II PARTE: GEOMETRIA. Matemática 0 Introducción a la Matemática Universitaria Algebra 1 y Cálculo 1. Profesor: José Daniel Munar Andrade

Transcripción

1 Mtemátic 0 pr lgebr 1 y álculo iferencil UINF Universidd de iencis de l Informátic Escuel de Ingenierí rrer de Ingenierí de Ejecución en Informátic II PRTE: GEOMETRI Mtemátic 0 Introducción l Mtemátic Universitri lgebr 1 y álculo 1 Profesor: José niel Munr ndrde Este punte h sido desrrolldo pr proveer ls clses de Mtemátics Introductoris de un elemento de discusión que permit unificr criterio en ls distints secciones que bordn el tem Semestre Otoño 2003 Mtemátic 0 2do.Semestre Profesor: José niel Munr ndrde

2 Mtemátic 0 pr lgebr 1 y álculo iferencil Prte 07 Geometrí Pln. NGULOS 0.01 efinición. ngulo es l bertur que se produce l intersectr dos rects (Fig.1) o Un ángulo está formdo por dos ryos que tienen un origen común. ese punto común le llmmos vértice. Fig.1 Un ángulo se define trvés de tres puntos. L letr centrl siempre determin el vértice delángulo.(fig.2) O Fig.2 = ΑΟΒ 0.02 Sistems de medid. undo hblmos de distnci, podemos epresrl de ls siguientes forms 3 mts. = 300 cms. = 0,03 kms. En los tres csos nos estmos refiriendo l mism distnci pero epresd en diferentes uniddes. on los ángulos puede ocurrir lo mismo, es decir, medir un mismo ángulo trvés de diferentes uniddes. Los sistems usdos son el segesiml, el centesiml y el circulr Sistem Segesiml. En este sistem se divide un circunferenci en 360 prtes y cd prte es un grdo segesiml Subuniddes del Sistem Segesiml d grdo const de 60 minutos y cd minuto de 60 segundos. ( 1º = 60' ; 1' = 60'') Mtemátic 0 2do.Semestre Profesor: José niel Munr ndrde

3 Mtemátic 0 pr lgebr 1 y álculo iferencil 0.05 Sistem entesiml. En este sistem se divide un circunferenci en 400 prtes igules y cd prte es un grdo centesiml (Fig.4) Subuniddes del Sistem entesiml d grdo const de 100 minutos y cd minuto de 100 segundos Sistem entesiml. En este sistem se divide un circunferenci en 400 prtes igules y cd prte es un grdo centesiml (Fig.4) Subuniddes del Sistem entesiml d grdo const de 100 minutos y cd minuto de 100 segundos. 0.09Sistem irculr En este sistem se divide l circunferenci en 2 π prtes igules ( π = 3,14... ) y cd prte de ell le llmremos rdin.es un medid perimetrl Podemos estblecer el siguiente cudro comprtivo entre los Sistems : Sistem Segesiml Sistem entesiml Sistem irculr 360 º 400 g 2πrd 180 º 200 g πrd. 90 º 100 g π/2rd. Esto signific que si tenemos l medid de un ángulo en culquier de los sistems, podemos trnsformrlo culquier de los otros dos. En generl los sistems más usdos son el Segesiml y el de Rdines y se sugiere que pr su coversión se utilice l equivlenci 180º----- π ritmétic ngulr Sum. Se deben sumr uniddes correspondientes entre si: Ejemplo 28º 39' 43'' +32º 50' 25'' 60º 80' 68'' Mtemátic 0 2do.Semestre Profesor: José niel Munr ndrde

4 Mtemátic 0 pr lgebr 1 y álculo iferencil eberemos hor convertir ls subuniddes y que 80' son más que un grdo y 68" son más que un minuto. Entonces, 60º 80' 68'' = 60º 60' + 20' 60" + 8 " y por tnto qued = 61º 21' 8 " Rest. l igul que en l sum se deben restr uniddes correspondientes entre si : Ejemplo 73º 17' - 52º 20' 10'' eberemos trnsformr ls subuniddes porque 20' no pueden ser restdos 17'.Entonces, 73º 17' = 72º 77' = 72º 76' 60'' e est mner, l operción qued 72º 76' 60'' - 52º 20' 10'' 20º 56' 50'' 0.11 lsificción de los ángulos ngulo gudo. ngulo recto Fig.6 Es quél que mide menos de 90º(Fig.6) Fig.7 ngulo obtuso Es quél que mide 90º.(Fig.7) 180º.(Fig.8) Fig.8 ngulo etendido Es quél que mide ms de 90º y menos de o Fig.9 Es quél que mide 180º.(Fig.9) Mtemátic 0 2do.Semestre Profesor: José niel Munr ndrde

5 UINF Universidd de iencis de l Informátic Ing. e Ejecución en Informátic ngulo conveo 360º.(Fig 11) Fig.11 Es quél que mide más de 180º y menos de ngulo completo Fig.12 Es quél que mide 360º (Fig.12) 0.12 ngulos suplementrios os ángulos y β se dice que son suplementrios si su sum es un ngulo etendido, es decir, + β = 180º. Entonces, el suplemento de culquier ángulo es : 180º - (Fig.13) 180 Fig.13 Ejemplo uánto vle el suplemento de un ángulo de 45º? Si = 45º y se define como suplemento de ' = 180 -, entonces 180º - 45º = 135º el suplemento del ángulo es 135º 0.13 ngulos complementrios os ángulos y β se dice que son complementrios si su sum es un Mtemátic 0 2do.Semestre Profesor: José niel Munr ndrde

