ELEMENTOS DE GEOMETRÍA

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1 FULTD DE IENIS EXTS Y NTURLES SEMILLERO DE MTEMÁTIS GRDO: 10 TLLER Nº: 14 SEMESTRE I ELEMENTOS DE GEOMETRÍ RESEÑ HISTÓRI L GEOMETRÍ es una ciencia muy antigua y su origen se debe a la necesidad que poseía el hombre de realizar medidas. Los egipcios (3000 años antes de risto) desarrollaron una serie de reglas prácticas que permitían medir figuras geométricas y determinar algunas de sus propiedades. La palabra geometría se deriva de las palabras griegas geo que quiere decir tierra, y metrón que significa medida. Fueron los griegos quienes dieron a la geometría su máimo desarrollo, como lo muestra Euclides (300 años antes de risto) con su famosa obra Elementos, donde realiza una compilación de los trabajos eistente a la fecha en geometría, razón por la cual la mayor parte de la geometría clásica, se encuentra en dicha obra. OJETIVO GENERL Estudiar algunos de los teoremas más relevantes de la geometría euclidiana y aplicarlos en la solución de problemas. OJETIVOS ESPEÍFIOS 1. Reconocer y aplicar el teorema de los ángulos opuestos por el vértice. 2. Reconocer y aplicar el teorema de la suma de los ángulos internos de un triángulo. 3. Reconocer y aplicar el teorema del ángulo eterior. 4. Identificar el perímetro de una región. 5. Determinar estrategias que conduzcan a resolver el cálculo de áreas. PLRS LVES Triángulo, altura, perímetro, ángulo, ángulo eterior. DESRROLLO TEÓRIO Inicialmente se estudiaran algunas de las propiedades de los triángulos, las cuales serán de utilidad al momento de resolver problemas adicionales; estas propiedades se presentaran como teoremas.

2 ntes de presentar el primer teorema se definirá el perímetro de un polígono; si bien, se entiende que el perímetro de una región es la longitud de la línea que lo delimita, y que además está línea no necesariamente tiene que ser recta, se puede entonces definir el perímetro de un polígono de la siguiente manera. Perímetro de un Polígono El Perímetro de un polígono es igual a la suma de las medidas de los lados que lo forman. + + = Perimetro Se verán ahora algunos resultados sobre triángulos. Teorema 1 La suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180º Ejemplo Encuentre las medidas de los ángulos internos del triángulo de la siguiente figura. α γ α + + γ = 180 Solución De acuerdo a lo dicho en el teorema 1 se tiene que: α + + γ = 180 Para nuestro caso, se cuenta con la siguiente información: α =, = 2, y γ = 3 Luego, sustituyendo los valores de los ángulos se tiene: = = = 6 6 = 30 Luego la medida de los ángulos del triángulo son α = 30, = 60, y γ = 90.

3 ctividad 1. Encuentre la medida del ángulo <. 2. Hallar el valor de, encuentre además la medida de cada ángulo del triángulo. Ángulo Eterior de un Triángulo Un ángulo eterior de un triángulo es el ángulo que es formado en uno de los vértices del triángulo por uno de sus lados y la prolongación del otro lado que llega al mismo vértice como muestra la figura. ngulo Eterior del El siguiente teorema presenta una forma de determinar la medida de un ángulo eterior de un triángulo. Teorema 2 La medida de un ángulo eterior de un triángulo es igual a la suma de las medidas de los ángulos internos del triángulo no adyacentes. θ = α + α θ D Ejemplo Encuentre las medidas del ángulo eterior de la siguiente figura. Solución De acuerdo a lo dicho en el teorema 2 se tiene que: θ = α + Para nuestro caso, se cuenta con la siguiente información: θ =, = 72, y α = 67 Luego, sustituyendo los valores de los ángulos en la ecuación dada en el teorema 2 se tiene: = = 139 Se tiene entonces que la medida del ángulo eterior es 139º. Un resultado de gran utilidad en el trabajo de geometría los constituye el siguiente teorema, el cual relaciona la medida de ángulos opuestos por el vértice.

