Trigonometría. Prof. María Peiró
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- María Rosario Blázquez Martínez
- hace 6 años
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1 Trigonometrí Prof. Mrí Peiró
2 Trigonometri Funciones Trigonométrics Ls funciones trigonométrics son rzones o cocientes entre dos ldos de un triángulo rectángulo. Hy seis funciones trigonométrics: Directs Seno (Sen) Coseno (Cos) Tngente (Tg) Inverss Secnte (Sec) Cosecnte (Csc) Cotngente (Ctg) En un triángulo rectángulo, los ctetos son los ldos que formn el ángulo recto y l hipotenus es el ldo más lrgo, situdo enfrente del ángulo recto. Se el triángulo rectángulo ABC, cuy longitud de sus ldos es: Ctetos : Ldo AB Ldo BC Hipotenus : Ldo AC c Ls funciones trigonométrics pr el ángulo son: Funciones Directs Funciones Inverss cteto opuesto Sen hipotenus c cteto dycente Cos hipotenus c cteto opuesto Tg cteto dycente hipotenus c Csc cteto opuesto hipotenus c Sec cteto dycente cteto dycente Ctg cteto opuesto Ests funciones se pueden plicr l ángulo, tomndo los ldos correspondientes. 1
3 Trigonometri Nots: Dos ángulos son complementrios si sumn 90º. Los ángulos gudos de un triángulo rectángulo son complementrios. Dos ángulos son suplementrios si sumn 180º. Los ángulos interiores de todo tringulo, sumn 180º. Los ángulos interiores de todo cudrilátero, sumn 60º.. Relción entre ls Funciones Trigonométrics 1 1 Sen Csc Csc Sen 1 1 Tg Ctg Ctg Tg 1 1 Cos Sec Sec Cos Tg Sen Cos Ctg Cos Sen Identiddes Trigonométrics Sen Cos 1 1 Tg 1 Sec Ctg 1 Csc LAS FUNCIONES EN EL CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO Por definición, el rdio del círculo trigonométrico vle 1, y gir positivmente, cundo recorre los cudrntes, en el sentido contrrio ls gujs del reloj. Se oserv, que el rdio es l hipotenus del triángulo rectángulo formdo con el eje de ls x y con l yud de este triángulo podemos definir ls funciones trigonométrics. Primer Cudrnte: 0º 90º Sen r 1 Cos r 1 Tg Ests funciones y sus inverss, son tods positivs.
4 Trigonometri Segundo Cudrnte: 90º 180º Sen r Cos r Tg En este cudrnte solo el Seno y su invers l Cosecnte son positivs. Ls demás funciones son negtivs Tercer Cudrnte: 180º 70º Sen r Tg Cos r En este cudrnte solo l Tngente y su invers l Cotngente, son positivs. Ls demás funciones son negtivs. Curto Cudrnte: 70º 60º Sen Cos r r Tg En este cudrnte solo el Coseno y su invers l Secnte son positivs. Ls demás funciones son negtivs.
5 Trigonometri En resumen, ls funciones positivs en cd cudrnte son: I Cudrnte II Cudrnte III Cudrnte IV Cudrnte Tods Seno y Cosecnte Tngente y Cotngente Coseno y Secnte NOTA: El vlor de ls funciones Seno y Coseno está en el intervlo entre -1 y 1: 1 Sen 1 1 Cos 1 VALOR DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA LOS ÁNGULOS NOTABLES Función Ángulo Seno 0 0º -60º 0º 45º 60º 90º 180º 70º Coseno Tngente Cotngente Secnte 1-1 Cosecnte 1-1 Ángulos Notles: Son quellos cuyo vlor de sus funciones trigonométrics, es fácil de recordr. 4
6 Trigonometri Ejercicios 1) Ddo Sen, hllr el vlor de ls demás funciones. Aplicndo l primer identidd: Sen Cos 1 Despejndo: Cos 1 Sen Cos 1 Cos 1 Cos Sen 5 Tg Tg Cos Cos 5 Ctg Ctg Sen Sec Sec Cos Csc Csc Sen ) En el triángulo ABC, Cos y = 5 Cuánto vlen y c? A 5 Cos y Cos c c c B c C 5