6 UINF Universidd de iencis de l Informátic Ing. e Ejecución en Informátic ángulo recto, es decir, + β = 90º.Entonces, el complemento de culquier ángulo es : 90 - (Fig.14) 90 Fig.14 Ejemplo uánto vle el complemento de un ángulo de 30º? Si = 30º y definimos el complemento como complemento de un ángulo de 30º es 60º. ' = 90 -, entonces el 0.14 Ángulos dycentes os ángulos y β se dice que son dycentes si tienen un ldo común y el segundo ldo sobre l mism rect.(fig.15) β O Fig.15 Los ángulos dycentes son suplementrios Ángulos consecutivos os ángulos y β se dice que son consecutivos si tienen un ldo en común. (Fig.16) E O β Fig Ángulos opuestos por el vértice Son quellos que se formn l prolongr los ryos de un ángulo desde el vértice. Los ángulos opuestos por el vértice son igules. En l figur y b Mtemátic 0 2do.Semestre Profesor: José niel Munr ndrde

7 UINF Universidd de iencis de l Informátic Ing. e Ejecución en Informátic o β son opuestos por el vértice.(fig.17) Fig Formción de ángulos. l intersectr dos rects tenemos ángulos dycentes y ángulos opuestos por el vértice.(fig.18) γ γ β Fig.18 ngulos dycentes son: con β ; β con γ ; γ con δ ; δ con. demás, + β = 180 ; β + γ = 180º ; γ + δ = 180º ; δ + = 180º ngulos opuestos por el vértice son: con γ ; β con δ. demás, = γ ; β = δ 0.18 ngulos entre prlels Si intersectmos dos prlels con un trnsversl tendremos :(Fig.19)L1 // L 2 y S: trnsversl s β γ δ L1 γ β δ L2 Fig ngulos correspondientes Son quéllos que están l mismo ldo de l trnsversl y l prlel ; con ' ; β con β' ; γ con γ ; δ con δ'. demás, los ángulos correspondientes son igules entre si, = ; β = β ; γ = γ δ = δ 0.20 Ángulos lternos Mtemátic 0 2do.Semestre Profesor: José niel Munr ndrde

8 UINF Universidd de iencis de l Informátic Ing. e Ejecución en Informátic Son quéllos que se encuentrn diferentes ldos de l trnsversl. hor bien, ángulos lternos internos son quellos que se encuentrn diferentes ldos de l trnsversl y l interior de ls prlels γ = γ ; δ = δ ; γ = ; δ = β Ángulos lternos eternos son quéllos que se encuentrn diferentes ldos de l trnsversl pero hci fuer de ls prlels ; β conδ'; χον γ ; β = δ ; = δ Un mner más simple de recordr esto es numerndo los ángulos formdos entre ls prlels y l trnsversl, de tl modo que, Ángulos impres son igules y Ángulos pres son igules (Fig.20) s L L isectriz de un ángulo L1 // L2 ; S : trnsversl (Fig.20 ) Es l semirrect que divide el vértice de un ángulo en dos ángulos igules.(fig.21) b O /2 /2 O = 50 O = O = 65º O Fig.21. O 0.22 Ejercicios e Selección Únic NGULOS 1.- Si L1 // L2, entonces, l medid del ángulo, sbiendo que β mide l mitd de es : L1 L2 60º β ) 80º b) 60º c) 40º d) 90º e) 75º Mtemátic 0 2do.Semestre Profesor: José niel Munr ndrde

9 UINF Universidd de iencis de l Informátic Ing. e Ejecución en Informátic 2. En l figur se tiene que L1 L2. Entonces l medid del ángulo es : L L1 L2 3.- En l figur siguiente clcule si 5 = 2β y L1 // L2 ) 90º - b) 180º - 2 c) d) 45º e) Ningun de ls nteriores. L1 L2 40º β ) 80º b) 100º c) 40º d) 140º e) Ningun nterior 4.- En l figur RP y SP son bisectrices y L1 // L2. Entonces l medid del ángulo RPS es : ) 40º L1 R b) 50º P c) 75º L2 S d) 90º 100º e) 100º 5.-Pr que se cumpl que L1 // L2, el vlor de debe ser : ) 2 b) 3 L1 c) d) 13 e) Ningun de ls nteriores L M1 M2 6.- Si L1 // L2 entonces el vlor de es : L1 100º L2 60º ) 80º b) 120º c) 140º d) 150º e) 160º M1 M2 Mtemátic 0 2do.Semestre Profesor: José niel Munr ndrde

