu construcción. Señl cuál serí el estdo inicil y cuáles los finles. ) Elige tres estdos culesquier e indic cuáles serín sus trnsiciones y qué estdos nos llevrín. c) Reconstruye los cómputos socidos ls plrs y. Sore GRs (grmátics regulres) y GLs (grmátics lineles): 12. Construye grmátics regulres ó lineles l derech que generen cd uno de los siguientes lengujes sore el lfeto terminl Σ = {,, c} ) { x Σ* : x mod 2 = 0 } ) { x Σ* : x empiez por y contiene l suplr } c) { x Σ* : x no contiene tres 's consecutivs } d) { x Σ* : x + x mod 3 = 0 } e) { x Σ* : x contiene ls suplrs, y cc } f) { x Σ* : x no contiene ls suplrs ni c } g) { x Σ* : cd prición de en x es precedid de o seguid de c } h) { x Σ* : x no contiene ningun prición de l sucden después de l últim prición del símolo c } i) { x Σ* : x contiene dos s seprds por un número impr de símolos } pág. 4

5 EJERCICIOS de MAC 1 ALF (Tem 2) Curso 2010/2011 j) { x Σ* : x contiene l suplr pero no contiene l suplr } De entre ells, di cules son regulres y cules son lineles. Trnsform ls lineles en regulres. 13. (Ejercicio especil) Se G=(N, Σ, P, S) un grmátic linel l derech, con N={S,A,B} y Σ = {, }, y sen ls siguientes plrs: S, A, AB,, A, S,, S, B, AS, BAS. ) Cuáles de ells podrín ser forms sentenciles de G? ) Descrie l estructur generl de un form sentencil de G. c ) Demuestr por inducción que ls forms sentenciles de G no pueden ser distints de lo descrito en el prtdo nterior. 14. (Ejercicio especil) Un Grmátic cusi-regulr l derech se define como un grmátic G = (N, Σ, P, S), donde ls regls de P responden lgun de ls 3 siguientes forms: A, A B, A, con A,B N, Σ. Consider el siguiente lgoritmo: Entrd: G = (N, Σ, P, S) grmátic cusi-regulr l derech Slid: INCOGNITA Procedimiento: Construir INCOGNITA = ( N 1, Σ, δ, S, F) donde N 1 = N {Z} F = {Z} {A: A P } B δ(a,) A B P Z δ(a,) A P ) Aplic el lgoritmo l grmátic siguiente: G=({S,A,B}, {,,c}, P, S) siendo P el conjunto de producciones S A B A A B cb c ) A qué modelo pertenece INCÓGNITA?. Rzon tu respuest. c) Justific l siguiente firmción: Todo lenguje generdo por un grmátic regulr ( derech) se puede generr medinte un grmátic cusi-regulr ( derech) y vicevers. pág. 5

6 EJERCICIOS de MAC 1 ALF (Tem 2) Curso 2010/2011 Sore ERs (expresiones regulres): 15. Di si son verdd o no ls siguientes firmciones: ) L(****) ) L(**) L( **) = L(* *) c ) L(**) L(c*d*) = d ) cd L(((cd)*)*) e) Ls expresiones regulres α = y β=( ) * son equivlentes. 16. Pr ls siguientes expresiones regulres, escrie tods ls plrs de longitud menor o igul que seis pertenecientes l lenguje que genern, y descrie dicho lenguje en cd cso: ) (10)* (01)* ) (10 01)* c ) (11 0)*(00 1)* d ) ( )*( 0 00) e ) [00 11 (01 10)(00 11)*(01 10)]* 17. Se Σ ={,}. Escrie expresiones regulres pr los siguientes lengujes: ) cdens con l menos tres 's ) cdens con lo sumo tres 's c ) cdens con un número de 's divisile por 3 d ) cdens con l menos un prición de l sucden e) cdens en ls que ls 's vn grupds como mínimo de tres en tres. 18. Se Σ ={,}. Construye un expresión regulr pr el lenguje formdo por ls cdens que no contienen l sucden. Se dee hcer primero el AFD, otener prtir de él l GRD y, resolviendo ls ecuciones correspondientes, llegr l expresión regulr. 19. (Ejercicio especil) Se Σ ={,}. Construye un expresión regulr pr el lenguje formdo por ls cdens que contienen exctmente un prición de l sucden. Se dee hcer primero el AFD, otener prtir de él l GRD y, resolviendo ls ecuciones correspondientes, llegr l expresión regulr. pág. 6

