EJERCICIOS TEMA 2 CÁLCULO INTEGRAL EN UNA VARIABLE

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1 EJERCICIOS TEMA CÁLCULO INTEGRAL EN UNA VARIABLE

2 EJERCICIOS TEMA

3 EJERCICIOS TEMA INTEGRAL INDEFINIDA Ejercicio Clculr e ; b) 7 ; c) m n Solución: e + C; b) 7 ln 7 + C; c) Si n m = ; ln jj Si n m 6= (n=m)+ ; n=m+ Ejercicio Clculr cosh( + ); b) + Solución: senh( + ) + C; b) rctg Ejercicio Obtener or cmbio de vrible el vlor de ls siguientes integrles inde nids e rcsen ; b) ln Solución: e rcsen + C. b) ln j ln j Ejercicio Clculr or cmbio de vrible Solución: 8 rctn + 8 Ejercicio 5 Clculr or cmbio de vrible el vlor de ls siguientes integrles inde nids cos ; b) sen + Solución: ln j sen j + C; b) rctg Ejercicio 6 Clculr or cmbio de vrible el vlor de ls siguientes integrles inde nids Solución: ln j j ( ) + C; b) (ln ) ; b) + ln j + j + + Ejercicio 7 Clculr or cmbio de vrible el vlor de ls siguientes integrles inde nids 5; b) + sen cos ( 5) 5 Solución: 5 + 5( 5) + C; b) ( + sen )= Ejercicio 8 Integrr or rtes 5 ln ; b) ( + ) cos Solución: 6 6 [6 ln ] + C. b) ( + ) sen + cos sen Ejercicio 9 Clculr, integrndo or rtes e cos Solución: e (sen + cos )

4 EJERCICIOS TEMA Ejercicio Integrr or rtes sen ; b) ln Solución: cos + sen + C; b) ln Ejercicio Integrr or rtes rctg ; b) ( + ) cos Solución: rctg ln( + ) + C; b) ( 6 + ) sen + ( 6) cos Ejercicio Integrr or rtes cos(ln ); b) ( + 5)e Solución: (cos(ln ) + sen(ln )) + C; b) e ( + 5) Ejercicio Obtener un fórmul de reducción r l integrl I n = n e Solución: I n = n e ni n. Ejercicio Integrndo or rtes, deducir l fórmul de reducción sen n = n senn cos + n n sen n Ejercicio 5 Se Obtener l fórmul de reducción I n = ( + ) n Ejercicio 6 Se I n = (n )( + ) n + n n I n ; 8 n I n = ( + ) n Obtener l fórmul de reducción I n = (n )( + ) n + n n I n ; 8 n Ejercicio 7 Obtener un fórmul de reducción r l integrl I n = ( ) n Solución: I n = ( Ejercicio 8 Se ) n +n + n +n I n : I(m + ; n + ) = cos m+ sen n+ Obtener l fórmul de reducción, deendiendo de los dos índices I(m + ; n + ) = cos m n sen n m I(m ; n ) n

5 EJERCICIOS TEMA 5 Ejercicio 9 Clculr ls integrles de ls funciones rcionles siguientes + ; b) + ; c) d) ; e) ( + ) ( + ) Solución: s ln + C; b) ln j + j C; c) + ln( + + ) + 8 rctg d) + ln j j ln j + j + C; e) 6 ln rctg 6 rctg + C Ejercicio Clculr ( + + 5) + + C Solución: + 6( + + 5) + ( + ) 8( + + 5) + 56 rctg + + C Ejercicio Clculr ls integrles de ls funciones rcionles siguientes ; b) Solución: rctg + C; b) ln j j + ln j + j + C. Ejercicio Clculr ls integrles de ls funciones rcionles siguientes ; b) + + Solución: rctg + ln j + j + C; b) + ln jj ln j + j + C. Ejercicio Clculr e e ; b) (tg ) + Solución: rctg(e ) + C. b) tg Ejercicio Clculr e ln(tg + ) e ; b) + e (tg ) + tg tg Solución: e + ln je + j b) tg ln j tg j Ejercicio 5 Clculr Solución: ln tg + tg ++ + sen Ejercicio 6 Clculr cos + sen ; b) sen + cos + cos Solución: rctg( tg ) + C. b) cos + rctg Ejercicio 7 Clculr sen