10 UINF Universidd de iencis de l Informátic Ing. e Ejecución en Informátic 7.- Sbiendo que L es perpendiculr L1 y L2, determine los vlores de y β. L ) = 40º ; β = 140º L1 b) = 50º ; β = 130º c) = 40º ; β = 100º L2 β 140º d) = 60º ; β = 120º e) = 20º ; β = 160º 8.- Si L1 // L2 y = β, entonces el vlor de ellos es : L1 L2 50º β ) 25º b) 65º c) 75º d) 130º e) Ningun nterior Mtemátic 0 2do.Semestre Profesor: José niel Munr ndrde

11 UINF Universidd de iencis de l Informátic Ing. e Ejecución en Informátic 9.-En l figur se tiene que L1 // L2,entonces el vlor del ángulo en función de y β es: ) - β L1 β b) β - c) (1/2) ( + β ) d) 2( - β ) L2 e) + β 10. ds L1 // L2 ; entonces, en función de y β es : L1 L2 β ) - β b) β - c) 2 - β d) - 2β e) + β 11. ds L1 // L2, si el ángulo L1PS se trisect, entonces, mide : S P 45º 25º O L1 L2 ) 45º b) 50º c) 60º d) 70º e) 90º 12.- Si L1 y L2 formn un ángulo de 30º, entonces, sbiendo que y es el cuádruplo de se tiene que : L3 L1 ) + y = 90º b) - y = 72º 30º L2 c) y - 4 = 0 y d) + y = 120º e) y = 30º Mtemátic 0 2do.Semestre Profesor: José niel Munr ndrde

12 13. ds L1 // L2, entonces mide : UINF Universidd de iencis de l Informátic Ing. e Ejecución en Informátic 120º ) 20º L1 b) 80º 40º c) 100º d) 120º L2 e) 160º 14. Si L1 // L2, entonces el vlor de es : ) 13º L1 b) 25º 3+54º c) 47º d) 73º L2 60º +80º e) 93º 15. Si L1 // L2, entonces, el ángulo formdo por ls bisectrices de los ángulos en R y S mide : ) 60º L1 R b) 75º c) 90º d) 120º L2 e) Flt informción S 16. ds L1 // L2, determine el vlor de + y ) 10º L1 b) 20º 2 c) 30º d) 60º L2 3-20º e) Ningun de ls nteriores. y + 10º 17.- e cuerdo l figur uál es el vlor del ángulo O? ( y son rects ) 2 O ) 30º b) 60º c) 90º d) 120º e) 180º 18. Si L1 // L2 determine el vlor de + y Mtemátic 0 2do.Semestre Profesor: José niel Munr ndrde

13 UINF Universidd de iencis de l Informátic Ing. e Ejecución en Informátic 120º 50º L1 ) 40º y L2 b) 70º c) 90º d) 120º e) 170º 19.- En l figur L1 // L2 ; = 120º - ; β = º, entonces, el complemento de β es : L1 β ) 20º b) 40º c) 60º d) 80º L2 e) 10º 20.- En l figur L1 L2. uánto vle el suplemento de? L2 ) 22,5º L b) 67,5º c) 112,5º L1 3 d) 157,5º e) Ningun de ls nteriores 21. En l figur L1 // L2; L3 // L4. etermine el vlor de - 2y L4 L3 40º 30º ) 30º y b) 80º c) 110º d) 180º e) Ningun de ls nteriores L1 L2 Mtemátic 0 2do.Semestre Profesor: José niel Munr ndrde

14 UINF Universidd de iencis de l Informátic Ing. e Ejecución en Informátic 22.- En l figur L1 // L2; = 30º ; β = δ, determine y - β ) 30º L1 δ L2 y b) 45º c) 75º d) 120º e) Ningun de ls nteriores 23. En l figur se tiene que = 90º; = 70º, entonces, el vlor de E es : 24. etermine el vlor de E ) 30º b) 40º c) 50º d) 60º e) 90º L ) 90º + b) 180º + c) 180º - d) 90º - e) Ningun de ls nteriores 25.- En l figur se tiene : = (1/3)β y = (1/2)γ, determine el vlor de N ) 20º M b) 40º c) 60º ε d) 120º β e) N.. L δ γ Mtemátic 0 2do.Semestre Profesor: José niel Munr ndrde

15 UINF Universidd de iencis de l Informátic Ing. e Ejecución en Informátic 26.- En l figur se tiene que L1 L2; M L3 ; L3 bisectriz de MON. etermine M O ) 30º L3 b) 45º c) 60º d) 15º L2 e) Ningun de ls nteriores N 27.- En l figur, O es bisectriz de O y O es bisectriz de O. etermine el vlor de O 40º O F ) 40º b) 45º c) 60º d) 160º e) Ningun de ls nteriores 28.- En l figur se tiene que L1 // L2. etermine l medid de ) 40º L1 b) 90º 100º c) 140º d) 160º e) Ningun de ls nteriores 60º L En l figur se tiene L1 L2, 1 = 35º, 1 = 2, entonces, =? L L4 L3 L2 ) 70º b) 90º c) 105º d) 125º e) 160º 30.- En l figur se tiene que L1 // L2, L2 es bisectriz de. Entonces el vlor de es : Mtemátic 0 2do.Semestre Profesor: José niel Munr ndrde

