4.2 Gramáticas libres de contexto. 4.1 Introducción

Transcripción

1 1 Curso Básico de Computción 4 Grmátics libres de contexto 4.1 Introducción Un grmátic libre de contexto es un conjunto finito de vribles, cd un de ls cules represent un lenguje. Los lengujes representdos por ls vribles se describen recursivmente en términos de otros lengujes o de símbolos primitivos llmdos terminles. Ls regls que describen el lenguje socido con cd vrible se llmn producciones. L motivción originl pr ls grmátics libres de contexto fue l descripción de lengujes nturles tl como ocurre con ls siguientes regls: orción frse sustntivo frse verbl frse sustntivo djetivo frse sustntivo frse sustntivo sustntivo sustntivo niño djetivo pequeño donde ls vribles se escriben dentro de corchetes ngulres y ls terminles son, por ejemplo, l plbr niño. 4.2 Grmátics libres de contexto Un grmátic libre de contexto (GLC) se denot por un 4-tupl G = (V, T, P, ), donde V y T son conjuntos finitos de vribles y terminles, respectivmente. sumimos que V y T son disjuntos. P es un conjunto finito de producciones; cd producción es de l form α, donde es un vrible y α es un cden de símbolos en (V T ). Finlmente, es un vrible especil llmd el símbolo de inicio. Ejemplo: upong que usmos E en lugr de expresión pr l siguiente grmátic: E E + E E E E E (E) E id Entonces formlmente está grmátic se expres como ({E}, {+,, (, ), id}, P, E). Usremos ls siguientes convenciones con respecto ls grmátics:

2 Feliú gols Troncoso Mtemátics-Cinvestv 2 1. Ls letrs myúsculs, B, C, D, E y denotn vribles; y es el símbolo de inicio. 2. L letrs minúsculs, b, c, d, e, dígitos, y cdens en letrs negrills son terminles. 3. Ls letrs myúsculs X, Y y Z denotn símbolos que pueden ser terminles o vribles. 4. L letrs minúsculs u, v, w, x, y, y z denotn cdens de terminles. 5. Ls letrs griegs α, β y γ denotn cdens de vribles y terminles. i nos pegmos ests convenciones, podemos deducir ls vribles, terminles y el símbolo de inicio de un grmátic únicmente exminndo sus producciones. sí, se puede representr un grmátic por un simple list de producciones. i α 1, α 2,, α k son ls producciones pr ls vribles de lgun grmátic, entonces se pueden expresr por l notción: α 1 α 2 α k donde l líne verticl se lee como o. L grmátic del ejemplo nterior se escribe como E E + E E E (E) id Derivciones y lengujes i β es un producción en P y α y γ son cdens en (V T ), entonces αγ G αβγ. Decimos que l producción β es plicd l cden αγ pr obtener αβγ o que αγ deriv directmente en αβγ en l grmátic G. Dos cdens están relcionds por G exctmente cundo l segund se obtiene de l primer por un plicción de lgun producción. upong que α 1, α 2,, α m son cdens en (V T ), con m 1, y α 1 G α 2, α 2 G α 3,, α m 1 G α m. Entonces decimos que α 1 decir, G G α m o que α 1 deriv en α m en l grmátic G. Es es l cerrdur reflexiv y trnsitiv de G. Recíprocmente, α G β si β sigue de α plicndo cero o más producciones en P. Note que α G α pr cd cden α. Usremos en lugr de G y en lugr de G. i α deriv en β exctmente en i psos, escribimos α β. i El lenguje generdo por G [denotdo L(G)] es {w w T y G w}. Es decir, un cden pertenece L(G) si: 1. L cden consiste solmente de terminles.