6 6 EJERCICIOS TEMA Solución: sen Ejercicio 8 Clculr sen(5) cos(6) Solución: cos() + cos Ejercicio 9 Clculr sen ; b) + cos sen Solución: cos cos + ln j cos + j + C; b) rctg tg Ejercicio Clculr cos sen ; b) sen cos 6 Solución: sen Ejercicio Clculr sen + C; b) tg + tg5 5 sen ; b) sen cos Solución: Ejercicio Clculr sen + sen C; b) sen sen 5 sen ; b) sen 8 sen sen sen sen + sen 6 Solución: sen sen C; b) cos 6 cos cos Ejercicio Clculr sh Solución: + sh + C. Ejercicio Clculr ls siguientes integrles ; b) Solución: Ejercicio 5 Clculr rc cos + sen rc cos + C. b) + rgch Solución: rctg + ln j + + Ejercicio 6 Clculr e e Solución: e e + rgcosh e Ejercicio 7 Clculr s + ; b) Solución: rcsen sen rcsen + C; b) rcsen + sen rcsen

7 EJERCICIOS TEMA 7 INTEGRAL DEFINIDA Ejercicio 8 Dd l función y = f() de nid en el intervlo [; ] or si Q y = f() = si = Q estudir l eistenci de l integrl según Riemnn f() Solución: l función y = f() no es integrble (sentido Riemnn) en el intervlo [; ] : Ejercicio 9 Utilizndo l de nición de integrl, y si b >, clculr b k Ejercicio Utilizndo l de nición de integrl (con b >, clculr b m (m cte.); b) Ejercicio Clculr ls derivds de ls funciones b e F () = sen t dt; b) F () = ln tdt; c) F () = rctg tdt Solución: F () = sen. b) F () = ln. c) F () = rctg rctg : Ejercicio Clculr ls derivds de ls funciones F () = cos t dt; b) F () = cos tdt Solución: F () = cos 6 ; b) F () = cos ( sen ): Ejercicio Clculr, licndo l regl de l Hoitl, los siguientes límites lm! Solución: ; b) ; R R (rctg z) dz ; b) lm +! dt R et dt et ; c) lm! Ejercicio Clculr el olinomio de McLurin de o grdo de l función Solución: : g() = Ejercicio 5 Clculr los untos críticos de l función ln(t + )dt R sen zdz Solución: ; ; : F () = z 5z + + e z dz Ejercicio 6 Clculr ls siguientes integrles de nids = sen ; b) ; c) + Solución:. b). c) :

8 8 EJERCICIOS TEMA Ejercicio 7 Clculr el vlor medio de l función f() = cos en el intervlo ;. En qué unto se lcnz este vlor?. Solución: el vlor medio es. El vlor medio se lcnz en el unto c = : Ejercicio 8 Clculr ls siguientes integrles de nids e ; b) e ; c) Solución: e ; b) ; c) ln + : Ejercicio 9 Clculr ls siguientes integrles de nids j j; b) r + cos ; c) cos Solución: ; b) ; c) : Ejercicio 5 En un circuito eléctrico el voltje es e(t) = 6 sen t y l intensidd de corriente es i(t) = sen (t =6). L otenci medi se de ne como el vlor medio de e(t) i(t) en [; ]. Clculr l otenci medi. Solución: 8 : Ejercicio 5 Clculr e Solución: : Ejercicio 5 Clculr sen Solución: : Ejercicio 5 Clculr ( 5) Solución: 5: Ejercicio 5 Clculr Solución: r : r r Ejercicio 55 Clculr, medinte cmbio de vrible, l integrl Solución: : e + ln Ejercicio 56 Demostrr, medinte el cmbio de vrible t =, que f(sen ) = f(sen )