16 L1 UINF Universidd de iencis de l Informátic Ing. e Ejecución en Informátic 40º ) 30º b) 40º L2 c) 45º d) 60º e) Ningun de ls nteriores Ejercicios sobre TRINGULOS (1) 1. Según l figur y E son puntos medios de y respectivmente, = = 2 cm. uál(es) de ls siguientes firmciones es(son) verdder(s)? I. El triángulo E es isósceles II. El áre del triángulo E es 0,5 cm² III. El perímetro del triángulo E es (2 + 2 ) cm E 2. En el triángulo PQR, S es punto medio. Si QR = 4 cm, entonces PS mide : R S Q P 3. Según l figur = E, demás 2E =. El áre del triángulo entonces el áre del triángulo E es : E 4. En l figur se tiene que los triángulos myores son equiláteros e igules entre sí; PQ mide 1 cm ; R y S R S son untos medios. Entonces l sum totl de los perímetros de todos los triángulos es : P Q 5. cuál debe ser l medid de un ldo de un triángulo isósceles cuy bse mide 1 cm, pr que su perímetro se igul l perímetro de un triángulo equilátero de ldo 3 cm? Mtemátic 0 2do.Semestre Profesor: José niel Munr ndrde

17 UINF Universidd de iencis de l Informátic Ing. e Ejecución en Informátic 6. En un triángulo rectángulo, un cteto mide 12 cm. L hipotenus es 1,25 veces el tmño del cteto nterior, entonces, uál es el áre del triángulo? 7.- En l figur se tiene que L1 // L2 ; F // ; es punto medio de E ; = 8 cm ; E = 10 cm, entonces, cuál(es) de ls siguientes firmciones es(son) verdder(s) : I. FE + = 90º II. Per FE + Per = Per E III. r FE + r = r E (Per = Perímetro ; r = re ) E F L1 L2 8. Según l figur el perímetro del triángulo es : ) 2(p + ) + (q + b) b) 2(p + q) + ( + b) c) 2( + b) + (p + q) d) 2( + b) - (p + q) e) (p + q) + ( + b) q β b β p 9. Según l figur el triángulo y E son isósceles ; = E. Si el áre del triángulo E es 10 cm², entonces cuánto mide el áre del triángulo : E 10. e cuerdo l figur, el perímetro de es : 16 cm 12 cm 9 cm Mtemátic 0 2do.Semestre Profesor: José niel Munr ndrde

18 UINF Universidd de iencis de l Informátic Ing. e Ejecución en Informátic 11. Según l figur E // y EF =, entonces cuál(es) de ls siguientes firmciones es(son) verdder(s) : I. Per EF = Per II. III. F = FE + = E F 12. El áre del cudrdo es 72 cm² y está formdo por 36 cudrdos igules uánto mide el áre de l prte sombred? 13. Sen : =(-2,-1) ; = (3,-1) y = (5,3), los vértices de un triángulo uánto mide el áre de dicho triángulo? Y (m) X (m) 14. Sobre l hipotenus del triángulo rectángulo, se hn dibujdo 2 triángulos congruentes. Si = 5 cm ; = 12 cm; = 4 cm, entonces, el áre totl de l figur mide : E 15.- El es rectángulo en, ; el ángulo mide 40º,entonces el mide : 40º Mtemátic 0 2do.Semestre Profesor: José niel Munr ndrde

19 16.- En el ; E //, = 60º y β = 70º,entonces, cuánto mide el ángulo : UINF Universidd de iencis de l Informátic Ing. e Ejecución en Informátic E β 17.- equilátero, y son bisectrices, entonces, cuál es el vlor de los ángulos y β respectivmente? β 18.- isósceles, entonces y β miden respectivmente 70 y 19.- Si = 45º ; y = 135º. qué clse de es STQ : Q S T y 20.- En el se tiene que el L mide 106º y el mide 16º, entonces el M mide : M L 21.- En l figur hy tres triángulos equiláteros congruentes, entonces cuánto mide + y? y Mtemátic 0 2do.Semestre Profesor: José niel Munr ndrde

20 22.- En el, : y = 2 : 3,entonces el z mide: UINF Universidd de iencis de l Informátic Ing. e Ejecución en Informátic En el de l figur, cuál de los ángulos es equivlente es equivlente l sum de los ángulos e y? y R z 50 ) R b) P c) Q d) P + Q e) Ningun nterior y 24. En el, cuánto mide? 70º 30º E F 25.-En l figur el E es equilátero y el es rectángulo en, si el 60º F mide 100º,entonces el mide : 26. : = : E,entonces el mide: E 70º 30º 27.- P y P son bisectrices de los ángulos eteriores del,entonces el mide : Mtemátic 0 2do.Semestre Profesor: José niel Munr ndrde 40º 50º P

21 UINF Universidd de iencis de l Informátic Ing. e Ejecución en Informátic 28.- P y P son bisectrices de los ángulos eteriores del de l figur, entonces cuánto mide el : P Mtemátic 0 2do.Semestre Profesor: José niel Munr ndrde