7 EJERCICIOS de MAC 1 ALF (Tem 2) Curso 2010/ Construye expresiones regulres pr denotr los siguientes lengujes: ) { w {, }* : w c en } ) { w {, }* : w 1}. c ) { w {, }* : w tiene un número pr de s y termin por } d ) { w {1,0 }* : w no contiene 101 como suplr } e ) { w {1,0}* : w comienz por 101 y termin por 101 } f ) { w {,,c}* : entre cd dos 's de w hy un número de c's múltiplo de 3} 21. En l definición inductiv de ls expresiones regulres, l regl que firm que es un expresión regulr se puede eliminr, y que con el resto de ls regls es posile construir un expresión α tl que L(α) = {}. Por qué? Sore ERs equivlentes utómts: 22. Construye expresiones regulres equivlentes los siguientes AF's: ) ),, Sore ERs equivlentes grmátics: 23. Construye expresiones regulres equivlentes ls grmátics lineles l derech cuys regls de producción figurn continución: ) S S S A B C A A A B C B B B C C C C ) S A B A A B A C C A D D C D pág. 7

8 EJERCICIOS de MAC 1 ALF (Tem 2) Curso 2010/2011 Ejercicios teóricos sore ERs: 24. (Ejercicio especil) Asummos como y demostrdo que pr culesquier expresiones regulres α 1,..., α n, β 1,..., β n se cumple que: i ) (α 1 α 2... α n )* = (α 1 *α 2 *... α n *)* ii ) (α 1 α 2... α n ) (β 1 β 2... β m ) = α 1 β 1 α 1 β 2... α 1 β m α 2 β 1... α n β 1... α n β m Se dice que un expresión regulr está en form norml disyuntiv si tiene l form α 1 α 2... α n, con n 1 y α 1,..., α n son expresiones regulres en ls que no prece el símolo " ". ) ) Utilizndo los resultdos nteriores i) y ii) demuestr que pr tod expresión regulr α existe otr equivlente fnd(α) en form norml disyuntiv. Escrie l form norml disyuntiv de ls siguientes expresiones regulres: ( (0 1)*100)0* ((10* 01*) (00* 11*))* 25. Se α un expresión regulr culquier: ) ) c ) Diseñ un lgoritmo recursivo pr decidir si α es equivlente l expresión regulr. Descrie otro lgoritmo pr otener prtir de α otr expresión regulr equivlente sinvc(α) que, o ien no contiene l suexpresión, o es exctmente l expresión regulr (inevitle cundo α es equivlente ). Aplic el lgoritmo hecho en el prtdo () l expresión regulr: (1 (11)*)*(0 0 01)*( (1 0)* 10). 26. Se α un expresión regulr que no contiene ningun prición de l suexpresión. ) ) Diseñ un lgoritmo recursivo pr decidir si l plr vcí pertenece o no L(α). Descrie otro lgoritmo pr otener prtir de α otr expresión regulr equivlente sineps(α), que sigue sin contener priciones de, y que tiene l form, β ó β, donde β es un expresión regulr que no contiene priciones de (es decir, en sineps(α) eliminmos tods ls priciones de slvo un en cso de que se estrictmente necesri pág. 8

9 EJERCICIOS de MAC 1 ALF (Tem 2) Curso 2010/2011 pr mntener l equivlenci). c ) Aplic el lgoritmo encontrdo en () l expresión regulr (((1 )* ) 01 1 )* (01 ) (10 ) *. d ) Supongmos hor que, en l definición de expresión regulr, se suprimen ls clúsuls que segurn que y son expresiones regulres. A l luz de los resultdos de este ejercicio y el precedente cuáles serín los lengujes regulres que no podrín ser denotdos por ls misms? Y si sólo quitmos un de ls clúsuls? Sore -AFND's y su relción con ls ER s: 27. Construye -AFND's que cepten los siguientes lengujes sore Σ = {,, c} ) ) c ) d ) L = { x Σ* : ls priciones de en x no pueden ir seguids de c, ls priciones de en x no pueden ir seguids de, y ls priciones de c en x no pueden ir seguids de } L = { x Σ* : x no puede tener ningun ocupndo un posición posterior l de un y x no contiene c's islds } L = { x Σ* : x está formd por uno ó más grupos de 's seprdos por cdens de 1, 2 ó 3 's } L = { x Σ* : x puede descomponerse como conctención de tres suplrs y, z y w cumpliendo que en y cd grupo de 's tiene longitud pr, en z cd grupo de 's tiene longitud pr y en w cd grupo de c's tiene longitud pr } 28. Construye utómts finitos que reconozcn los lengujes denotdos por ls siguientes expresiones regulres: ) **( )* ) ((* 4 ))* c ) ( + * + *) + d ) (((*)*)*)* e ) ( 2 )*( 3 )*(c 4 )*( 4 )*( 3 )*(c 2 )* 29. (Ejercicio especil) ) Construye un utómt, M, que rechce tods ls plrs de longitud impr que tengn los dos últimos símolos igules. Dee ceptr, por ejemplo, ls plrs,, y rechzr,. Puedes construirlo directmente (con ls explicciones oportuns) u otenerlo del prtdo siguiente medinte lgún lgoritmo de trnsformción. pág. 9

