UNIDAD DIDÁCTICA 4: LOGARITMOS

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1 Tem 4 UNIDAD DIDÁCTICA 4: LOGARITMOS 1. ÍNDICE 1. Introducción 2. Potencis funciones eponenciles 3. Función rítmic ritmos 4. Ecuciones eponenciles rítmics 2. INTRODUCCIÓN GENERAL A LA UNIDAD Y ORIENTACIONES PARA EL ESTUDIO En est unidd, nuestro objetivo básico es el estudio de los ritmos, unque pr ello comenzremos recordndo ls propieddes básics de ls potencis de ls funciones eponenciles. Seguidmente introduciremos l función rítmic como l función invers de l función eponencil. A continución introducimos ls propieddes básics de los ritmos el cmbio de bse. Finlmente, veremos lgunos ejemplos de cómo se resuelven ecuciones rítmics eponenciles. 3. OBJETIVOS ESPECÍFICOS Conocer l definición de l función rítmic Estudir sus propieddes crcterístics 4. DESARROLLO DE LOS CONTENIDOS 1. Introducción L espernz de vid, ún en los píses poco desrrolldos, creció después de l Segund Guerr Mundil unque distinto ritmo. Este crecimiento, si bien l principio trjo mor ctividd progreso, l lrg h producido grves problems: flt de viviends, escuels, puestos de trbjo... El umento de l poblción por l prolongción de l vid se h visto compensdo en prte por el descenso de l ntlidd en los píses industrilizdos. De todos modos, h precido el problem del envejecimiento de l poblción (es decir el umento de l edd promedio). Anlizremos hor lgún modelo mtemático que trt de describir l evolución de un poblción. En Europ occidentl, durnte los siglos XVII XVIII, comenzó descender el índice de mortlidd, el incremento poblcionl en muchos píses se situó entre 0.5 1% 1

2 Tem 4 nul. Pr evitr complicciones con los cálculos considerremos que el crecimiento poblcionl fue del 1% nul durnte los primeros 20 ños de este siglo. Supongmos que l cntidd de poblción europe l comienzo del siglo XVII (ño ) se 10 (en cientos de millones). L función P(t) medirá l cntidd de poblción en el tiempo t. Como comenzremos nuestro estudio prtir del ño este será el tiempo inicil, es decir, t = 0. Podemos hllr un fórmul que nos permit clculr l poblción pr culquier Vlor de t?.pr ello nlizremos lo que hemos hecho hst el momento en cd pso: en t = 0, P (0) = 10 en t = 1, P (1) = ,01.10 = 10 ( 1 + 0,01) = 10.1,01 = P (0). 1,01 en t = 2, P (2) = P (1) + 0,01. P (1) = 10. 1,01 + 0, ,01 = 10. 1,01 ( 1 + 0,01) = 10. 1,01. 1,01 = 10 (1.01)2 Podrás relizr el cso t = 3? (Ten en cuent los psos hechos en los csos t = 1 t =2) En generl, l poblción después de t períodos será: P (t ) = 10 (1.01) t donde 10 es l poblción inicil P (0). Verifiquemos que l fórmul obtenid nos d, por ejemplo pr t = 2, P (2) = 10. 1,012 = 10,201 que coincide con el vlor de l tbl. Si queremos estimr l poblción en el ño 1610, será P (10) = 10. 1,0110 = Observemos que en l fórmul P (t ) = 10 (1,01) t, el fctor 10 es l poblción inicil l vrible t figur en el eponente. A este tipo de funciones se ls llm eponenciles. Por otr prte, supongmos que un determindo bien mteril que ho cuest 150 euros se devlú con el uso, cd ño, un 4% de su vlor durnte el ño nterior. Por ejemplo: En t = 0 (inicio) el vlor en 0 V(0) = 150 En t = 1 (1 ño después ) V(1) = 150 4% de 150 = 144 En t = 2 (2 ños después) V(2) = 144 4% de 144 = 138,24 En t = 3... En generl, un fórmul que represent est situción, puede obtenerse como en el ejemplo nterior V(t) = 150. (096) t Supongmos hor, que queremos sber después de cuántos ños de uso el vlor del bien se redujo proimdmente 92 euros. Pr esto necesitmos resolver l siguiente ecución 92 = 150 (0,96) t 2

3 Tem 4 Cómo despejr t de est fórmul?.observemos que el vlor de t que estmos buscndo 92 es tl que elevndo el número 0,96 ese vlor d por resultdo. 150 Es decir, nuestr pregunt es: cómo podemos resolver ecuciones del tipo 10 = k?, ó en generl = k?. Podemos hcerlo si conocemos l función invers de = 10, es decir, l función rítmic. 3. Potencis funciones eponenciles 3.1. Potencis potencis de eponente nturl potencis de eponente nulo potenci de eponente negtivo potenci de eponente frccionrio 3.2. Propieddes básics de ls potencis Ejemplos: 3.3. Función eponencil 3

4 Tem 4 El comportmiento de l función eponencil es mu distinto según se > 1, < 1, = 1. Ejemplo: Anlicemos l gráfic de l función eponencil de cuerdo l vlor de. ) Si > 1, por ejemplo = 2, l función = 2 es creciente. Observemos que culquier se el vlor de > 0, l gráfic de l función eponencil debe psr por el punto (0,1), que es el vlor de l ordend l origen; es decir el vlor que tom l función pr = 0. Por otro ldo, es clro que medid que el vlor de ument, el vlor de tmbién, si el vlor de decrece (con vlores negtivos) entonces el vlor de tiende 0. b) Si 0 < < 1, por ejemplo 1 = 2 l función es decreciente. L siguiente tbl de vlores nos permite hcer un estudio comprtivo de ls funciones = 2 e 1 = 2 4