9 EJERCICIOS TEMA 9 Ejercicio 57 Demostrr que si f() es un función r f() = f() y que si f() es un función imr f() = Ejercicio 58 Se sbe que R = ln (sen ) = ln. Clculr, integrndo or rtes, R = sen : Solución: ln : Ejercicio 59 Clculr l integrl sen Solución: : Ejercicio 6 Obtener, medinte integrción or rtes, un fórmul de reducción r Solución: I n = n n I n : I n = = Ejercicio 6 Clculr de form ect ls integrles I = e ; I = sen n e Clculr ls integrles nteriores de form roimd, usndo el olinomio de Mclurin de grdo de l función f() = e. Comrr los resultdos. Solución: I =.859; I = 6.799: I '.8; I ' ;: Ejercicio 6 Clculr de form ect l integrl rctg Clculr l integrl nterior de form roimd, usndo el olinomio de Mclurin, centrdo en =, y de grdo, de l función f() = rctg. Solución:.88; I '.58: Ejercicio 6 Clculr de form ect l integrl: =8 cos Clculr l integrl nterior de form roimd, usndo el olinomio de Mclurin, centrdo en =, y de grdo, de l función f() = cos : Solución:.55; I '.5: Ejercicio 6 Clculr de form ect l integrl ln( + ) Clculrl de form roimd, utilizndo r ello el olinomio de Mclurin de grdo de l función: f() = ln( + ).

10 EJERCICIOS TEMA Solución:.6; I '.: INTEGRALES IMPROPIAS Ejercicio 65 Dd l integrl imroi de rimer esecie (integrl tio de rimer esecie) estudir su crácter r los distintos vlores de R: ; con > Solución: 8 < : >, el límite es nito (Integrl convergente) y vle, el límite es in nito (Integrl divergente) Ejercicio 66 Clculr ls integrles imrois Solución:. b) : + Ejercicio 67 Clculr ls integrles imrois + ; b) e + + ; b) + ( + ) ( + ) Solución: ; b) + ln : Ejercicio 68 Clculr l integrl imroi Solución: +b : + e cos b Ejercicio 69 Estudir el crácter de l integrl imroi Solución: I es convergente. Ejercicio 7 Estudir el crácter de l integrl imroi Solución: I es convergente. Ejercicio 7 Comrobr el crácter de ls integrles Solución: Divergente; b) Divergente. Ejercicio 7 Comrobr el crácter de ls integrles Solución: Convergente; b) Convergente. ( + e ) ( + ) + ; b) + sen ( cos ); b) + +

11 EJERCICIOS TEMA Ejercicio 7 Dd l integrl imroi de segund esecie (integrl tio de segund esecie) J = b ( con f() no cotd en el etremo inferior, estudir su crácter r los distintos vlores de R: Solución: 8 < : <, el límite es nito (Integrl convergente) y vle J =, el límite es in nito (Integrl divergente) (b Ejercicio 7 Estudir el crácter de l integrl imroi Solución: I es convergente. Ejercicio 75 Estudir el crácter de l integrl imroi ( )(9 ) Solución: I es divergente. Ejercicio 76 Comrobr el crácter de ls integrles Solución: Converge; b) Converge. ln( + 5 ) e sen ; b) Ejercicio 77 Comrobr el crácter de ls integrles sen + cos 5 Solución: Converge; b) Diverge. + 6 ; b) e cos Ejercicio 78 Clculr l integrl imroi e ln Solución: : Ejercicio 79 Clculr (Se sugiere el cmbio de vrible = t). Solución: : Ejercicio 8 Clculr ls integrles imrois Solución: divergente; b) + ln( + ): = Ejercicio 8 Clculr ls integrles imrois ln ; b) j ( ) cos ; b) j ln

