Clase 8: La Transformada de Laplace.

Transcripción

1 Clse 8: Trnsformd de plce. Peter Hummelgens 9 de enero de Trnsformd de plce de funciones. Se f 1 loc (R) cusl, sop(f) [; ). Consideremos l integrl de plce F (x) := e t f(t)dt, C (1) donde = ξ +iη un vrible complej. Decimos que f(t) es plce trnsformble si, y sólo si, l integrl converge bsolutmente (es decir e t f(t) pertenece 1 (R) como función de t) pr lgún C. Se f(t) plce trnsformble con l integrl bsolutmente convergente pr = 0 (Re 0 = ξ 0 ). Como sop(f) [; ) tenemos de (1) F () = e t f(t)dt, (2) donde converge y tenemos Re = ξ ξ 0 = e t f(t) = e t(ξ+iη) f(t) = e tξ f(t) e tξ 0 f(t) con e tξ 0 f(t) dt convergente, de modo que converge tmbién e t f(t) dt pr ξ ξ 0. De lo nterior se desprende que pr l integrl de plce (1) hy 3 posibiliddes: () No converge pr todo C (un ejemplo es h(t)e t2, que crece demsido rápido cundo t ), y f(t) no es plce trnsformble. (b) Converge pr todo C (un ejemplo es h(t)e t2, que decrece o summente rápido cundo t ), y F () está definid en todo el plno C. 1

2 (c) El cso más común : integrl de plce converge bsolutmente en lgún semiplno ξ = Re > α, iη ξ>α α ξ y diverge o no converge bsolutmente en ξ < α. Podemos interpretr el cso (b) como el cso (c) con α = y el cso () como el cso (c) con α =. En el semiplno ξ > α, F () = e t f(t)dt es un función nlític (Mt. VI) de, y que podemos clculr ls derivds de F () por derivción bjo l integrl: F () = d d es decir, cundo e t f(t)dt = f(t) tf(t) ( t) n f(t) Aquí introducimos l notción f(t) d d (e t )f(t)dt = F (), entonces F (), y más generlmente F (n) (); n = 0, 1, 2, ( tf(t))e t dt, (3) F (), pr f(t) plce trnsformble, cuy interpretción precis requiere de lgunos comentrios. Primero un ejemplo. Ejemplo 1. Se f(t) = h(t ). Tenemos F () = e t 1dt = 1 [ e t ] t= = e 1 [ e t ] t Pero e t = e t(ξ+iη) = e tξ es cotd pr t si, y sólo si, ξ 0 y vemos entonces 1 que existe lím t e t solmente si ξ > 0 y en este cso el límite es cero, es decir, F () = e t f(t)dt = e 2 en el semiplno Re > 0

3 iη ξ>0 ξ Pero observmos que l función e es nlític en todo el plno C (tmbién en ξ < 0) excepto en = 0 (donde tiene un polo simple). Es l función e definid y nlític en todo C {0} que nos import y es de importnci secundri el hecho que en el semiplno ξ > 0 podemos representr e plce de h(t ) entendemos e Escribimos entonces como l integrl de plce h(t ) e t dt. Por l trnsformd de en tod su región de nliticidd en el plno complejo. e sin gregr Re > 0. Así entonces, con f(t) ( R), F () indicmos que f(t) es plce trnsformble y tiene trnsformd de plce F () como función nlític en tod su región de nliticidd. Presentremos un pequeñ tbl de trnsformds h(t ) e ( R), h(t) h(t)e λt 1 (λ C) λ h(t) cos(t), h(t) sen(t) h(t) cosh(t), h(t) senh(t) 2 2 h(t)t n e λ t ( R) 2 2 ( R) n!, (n = 0, 1, 2,, λ C). ( λ) n+1 (4) Tods ests formuls se pueden obtener directmente de (2) vi integrción, pero más delnte (cundo tenemos l T de distribuciones y ls regls opercionles de l T) tendremos métodos muchos más eficientes pr obtener estás trnsformds (sin integrciones.) 3

