Solución Segunda Prueba Intermedia (23/01/2018) Curso 2017/18

Transcripción

1 Solución Segund Prueb Intermedi 3//8) Curso 7/8 Problem. Indic si los siguientes enuncidos son VERDADEROS o FALSOS, justicndo l respuest. ) Si f : [, b] R es continu con c f)d < b f)d. b) Si f : [, + ) R es continu y b f)d >, entonces pr todo c, b) es + e f), entonces + f) d converge. Solución del problem. ) El enuncido es FALSO. Pr comprobrlo, bst encontrr un función continu que se positiv hst cierto vlor y luego negtiv, pero de form que el áre totl no se cncele. Por ejemplo, podemos tomr f) sen en [, 3π/]. Pr est función, tenemos que 3π/ sen d cos 3π/ > ; sin embrgo, π sen d cos 3π/ >. c djunt. Est función serí f) { si [, ] si [, 3] 3 Tmbién podemos tomr un función como l de l grá- Pr ell, es clro que 3 f) d pero f) d 3/. - b) El enuncido es VERDADERO. Vmos usr el criterio de comprción por pso l ite, pero como l función no es positiv o l menos no lo sbemos), tenemos que psr l vlor bsoluto. + e f) se tiene que + e f) + e f). Por tnto e d es convergente, el criterio de comp- Como f) + + e. Pero como sbemos que + + rción por pso l ite nos grntiz que f) d es convergente, luego es bsolutmente convergente y, en prticulr, es convergente. f)d Dpto. de Análisis Mtemático Análisis Mtemático Grdo en Físic)

2 Solución Segund Prueb Intermedi 3//8) Curso 7/8 Problem. Encuentr, L R pr que ) + lne + ) L. ) Solución del problem. En primer lugr, + lne + ) lne + ) + Pr resolver este ite, vmos usr el polinomio de Tylor de f) lne + ). Pr ello f) lne + ) f) f ) e + e + f ) f ) e e + ) e + ) e + ) f ) 3 Por tnto, f) 3 + R ). Así pues: lne + ) R ) R ). + Luego pr que el ite eist y se nito, debe ser, en cuyo cso, el ite será L 3. Problem 3. Clcul e t sen t dt. Solución del problem 3. e t sen t dt Problem. Clcul ls siguientes integrles sen + cos d. e sen ) L H 3 ) b) 5/ e ) sen ) 8 + d. } {{ } sen Solución del problem. ) Vmos clculr est integrl de dos forms distints. Dpto. de Análisis Mtemático Análisis Mtemático Grdo en Físic)

3 Solución Segund Prueb Intermedi 3//8) Curso 7/8 +cos α, luego hciendo α /, te- Método : En primer lugr, sbemos que cos α nemos que + cos cos /). Así pues, sen + cos d sen + cos d+ + cos d sec /) d + ln + cos ) tn/) + ln + cos ) + C. d+ln+cos ) cos /) Método : Al ser un integrl rcionl trigonométric que no es ni impr en seno, ni impr en coseno ni pr en seno y coseno l vez, vmos hcer el cmbio generl, tn/) t. Pr ello, sbemos que d +t dt, sen t +t y cos t +t. Por tnto sen t +t + cos d +t t + t + t dt +t + t + t + t +t +t + t dt t dt + t t ) dt t ln + t ) + C tn/) ln + tn /) ) + C. + t b) Vmos completr cudrdos en el interior: ), por tnto [ ] 3 sen t t π/ 8 + d 9 ) d 5/ 5/ d 3 cos t dt 5/ t π/6 π/ 9 cos t dt 9 π/ ) 9 + cost) dt t + sent) ) π/ 9 π π/6 π/6 π/6 π ) ) π 3 3. Problem 5. Estudi l convergenci de ls siguientes integrles + rctn ) + ) d. b) cos d Solución del problem 5. ) Se trt de un integrl impropi en +, en donde rctn está cotd. Por tnto, solo inuye l del numerdor y + ) del denomindor. Pero el denomindor, en +, l ser un polinomio de grdo, se comportrá como, sí que vmos usr el criterio de comprción por pso l ite con 3. En efecto, + rctn / + ) / 3 rctn + ) + + ) Por tnto, mbs integrles tienen el mismo crácter y ddo que nuestr integrl tmbién será convergente. ) π. + d converge, 3 b) Se trt de un integrl impropi en. Sbemos que cos /, luego vmos comprr con /. En efecto, Dpto. de Análisis Mtemático 3 Análisis Mtemático Grdo en Físic)

4 Solución Segund Prueb Intermedi 3//8) Curso 7/8 / cos / Por tnto, como Problem 6. cos /. d diverge, nuestr integrl tmbién será divergente. Se R l región del Primer Cudrnte limitd por ls curvs y sen, y cos y el eje OY. ) Clcul el volumen del sólido generdo l girr R lrededor del eje OX. b) Clcul el volumen del sólido generdo l girr R lrededor del eje OY. Solución del problem 6. L región R es l de l gur djunt. cos R sen π π ) V OX π π p cos d π cos) d π sen) sen d π cos sen ) ) d π. b) V OY π cos d π sen d ) π sen sen d π cos π ) π + cos 8 π π + sen 8 [ { Primer integrl }} { u du d dv cos d v sen ) + cos d ) π ) π Segund integrl { }} { u du d dv sen d v cos ] Dpto. de Análisis Mtemático Análisis Mtemático Grdo en Físic)

5 Solución Segund Prueb Intermedi 3//8) Curso 7/8 Problem 7. Clcul l longitud de l curv y ln ) en [, 5]. Solución del problem 7. Como y ln ) ln, se tiene que y ) por lo que 5 + y ) + +. Así pues, L d. Pero est integrl es impropi en + / ; demás, +, luego l integrl es divergente como l de / /, por lo que L +. En culquier cso, l integrl se puede clculr de form efectiv: d t )t + ) 3 + ln 5 ln ) + }{{} ln ln ) +. [ + + d t ] 3 5 t 3 t d tdt t t t tdt ) 3 dt + t ) ) 3 dt t + ln t ln t + t + Dpto. de Análisis Mtemático 5 Análisis Mtemático Grdo en Físic)