22 Geometrí URILTEROS UINF Universidd de iencis de l Informátic Ing. e Ejecución en Informátic efinición Un cudrilátero es un polígono formdo por cutro ldos 0.34 Sum de los ángulos interiores de un cudrilátero. L sum de los ángulos interiores de un cudrilátero est dd por Sint = 180º ( n - 2 ), siendo n el número de ldos, l sum será siempre 360º Sum de los ángulos eteriores de un cudrilátero. L sum de los ángulos eteriores de un cudrilátero es 360º 0.36 lsificción de los cudriláteros. Los cudriláteros se clsificn en Prlelógrmos Trpecios Trpezoides 0.37 efinición Prlelogrmos Son cudriláteros que tienen dos pres de ldos prlelos. Los prlelogrmos son 1.- udrdos ;2.- Rectángulos ; 3.- Rombos ; 4.- Romboides 0.38 Propieddes Generles de un Prlelogrmo. Ls cutro figurs que cbmos de mencionr en el párrfo nterior cumplen con ls siguientes propieddes generles: ) ldos opuestos igules b) ángulos opuestos igules c) ángulos consecutivos suplementrios d) ls digonles se dimidin, es decir, se dividen en dos prtes igules Mtemátic 0 2do.Semestre Profesor: José niel Munr ndrde

23 UINF Universidd de iencis de l Informátic Ing. e Ejecución en Informátic 0.39 Propieddes Prticulres del udrdo 2 45º 45º Fig Propieddes Prticulres del Rectángulo ) Tiene sus cutro ldos igules b) Tiene sus cutro ángulo igules 90º c) Ls digonles son igules y miden 2 d) Ls digonles son bisectrices de los ángulos interiores e) Ls digonles son perpendiculres entre si f ) El áre es ², siendo el vlor del ldo g) El Perímetro es 4, siendo el vlor del ldo. β ²+b² b β Fig.2 ) Tiene sus ldos consecutivos diferentes b) Tiene sus cutro ángulo igules 90º c) Ls digonles son igules y miden b d) Ls digonles NO son bisectrices e) Ls digonles NO son perpendiculres f ) El áre es (b) siendo y b los ldos del rectángulo. g) El Perímetro es 2 + 2b = 2( + b) Propieddes Prticulres del Rombo d2 d1 Fig.3 h ) Tiene sus cutro ldos igules b) Tiene sus ángulos consecutivos diferentes c) Ls digonles son diferentes d) Ls digonles son perpendiculres entre si e) Ls digonles son bisectrices de los ángulos interiores. f ) El áre es : (h) = d1d2, d1 y d2 son ls 2 digonles. g) El Perímetro es 4, siendo el vlor del ldo Mtemátic 0 2do.Semestre Profesor: José niel Munr ndrde

24 UINF Universidd de iencis de l Informátic Ing. e Ejecución en Informátic 0.42 Propieddes Prticulres del Romboide ) Tiene ldos consecutivos diferentes b)tiene ángulos consecutivos diferentes β c) Tiene digonles diferentes b h d) Ls digonles no son bisectrices β e)ls digonles no son perpendiculres entre si Fig.4 f ) El áre es (h) o (bh b ), donde h es l ltur sobre el ldo y hb es l ltur sobre el ldo b g) El perímetro es 2 + 2b = 2(+b) 0.43 efinición Trpecios Es todo cudrilátero que tiene un pr de ldos prlelos. Los ldos prlelos son llmdos bses.(fig.5) d b c y b son ls bses c y d son los ldos no prlelos Fig Medin l unir los puntos medios de los ldos no prlelos result un trzo b llmdo medin (Fig.6) MN = Medin d c MN = + 2 Fig re y Perímetro de un Trpecio + El áre de un trpecio se clcul como re = * h es decir, el áre 2 de un trpecio es l semisum de ls bses por l ltur. Lo nterior es equivlente decir re = MN* h. El Perímetro corresponde Mtemátic 0 2do.Semestre Profesor: José niel Munr ndrde

25 0.46 lsificción de los Trpecios UINF Universidd de iencis de l Informátic Ing. e Ejecución en Informátic Los trpecios se clsificn en :Trpecios isósceles ; Trpecios rectángulos Trpecios esclenos 0.47 Trpecio Isósceles. Son quellos cuyos ldos no prlelos son igules.(fig.7) y ldos prlelos y ldos no prlelos b c c -b b -b Trpecio rectángulo Es quél en que uno de los ldos no prlelos es perpendiculr ls bses (Fig.8) Fig.7 y ldos prlelos y ldos no prlelos Fig Trpecio Escleno Es quél que tiene todos sus ldos diferentes. (Fig.9) d c b Fig efinición Trpezoide Es todo cudrilátero que no tiene ldos prlelos. Este puede ser simétrico o simétrico (ntisimétrico) 0.51 Trpezoide simétrico Tmbién llmdo deltoide está formdo por dos triángulos isósceles que tienen l bse en común.(fig.10) Mtemátic 0 2do.Semestre Profesor: José niel Munr ndrde

26 El áre de un deltoide es el semiproducto de ls digonles. re = d1d2 2 El perímetro es l sum de todos sus ldos UINF Universidd de iencis de l Informátic Ing. e Ejecución en Informátic d1 d Trpezoide simétrico. Pr clculr el áre de este trpezoide, lo único que se puede hcer es dividirlo en figurs conocids ( triángulos, cudrdos, trpecios etc.) y clculr por seprdo el áre de cd un de ests figurs y posteriormente sumrls. (Fig.11) Fig.10 Fig Ejercicios Pr esrrollr udriláteros b =? b 2.- Si = E = E, =? 3.- F, EF es bisectriz del E ; =? 20º E 4.- cudrdo ; digonl ; =? Mtemátic 0 2do.Semestre Profesor: José niel Munr ndrde

