Universidad de Antioquia

Transcripción

1 Fcultd de Ciencis Ects Nturles Instituto de Mtemátics Grupo de Semilleros de Mtemátics (Semátic) Funciones inverss gráfics Mtemátics Opertivs Tller 7 0 El concepto mtemático de función epres l ide intuitiv cerc de un cntidd (vrile independiente, vlor de entrd ) que determin por completo otr cntidd (vrile dependiente, vlor de slid ). Un función sign cd vlor de entrd un único f vlor de slid. Este tipo especil de relción lo podemos encontrr en diverss situciones de l vid diri como por ejemplo en un supermercdo, cundo cd producto (vrile independiente) el dueño le sign su costo (vrile dependiente). f ( ) En el Tller 4 vimos en detlle, cómo, un función f : X Y estlece un relción especil entre los elementos de los conjuntos X e Figur Y: esquemáticmente (figur ), cd vlor de entrd X, l función f le sign ectmente un vlor de slid = f() Y. El prolem que nos interes hor estudir es l situción invers: si conocemos el vlor de slid Y, cómo determinr el vlor de entrd X pr el cul = f()? L relción que nos permite responder este interrognte se llm función invers de f. Ojetivo generl Comprender el concepto de función invers. Ojetivos específicos. Estudir l relción que eiste entre un función su invers. Identificr ls simetrís que eisten entre l gráfic de un función l gráfic de su invers. Conocer ls propieddes que nos relcionn el concepto de invers con el de composición de funciones. 4. Estudir cierto tipo de trnsformciones que es posile relizr sore ls funciones. Grupo de Semilleros de Mtemátics - Semátic,. Est or es distriuid jo un licenci Cretive Commons Atriución - No comercil.5 Colomi.

2 Grupo de Semilleros de Mtemátics - Semátic,. Funciones inverss X f Y c Dd un función f : X Y, estudiremos el siguiente prolem: si conocemos el vlor de slid Y, cómo determinr el vlor de entrd X pr el cul = f()? L relción que nos permite responder este interrognte se llm función invers de f pr poderl definir, l función f dee cumplir ciertos requisitos como lo muestr el ejemplo de l figur. El primer inconveniente que se present con est función es que pr el vlor de slid c Y no eiste un vlor de entrd X pr el cul f() = c. L otr dificultd es que pr el vlor de slid Y eisten dos vlores de entrd = = pr los cules f() =. L primer dificultd se present porque f no es soreectiv, l segund porque f no es inectiv. Pr poder definir l invers de un función f necesitmos que ést se iunívoc. Definición. (Función invers). Consider f : X Y iunívoc. L función invers de f, denotd por f, es l función f : Y X definid por: f () = = f() () Ejemplo.. L función f : R R, dd por f() = es iunívoc su invers es l función f : R R, dd por f () = porque = f() = = = f () En prticulr, f (4) = porque f() = = 4. Oservción. Consider f : X Y iunívoc.. f : Y X.. Dominio de f = rngo de f.. Rngo de f = dominio de f. Si nos dn un función f : X Y iunívoc, cómo determinr su invers?. El siguiente teorem nos puede resultr útil pr verificr que un función g : Y X es l invers de f. Teorem.. Consider un función f : X Y iunívoc. Un función g : Y X es l invers de f si, sólo si se cumplen ls dos siguientes condiciones:. g(f()) = pr todo X. f(g()) = pr todo Y Del teorem nterior se deduce que

