Matemática. Desafío. GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA Conceptos generales de ángulos, polígonos y cuadriláteros GUICEN022MT22-A16V1

Transcripción

1 GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA Conceptos generles de ángulos, polígonos y cudriláteros Progrm Entrenmiento Desfío En l figur I se muestr un crtulin cudrd PQRS de ldo 1. Se doln los ldos SP y RQ por ls línes punteds, de mner que mos ldos quedn sore l digonl SQ, como muestr l figur II. Cuál es el áre del cudrilátero FQGS? Mtemátic A) 1 B) 1 S G R S R G C) D) P F Q F P Q E) Figur I Figur II GUICEN0MT-A16V1 Resolución Mis oservciones 1

2 Progrm Entrenmiento - Mtemátic Mrco teórico Ángulos: Existen tres sistems ngulres: grdos sexgesimles ( ), rdines (rd) y grdos centesimles ( g ). L relción entre ellos es 360 = π rd = 400 g El sistem utilizdo en PSU es el de grdos sexgesimles... Un ángulo se llm... si su medid es... gudo 0 < α < 90 recto α = 90 otuso 90 < α < 180 convexo 0 < α < 180 extendido α = 180 cóncvo 180 < α < 360 completo α = 360 Relciones ngulres: Si l sum de dos ángulos es 90, se dice que son ángulos complementrios. Entonces, el complemento de α es (90 α)., L y L 3 rects L 3 Si l sum de dos ángulos es 180, se dice que son ángulos suplementrios. Entonces, el suplemento de α es (180 α). L α // L y L rects, L, L 3 y L 4 rects L α w α L 3 L 4 w y son dycentes + = 180 y w son opuestos por el vértice w L // L w = +

3 GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA Polígonos: Un polígono es un figur pln, cerrd y formd por segmentos rectos llmdos ldos. Se llm polígono convexo cundo todos sus ángulos interiores miden menos de 180. Si un polígono convexo tiene N ldos... ángulo exterior vértice α ángulo interior ldo digonl...l sum de sus ángulos interiores es 180 (N )...l sum de sus ángulos exteriores es l cntidd de digonles que se pueden trzr desde un vértice es N 3...l cntidd totl de digonles que se pueden trzr en su interior es Polígonos regulres N (N 3) Un polígono regulr tiene todos sus ldos congruentes y todos sus ángulos interiores congruentes. Si un polígono regulr tiene N ldos, entonces cd uno de sus ángulos interiores mide 180 (N ) N Así, l medid de cd ángulo interior en un...triángulo equilátero es 60...cudrdo es 90...pentágono regulr es hexágono regulr es 10 Por ejemplo, en un pentágono regulr... En un polígono regulr, tmién se cumple que l trzr tods ls digonles que slen desde un vértice, el ángulo interior qued dividido en prtes igules

4 Progrm Entrenmiento - Mtemátic Crcterístics generles y clsificción de cudriláteros En todos los cudriláteros convexos se cumple que l sum de sus ángulos interiores es 360º. l sum de sus ángulos exteriores es 360º. tienen dos digonles que unen vértices opuestos. prlelógrmos, si tienen sus dos pres de ldos opuestos prlelos. * Cudrdo * Rectángulo * Romo * Romoide Los cudriláteros se clsificn medinte el prlelismo de sus ldos. Se llmn trpecios, si tienen solo un pr de ldos opuestos prlelos. * Isósceles * Rectángulo * Escleno trpezoides, si no tienen pres de ldos opuestos prlelos. * Simétrico (Deltoide) * Asimétrico Prlelógrmos los ldos opuestos son prlelos y congruentes. los ángulos opuestos son congruentes. los ángulos consecutivos son suplementrios. En todos los prlelógrmos se cumple que l ltur corresponde l distnci perpendiculr entre un prej de ldos prlelos. l diujr ls dos digonles, ests se dimidin (se cortn mutumente por l mitd) y dividen l prlelógrmo en cutro triángulos de igul áre. 4