10 EJERCICIOS de MAC 1 ALF (Tem 2) Curso 2010/2011 ) Diseñ un expresión regulr que genere el mismo lenguje del prtdo nterior. Puedes diseñrl directmente (con ls explicciones oportuns) u otenerl del prtdo nterior medinte lgún lgoritmo de trnsformción. Sore equivlencis entre utómts: 30. Construye AFD's equivlentes los siguientes AFND's: ) ({ q 0, q 1, q 2, q 3 }, { 0, 1 }, δ 1, q 0, { q 3 } ) ) ({ q 0, q 1, q 2, q 3 }, { 0, 1 }, δ 2, q 0, { q 1,q 3 } ) δ δ q 0 q 0,q 1 q 0 q 0 q 1,q 3 q 1 q 1 q 2 q 2 q 1 q 2 q 1,q 2 q 2 q 3 - q 2 q 3 q 0 q3 q3 q3 q3 - q0 31. Construye AFD's equivlentes los siguientes -AFND's: pág. 10

11 EJERCICIOS de MAC 1 ALF (Tem 2) Curso 2010/ Ddo los siguientes utómts finitos construye el utómt finito mínimo equivlente cd uno de ellos: q 0 q 1 q 2 q 3 q 4 q 5, q q 1 q q q q q , ,0 33. Se el lenguje L = { 100+3i j : i j 0} definido sore el lfeto Σ = { }. ) Demuestr que L es regulr, dndo un expresión regulr α que lo denote. ) Descrie como serí un AFD M, totlmente especificdo, equivlente α. Procur que se el utómt mínimo. Tom un estdo culquier de M, y comprue que no es equivlente/indistinguile de ninguno de los demás estdos. Not: No es necesrio ni conveniente que pliques los lgoritmos de trnsformción o minimizción. De hecho no hce flt que escris el utómt M completo. 34. Supón que te dn dos expresiones regulres α y β, y que te piden que compruees si son o no equivlentes. Explic el proceso que seguirís pr resolverlo. pág. 11

12 EJERCICIOS de MAC 1 ALF (Tem 2) Curso 2010/ Di si son cierts o flss ls siguientes firmciones, rzonndo tu respuest de form reve pero convincente. ) Tenemos un AFD sore el lfeto {,} que contiene dos estdos no finles, p y q, con ls siguientes trnsiciones: p p q q p q Sin conocer el resto del utómt podemos segurr que estos estdos son necesrimente indistinguiles. ) Si M = (Q, Σ, δ, q 0, F) es el utómt mínimo equivlente l AFD, N = (P, Σ, γ, p 0, G), el crdinl de F y G h de ser el mismo. 36. Demuestr que no son regulres sore el lfeto Σ = {, } : ) { w w Σ * : w es l plr que result de cmir cd prición en w de por y vicevers } ) { w Σ * : w = w R w = w } c ) { n m : m n 2*m } d ) { i j k : j = mx(i,k) } e ) { i j k : i, j, k >0 (i j j k i = k) } f ) { i j k : i, j, k >0 (i = j i = k j = k) } g ) { w Σ * : w tiene l menos un prefijo con más 's que 's } 37. Consider el lfeto { M, D, C, L, X, V, I } y el lenguje de los números romnos. Demuestr que es un lenguje regulr construyendo un utómt finito con trnsiciones vcís que lo reconozc. Recuerd que, por ejemplo, VIIII no es un número romno, y que deemos escriir IX, en su lugr. Puede resultrte útil construir l expresión regulr y luego el -AFND correspondiente. pág. 12