3 3 Curso Básico de Computción 2. L cden puede ser derivd de. Llmmos L un lenguje libre de contexto (LLC) si es L(G) pr lgun GLC G. Un cden de terminles y vribles α es un form sentencil si α. Ls grmátics G 1 y G 2 son equivlentes si L(G 1 ) = L(G 2 ). Ejemplo: Considere l grmátic G = (V, T, P, ), donde V = {}, T = {, b} y P = { b, b}. quí, es sólo un vrible; y b son terminles. Existen dos producciones, b y b. i plicmos l primer producción n 1 veces, seguido por un plicción de l segund producción, tenemos: b bb 3 b 3 n 1 b n 1 n b n demás, ls cdens en L(G) son sólo de l form n b n pr n 1. Cd vez que se us b, el número de s resultntes es el mismo. Después de usr l producción b encontrmos que el número de s en l form sentencil decrece en uno. sí, después de usr b, no hy s restntes en l cden resultnte. Y que mbs producciones tienen un en l izquierd, el único orden de plicción de ls producciones es b lgún número de veces seguido por un plicción de b. sí, L(G) = { n b n n 1}. 4.3 Árboles de derivción Los árboles de derivción permiten hcer un clsificción jerárquic en ls plbrs de un lenguje que es útil en plicciones como l compilción de lengujes de progrmción. Los vértices de un árbol de derivción son etiquetdos con terminles o vribles de l grmátic o posiblemente con ɛ. i un vértice interior n es etiquetdo con, y los hijos de n son etiquetdos con X 1, X 2,..., X k por l izquierd, entonces X 1 X 2 X k debe ser un producción. Por ejemplo, pr l siguiente grmátic: expresión expresión expresión ( expresión ) expresión ( expresión ) id ( expresión + expresión ) id ( expresión + id) id (id + id) id su árbol de derivción es:

4 Feliú gols Troncoso Mtemátics-Cinvestv 4 <expresión> <expresión> * <expresión> ( <expresión> ) id <expresión> + <expresión> id id Note que si leé ls hojs de izquierd derech, se obtiene (id + id) id. Formlmente, se G = (V, T, P, ) un GLC. Un árbol es de derivción en G si: 1. Cd vértice tiene un etiquet y es un símbolo en V T {ɛ}. 2. L etiquet de l ríz es. 3. i un vértice es interior y tiene etiquet, entonces V. 4. i un vértice n tiene etiquet y los vértices n 1, n 2,..., n k son hijos del vértice n, ordendos por l izquierd, con etiquets X 1, X 2,..., X k, respectivmente, entonces debe ser un producción en P. X 1 X 2 X k 5. i el vértice n tiene etiquet ɛ, entonces n es un hoj y es el único hijo de su pdre. Ejemplo: Considere l grmátic G = ({, }, {, b}, P, ), donde P consiste de: b b Un árbol de derivción en G es:

5 5 Curso Básico de Computción b b Los vértice interiores son 1,3,4,5 y 7. El vértice 1 tiene etiquet, y sus hijos, ordendos por l izquierd, tienen etiquets,, y. Note que es un producción. Del mismo modo, el vértice 3 tiene etiquet, y ls etiquets de sus hijos son, b y, y b es su producción. Los vértices 4 y 5 tienen etiquets, su único hijo tiene etiquet y es su producción. Finlmente, el vértice 7 tiene etiquet y ls etiquets de sus hijos son b,, y su producción es b. Extendemos el ordenmiento por l izquierd de los hijos pr producir el ordenmiento de izquierd derech de ls hojs. De hecho, pr dos vértices, o uno es el ntecesor del otro, o uno está l izquierd del otro. Ddos los vértices v 1 y v 2, se sigue el cmino de estos vértices hci l ríz hst encontrr lgún vértice común w. en x 1 y x 2 los hijos de w en el cmino de v 1 y v 2, respectivmente. i v 1 no es un ntecesor de v 2, o vicevers, entonces x 1 x 2. upong que x 1 está l izquierd de x 2 en el orden de los hijos de w. Entonces v 1 está l izquierd de v 2. En cso contrrio, v 2 está l izquierd de v 1. Por ejemplo, si v 1 y v 2 son 9 y 11 en l figur nterior, entonces w es 3, x 1 = 5 y x 2 = 7. Como 5 está l izquierd de 7, se sigue que 9 está l izquierd de 11. Pr ver que un árbol de derivción es un descripción nturl de un derivción de un prticulr form sentencil en un grmátic G. i leemos ls etiquets de ls hojs de izquierd derech, se obtiene un form sentencil. est cden le llmmos el producto del árbol de derivción. Más delnte, veremos que si α es el producto de lgún árbol de derivción pr l grmátic G = (V, T, P, ), entonces G α, y vicevers. Un subárbol de un árbol de derivción es un vértice prticulr del árbol junto con todos su descendientes, ls rists conectds ells, y sus etiquets. e mir igul que un árbol de derivción, excepto que l etiquet de l ríz podrí no ser el símbolo de inicio de l grmátic. i l vrible es l etiquet de l ríz, entonces llmmos l subárbol un -árbol. sí -árbol es un sinónimo pr el árbol de derivción si es el símbolo de inicio.