3 Grupo de Semilleros de Mtemátics - Semátic, Corolrio.. Si f : X Y es iunívoc, su invers f : Y X stisfce. f (f()) = pr todo X. f(f ()) = pr todo Y En términos de l operción composición de funciones vist en el tller 4, el corolrio nterior qued f f = f f = i donde i es l función identidd i() =. En el ejemplo (.), f() =, f () = f (f()) = f () = = f(f ()) = f( ) = = Los nteriores resultdos nos proporcionn herrmients pr hllr l invers de un función f : X Y en lgunos csos (no siempre es posile). A continución escriimos un serie de psos que nos pueden udr encontrr l invers de un función:. Comprue que f es iunívoc.. Despej de l ecución = f() en términos de pr otener un ecución de l form = f ().. Verific ls condiciones del corolrio (.): ) f (f()) = pr todo X ) f(f ()) = pr todo Y Ejemplo.. Determinemos (si es posile) l invers de l función f() = +. L función f es iunívoc como demostrmos en el ejemplo (.5) del Tller 4. Procedmos hor despejr de = +: = + = =. Como = f (), otenemos f () = () El símolo que denot l vrile independiente en () no tiene importnci, lo podemos cmir por, z,,,... Como se costumr denotr l vrile independiente con el símolo, l invers l escriimos f () = Finlmente verificmos ls condiciones del corolrio (.): f (f()) = f (+) = + = = f ( f () ) ( ) = f ( ) = + = ( )+ = Ejemplo.. En este ejemplo vmos hllr l invers de l función f() =, 0. Como f es iunívoc ( por qué?), procedmos despejr de = : = = = ± = + pues es no-negtivo.

4 4 Grupo de Semilleros de Mtemátics - Semátic, Como = f (), otenemos f () = Continundo con l trdición cmindo el símolo por otenemos f () = Finlmente verificmos ls condiciones del corolrio (.):. f (f()) = f ( ) = = = porque 0.. f ( f () ) = f ( ) = ( ) =.. Gráfics de funciones inverss En est sección estudimos l relción que eiste entr l gráfic de un función f l gráfic de su invers f. Por l definición (.) de función invers f () = = f(), por tnto el punto de coordends(,) pertenece l gráfic de f si, sólo si el punto (,) pertenece l gráfic de f. Así, l gráfic de f es l mism que lde f ecepto que losroles de los ejes e se cmin. Oservemos que los puntos (,) (,) son simétricos respecto l rect = por tnto ls gráfics de f f son simétrics dich rect. f (,) (,) Ejemplo.. A continución grficmos ls funciones inverss de los ejemplos (.) (.) sí como l invers de f() =. - f - = f Figur : f() = f f Figur : f() =, 0... Composición de funciones e inverss - = - f f f Figur 4: f() = Teorem.. Si f : X Y g : Y X tienen inverss, entonces l función compuest g f : X Y tmién tiene invers está dd por (g f) = f g.

5 Grupo de Semilleros de Mtemátics - Semátic, 5 f g X Y X f() (g f) = f g g(f()) Ejemplo.. Consideremos ls funciones f() = g() = +. Entonces ( ) h() = (g f)() = g(f()) = g = + = h () = Por otr prte, f () =, g () = = (f g )() = f (g ()) = f ( ) =. Trnsformción de gráfics L gráfic de un función = f() puede ser ojeto de ls siguientes trnsformciones: trslciones horizontles verticles, encogimientos horizontles verticles, lrgmientos horizontles verticles... Trslciones verticles Si k R, l gráfic de = f()+k es igul l gráfic de = f() trsldd verticlmente hci rri si k > 0 verticlmente hci jo si k < 0. = g() = f() = h().. Trslciones horizontles = f() = g() = f() + = h() = f() Si h R, l gráfic de = f( h) es igul l gráfic de = f() trsldd horizontlmente l derech si h > 0 horizontlmente l izquierd si h < 0.

6 6 Grupo de Semilleros de Mtemátics - Semátic, = h() = f() = g().. Alrgmientos encogimientos verticles = f() = g() = f ( ) + + = h() = f ( + + ) Si R, l gráfic de = f() es igul l gráfic de = f() lrgd verticlmente si > encogid verticlmente si 0 < <. = h() = g() = f().4. Alrgmientos encogimientos horizontles = f() = g() = f() = h() = f() Si c R, l gráfic de = f(c) es igul l gráfic de = f() lrgd horizontlmente si 0 < c < encogid horizontlmente si c >.