4 2. Trnsformd de plce de distribuciones. Se f 1 loc (R) de soporte compcto, entonces podemos escribir corchete, f(t) e t f(t)dt como F () = f(t), e t t, C, (5) donde, t signific que l vrible en el corchete es t (y no ). El corchete existe pr todo C, es decir, F () es definid y nlític en todo el plno complejo C (es decir un función enter). Ahor será clro que l mism fórmul (5) tiene sentido pr distribuciones de soporte compcto. Así que doptmos (5) como definición de F () pr f D (R) un distribución de soporte compcto. Se f D (R) de soporte compcto, entonces f gen, f gen, tmbién son de soporte compcto, por lo tnto f gen(t) (n) f gen(t), (n) e t t = ( 1) n f(t), dn dt n (e t ) = ( 1) n f(t), ( ) n e t t = ( 1) n ( ) n f(t), e t t = n f(t), e t t = n F (), es decir, f gen(t) (n) n F (); n = 0, 1, 2,. (6) Ejemplo 2. δ (t) δ (t), e t t = e, entonces δ (t) δ(t) e ( R) 1 (7) y de (6), (7) tenemos δ (n) (t) n e (n = 0, 1, 2,, R) δ(t) (n) n (n = 0, 1, 2, ). (8) fórmul (6) es muy útil pr hllr trnsformds de plce, como ilustr el próximo ejemplo. Ejemplo 3. Se f(t) con gráfic 4

5 f(t) +t t 0 t En un ejemplo y visto encontrmos que entonces con (6), (7) se sigue que f gen(t) = δ (t) 2δ(t) + δ (t), 2 F () = e 2 + e = F () = e 2 + e 2, eso es todo!. Como f(t) es de soporte compcto sbemos que F () tiene que ser nlític en todo C, es decir, que pesr de 2 en el denomindor de l expresión de F () no puede hber singulridd en = 0. De hecho, plicndo l -Hopitl tenemos existe. e 2 + e e e lím = lím e + 2 e = lím 0 2 = 22 2 = 2, En (5) sumimos que f(t) se de soporte compcto. Pero el corchete f(t), e t t existe por supuesto en csos más generles. Supongmos que f 1 loc (R) cusl y de orden exponencil pr t, es decir, f(t) Ae kt pr cierts constntes A > 0, k R y pr t suficientemente grnde. (9) En plbrs: pr t f(t) no crece más rápido que exponencilmente. Entonces, si f(t) Ae kt pr t t 0, tenemos con = ξ + iη, e t f(t) dt Ae kt e tξ dt = A e t(ξ k) dt, t 0 t 0 t 0 5

6 que converge pr ξ > k, lo que implic que e t f(t)dt converge bsolutmente en el semiplno ξ > k, de modo que f(t) es plce trnsformble. Es decir: tods ls f 1 loc (R) cusles de orden exponencil pr t son plce trnsformbles (un inmens clse de funciones plce trnsformbles). Pr tods ests funciones l fórmul (5) sigue válid y tmbién l fórmul (6). Cd función cotd es segurmente de orden exponencil pr t. Ejemplo 4. Se f(t) = h(t) cos(t), entonces f gen(t) = h(t) sen(t) + δ(t) = f gen(t) = 2 h(t) cos(t) + δ (t) = f gen(t) = 2 f(t) + δ (t) (6),(8) como en l tbl (4). Eso es todo!. Ejemplo 5. Se f(t) = h(t)t 4. Tenemos 2 F () = 2 F () + = F () = f gen(t) = 4h(t)t 3 = f gen(t) = 12h(t)t 2 = f gen(t) = 24h(t)t = f (4) (t) = 24h(t) = f (5) (t) = 24δ(t) (6),(7) como tmbién se ve de (4), últim line (con λ = 0, n = 4). Alterntivmente h(t) (4) 1, (2) = t4 5 F () = 24 = F () = 24 5, h(t) d4 d 4 ( 1 ) =