27 UINF Universidd de iencis de l Informátic Ing. e Ejecución en Informátic 25º 5.-. cudrdo ; O pto de intesección de digonles ; =? X E Trpecio ; cudrdo ; E = ; =? 45º E 7.- cudrdo ; = 3 2 ; =? Mtemátic 0 2do.Semestre Profesor: José niel Munr ndrde

28 8.- UINF Universidd de iencis de l Informátic Ing. e Ejecución en Informátic cudrdo, EFG rectángulo, F =? F E 9.- rectángulo, = E, = 60º, E =? E 10.- E.- E =?, =?, =? 30º 11.- F Rombo 40º 12.- Romboide ; =? Mtemátic 0 2do.Semestre Profesor: José niel Munr ndrde

29 UINF Universidd de iencis de l Informátic Ing. e Ejecución en Informátic 40º 30º 60º 13.- Romboide ; =? 30º X 80º 14.- Romboide ; =? bisectriz F, E =? E F 60º 15.- Romboide ; =? Romboide ; =? º 17.- Romboide ; =? Mtemátic 0 2do.Semestre Profesor: José niel Munr ndrde

30 UINF Universidd de iencis de l Informátic Ing. e Ejecución en Informátic 110º 18.- trpecio isósceles, =? y =? 110º 50º 19.- y cudrilátero ; = y/4, y =? 80º 125º Xº 20.- cudrilátero ; = 3y, =? e y =? Y 130º X Mtemátic 0 2do.Semestre Profesor: José niel Munr ndrde

31 21.- UINF Universidd de iencis de l Informátic Ing. e Ejecución en Informátic cudrilátero ; =? 25º 70º 30º Geometrí Pln. IRUNFERENI Y IRULO 0.55 ircunferenci: ircunferenci, es un curv pln, cerrd, tl que todo sus puntos equidistn de un punto fuer de ell llmdo centro.(o) (Fig.1) 0.56 írculo írculo, es un región del plno limitd por un circunferenci.(fig.2) Elementos de un írculo o ircunferenci Rdio ( r ) o Fig.1 Fig.2 Es el segmento que une el centro de l circunferenci con culquier punto sobre ell.(fig.3) O = r = rdio o r Fig uerd ( c ) Es el segmento que une dos puntos culesquier de un circunferenci (Fig.4) = uerd Mtemátic 0 2do.Semestre Profesor: José niel Munr ndrde O Fig.4

32 UINF Universidd de iencis de l Informátic Ing. e Ejecución en Informátic 0.59 iámetro ( ) Es l myor de ls cuerds,es decir, l cuerd con myor longitud.l cuerd con myor longitud de un circunferenci se obtiene cundo est ps por el centro y es equivlente dos veces el rdio.(fig.5) r = rdio ; = d = dimetro d = 2r 0.60Secnte ( s ) Es l rect que intersect l circunferenci en dos puntos.(fig.6) S = secnte r d O r S Fig Tngente ( T ) Es l rect que intersect l circunferenci en un solo punto P llmdo punto de tngenci.(fig.7). T = tngente y P = punto de tngenci T O P Fig.6 L rect tngente result de ser perpendiculr l rdio en el punto P ( sólo en ese punto) Fig rco de ircunferenci: Porción de l circunferenci limitd por dos puntos sobre ell.(fig.8) = rco ; = ángulo O Fig.8 Mtemátic 0 2do.Semestre Profesor: José niel Munr ndrde

33 UINF Universidd de iencis de l Informátic Ing. e Ejecución en Informátic Los rcos se miden en el sentido opuesto l movimiento de los punteros del reloj(fig.9) = rco ; = rco O 0.63 Sector irculr Porción del círculo limitd por dos rdios y un rco de circunferenci.(fig.10) r o r Fig.9 r = rdio ; =rco 0.64 Segmento irculr Porción del círculo limitd por un cuerd y un rco de circunferenci.(fig.11) = uerd ; = rco 0.65 re del írculo Fig.11 El áre del círculo es p r², donde p = 3,14 y r es el rdio del círculo.(fig.12) Fig Perímetro de l ircunferenci El perímetro de l circunferenci es 2 p r con p = 3,14 y r es el rdio. Usndo ests fórmuls podemos clculr el áre de un sector circulr.(fig.13) r o r Fig.13 re = p*r 2 * 360º Mtemátic 0 2do.Semestre Profesor: José niel Munr ndrde