5 GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA Cudrdo Tiene 4 ejes de simetrí Áre = ldo Áre = (digonl) Sus cutros ldos son congruentes y sus cutro ángulos interiores son rectos (igules 90º). Sus digonles miden lo mismo, son perpendiculres entre sí y son isectrices de los ángulos interiores. Rectángulo Tiene ejes de simetrí Áre = se ltur Sus ldos consecutivos son distintos y sus cutro ángulos interiores son rectos (igules 90º). Sus digonles miden lo mismo, no son perpendiculres entre sí y no son isectrices de los ángulos interiores. 5

6 Progrm Entrenmiento - Mtemátic Áre = se ltur Romo Tiene ejes de simetrí Áre = digonl 1 digonl Sus cutros ldos son congruentes y sus ángulos interiores son olicuos (distintos de 90º). Sus digonles tienen distints medids, son perpendiculres entre sí y son isectrices de los ángulos interiores. Áre = se ltur Romoide No tiene ejes de simetrí Sus ldos consecutivos son distintos y sus cutro ángulos interiores son olicuos (distintos de 90º). Sus digonles miden distinto, no son perpendiculres entre sí y no son isectrices de los ángulos interiores. 6

7 GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA Elementos de trpecios h Bses: pr de ldos prlelos. m Altur: distnci perpendiculr entre ls ses. Clsificción de trpecios El áre de un trpecio es el producto de l medin por l ltur. A = m h Medin: segmento que une los puntos medios de los ldos no prlelos. m = + Los trpecios se clsificn en d g Trpecio rectángulo: uno de los ldos no prlelos es perpendiculr ms ses. Trpecio isósceles: los ldos no prlelos tienen igul medid. Trpecio escleno: todos sus ángulos interiores tienen distint medid. Los ángulos interiores uicdos en cd se tienen igul medid. Tiene un eje de simetrí que ps por el punto medio de ls ses. Ls digonles miden lo mismo y se intersectn sore el eje de simetrí. 7

8 Progrm Entrenmiento - Mtemátic Trpezoides No tienen ldos prlelos. Se clsificn en AD CD BA BC Trpezoide simétrico: no tiene ejes de simetrí. B A C D Deltoide: es simétrico con respecto solo un de sus digonles. AC : se. BD : eje de simetrí. AC BD Pr clculr su áre dee descomponerse en figurs conocids. Su áre se clcul como el semiproducto de sus digonles. BD dimidi l se AC. A = AC BD 8

9 GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA Ejercicios PSU 1. En l rect L de l figur, α : β : γ = : 3 : 5, entonces el complemento del ángulo menor mide A) 0º B) 36º C) 54º D) 144º E) ningun de ls medids nteriores. α β γ L. L sum entre el suplemento de l mitd de 50º y el dole del complemento de 0º es A) 115º B) 05º C) 40º D) 95º E) 385º 3. En l figur, // L, L 3 y L 4 son trnsversles, y L 3. Si α es l curt prte de β, entonces cuánto mide ε? A) 36º B) 45º C) 54º D) 64º E) Ningun de ls medids nteriores. ε L 3 L L 4 9

10 Progrm Entrenmiento - Mtemátic 4. En l figur, // L // L 3, entonces l medid de x es A) 10 B) 18 C) 4 D) 3 E) 75 L L 4 x + 1 x 1 α L 3 63 x L 5 5. Si l curt prte del complemento de α es igul l 65% de α, entonces el suplemento de α mide A) 5 B) 40 C) 65 D) 150 E) En un polígono regulr de N ldos, cd uno de sus ángulos interiores mide α. L expresión que permite clculr el vlor de N en función de α es A) B) C) D) E) 180 α 360 α 180 α 180 α α 10