6 Feliú gols Troncoso Mtemátics-Cinvestv 6 Ejemplo: Considere l grmátic y el árbol de derivción del ejemplo nterior. Reproducimos el árbol de derivción sin el número de vértices. El producto del árbol es bb como se muestr en l Figur 4.1.(). Note que G bb por l derivción: b b bb bb En l Figur 4.1.(b) se muestr un subárbol del árbol nterior. El producto del subárbol es bb. L etiquet de l ríz del subárbol es, y bb. Un derivción en este cso es: b b bb. b b b b () (b) Figur 4.1 Relción entre árboles de derivción y derivciones Teorem 4.1: e G = (V, T, P, ) un grmátic libre de contexto. Entonces α si y sólo si existe un árbol de derivción en l grmátic G con producto α. Demostrción: e tiene que probr que pr culquier V, α si y sólo si existe un -árbol con α como producto. ) upong que α es el producto de un -árbol, se utiliz inducción sobre el número de vértices interiores en el árbol pr probr que α. ) upong que α, se debe demostrr que existe un -árbol con producto α. i α en un solo pso, entonces α es un producción en P, y existe un árbol con producto α, como se muestr en l siguiente figur:

7 7 Curso Básico de Computción X 1 X 2... X n Pr terminr se utiliz inducción sobre el número de psos. Ejemplo: Considere l derivción bb del ejemplo nterior. El primer pso es. i seguimos l derivción, vemos que eventulmente es reemplzd por b, entonces por b, y finlmente por bb. L Figur 4.1(b) es el árbol de derivción pr está derivción. El único símbolo derivdo de en es. L Figur 4.2() es el árbol pr l últim derivción. L Figur 4.2(b) es el árbol de derivción pr. i reemplzmos el vértice con etiquet en l Figur 4.2.(b) por el árbol de l Figur 4.1(b) y el vértice con etiquet en l Figur 4.2(b) con el árbol de l Figur 4.2(), obtenemos el árbol de l Figur 4.1(), cuy producción es bb. () (b) Figur 4.2 Derivción más l izquierd y más l derech: mbigüedd i en cd pso en un derivción se plic un producción l vrible más l izquierd, entonces l derivción se dice más l izquierd. imilrmente un derivción en l cul l vrible más l derech es reemplzd en cd pso se dice más l derech. i w L(G) pr l GLC G, entonces w tiene por lo menos un árbol de derivción, y pr un árbol de derivción prticulr, w tiene un únic derivción más l derech y un únic derivción más l izquierd. Por supuesto, w puede tener vris derivciones más l izquierd y más l derech, y que puede existir más de un árbol de derivción pr w. in embrgo, es fácil demostrr que pr cd árbol de derivción, se puede obtener sólo un derivción más l izquierd y un derivción más l derech

