Matemática. Desafío. GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA Conceptos generales de triángulos GUICEN023MT22-A16V1

Transcripción

1 GUÍ DE EJERITIÓN VNZD onceptos generles de triángulos rogrm Entrenmiento Desfío GUIEN023MT22-16V1 Mtemátic En l figur, RQ = 24 cm, RS SQ y RM SN. Si M es el punto medio de SQ y N es el punto medio de RQ, entonces l medid de RS es ) 2 6 cm ) 4 2 cm ) 4 6 cm D) 8 3 cm E) 12 2 cm R N S M Q Resolución Mis observciones 1

2 rogrm Entrenmiento - Mtemátic Mrco teórico Triángulos: rcterístics generles L sum de ángulos interiores es 180º y l sum de ángulos exteriores es 360º. L medid de un ldo siempre es menor que l sum de l medid de los otros dos ldos y myor que l diferenci entre estos. L sum de dos ángulos interiores es igul l ángulo exterior no dycente ellos. Frente l menor de los ángulos siempre está el ldo de menor medid, y vicevers. lsificción de triángulos: Según l congruenci de sus ángulos, los triángulos se pueden clsificr en Triángulo cutángulo, si sus tres ángulos son menores que 90. Triángulo rectángulo, si uno de sus ángulos es igul 90. Triángulo obtusángulo, si uno de sus ángulos es myor que 90. Según l congruenci de sus ldos, los triángulos se pueden clsificr en Triángulo escleno, si sus tres ldos tienen distint medid. Triángulo isósceles, si dos de sus ldos tienen igul medid. Triángulo equilátero, si sus tres ldos tienen igul medid. 2

3 GUÍ DE EJERITIÓN VNZD Elementos secundrios: ltur: segmento que prte desde un vértice y ce perpendiculrmente en l rect que contiene l ldo opuesto. H El punto de intersección de ls tres lturs se llm ortocentro (H). El áre de un triángulo se clcul como el semiproducto entre un ldo y su respectiv ltur. Trnsversl de grvedd: segmento que une un vértice con el punto medio del ldo opuesto. G El punto de intersección de ls tres trnsversles de grvedd se llm bricentro o centro de grvedd (G) y divide cd trnsversl en l rzón 2:1. M N l trzr ls tres trnsversles de grvedd, los seis triángulos que se formn tienen igul áre (equivlentes). F isectriz: rect que divide por l mitd cd ángulo interior. I D E El punto de intersección de ls tres bisectrices se llm incentro (I), y corresponde l centro de l circunferenci inscrit. J Simetrl: rect que ps por el punto medio de cd ldo y es perpendiculr él. H I El punto de intersección de ls tres simetrles se llm circuncentro () y corresponde l centro de l circunferenci circunscrit. 3

4 rogrm Entrenmiento - Mtemátic T Medin: segmento que une los puntos medios de dos ldos. d medin es prlel un ldo y su longitud es l mitd de l longitud de su ldo prlelo. R S l dibujr ls tres medins, los cutro triángulos que se formn son congruentes. El eje de simetrí es un líne imginri que divide un figur en dos prtes igules. Triángulo equilátero Triángulo isósceles En el cso de los triángulos, sobre un eje de simetrí coinciden l ltur, l simetrl, l trnsversl y l bisectriz. 4

5 GUÍ DE EJERITIÓN VNZD Relciones métrics en el triángulo equilátero: l trzr l ltur en un triángulo rectángulo, est coincide con l bisectriz, l simetrl y l trnsversl de grvedd. Es posible clculr su medid con l relción métric 30º/60º/90º h Si el ldo del triángulo mide, entonces l ltur mide 3 h = 2 El áre del triángulo es = L circunferenci inscrit y circunscrit l triángulo son concéntrics. l dibujrls con su centro O, dividen l ltur en tres prtes igules. O h 3 h 3 h 3 h 3 El rdio de l circunferenci circunscrit es R = 2h 3 = 3 3 El rdio de l circunferenci inscrit es r = h 3 = 3 6 Trnsversl de grvedd en el triángulo rectángulo: b Si el triángulo es rectángulo en y es punto medio de l hipotenus, entonces los triángulos y son isósceles en. 2 2b b 5

6 rogrm Entrenmiento - Mtemátic Teorem de itágors: L sum de los cudrdos de los ctetos es igul l cudrdo de l hipotenus. c Si b = c = 2 Si b = 2 c = 5 Si b = 3 c = 10 b 2 + b 2 = c 2 Si tres números nturles cumplen con l relción de itágors, entonces formn un trío pitgórico. Todo número nturl myor o igul que 3 form prte de lgún trío pitgórico. Los más comunes son 3, 4, 5 y 5, 12, 13, demás de los múltiplos de ellos. 6