7 Trigonometri 5 15 c c Aplicndo Pitágors: c c Tmién se puede clculr plicndo: Sen Cos 1 Despejndo: Sen 1 Cos Sen En el triángulo: 5 5 Sen c c c ) Se el triángulo ABC, donde 1 Cos y = 4. Cuánto vle c? A c Cos y no se conocen estos vlores. Como semos el vlor c de, uscmos el vlor de Sen y de quí despejmos c. c B C Despejndo: Sen Cos 1 Sen 1 Cos 6
8 Trigonometri Sen Sen c c 4 8 c 4) Demostrr que ls siguientes expresiones son idéntics: ) Tg Sen Sec Est demostrción se puede hcer de tres mners: Trnsformr solmente el ldo izquierdo hst igulrlo con el ldo derecho: Sen Tg Cos Sen Sec Sec Sen Sen Cos Sen Sec 1 Cos Sec Sec Sec Trnsformr solmente el ldo derecho hst igulrlo con el ldo izquierdo: Tg Tg 1 Tg 1 Sen Sec Sen Sen Cos Sen Cos Sen Tg Sen 1 Tg 1 Tg Tg Tg Sen Cos Sen Sen Sen Sen Sen 7
9 Trigonometri Trnsformr mos ldos hst igulrlos: Sen Tg Cos 1 Sen Sec Sen Sen Cos Sen Cos Cos Cos Cos Según el ejercicio, se escoge l form más sencill, porque lo importnte es demostrr que hy un iguldd. Se puede plicr culquier de ls tres forms ) Sen Sec Tg 1 Sec 1 Sen Sen Tg 1 Sec Tg 1 Sec Cos Cos Tg Tg 1 Sec Tg 1 Sec Por l segund identidd: Tg 1 Sec Sec Sec REDUCCIÓN DE ÁNGULOS AL PRIMER CUADRANTE Pr relizr operciones trigonométrics, veces es conveniente considerr los ángulos que se encuentrn en el segundo, tercer o curto cudrntes, como si estuviesen en el primer cudrnte, hllndo su vlor equivlente entre 0º y 90º. Angulo en el Primer Cudrnte: 0º 90º Angulo en el Segundo Cudrnte: 90º 180º Angulo en el Tercer Cudrnte: 180º 70º Angulo en el Curto Cudrnte: 70º 60º 8
10 Trigonometri Pr llevrlos l Primer cudrnte: 180º del II Cudrnte l I Cudrnte 180º del III Cudrnte l I Cudrnte 60º del IV Cudrnte l I Cudrnte Es importnte recordr que unque un ángulo se lleve l primer cudrnte pr fcilitr los cálculos, hy que considerr el signo de ls funciones trigonométrics, del cudrnte donde se encuentr. Ejercicios: 5) Hllr Cos15 º 90º 15º 180º II Cudrnte 180º 15º 45º en el I Cudrnte En el segundo cudrnte, l función coseno es negtiv: Cos15º Cos 45º 6) Hllr Tg 10º 180º 10º 70º III Cudrnte 10º 180º 0º en el I Cudrnte En el tercer cudrnte, l función tngente es positiv. Tg10º Tg0º 7) Hllr Sen 00º 70º 00º 60º IV Cudrnte 9
11 Trigonometri 60º 00º 60º en el I Cudrnte En el curto cudrnte, l función seno es negtiv: Sen 00º Sen 60º RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE: LA SUMA DE DOS ÁNGULOS LA DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS Sen Sen Cos Cos Sen Cos Cos Cos Sen Sen Tg Tg Tg 1 Tg Tg Tg Sen Sen Cos Cos Sen Cos Cos Cos Sen Sen Tg Tg 1 Tg Tg UN ÁNGULO DOBLE Sen Sen Cos Cos Cos Sen UN ÁNGULO MITAD 1 Cos Sen 1 Cos Cos Tg Tg 1 Cos Tg 1 Tg 1 Cos Ejercicios: 8) Hllr Sen 105º II Cudrnte Función Seno positiv Sen105º Sen 60º 45º Sen60º Cos 45º Cos 60º Sen45º 1 6 Sen105º 0,
12 Trigonometri 9) Hllr Cos 10º II Cudrnte Función Coseno negtiv Cos10º Cos 60º Cos 60º Sen 60º (Ángulo Dole) Cos10º ) Hllr Tg 45º IV Cudrnte Función Tngente negtiv 60º 45º 15º en el I Cudrnte 15º 0º 0º 1 Cos 0º Tg45º Tg15º Tg 1 Cos 0º (Ángulo mitd) Tg 45º 1 1 Tg45º 4 Tg45º 0,68 11
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