8 Feliú gols Troncoso Mtemátics-Cinvestv 8 Ejemplo: L derivción más l izquierd correspondiente l árbol de l Figur 4.1() es: b b bb bb L correspondiente derivción más l derech es: b bb bb. Un GLC G tl que lgun plbr tiene dos árboles de derivción se dice mbigu. Un LLC pr el cul cd GLC es mbigu se dice un LLC inherentemente mbiguo. 4.4 implificción de grmátics libres de contexto i L es un lenguje libre de contexto no vcío entonces puede ser generdo por un grmátic libre de contexto G con ls propieddes siguientes: 1. Cd vrible y cd terminl en G prece en l derivción de lgun plbr en L. 2. No existen producciones de l form B donde y B son vribles. demás, si ɛ / L, se puede hcer que en G no existn producciones de l form ɛ. De hecho, si ɛ / L, se puede logrr que cd producción en G se de ls forms BC y, donde, B y C son vribles rbitrris y es un terminl rbitrri. lterntivmente, podemos hcer que cd producción de G se de l form α, donde α es un cden de vribles (quizás vcí). Ests dos últims forms especiles son l form norml Chomsky y l form norml Greibch, respectivmente. ímbolos inútiles e G = (V, T, P, ) un grmátic. Un símbolo X es útil si existe un derivción αxβ w pr lgunos α, β, y w, donde w T. En otro cso, X es inútil. Existen dos forms en ls que un cden puede ser útil: primero, lguns cdens terminles deben ser derivbles de X y segundo, X debe ocurrir en lgun cden derivble de. Ess dos condiciones no son, sin embrgo, suficientes pr grntizr que X es útil, y que X puede ocurrir sólo en forms sentenciles que contienen un vrible de l cul ningun cden de terminles puede ser derivd.

9 9 Curso Básico de Computción Lem 4.1: Dd un GLC G = (V, T, P, ), con L(G), podemos encontrr de un mner efectiv un GLC equivlente G = (V, T, P, ) tl que pr cd V existe lgun w T pr l cul w. Demostrción: Cd vrible con producción w en P clrmente pertenece V. i X 1 X 2 X X n es un producción, donde cd X i es o un terminl o un vrible que pertenece V, entonces un cden de terminles se deriv de por un derivción X 1 X 2 X n, y sí V. El conjunto V se encuentr utilizndo un lgoritmo itertivo. P es el conjunto de tods ls producciones cuyos símbolos están en V T. Lem 4.2: Dd un GLC G = (V, T, P, ) podemos encontrr de un mner efectiv un GLC equivlente G = (V, T, P, ) tl que pr cd X V T existen α, β (V T ) pr ls cules αxβ. Demostrción: El conjunto V T de símbolos que precen en ls forms sentenciles de G se construye por un lgoritmo itertivo. e coloc en V. i es colocdo en V y α 1 α 2 α n, entonces ñdir tods ls vribles de α 1, α 2,, α n l conjunto V y tods ls terminles de α 1, α 2,, α n T. P es el conjunto de producciones en P que contienen sólo símbolos de V T. Teorem 4.2: Cd LLC no vcío es generdo por un GLC con símbolos no inútiles. Demostrción: e L = L(G) un LLC no vcío. e G 1 el resultdo de plicr l construcción del Lem 4.1 G y se G 2 el resultdo de plicr l construcción del Lem 4.2 G 1. upong que G 2 contiene lgún símbolo inútil X. Por el Lem 4.2, existe un derivción G 2 αxβ. Como todos los símbolos de G 2 son símbolos de G 1, se sigue del Lem 4.1 que G 1 αxβ G 1 w pr lgun cden terminl w. Por lo tnto, ningún símbolo en l derivción αxβ G 1 w es elimindo por el Lem 4.2. sí, X deriv un cden terminl en G 2, y por lo tnto X no es inútil como se supuso. Ejemplo: Considere l grmátic B plicndo el Lem 4.1, encontrmos que no hy cdens terminles que sen derivbles de B.

10 Feliú gols Troncoso Mtemátics-Cinvestv 10 Por lo tnto, eliminmos B y l producción B. plicndo el Lem 4.2 l grmátic encontrmos que sólo y precen en lgun form sentencil. sí ({}, {}, { }, ) es un grmátic equivlente sin símbolos inútiles. Note que si plicmos primero el lem 4.2 y luego el 4.1 l grmátic de este ejemplo, no se obtiene el resultdo esperdo.