11 GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA 7. En l figur, todos los vértices del hexágono regulr PQRSTU se encuentrn sore los ldos del rectángulo ABCD. Si el áre del hexágono mide 48 cm, entonces el áre del cudrilátero AQTU mide D T S C A) 1 cm B) 4 cm C) 8 cm D) 3 cm E) 48 cm U R A P Q B 8. En un polígono regulr de más de 3 ldos, siempre es posile firmr que I) tods ls digonles tienen igul medid. II) el número totl de digonles es myor que el número de ldos. III) l medid de cd digonl es myor que l medid de cd ldo. Es (son) verdder(s) A) solo II. B) solo III. C) solo I y III. D) I, II y III. E) ningun de ells. 9. En l figur se muestr un pentágono regulr. Cuál(es) de ls siguientes firmciones es (son) siempre verdder(s)? I) L medid de α es el 50% de l medid de β. II) L medid de β es el 50% de l medid de ω. III) α + β = ω. ω A) Solo I D) Solo II y III B) Solo I y II E) Ningun de ells. C) Solo I y III β 11

12 Progrm Entrenmiento - Mtemátic 10. En l figur, sore l digonl del cudrdo ABCD se construye el cudrdo BEFD, y sore l digonl de este, se construye el cudrdo EGHD. Si P es el áre del cudrdo ABCD y T el áre del cudrdo EGHD, qué relción hy entre P y T? A) P = 1 8 T H B) P = 1 4 T D F G C) P = 1 T A C D) P = T B E E) P = 4T 11. En l figur, si ABCD es un cudrdo de ldo x y AEFC es un rectángulo, con B en el segmento EF, entonces el áre somred es A) x D C B) x F C) x A B D) E) x x E 1. El ldo myor de un rectángulo mide p metros más que el ldo menor, que mide q metros. L expresión que represent su áre, en metros cudrdos, es A) p(q p) B) p(p q) C) q(p q) D) q(p + q) E) p(p + q) 1

13 GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA 13. En l figur, cuyo perímetro mide 16 cm, se tienen 10 cudrdos congruentes. Cuánto mide el perímetro de l figur churd? A) 54 cm B) 90 cm C) 96 cm D) 144 cm E) Ningun de ls medids nteriores. 14. Cuál(es) de ls siguientes firmciones es (son) verdder(s)? I) Un rectángulo es un polígono regulr. II) Ls digonles de un cudrdo son perpendiculres entre sí. III) Ls digonles de un rectángulo son isectrices de sus ángulos interiores. A) Solo II B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III 15. En un prlelógrmo ABCD, cuys digonles son AC y BD, siempre se cumple que si I) AC BD y AC BD, entonces el prlelógrmo ABCD es un romo. II) AC BD y AB BC, entonces el prlelógrmo ABCD es un cudrdo. III) AC BD y AB BC, entonces el prlelógrmo ABCD es un romoide. Es (son) verdder(s) A) solo I. B) solo II. C) solo I y II. D) solo I y III. E) I, II y III. 16. En l figur, ABCD es un rectángulo, Q se uic sore CD y P se uic sore AB. Si AB = 18 cm y BC = 1 cm, entonces cuál es l medid del ldo del romo APCQ? A) 3 17 cm D) 15 cm B) 13 cm E) 6 13 cm C) 6 6 cm D Q C A P B 13

14 Progrm Entrenmiento - Mtemátic 17. En l figur, los cudrdos APSD, PQRS y QBCR formn el rectángulo ABCD, cuyo perímetro mide n cm. L expresión que represent el perímetro del romoide AQCS, en cm, es A) B) C) n 4 (1 + ) D) n 3 n 4 ( + ) E) n 3 n (1 + ) 3 ( + ) (3 + ) D S R C A P Q B 18. Si ls digonles de un romo miden x cm y x cm, entonces l expresión que represent l ltur de dicho romo, en cm, es A) B) C) 5 10 x D) 3 3 x 5 5 x E) x 5 5 x 19. En l figur, ABCD es deltoide de se AC, de tl mner que DP : AP : BP = 5 : 1 : 9. Si el áre del deltoide mide 336 cm, cuánto mide el perímetro del deltoide? A) 8 cm D B) 8 cm C) 56 cm D) 56 cm A P C E) 11 cm B 0. En l figur, ABCD es deltoide de se AC y AD AB. Cuál(es) de ls siguientes firmciones es (son) siempre verdder(s)? I) DP PB = AP PC D II) III) BD AC = AD AB AD DC = DP DB A P C A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo I y III E) Ningun de ells. B 14

15 GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA 1. En l figur, ABCD es un trpecio rectángulo de 110 cm de perímetro y ABCE es un trpecio isósceles. Si CE : ED : DA = : 3 : 4, entonces el perímetro del trpecio ABCE mide A) 70 cm B) 75 cm C) 85 cm D) 95 cm E) 100 cm D E C A B. En l figur, ABCD es un trpecio, M y N son puntos medios de AD y BC respectivmente. Cuál es l rzón entre ls áres del trpecio MNCD y el trpecio ABCD? A) 5 : 6 B) 5 : 1 C) 9 : 10 D) 9 : 0 E) Fltn dtos pr determinrl. A M D 4 cm 6 cm C N B 3. En l figur, el trpecio ABCD es isósceles de ses AB y DC, AD DC y DE AC. Si l medid del ángulo EDC es el quíntuple de l medid del ángulo DCA, cuánto mide el ángulo ACB? A) 90º B) 97,5º C) 10º D) 135º E) Ningun de ls medids nteriores. D C A E B 4. En el deltoide ABCD de l figur, AC es se y DB = 1 cm. Si DE EF FB y CD = 5 cm, cuánto mide el áre del deltoide? A) 1 cm B) 4 cm C) 36 cm D) 7 cm E) Ningun de ls medids nteriores. A E F D C B 15

16 Progrm Entrenmiento - Mtemátic 5. En el cudrdo ABCD de l figur, P y Q son los puntos medios de sus ldos respectivos, y R es un punto uicdo sore el segmento DA, de tl mner que DR < RA. Se uic un punto S en un posición culquier del segmento CB, de tl mner que no coincide con C ni con B. Cuál(es) de ls siguientes condiciones permite(n) firmr siempre que el cudrilátero PSQR es un trpezoide? I) CS DR D Q C II) III) SB CS SB DR R S A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Solo I y III A P B 6. En l figur, se muestr un cudrilátero cuys digonles son perpendiculres. Cuál es el vlor de x? A) B) C) 3 5 x D) 7 E) Se puede determinr el totl de digonles trzds desde un vértice en un polígono convexo si: (1) El polígono tiene 10 ldos. () L sum de los ángulos interiores del polígono es 1.440º. A) (1) por sí sol. B) () por sí sol. C) Ams junts, (1) y (). D) Cd un por sí sol, (1) ó (). E) Se requiere informción dicionl. 16

17 GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA 8. En l figur, ABCD es un rectángulo y EBCF es un cudrdo. Es posile determinr l medid del segmento DE, si: A D (1) AD = 4 cm y DC = 7 cm. () El áre del cudrdo EBCF es 16 cm. A) (1) por sí sol. B) () por sí sol. C) Ams junts, (1) y (). D) Cd un por sí sol, (1) ó (). E) Se requiere informción dicionl. E F 9. En l figur, se puede determinr que // L, si: B C (1) α es l mitd de β. () α y β son suplementrios. A) (1) por sí sol. B) () por sí sol. C) Ams junts, (1) y (). D) Cd un por sí sol, (1) ó (). E) Se requiere informción dicionl. L L 3 α β 30. Es posile determinr el número de ldos de un polígono convexo si: (1) En totl, el polígono tiene más de 15 digonles. () En totl, el polígono tiene menos de 5 digonles. A) (1) por sí sol. B) () por sí sol. C) Ams junts, (1) y (). D) Cd un por sí sol, (1) ó (). E) Se requiere informción dicionl. 17

18 Progrm Entrenmiento - Mtemátic Ítem Tl de corrección Alterntiv Hilidd 1 Aplicción Aplicción 3 Aplicción 4 Aplicción 5 Aplicción 6 Aplicción 7 ASE 8 ASE 9 ASE 10 ASE 11 ASE 1 Comprensión 13 Aplicción 14 ASE 15 ASE 16 Aplicción 17 Aplicción 18 ASE 19 Aplicción 0 ASE 1 ASE ASE 3 Aplicción 4 Aplicción 5 ASE 6 ASE 7 ASE 8 ASE 9 ASE 30 ASE 18

19 GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA Mis puntes 19

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