7 GUÍ DE EJERITIÓN VNZD Ejercicios SU 1. En el triángulo de l figur, D, y son colineles, cuál(es) de ls siguientes firmciones es (son) verdder(s)? I) > II) El triángulo es cutángulo. III) es el ldo menor del triángulo. ) Solo I D) Solo I y II ) Solo II E) Solo II y III ) Solo III D 120º 40º 2. En l figur, el triángulo QR es obtusángulo isósceles y S es bisectriz del ángulo QR. Si el ángulo QR es obtuso, entonces cuál(es) de ls siguientes firmciones es (son) verdder(s)? I) S QR II) RS SQ R S III) R Q ) Solo I ) Solo II ) Solo III D) Solo II y III E) I, II y III Q 3. En un hexágono regulr se trzn tods ls digonles que slen desde uno de sus vértices. uál de ls siguientes clsificciones NO corresponde los triángulos que se formn en su interior? ) Triángulo cutángulo. ) Triángulo rectángulo. ) Triángulo obtusángulo. D) Triángulo isósceles. E) Triángulo escleno. 7

8 rogrm Entrenmiento - Mtemátic 4. El triángulo de l figur es isósceles en. Sobre el ldo se ubicn dos puntos y Q de tl mner que Q Q. uál(es) de ls siguientes firmciones es (son) siempre verdder(s)? I) El triángulo Q es isósceles en. II) Los triángulos, Q y Q tienen igul áre. III) Q = 1 3 ) Solo I ) Solo I y II ) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III Q 5. En l figur, D y E son lturs del triángulo. Si D E = 5 6, entonces es ) D ) 5 6 ) 6 5 E D) E) Fltn dtos pr determinrlo. 6. El triángulo de l figur es isósceles en. y Q son puntos medios de sus ldos respectivos. Si el perímetro del triángulo Q mide 36 cm y el perímetro del triángulo M mide 21 cm, entonces l medid del segmento es ) 4,5 cm ) 7 cm ) 9 cm D) 13,5 cm E) 14 cm M Q 8

9 GUÍ DE EJERITIÓN VNZD 7. En el triángulo de l figur,, Q y R son trnsversles de grvedd. uál(es) de ls siguientes firmciones es (son) siempre verdder(s)? I) El triángulo R y el triángulo R tienen igul áre. II) El triángulo M y el triángulo M tienen igul áre. III) El triángulo RM y el triángulo MQ tienen igul áre. ) Solo I ) Solo II ) Solo I y II D) I, II y III E) Ningun de ells. M R Q 8. En el triángulo de l figur, y Q son puntos medios de sus ldos respectivos. Si y Q se intersectn en M, cuál es l rzón entre el áre del triángulo Q y el áre del triángulo M? ) 3 : 4 ) 2 : 3 ) 4 : 3 D) 3 : 2 E) Fltn dtos pr determinrl. M Q 9. on respecto los elementos secundrios de un triángulo rectángulo. uál(es) de ls siguientes firmciones es (son) siempre verdder(s)? I) El centro de grvedd se ubic en l hipotenus. II) El ortocentro coincide con uno de los vértices. III) Dos de ls medins son perpendiculres. ) Solo II D) Solo II y III ) Solo III E) Ningun de ells. ) Solo I y II 10. En un triángulo, cuál(es) de los siguientes elementos secundrios trzdos desde el vértice intersect(n) siempre l ldo? I) L trnsversl de grvedd. II) L bisectriz. III) L ltur. ) Solo I D) Solo I y II ) Solo II E) I, II y III ) Solo III 9

10 rogrm Entrenmiento - Mtemátic 11. En l figur, el triángulo y el triángulo interior en él son equiláteros cuyos ldos miden 6 cm y 3 cm respectivmente. El áre churd mide ) cm2 D) ) 3 3 cm 2 E) ) cm cm 2 cm Si el áre de un triángulo equilátero mide 9 3 cm 2, entonces el rdio de l circunferenci inscrit dicho triángulo mide ) 3 cm D) 3 3 cm ) 3 3 cm E) ningun de ls medids nteriores. 2 ) 2 3 cm 13. En l figur, MN es un medin del triángulo QT, que es equilátero de ldo 10. El perímetro del rectángulo QRS es T ) ) ) 30 S M N R D) E) 40 Q 14. En l figur, el triángulo SUT es equilátero de áre 25 3 cm 2. Se trz un segmento R, prlelo SU, de mner que el áre del triángulo RT se igul l áre del cudrilátero SUR. uánto mide R? ) ) 5 cm 5 3 cm 2 T ) 5 2 cm R D) 5 3 cm E) Fltn dtos pr determinrlo. S U 10