34 y l longitud de rco es :(Fig.14) l = 2pr 360º UINF Universidd de iencis de l Informátic Ing. e Ejecución en Informátic O Fig.14 Ejemplo uál es el áre del sector circulr definido por el rco,si = 105º y el r = 3? (Fig.15) = 105º 3 3 O Fig.15 re = p 3² 105º = 105º9p = 21p 360º 360º Ángulos en l circunferenci ngulo del centro Es quél que est formdo por dos rdios y cuyo vértice est sobre el centro de l circunferenci.(fig.17) = rco Fig ngulo inscrito Es quél que está formdo por dos cuerds y cuyo vértice está sobre l circunferenci (Fig.18) Fig.18 En mbos csos los ángulos subtienden o describen un rco sobre l circunferenci 0.69 Teorems β ngulos inscritos que subtienden o describen el mismo rco son igules. (Fig.19) L medid del ángulo no depende del Mtemátic 0 2do.Semestre Profesor: José niel Munr ndrde Fig.19

35 vértice sino que del rco que subtiende UINF Universidd de iencis de l Informátic Ing. e Ejecución en Informátic ngulos del centro que subtienden rcos igules son igules. (Fig.20) Si =, entonces = b β Fig.20 Un ángulo inscrito y un ángulo del centro b que subtienden el mismo rco stisfcen que:(fig.21) b = 2 β Fig.21 Todo ángulo inscrito en un semicircunferenci es recto.(fig.22) Fig.22 g + d = β γ δ Fig.23 En todo cudrilátero inscrito en un circunferenci se tiene que los ángulos opuestos son suplementrios. (Fig.24). + b = 180º β Fig.24 Mtemátic 0 2do.Semestre Profesor: José niel Munr ndrde

36 El ángulo eterior de un cudrilátero inscrito en un circunferenci es igul l ángulo interior opuesto. (Fig.25) UINF Universidd de iencis de l Informátic Ing. e Ejecución en Informátic Fig.25 Todo cudrilátero circunscrito un circunferenci stisfce que :(Fig.26) + c = b + d b d ngulo eterior.(fig.27) c Fig.26 = b - c 2 b c Fig Ejercicios Pr esrrollr ircunferenci Y irculo Pr el desrrollo de los siguientes ejercicios, considere 0 como centro de ls circunferencis y l incógnit permnente º 95º 2.- R : ( ) E 40º 90º 0 R : ( ) Mtemátic 0 2do.Semestre Profesor: José niel Munr ndrde

37 3.- UINF Universidd de iencis de l Informátic Ing. e Ejecución en Informátic 0 25º 120º R : ( ) 4.- = 0 140º R : ( ) º 0 R : ( ) º 120º 0 R : ( ) Mtemátic 0 2do.Semestre Profesor: José niel Munr ndrde

38 7.- UINF Universidd de iencis de l Informátic Ing. e Ejecución en Informátic 30º R : ( ) 8.- M 0 M ; es el diámetro 0 M R : ( ) 9.- T es l tngente y P el punto de tngenci T P X 0 100º Q R : ( ) º 30º R : ( ) Mtemátic 0 2do.Semestre Profesor: José niel Munr ndrde

39 11.- UINF Universidd de iencis de l Informátic Ing. e Ejecución en Informátic 0 20º 30º R : ( ) 12.- = 1/2 R : ( ) 13.- T es l Tngente y P es el punto de tngenci 0 60º T P 14.- R : ( ) 36º 0 R : ( ) 15.- Mtemátic 0 2do.Semestre Profesor: José niel Munr ndrde

40 UINF Universidd de iencis de l Informátic Ing. e Ejecución en Informátic 0 50º R : ( ) 16.- y = 1/2 ; clculr e y Y 210º R : ( ) Geometrí RES Y PERIMETROS res y Perímetro de Triángulos 0.70 re y Perímetro de un Triángulo culquier. re = c.h c = b.h b =.h h c b Perímetro = + b + c c b h h c h b c 0.71Triángulo Rectángulo Mtemátic 0 2do.Semestre Profesor: José niel Munr ndrde

41 re =. b = c.h c 2 2 Perímetro = + b + c UINF Universidd de iencis de l Informátic Ing. e Ejecución en Informátic b h c Teorem de Pitágors : 2 = b 2 + c 2 c 0.72 Triángulo equilátero. re : = 2 /4 3 ltur = /h 3 h 0.73 Triángulo isósceles re = c.h 2 ltur = ( se plic Pitgors ) h c 0.74 re y Perímetro de un udrdo re = 2 Perímetro = 4 d = 2 d 0.75 re y Perímetro de un Rectángulo re = e. L Perímetro = 2e + 2L d = 2 e + L 2 e d L Mtemátic 0 2do.Semestre Profesor: José niel Munr ndrde

42 UINF Universidd de iencis de l Informátic Ing. e Ejecución en Informátic 0.76 re y Perímetro de un Rombo re = e. h =.d 2 Perímetro = 4 e e d e e h e 0.77re y Perímetro de un Romboide re = L. h =.d 2 Perímetro = 2L + 2e e L d e h 0.78 re y Perímetro de un Trpecio re = e + d. h 2 L e M m N Medin = e + d 2 d h 0.79 re y Perímetro de l ircunferenci re = π r 2 Perímetro = 2 π r rco = 2 π r 360º Sector = π r 2 360º 0.80 Ejercicios Pr esrrollr res Y Perimetros de : 1.- Un cudrdo de áre 169 m2. P : ( cm) Mtemátic 0 2do.Semestre Profesor: José niel Munr ndrde

43 UINF Universidd de iencis de l Informátic Ing. e Ejecución en Informátic 2.- Un predio rectngulr que se necesit cercr y que tiene 63 mt de lrgo y un superficie de m2. P : ( cm) 3.- El cudrdo myor que resulte de construir uno sobre l digonl del otro, considerndo que el perímetro del menor es 16 cm. P : ( cm) 4.- Un cudrdo de 16cm 2 de áre y cuyo ldo diminuye en 1 cm. P : ( cm) 5.- Un cudrdo de áre cm 2. P : ( cm) 6.- Un cudrdo, si el rdio de l circunferenci circuncrit él es 4 2? P : ( cm) 7.- e un nuevo cudrdo que result de l vrición del perímetro de uno de ldo cundo cd uno de sus ldos ument en un unidd? P : ( cm) 8.- Un cudrdo de ldo, cundo cd uno de sus ldos ument l doble. P : ( cm) 9.- Un tblero de jedrez sbiendo que cd un de sus 8 csills tiene 2,5 cm de ldo. : ( cm 2 ) 10.- Un superficie que necesit ser revestid con bldoss de 25 cm. de ldo y considerndo que el ptio tiene 12 mt de lrgo y un ncho que es ls 3/4 prtes del lrgo? : ( cm 2 ) 11.- Un rectángulo, si su lrgo es el triple del ncho y su perímetro es 16. : ( cm 2 ) 12.- Un rectángulo que tiene un perímetro de 24 cm y uno de sus ldos mide 4 cm. : ( cm 2 ) 13.- Un rectángulo cuyo perímetro es 48 y el ldo ecede en 6 l ncho. : ( cm 2 ) 14.- Un rectángulo, si el lrgo mide 32 cm y el ncho es el 25 % del lrgo. P : ( cm) Mtemátic 0 2do.Semestre Profesor: José niel Munr ndrde

44 : ( cm 2 ) UINF Universidd de iencis de l Informátic Ing. e Ejecución en Informátic 15.- Un rectángulo si su digonl mide 13 cm. y el ncho mide 5 cm? P : ( cm) : ( cm 2 ) 16.- Un rectángulo cuy sum de los ldos de es 100 cm y están en l rzón 3 : 7. P : ( cm) : ( cm 2 ) 17.- Un rombo sbiendo que l sum de l bse y su correspondiente ltur es 18 cm y su diferenci es 2cm. P : ( cm) : ( cm 2 ) 18.- Un triángulo rectángulo, sbiendo que el cteto mide 12 cm y l hipotenus es un 25% más que dicho cteto. P : ( cm) : ( cm 2 ) 19.- Un circunferenci de rdio 5. P : ( cm) : ( cm 2 ) 20.- Un circunferenci de diámetro 20 cm. P : ( cm) : ( cm 2 ) lculr el re y Perímetro de ls siguientes figurs geométrics : 21.- romboide Trpecio isósceles. 14 E 13 5 : ( cm 2 ) : ( cm 2 ) 23.- EF, Triángulo rectángulo en F 24.- Perímetro EF =? Mtemátic 0 2do.Semestre Profesor: José niel Munr ndrde

45 F UINF Universidd de iencis de l Informátic Ing. e Ejecución en Informátic F E 6 8 E : ( cm 2 ) 25.- = 40 M : ( cm 2 ) S1 o º o 20 : ( cm 2 ) 27.- cudrdo de ldo 6 ; y dimteros. 20 : ( cm 2 ) 28.- ircunferencis congruentes y tngentes de rdio 3 cm º º : ( cm 2 ) º : ( cm 2 ) 29.- OP = OQ = 6 cm = 10 cm = dimetro P O Q 10 : ( cm 2 ) : ( cm 2 ) 31.- O = O = 8 cm O = 60º ; r = 10 cm Mtemátic 0 2do.Semestre Profesor: José niel Munr ndrde

46 UINF Universidd de iencis de l Informátic Ing. e Ejecución en Informátic : ( cm 2 ) 33.- cudrdo. : ( cm 2 ) 34.- cudrdo E = = 4 cm. E 4 0 : ( cm 2 ) 35.- triángulo equilátero ; Perímetro E =? E 3 : ( cm 2 ) 36.- rectángulo ; GF puntos medios 8 6 G F 6 8 E : ( cm 2 ) 37.- cudrdo ; FG rectángulo E M 2b G F E : ( cm 2 ) 6 M = M : ( cm 2 ) Mtemátic 0 2do.Semestre Profesor: José niel Munr ndrde

47 39.- M = M 16 UINF Universidd de iencis de l Informátic Ing. e Ejecución en Informátic E 40.- E 6 M 12 2 b b N : ( cm 2 ) E : ( cm 2 ) 42.- re : ( cm 2 ) = 44.- : ( cm 2 ) : ( cm 2 ) b : ( cm 2 ) b c E : ( cm 2 ) d : ( cm 2 ) Mtemátic 0 2do.Semestre Profesor: José niel Munr ndrde

48 UINF Universidd de iencis de l Informátic Ing. e Ejecución en Informátic 47.- E 48.- E 4 4 M F : ( cm 2 ) Mtemátic 0 2do.Semestre Profesor: José niel Munr ndrde