4 Teorema 3 Los ángulos opuestos por el vértice, (ángulos que tienen un mismo vértice y sus lados son rayos opuestos) son congruentes (tienen la misma medida). θ D θ = Ejemplo Hallar la medida del ángulo de la figura de abajo. 70 θ 84 Solución Por ángulos opuestos por el vértice se tiene que: θ = 70 y = 84, además por el teorema del ángulo eterior se tiene que la medida del ángulo es: = θ +, por lo tanto: = = 154º Se sigue entonces que la medida del ángulo es 154º. EJERIIOS PROPUESTOS Encuentre la incógnita formulada en cada uno de los siguientes ejercicios. 1) =? 2) <QPR =? 3) =? 4) =? 5) =? 6) D altura; <D + <D =?

5 7) + y =? 8) PR perpendicular con QT; <PQR =? 9) RT perpendicular con ST; a + b =? 10) =? 11) =? 12) =? 13) PR congruente con QR; <PRQ =? 14) MN = ON; < =? 15) PR = PQ; <PQR =? 16) =? 17) = ; = ; <D =? 18) a + b - c =? ) a + b = 245º; =? 20) < =? 21) < = 28º; < =? b a 22. Encuentre el perímetro de cada uno de los siguientes enunciados. a) Un cuadrado de lado 8 cm. b) Un rectángulo de lados 6 m. y 4 m. c) Un rombo de lado 12 cm. d) Una circunferencia de radio 5 cm.

6 e) Una circunferencia de diámetro 7 m. f) Un rombo de diagonales 6 m. y 8 m. 23. Determina el perímetro del rectángulo cuya superficie es 24 cm 2 y uno de sus lados mide 3 cm. 24. alcula la medida del lado de un cuadrado cuyo perímetro es 64 cm. 25. uál es el perímetro de un romboide en el cual uno de sus lados mide 7 cm. y el otro lado mide 3,6 cm? 26. El perímetro de un triángulo isósceles es 36 m. uál es la medida de la base si los lados congruentes miden 9 m. cada uno? 27. Si el lado de un cuadrado aumenta al doble. Qué ocurre con su perímetro? 28. Si un cuadrado de 48 cm. de perímetro, disminuye su lado en 4 cm. uánto mide el perímetro del nuevo cuadrado? 29. Determina el perímetro de la figura que se obtiene al unir los puntos (0,0); (-5,7) y (- 5,0). 30. alcula el perímetro del triángulo cuyos vértices tienen por coordenadas (-2,0); (4,0) y (3,3). 31. uál es el perímetro del triángulo cuyos vértices tienen por coordenadas los puntos (5,8); (5,0) y (11,0)? 32. Determina el perímetro de un rectángulo cuya área es 200 m 2 y su largo 25 m. 33. uál es el ancho de un rectángulo que mide 16 cm. de largo si su área es equivalente al de un cuadrado de 12 cm. de largo? 34. Las bases de un trapecio isósceles miden 12 cm. y 20 cm. uál es el perímetro del trapecio si la medida de su altura es igual a la cuarta parte de la base menor? 35. uál es el ancho del rectángulo de perímetro m y de largo n? 36. uánto mide el lado de un triángulo equilátero cuyo semiperímetro es 2m? 37. Un cuadrado tiene igual perímetro que un rectángulo de 58 cm de largo y 26 cm. de ancho. alcula el lado del cuadrado. 38. En cuánto aumenta el perímetro de un rectángulo de lados 12 m. y 4 m. si se aumentan ambos lados en un 25%?

7 39. Determina el perímetro del cuadrilátero cuyos vértices son los puntos (0,0); (8,0); (11,6) y (3,6). PEQUEÑOS RETOS 1. Dos cuadrados de lados 7 y 5 unidades, respectivamente, se traslapan como lo muestra la figura La diferencia entre las áreas que no se traslapan es: D La razón entre el área sombreada y el área total de la figura es:. 1/4. 1/3. 3/8 D. 2/5 3. Si el área de la figura es 84 cm 2, entonces el valor de en cm es: D. 14 6