11 GUÍ DE EJERITIÓN VNZD 15. En l figur, los triángulos y DEF son equiláteros congruentes de ldo 12 cm y los puntos y D están ubicdos de tl mner que D D E. El áre sombred mide ) 24 3 cm 2 F ) 36 3 cm 2 ) 54 3 cm 2 D) 63 3 cm 2 E) 72 3 cm 2 D E 16. El triángulo de l figur es equilátero de ldo 12 cm. Sobre el ldo se ubic un punto D de tl mner que D D = 1 2 ) 4 7 cm ) 3 13 cm ) 8 2 cm D) 2 37 cm E) 4 15 cm. uál es l medid del segmento D? D 17. En l figur, el triángulo es rectángulo en. El vlor de es ) 5 3 ) 2 10 ) D) 5 5 E) En l figur, el triángulo es rectángulo en. uál es el vlor del trzo? ) 9 ) º ) D) 9 5 E) Fltn dtos pr determinrlo. 11

12 rogrm Entrenmiento - Mtemátic 19. En l figur, el triángulo es isósceles rectángulo en. Si mide 18 cm, entonces mide ) 9 2 cm ) 9 cm ) 4,5 cm D) 3 2 cm E) ningun de ls medids nteriores. 20. uál(es) de ls siguientes prejs de números form(n) un trío pitgórico con 24? I) 32 y 40 II) 18 y 36 III) 10 y 26 ) Solo I D) Solo II y III ) Solo II E) I, II y III ) Solo I y III 21. En un triángulo rectángulo, l hipotenus mide 20 cm y ls medids de los ctetos están en l rzón 2 : 3. uánto mide el menor de los ctetos? ) ) cm cm ) 8 5 cm D) 12 cm E) 8 cm 22. En l figur, el rectángulo D está inscrito en el triángulo QR, de tl form que y D son los puntos medios de sus ldos respectivos. Si Q = 4 cm y R = RQ = 6 cm, entonces l medid de es R ) 2 cm ) 5 cm ) 2 2 cm D D) 10 cm E) 2 5 cm Q 12

13 GUÍ DE EJERITIÓN VNZD 23. Si en un triángulo rectángulo, ls trnsversles de grvedd que llegn los ctetos miden 9 cm y 12 cm, entonces l hipotenus del triángulo mide ) 10 cm D) 6 5 cm ) 12 cm E) 14 cm ) 5 6 cm 24. uánto mide el áre de un triángulo cuyos ldos miden 15 cm, 15 cm y 10 cm? ) 25 2 cm 2 ) cm 2 ) 25 5 cm 2 D) 50 2 cm 2 E) cm En l figur, E es un trnsversl de grvedd del triángulo rectángulo en. Si DE = 4 cm, entonces l medid de D es ) 1 cm D ) 2 cm E ) 4 ( 2 1) cm D) 2 cm 45 E) cm 26. En l figur, el triángulo es rectángulo en y D es trnsversl de grvedd. Si el perímetro del triángulo D mide 32 cm y el perímetro del triángulo mide 56 cm, cuánto mide el perímetro del triángulo D? ) 24 cm D) 49 cm ) 32 cm E) 55 cm ) 42 cm D 13

14 rogrm Entrenmiento - Mtemátic 27. Se puede determinr el rdio de l circunferenci inscrit un triángulo equilátero si: (1) El ldo del triángulo equilátero mide 12 cm. (2) El áre del triángulo equilátero mide 36 3 cm 2. ) (1) por sí sol. ) (2) por sí sol. ) mbs junts, (1) y (2). D) d un por sí sol, (1) ó (2). E) Se requiere informción dicionl. 28. Es posible determinr que el triángulo es equilátero si: (1) α = 60 (2) β = 60 ) (1) por sí sol. ) (2) por sí sol. ) mbs junts, (1) y (2). D) d un por sí sol, (1) ó (2). E) Se requiere informción dicionl. β 29. Un triángulo rectángulo tiene los dos ctetos congruentes. Se puede determinr l medid de su hipotenus si: (1) L sum de ls medids de sus ctetos es 10 2 cm. (2) L ltur que ce sobre l hipotenus mide 5 cm. ) (1) por sí sol. ) (2) por sí sol. ) mbs junts, (1) y (2). D) d un por sí sol, (1) ó (2). E) Se requiere informción dicionl. 30. Se puede determinr el áre del triángulo de l figur si: (1) = 20 (2) = 10 ) (1) por sí sol. ) (2) por sí sol. ) mbs junts, (1) y (2). D) d un por sí sol, (1) ó (2). E) Se requiere informción dicionl. 60º 14

15 GUÍ DE EJERITIÓN VNZD Ítem Tbl de corrección lterntiv Hbilidd 1 SE 2 SE 3 omprensión 4 SE 5 plicción 6 plicción 7 SE 8 omprensión 9 SE 10 SE 11 plicción 12 SE 13 plicción 14 SE 15 plicción 16 plicción 17 omprensión 18 omprensión 19 plicción 20 SE 21 plicción 22 SE 23 plicción 24 plicción 25 SE 26 plicción 27 SE 28 SE 29 SE 30 SE 15

16 Registro de propiedd intelectul de pech. rohibid su reproducción totl o prcil.