12 EJERCICIOS TEMA Solución: divergente; b) ln : INTEGRALES PARAMÉTRICAS Ejercicio 8 Clculr l integrl ; con Solución: I() = rcsen : Ejercicio 8 Clculr, usndo l de nición, l trnsformd de Llce de l función f(t) = ; con s > : Solución: F (s) = s : F (s) = L [] = + e st dt; s > Ejercicio 8 Clculr, usndo l de nición, l trnsformd de Llce de l función f(t) = t; con s > : Solución: L [t] = s : Ejercicio 85 Clculr, usndo l de nición, l trnsformd de Llce de f(t) = e t ; con s > : Solución: L [t] = s : Ejercicio 86 Clculr, usndo ls integrles de Euler, ls integrles + e ; b) = ( ) 5= Solución:.5. b) : Ejercicio 87 Clculr (n) siendo n un número nturl. Solución: (n) = (n )!: Ejercicio 88 A rtir de l de nición, demostrr B(; q) = = sen cos q Ejercicio 89 Hllr l derivd resecto de de l integrl rmétric I() = sen Solución: di d = ( sen sen ): Ejercicio 9 Clculr Solución: I() = rctg : I() = + e sen Ejercicio 9 Resolver l integrl deendiente de un rámetro Solución: I() = 8! (+) 9 : I() = Ejercicio 9 Clculr l integrl convergente I() = (ln ) 8 n e ; con >

13 EJERCICIOS TEMA Solución: I() = n! n+ : Ejercicio 9 Prtiendo de I(t) = y medinte derivción resecto l rámetro, clculr + e t Solución: n!: + e n Ejercicio 9 Medinte derivción en l integrl I() = clculr = Solución: I() = : Ejercicio 95 Sen F (t) = t = Demostrr que G (t) + tf (t) = t. Clculr F (t): Solución: F (t) = 8t ( + ): ln( + sen ) sen ln( + sen ) sen t ( + t ) y G(t) = + t ; con t > Ejercicio 96 Clculr, medinte derivción resecto l rámetro, l integrl con > : I() = e sen Solución: I() = rctg : APLICACIONES GEOMÉTRICAS Ejercicio 97 Clculr el áre limitd or l sinusoide y = sen y el eje r [; ]: Solución: A = : Ejercicio 98 Clculr el áre de l gur contenid entre ls curvs y = e y = 8 + : Solución: A = : Ejercicio 99 Clculr el áre de l gur limitd or ls dos rms de l curv (y = : ) = y l rect Solución: =5: Ejercicio Clculr el áre de l gur limitd or l curv + y = y l rect + y = : Solución: =: Ejercicio Clculr el áre de l gur limitd or ls curvs f() = y f (). Solución: : Ejercicio Clculr el áre común los círculos + y = 9 y ( ) + y = 9.

14 EJERCICIOS TEMA Solución: 9( 6 8 ): Ejercicio Clculr l longitud del rco de l rábol semicúbic y = entre los untos (; ) y (; 8). Solución: L = 8 7 : Ejercicio Comrobr l fórmul de l longitud de l circunferenci. Ejercicio 5 Clculr l longitud del lzo de l curv y = ( ). Solución: : Ejercicio 6 Clculr l longitud del rco de l curv y = ln entre los untos de bsciss = y = e. Solución: e + : Ejercicio 7 Clculr l longitud del rco de l rábol semicúbic y = ( rábol y =. Solución: q 5 : ) situdo dentro de l Ejercicio 8 Clculr el áre de l suer cie del rboloide, engendrdo or l revolución lrededor del eje O del rco de rábol y =, corresondiente l vrición de desde = hst = : Solución: A = = : Ejercicio 9 Clculr el volumen del sólido engendrdo l girr lrededor del eje O l gur limitd or ls dos rms de l curv (y ) = y l rect = : Solución: V = 8 7 : Ejercicio Clculr el volumen del cuero engendrdo or l rotción de l ctenri y = ch lrededor del eje O desde = hst = b: Solución: V = sh b + b : Ejercicio Clculr el volumen del cuero engendrdo l girr un círculo de rdio lrededor de un eje situdo en su lno y que dist b de su centro. Solución: b : Ejercicio Clculr el volumen del cuero engendrdo or l rotción de l curv y = ( del eje O desde = hst = c con c > > : i Solución: : h c 5 5 c + c lrededor Ejercicio Hllr c en el ejercicio nterior, de modo que dicho volumen se igul l del cono engendrdo or el triángulo de vértices (; ); (c; ) y (c; c(c ) l girr en torno l eje O: Solución: c = 5=: