Relaciones de equivalencia

Transcripción

1 Relciones de equivlenci. Un relción de equivlenci en un conjunto X se puede interpretr como el suconjunto de X X ddo por (, ) X X }. Enúnciesen ls propieddes de l relción de equivlenci en términos de dicho suconjunto. Si R, S X X representn dos relciones de equivlenci, represent R S un relción de equivlenci? y R S?.. Se A =,,, } y l relción: R. Clculr l mtri de l relción.. Se A =,, c, d} y R. Determinr R A A.. Se A =, 6, 8,, 8}. Demostrr que ls siguientes relciones son de equivlenci y clculr l mtri socid cd un de ells: ) Ry 6 y ) Sy y. Decidir cuáles de ls siguientes relciones son de equivlenci: ) En Z, m n m n (ídem con m > n, mn ). ) En N, m n m + n (ídem con m + n >, m n). c) En R R, (, y) (, y ) < ó ( = e y < y ). 6. Se f : X Y un plicción de conjuntos. Se define un relción R f en X por Pror que R f es un relción de equivlenci. 7. En Z (Z }) se define l relción: (mod R f ) si y sólo si f() = f( ) (, ) (, ) si y sólo si = Pror que es de equivlenci. El conjunto cociente se denomin conjunto de los números rcionles. 8. Se X el conjunto de R (, )}. Se define en X l siguiente relción: y si y sólo si eiste un semirrect que prte del origen y ps por e y Pror que es un relción de equivlenci y que el conjunto cociente se identific de modo nturl con un circunferenci centrd en el (, ). 9. Se X el conjunto de R n }. Se define en X l siguiente relción: Pror que es un relción de equivlenci.. En R se define l relción: y si y sólo si eiste un λ R tl que = λy (, y) (, y ) si y sólo si y = y Pror que es de equivlenci y clculr ls clses de equivlenci.. Fijdo un número nturl n, se define en Z l relción: m m (mod n) si sólo si m m es múltiplo de n Pror que es de equivlenci clculr ls clses de equivlenci. El conjunto cociente se denot por Z/n.

2 Relciones de orden. Dd l mtri: R = ) Hllr el digrm de Hsse socido. ) Dr un orden totl que conteng R.. Se A =,,,, } con el orden: Se B = suconjuntos totlmente ordendos de A con o más elementos} ordendo con l inclusión de conjuntos. Construir el digrm de Hsse de B.. Se A =,, c, d, e} con el orden ddo por: Determinr si, c, d},, d},,, c},, c, e} y d, e} son totlmente ordendos o no. Dr pr cd suconjunto los elementos mimles, minimles, supremo e ínfimo.. Se A =,, c, d, e, v, w,, y, } con el orden ddo por: y w v e d c Clculr: inf, d}, inf, w}, supc, } y supd, e}. 6. Hllr mimles, minimles, máimo y mínimo de los siguientes conjuntos ordendos según sus digrms de Hsse y dr un ordención totl pr cd uno.

3 c d e c d e f e d c 7. Se U =,,, } y A = P(U). Considermos en A l relción de orden dd por l inclusión de conjuntos. Clculr supremos, ínfimos, máimos y mínimos (si eisten) de los siguientes conjuntos: ) B = }, }} ) B = }, }, },, }} c) B =, }, },, }} d) B = },, },,, }} e) B = }, }, },, },, },, }} 8. Se X =, }. En A = X X definimos l siguiente relción: < c (, )R(c, d) o = c y d ) Demostrr que es un orden prcil. Es totl? ) Clculr mimles y minimles. c) Clculr máimos y mínimos. 9. Se A =,, c, d, e, f, g} y el orden ddo por: Clculr mimles, minimles, máimo y mínimo (si eisten) de A. Considermos el suconjunto S = c, d, e, f}. Dr un cot superior y un cot inferior de S. Clculr el sup(s) y el inf(s). Dr un orden totl que conteng l orden prcil.. Ddo el orden: Diujr su digrm de Hsse socido y clculr un orden totl que conteng l mismo.

4 . Ddo el orden: Diujr su digrm de Hsse socido y clculr un orden totl que conteng l mismo. Grfos. Ddo el grfo: Clculr: ) Un cmino de d que no se recorrido. ) Un recorrido de d que no se cmino simple. c) Un cmino simple de d. d) Un cmino cerrdo que no se circuito. e) Un circuito que no se un ciclo. f ) Un ciclo. g) Clculr el número de cminos simples que eisten de f.. Demostrr que los siguientes grfos no son isomorfos:. Determinr si cd pr de grfos son o no isomorfos:

5 &. - ( & $ " -. /! "# " $'& (*) $% +, / ) 6 ) ( " $ 6. Se V =,,,...,, }. Pr culquier sucesión de cutro its trr un rist del elemento l elemento en V. ) Trr el grfo G = (V, A) descrito. ) Encontrr un ciclo hmiltonino dirigido pr G. c) Distriuir ocho ceros y ocho unos de modo uniforme lrededor del orde de un disco que gir en el sentido de ls mnecills del reloj de modo que estos 6 its formen un sucesión circulr tl que ls susucesiones (consecutivs) de longitud proporcionen ls representciones inris de,,,..., en lgún orden. 6. Crolin y Ricrdo vn un fiest con otrs tres prejs. En est fiest huo mucho pretones de mnos pero, () ndie estrechó l mno de su prej; () ndie estrechó su propi mno; y () ndie dio l mno más de un ve otr person. Antes de slir de l fiest, Crolin preguntó ls otrs 7 persons cuánts hín ddo l mno, y reciió un respuest diferente de cd uno. Cuánts veces dio Crolin l mno en est fiest? Cuánts veces lo hio Ricrdo? 7. Distriuir nueve ceros, nueve unos y nueve doses de modo uniforme lrededor del orde de un disco que gir en el sentido de ls mnecills del reloj de modo que estos 7 símolos formen un sucesión circulr tl que ls susucesiones (consecutivs) de longitud proporcionen ls representciones ternris (se ) de,,,...,, En los siguientes grfos se pide clculr: ) grdos de los vértices ) κ(g) =número de componentes cones de G c) Un cmino simple, un ciclo, un recorrido y un circuito. d) Decidir si tiene lgún circuito o recorrido eulerino. Lo mismo pr un cmino o ciclo hmiltonino.

6 Q R T U? > = S W ;? \ X Z 7 > 9 C [ = 8 Y 7 8:9<; B A 7 8 DFEHGJILKNMFO ; C = A B P 9. ) Encontrr dos grfos G = (V, E) y G = (V, E ) con v V y v V de modo que: κ(g v) = κ(g) pero κ(g v ) > κ(g ) ) Encontrr dos grfos G = (V, E) y G = (V, E ) con e E y e E de modo que: κ(g e) = κ(g) pero κ(g e ) > κ(g ). Determinr los vlores de n pr los que el grfo completo K n tiene un circuito eulerino. Pr qué n tiene K n un recorrido eulerino pero no un circuito eulerino?. Pr cd n, denotmos por C n el ciclo de longitud n. Demostrr que P (C n, λ) = (λ ) n + ( ) n (λ ).. Ddos los grfos: ) Determinr si son isomorfos. ) Encontrr P (G, λ) pr cd grfo. c) Comentr los resultdos de los prtdos nteriores.. Ddos los grfos: 6

7 j ^ ` _ d ` ^ ] ^ ] ` ` c c egf dih ] ] ^ _ ) Determinr sus polinomios cromáticos. ) Encontrr χ(g) pr cd grfo. c) Si se dispone de cinco colores, cuánts colorciones propis de los vértices de cd grfo eisten?. (Emen Ferero ) Pr n, se C n el ciclo de longitud n. Pror ls siguientes relciones: P (C n, λ) (λ ) n = (λ ) n P (C n, λ), n. P (C n, λ) (λ ) n = P (C n, λ) (λ ) n, n.. En unos lortorios químicos se recien siete sustncis químics s i } i=,...,7 que precisn ser lmcends. L nturle de ls sustncis es tl que pr i l sustnci s i no puede ser lmcend con l sustncis s i+ y s i+. Determinr el número mínimo de comprtimentos necesrios pr lmcenr ls mencionds sustncis químics en ls condiciones nteriores. Con ese número mínimo de comprtimentos, de cuánts mners distints se pueden lmcenr ls sustncis químics? Máquins Finits 6. Dd l máquin finit: e e e e ) Clculr f e (). ) Otener tods ls plrs de entrds α tles que f e (α) =. 7. Dd l máquin siguiente, clculr f e (α) pr tod plr de entrds α. e e e e e 7

8 w v w y w y w 8. Construir un máquin finit lo más sencill posile con I =, } de mner que f e (α) = α pr tod plr de entrd α. 9. Demostrr que eiste un único homomorfismo entre ls siguientes máquins que es epimorfismo pero no es monomorfismo.. Se M l máquin cuyo grfo de estdos es: k%l knm kpo kpq k%r v kps w kpt v kpu y R l relción en E cuy prtición socid es: Diujr el grfo de M/R. e, e }, e, e, e }, e 6 }, e, e 7 }}. Dds ls máquins M y M, definir un homomorfismo g : M M, diujr el grfo de M/g y definir el isomorfismo entre M/g e Im(g). c. Determinr en cd cso si l plr pertenece o no l conjunto regulr representdo por l epresión regulr. ) ; (*)* ) ; ( ()*)* c) ; (( )*()*)* 8

9 d) ; (*)*( *) e) ; ((*)* *)* f ) ; **(*)* g) ; (* )*(*)*. Determinr cuáles de ls siguientes igulddes son cierts. ) ( )*= ** ) ( )*= (**)* c) ( )*= (* )* d) * = * e) =. Dr un epresión regulr pr cd uno de los siguientes conjuntos regulres sore X =, }: ) Plrs que empien por. ) Plrs que tienen ectmente un. c) Plrs que tienen un número pr de es. d) Plrs que contienen l plr.. Construir un máquin finit de Moore que reconoc el lenguje L sore I =, } en cd cso. ) Plrs que empien por cero. ) Plrs que tienen ectmente un cero. c) Plrs que tienen ectmente un cero y empien por él. d) Plrs que terminn en. e) Plrs que terminn en. f ) Plrs que contienen ó. 6. Dr un epresión regulr pr L(M) en los csos siguientes: () e e e,, () e e (c) e e e e,, (d) e e e, e 9