7 Grupo de Semilleros de Mtemátics - Semátic, 7 = h() = f() = g() = f() = g() = f ( ) = h() = f ( )

8 8 Grupo de Semilleros de Mtemátics - Semátic, 4. Ejercicios [Prolems ()-()] Encuentre f g, g f sus respectivos dominios, si:. f() = +, g() = 5. f() =, g() =. f() =, g() = [Prolems (4)-(7)] Encuentr funciones f g tles que f g = h, con h dd por: 4. h() = (5 ) 6 5. h() = h() = h() = (+ ) 8. Si f() = +7 g() = 5, encuentre el vlor de pr que l gráfic de l composición f g cruce l eje en Encuentre l invers de l función f() = r, pr 0 r. [Prolems (0)-()] Verifique si f g son inverss un de l otr, es decir, si f(g()) = g(f()) =. 0. f() = 4 8, g() = f() = π, g() = +π. f()= +5 5, g()= + [Prolems ()-(5)] Consider ls funciones m() = +5 g() = Hll l invers de g m 4. Hll l invers de s g 5. Hll l invers de s m ( s() = ) [Prolems (6)-(9)] Encuentr l función invers de f; estlece su dominio rngo, grfícl. 6. f() = 7. f() = 8. f() = +, 0 9. f() = 4, > 0 0. Utiliz l gráfic de f() = pr otener l de g() = +.

9 Grupo de Semilleros de Mtemátics - Semátic, 9. Utiliz l gráfic de f() = pr otener l de g() = 4.. Utiliz l gráfic de f() = pr otener l de g() = ( ). 5. Utiliz l gráfic de f() = pr otener l de g() =.. Utiliz l gráfic de f() = pr otener l de g() = (+4). 4. Utiliz l gráfic de f() = pr otener l de g() = (+). 6. Utiliz l gráfic de f() = pr otener l de g() =. [Prolems (7)-(5)] Encuentr l gráfic que corresponde cd un de ls siguientes funciones: f() = f() = + f() = f() = f() = f() = Dd l función G() = 4 5, ) Hll, si es posile, G (4) f() = f() = ( ) + f() = 8.. f() = f() = f() = ) Hll, si es posile, G ( 4 +) 7. Consider f() = f() = + + f() = + f() = f() = f() = f() = ) Utiliz l gráfic de f pr osquejr l gráfic de f ) f () =? 8. Hll, si es posile, l invers de cd un de ls siguientes funciones.

10 0 Grupo de Semilleros de Mtemátics - Semátic, ) f() = +0 ) g() = 9 c) h() = 4 +6 d) g() = 4 +4 e) m() = f) f() = Por sus servicios, un investigdor privdo requiere un cuot de retención de $500 más $80 por hor. Se el número de hors que el investigdor ps trjndo en un cso. ) Hlle un función f que model l cuot del investigdor como un función de ) Encuentre f. Qué represent f? c) Encuentref (0). Quérepresent su respuest? 40. L cntidd vendid de un rtículo se llm demnd del rtículo. L demnd pr cierto rtículo es un función del precio dd por D(p) = p+50 ) Encuentre D. Qué represent D? ) Determine D (0) Qué represent su respuest? 4. Mrzello s pizz fijó como precio se de l pizz grnde $7 más $ por cd ingrediente. Por tnto si usted orden un pizz grnde con ingredientes, el precio lo Referencis [] I. Stewrt, Histori de ls mtemátics. Crític, 008. drá l función f() = 7+. Encuentre f. Qué represent l función f? 4. Un vendedor de utomóviles nunci un descuento del 5% en todos sus utos nuevos. Además el fricnte ofrece un rj de $000 en l compr de utomóviles nuevo. Se el precio de vent del utomóvil. ) Supong qeu sólo se plic el 5% de descuento. Encuentre un función f que modele el precio de compr del utomóvil como un función del precio de etiquet ) Supong que sólo se plic un rj de $000. Encuentre un función g que modele el precio de compr del utomóvil como un función del precio de etiquet c) EncuentreunfórmulprH = f g d) Encuentre H. Qué represent H? e) Determine H (000) Qué represent su respuest? 4. Supong que se d l gráfic de l función f. Descricomo se puede otener ls gráfics de ls siguientes funciones prtir de f ) = f()+8 ) = +f() c) = f( ) d) = f() e) = f(8) f) = f( ) g) = f( ) h) = f [] E.W. Swokowski, J.A. Cole, Álger Trigonometrí con Geometrí Anlític, undécim edición, editoril Thomson, 006.