5 Tem 4 Como hemos comentdo en l introducción, l función eponencil prece con frecuenci en modelos mtemáticos de diferentes procesos evolutivos. Por ejemplo, ls mebs son seres unicelulres que se reproducen dividiéndose en dos. Supongmos que ls condiciones de un cultivo son tles que ls mebs se duplicn proimdmente cd hor, que inicilmente solo h un meb. Proponemos clculr el número de mebs que hbrá según psn ls hors: Observemos que si en el momento inicil h k mebs, en l primer hor se duplicn, entonces hor h 2k. En l segund hor se vuelven duplicr, es decir, 2 (2k) = 2 2 k, en l tercer hor se repite l situción tenemos 2(22 k) =2 3 k, etc. Luego en generl se tiene 2 k. Es decir, si l comienzo del proceso hbí k mebs, el número totl l cbo de hors será = k Ecuciones eponenciles 5

6 Ejemplos: Tem 4 4. Función rítmic ritmos 4.1. Función rítmic Nuestr pregunt es: cómo podemos resolver ecuciones del tipo 10 = k?, l respuest es conociendo l función invers de =10. Ahor, podemos decir que, si 10 = k entonces = k es decir, el ritmo de un número en bse 10 es el eponente l que h que elevr l bse 10 pr obtener dicho número. Ejemplo: Si 10 = 100 entonces = = 2 pues 10 2 = 100 Si 3 = entonces 10 3 = = 1/100 entonces = = -2 pues 10-2 = Generlizndo: Se > 0 1, e > 0, llmremos ritmo en bse de l único número que verific =. Es decir, = = 6

7 Ejemplos: Interpretción de l definición de ritmo: ) 2 7 = 128 por tnto = 7 b) 8 1/3 = 2 por tnto 8 2= 1/3 Tem 4 Clculmos ) = 2 = 16 = 2 4 = 4 b) = 2 = 32 = 2 = 5 Resolvemos un ecución 4.2. Propieddes de los ritmos = = = ,47712 luego - 0, = 0 = 1 El ritmo de un producto es igul l sum de los ritmos de los fctores Log (. ) = + Ejemplo 2 (4.8) = 2 32 = = = 5 El ritmo de un potenci es igul l eponente por el ritmo de l bse Log ( ) =. Ejemplo = 2 64 = 6 pues 2 6 = = 3.2 = 6 A prtir de ls dos propieddes nteriores podemos deducir ls dos propieddes siguientes: El ritmo de un cociente es igul l ritmo del numerdor menos el ritmo del denomindor. = Observr que 1 = = + 1 = 7

8 Tem 4 Ejemplo 3 81/9 = 3 9 = 2 por otro ldo = 4 2 = 2. El ritmo de un ríz es igul l ritmo del rdicndo dividido por el índice de l ríz. Observr que = 1 = = 1 1 = Ejemplo 4 3 = 3 = 1 por otro ldo 3 = ( 4) = Cmbio de bse Ls clculdors científics permiten solmente obtener ritmos decimles neperinos. Los ritmos decimles son los ritmos de bse 10, se costumbr denotr 10 = omitiendo l bse. El ritmo neperino o nturl es el ritmo cu bse es el número e 2,7182 se denot e = ln. Si queremos clculr ritmos en otr bse, es conveniente relizr cmbios de bse. Si, por ejemplo, tuviérmos que clculr 2 3: Lo primero que hcemos es llmr = = 3 por tnto, tomndo ritmos en mbos ldos de l últim iguldd tenemos 3 2 = 3 2 = 3 de donde tenemos que 2 3 = =. 2 En generl tenemos que: = de donde tenemos que = b = b = b b 8

9 Tem 4 5. Ecuciones eponenciles rítmics 9

10 Tem 4 10

11 Tem 4 5. RESUMEN Potencis Definición de ritmo Se > 0 1, e > 0, llmremos ritmo en bse de l único número que verific =. Es decir, = = Propieddes de los ritmos o 1 = 0 = 1 o Log (. ) = + o Log ( ) =. 11

12 o Log ( ) =. Tem 4 o o = 1 = = Cmbio de bse = = b b 6. BIBLIOGRAFÍA Emilio Bujlnce otros. Mtemátics especiles. Editoril Snz Torres (1998). 2ª Edición Mrí E. Bllvé otros. Problems de mtemátics especiles. Editoril Snz Torres (1996). 2ª Edición. José T. Pérez Romero José A. Jrmillo Sánchez. Mtemátics. Pruebs de cceso l universidd pr mores de 25 ños. Editoril MAD. (2002)

13 Tem 4 7. ACTIVIDADES 1. Clculr: 2. Mostrr con un ejemplo que en generl 3. Resolver plicndo l definición de ritmo 4. Sbiendo que clculr, plicndo ls propieddes de los ritmos 5. Clculr relizndo cmbio de bse 8. EJERCICIOS DE AUTOCOMPROBACIÓN 1. Sbiendo que 2= = , clculr:. 8 b. 6 c d. 3 3 e f Clculr, utilizndo l clculdor, con ritmos decimles:. 2 5 b c

14 Tem 4 3. Clculr, utilizndo l clculdor, con ritmos neperinos b c SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN b c d e f b c b. 1, c